【學(xué)霸滿分】2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)下冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專題10 難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長最值問題之四大考點(diǎn)（原卷版）

專題10難點(diǎn)探究專題：利用二次函數(shù)求面積、周長最值問題之四大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】 1【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】 13【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長最大值問題】 19【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長最小值問題】 28【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問題】例題：（23·24上·淮南·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線上一個動點(diǎn)，且在直線的上方．

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到什么位置時，使的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積最大值．【變式訓(xùn)練】1．（23·24上·大同·階段練習(xí)）綜合與探究如圖二次函數(shù)與直線交于、兩點(diǎn)，已知：、，二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在直線上方的拋物線上運(yùn)動，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)．

(1)求直線與拋物線的解析式；(2)設(shè)四邊形的面積為，求的最大值及此時點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（23·24上·中山·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸相交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線的解析式；(2)求直線的解析式；(3)若點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．3．（23·24上·邯鄲·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)直接寫出拋物線的解析式：______；(2)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個動點(diǎn)(與點(diǎn)C、B不重合)，連接．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，的面積為S．①求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；②當(dāng)為何值時，S有最大值，并求這個最大值．4．（23·24上·江門·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其對稱軸與x軸交于點(diǎn)E．

(1)求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，的面積記為S，求S的最大值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在線段上，是否存在點(diǎn)F，使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．（23·24上·濱海新·期中）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)的右邊），與軸交于點(diǎn)，連接，是拋物線上的一動點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式以及，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在第四象限時，面積是否有最大值？若有，求出點(diǎn)坐標(biāo)以及最大面積；若沒有，請說明理由；(3)是拋物線對稱軸上任意一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值．6．（23·24上·省直轄縣級單位·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為．直線l與拋物線交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求拋物線和直線的解析式；(2)直線與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)，為線段上一動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時，四邊形是平行四邊形；②設(shè)的面積為，當(dāng)為何值時，最大？最大值是多少？【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問題】例題：（2022秋·廣東廣州·九年級中山大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1個單位每秒的速度移動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以2個單位每秒的速度移動．如果P，Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B，C兩點(diǎn)后就停止移動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒，回答下列問題：

(1)運(yùn)動開始后第幾秒時的面積等于．(2)設(shè)五邊形的面積為S，寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時S最?。壳骃的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線交x軸于，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值；(2)已知P為拋物線一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），若點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)恰好在直線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，平移拋物線，使其頂點(diǎn)始終在直線上，且與相交于點(diǎn)Q，求面積的最小值．2．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，．動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒個單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段上以每秒1個單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．(1)，；(2)在P，Q運(yùn)動的過程中，當(dāng)t為何值時，四邊形的面積最小，最小值為多少？(3)已知點(diǎn)M是該拋物線對稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動1秒時，若要使得線段的值最小，則試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長最大值問題】例題：（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線過點(diǎn)，，矩形的邊在線段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線上，設(shè)，當(dāng)時，．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時，矩形的周長有最大值？最大值是多少？(3)保持時的矩形不動，向右平移拋物線，當(dāng)平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點(diǎn)G，H，且直線平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南長沙·八年級校考期末）已知拋物線（a為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動．

(1)求a的值．(2)若點(diǎn)和點(diǎn)都是這個拋物線上的點(diǎn)，且有，求t的取值范圍．(3)設(shè)點(diǎn)A位于x軸的下方且在這個拋物線的對稱軸的左側(cè)運(yùn)動，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)B，過點(diǎn)D作軸，垂足于點(diǎn)C，試問四邊形的周長是否存在最大值？如果存在，請求出這個最大值和對應(yīng)的x值，如果不存在，請說明理由．2．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求直線和拋物線的解析式；(2)點(diǎn)是直線下方的拋物線上一動點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，過點(diǎn)作軸的平行線，與直線交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)為何值時，是等腰三角形；②若點(diǎn)在軸下方，設(shè)的周長為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時，的周長最大，最大值是多少？3．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸分別交于、、三點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)圖象位于軸上方部分有兩個動點(diǎn)、，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過、作軸的垂線交軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形為矩形時，求該矩形周長的最大值；(3)當(dāng)矩形的周長最大時，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使的面積是矩形面積的？若存在，直接寫出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長最小值問題】例題：（2023秋·安徽·九年級階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，若，拋物線的對稱軸為直線.

(1)求拋物線的解析式；(2)拋物線的對稱軸上有一動點(diǎn)P，使得周長最小，求出最小周長．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南臨滄·九年級統(tǒng)考期末）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的對稱軸為直線，點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線的頂點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式．(2)為該拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)當(dāng)函數(shù)的自變量滿足時，函數(shù)的最小值為3，求的值．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）綜合與探究如圖，經(jīng)過，兩點(diǎn)的拋物線與軸的另一個交點(diǎn)為．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)在拋物線的對稱軸上，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，求的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)在拋物線上，求時的點(diǎn)坐標(biāo)；(4)已知，請直接寫出能以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)坐標(biāo)．3．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長的最小值；(3)如圖2，過動點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)