2025年上海市數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)：集合與邏輯（講義）含詳解

專(zhuān)題01集合與邏輯(講義)

01知識(shí)梳理

一、集合及其運(yùn)算

1.集合的特性：集合中的元素具有確定性、無(wú)序性、互異性；

2.列舉法：將集合中的元素一一列舉出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法；

3.描述法：將集合中元素的通性描述出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法；通式：{x|x滿(mǎn)足P}；讀法：滿(mǎn)足條

件P的x的集合；

4.空集。是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

5.“G,6”表示元素與集合間的從屬關(guān)系；“u,表示集合與集合間的包含關(guān)系.

6.給出下列條件：

①集合A中任何一個(gè)元素都是集合B中的元素；

②集合B至少存在一個(gè)元素不在集合A中；

③集合B中任何一個(gè)元素都是集合A中的元素，

如果集合A、B滿(mǎn)足①，則A是B的子集(AUB)；

如果集合A、B滿(mǎn)足①②，則A是B的真子集(AuB)；

如果集合A、B滿(mǎn)足①③，則A與B是相等的集合(A=B).

注意：①AUB,討論時(shí)別忘A=0的情況；考察集合的關(guān)系借助韋思圖；

②幾個(gè)特殊數(shù)集之間的包含關(guān)系為：NuZc=QuRuC(N*表示正整數(shù)集)；

③正確區(qū)分0、{0}、{0}：0是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一個(gè)元素0的集合，它不是空集，因?yàn)?/p>

它有一^??元素，這個(gè)元素是0.{0}是含有一^元素0的集合，其關(guān)系為：0u{0},0u{0},0e{0}.

7.集合的含義：

(l)A={x|y=f(x)}表示函數(shù)的定義域；

(2)B=(y|y=f(x)}表示函數(shù)的值域；

(3)C={(x,y)|y=f(x)}表示方程y=f(x)的解的集合，或表示曲線(xiàn)上的點(diǎn)的集合-

8?集合間的基本運(yùn)算：

(1)交集：一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作AAB,即AHB=

{x\x^A,且xGB}.

(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱(chēng)為A與2的并集，記作AUB,即AU3

={x\x^A,或xGB}.

(3)補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集。的補(bǔ)集，簡(jiǎn)

稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作(uA,即CuA-{4rGU,且.

9.運(yùn)算性質(zhì)：

A￡B,且BUCnAUC；

0cAnB=BnAcA(或B)cAuB=BuA；

APB^AUB；AUB^=AHB;0^=U;1T=0

10.幾個(gè)結(jié)論：

L若有限集A中有w個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2

個(gè)

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.容斥定理：記集合M中的元素的個(gè)數(shù)為Card(M)，則Card(AUB)=Card(A)+Card(B)-Card(AClB)(可

推廣到有限個(gè)集合)

11,正整數(shù)(整數(shù))分類(lèi)：被2整除與否可分為2k-l,2k(kGN(或Z),k>l)；

被3整除與否可分為3k-2,3k-l,3k(keN(或Z),k>l)；

被4整除與否可分為4k-3,4k-2,4k-1.4k(k^N(或Z),k>l)；其余依此類(lèi)推.

二、命題

1.命題的概念

一般地，在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語(yǔ)

句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題

2.命題的形式

在數(shù)學(xué)中，“若P，則q”是命題的常見(jiàn)形式，其中P叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.

3.真命題，假命題

命題：“若P，則q”,如果由題設(shè)p能夠推出結(jié)論q,我們稱(chēng)這個(gè)命題是真命題，反之則稱(chēng)這個(gè)命題是假命題.

溫馨提示

一個(gè)語(yǔ)句是命題應(yīng)具備兩個(gè)條件:一是陳述句;二是能夠判斷真假.一般來(lái)說(shuō)，疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句等都不是

命題，

(2)對(duì)于含有變量的語(yǔ)句，要注意根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷真假，若能，則是命題；若不能，則不是

命題。

⑶還有一些語(yǔ)句，目前無(wú)法判斷真假，但從事物的本質(zhì)而論，這些語(yǔ)句是可辨別真假的，尤其是科學(xué)上的一

些猜想等，這類(lèi)語(yǔ)句也叫做命題。

(4)數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理和推論都是命題。

⑸要判定一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證，在判斷時(shí)，要有理有據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況

作出正確的判斷。而判定一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可

三、充分條件與必要條件

1.充分條件與必要條件

一般地，“若P，則q”為真命題,是指由p通過(guò)推理可以得出q,記作“p=T,這時(shí)稱(chēng)p是q的充分條件,q是

P的必要條件.如果“若p,則q”為假命題，那么由p推不出q,記作p利，這時(shí)稱(chēng)p不是q的充分條件，q不是p

的必要條件.

2.充要條件

一般地,如果既有p^q,又有q=p,就記作pf.此時(shí)，我們說(shuō)p是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.顯然,

如果P是q的充要條件，那么q也是P的充要條件.概括地說(shuō)，如果PT，那么P與q互為充要條件.

3.常見(jiàn)的四種條件與命題真假的關(guān)系

如果原命題為“若P，則q"，逆命題為“若q,則p"，那么p與q的關(guān)系如下:__________________________

原命題逆命題P與q的關(guān)系結(jié)論

真假p=>q且q分pP是q的充分不必要條件

假真p利且q=pP是q的必要不充分條件

真真p今q且q今pP是q的充要條件

假假p今q且q分pP是q的既不充分也不必要條件

四、證明命題成立的方法

1.綜合法、分析法

內(nèi)容綜合法分析法

從命題的條件出發(fā)，利用定義、公從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探

理、定理及運(yùn)算法則，通過(guò)演繹推索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條

定義理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，

直到完成命題的證明.我們把這樣或者歸結(jié)為定義、公理、定理等.我

的思維方法稱(chēng)為綜合法們把這樣的思維方法稱(chēng)為分析法

實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因

框圖

得到一個(gè)明顯

表小

T…一成立的條件

文字要證……只需證……

因?yàn)椤浴蛴伞谩?/p>

語(yǔ)言即證……

2.反證法

⑴反證法的定義：在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下，經(jīng)過(guò)推理，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾，

或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說(shuō)明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的

方法叫反證法.

(2)反證法的證題步驟：

①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；③否定假設(shè)，肯定結(jié)論.

3.常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定詞語(yǔ)

等于大于小于至多至多至少

原詞是都是

(=)(>)(<)

有一個(gè)有n個(gè)有一^

不等于不大于不小于至少有至少有一個(gè)也

否定不是不都是

(<)(>)

兩個(gè)(n+1)個(gè)沒(méi)有

02蹤訓(xùn)練

一、單選題

i.下列四個(gè)命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)為()

①與0非常接近的全體實(shí)數(shù)能構(gòu)成集合；

②{T,(T)2}表示一個(gè)集合;

③空集是任何一個(gè)集合的真子集；

④任何一個(gè)非空集合至少有兩個(gè)子集.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

2.下列命題中正確的是()

①。與{0}表示同一個(gè)集合

②由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,2,1}

③方程(x-l)2(x-2)=0的所有解的集合可表示為{1,1,2}

④集合{尤14＜無(wú)＜5}可以用列舉法表示

A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上都對(duì)

3.下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.Af={(x,y)|x+y=l},N={y|x+y=l}

C.M={1,2},TV={(1,2)}D.W={y|y=/+3},N={x|y=Jx-3}

4.已知集合A={x|Y-x=0},則-1與集合A的關(guān)系為()

A.-leAB.-UAC.-lcAD.-l<zA

5.設(shè)。,6eR,集合{-l,a+b,-a}=jo,，,b},貝1］。+》=()

A.1B.-1

C.0D.-2

6.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},若集合〃滿(mǎn)足{1,4}=BW，則()

A.41MB.

C.2eMD.3任M

7.已知六個(gè)關(guān)系式①0w{0}；②0[{0}；③網(wǎng)30；④OW0；⑤0={0}；⑥07{0},它們中關(guān)系表達(dá)正確

的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

8.若集合A={x|2m-3＞0,7〃eR},其中2e/且leA,則實(shí)數(shù)能的取值范圍是(

33333333

A.B.C.D.

4524；24524；2

9.設(shè)集合"=xeZ：[＜。，則集合M的真子集個(gè)數(shù)為()

A.8B.7C.32D.31

10.若集合A={xeZW＜x＜4}有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為()

A.[-1,0)B.(-1,0]C.(-1,0)D.[-1,0]

11.已知集合人={1/6,84，3={1,/},則滿(mǎn)足A8=8的實(shí)數(shù)"的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

12.設(shè)集合A=,8={尤[1＜》＜10},則中元素的個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

13.設(shè)集合M={2〃L1,"L3},若—3eM,則實(shí)數(shù)根=()

A.0C.0或-1D.0或1

14.己知集合"=1x|2xeZj,則McN=()

A.{0,1}C.D.

J，*」

15.1，則實(shí)數(shù)。所有取值的集合為()

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1)

16.已知集合4={左|1＜尤＜2024},B^{x\x＜a\,若A=則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

A.(2024,+oo)B.[2024,+oo)c.(-oo,2024]D.(-8,2024)

17.下列語(yǔ)句中，命題的個(gè)數(shù)是()

①空集是任何集合的真子集；②請(qǐng)起立；

③-1的絕對(duì)值為1;④你是高一的學(xué)生嗎？

A.0B.1C.2D.3

18.若“無(wú)＞。”是“x＞l”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-℃,1)B.C.(1,+co)D.[l,+oo)

二、填空題

19.已知集合4={引1＜工＜4"€?^,用列舉法表示A為.

20.設(shè)全集。={1,2,3,4,5},集合A={2,4},則司=.

21."x＞l或，＞1”的否定形式為.

22.已知全集。={2,3,七+20-3},4={卜+1|,2},北={5},則.

23.用反證法證明命題：“已知Y+y2Wi,則因＜1且Nwr，時(shí)，應(yīng)假設(shè).

24.已知p是q的充分非必要條件，q的充要條件是小貝卜是p的條件.

25.A=[x\a-\<x<a+}^,8={尤|尤>5或x<-l},且則。的取值范圍是.

26.已知￡：-2<*<5,尸:3。-24”42°,且。的充分不必要條件是夕，貝M的取值范圍是.

27.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},M={1,3,6},P={3,4,5},指出Venn圖中陰影部分表示的集合是.

28.設(shè)集合U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},3={2,3,5},則圖中陰影部分表示的集合的真子集個(gè)數(shù)為.

29.如圖，已知U是全集，A、B、C是U的三個(gè)子集用交、并、補(bǔ)關(guān)系將圖中的陰影部分可表示為

30.己知U是全集，M/S是U的三個(gè)子集，用交、并、補(bǔ)關(guān)系將圖中的陰影部分表示出來(lái)

31.“掃碼支付”“高鐵”“網(wǎng)購(gòu)”與“共享單車(chē)”被稱(chēng)為中國(guó)的“新四大發(fā)明”.某中學(xué)為了了解本校學(xué)生中“新四大發(fā)明”的

普及情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中使用過(guò)“掃碼支付”或“共享單車(chē)”的學(xué)生共有90位，使用過(guò)“掃碼支付”的學(xué)

生共有80位，使用過(guò)“共享單車(chē)”且使用過(guò)“掃碼支付”的學(xué)生共有60位，則這100位學(xué)生中使用過(guò)“共享單車(chē)”的學(xué)

生共有_____位.

32.某水果店統(tǒng)計(jì)了連續(xù)三天售出水果的種類(lèi)情況：第一天售出15種水果，第二天售出了12種水果，第三天售出

14種水果，前兩天售出相同種類(lèi)的水果有7種，后兩天售出相同種類(lèi)的水果有6種.那么該水果這三天售出的水果

至少有種.

專(zhuān)題01集合與邏輯(講義)

01知識(shí)梳理

一、集合及其運(yùn)算

1.集合的特性：集合中的元素具有確定性、無(wú)序性、互異性；

2.列舉法：將集合中的元素一一列舉出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法；

3.描述法：將集合中元素的通性描述出來(lái)寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法；通式：{x|x滿(mǎn)足P}；讀法：滿(mǎn)足條

件P的x的集合；

4.空集。是不含任何元素的集合；它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；

5."G,療表示元素與集合間的從屬關(guān)系；“u,表示集合與集合間的包含關(guān)系.

6.給出下列條件：

①集合A中任何一個(gè)元素都是集合B中的元素；

②集合B至少存在一個(gè)元素不在集合A中；

③集合B中任何一個(gè)元素都是集合A中的元素，

如果集合A、B滿(mǎn)足①，貝A是B的子集(A￡B)；

如果集合A、B滿(mǎn)足①②，則A是B的真子集(AuB)；

如果集合A、B滿(mǎn)足①③，則A與B是相等的集合(A=B).

注意：①AUB,討論時(shí)別忘A=0的情況；考察集合的關(guān)系借助韋思圖；

②幾個(gè)特殊數(shù)集之間的包含關(guān)系為：NuZc=QuRuC(N*表示正整數(shù)集)；

③正確區(qū)分0、{0}、{0}：0是不含任何元素的集合，即空集。{0}是含有一個(gè)元素0的集合，它不是空集，因?yàn)?/p>

它有一^??元素，這個(gè)元素是0.{0}是含有一^元素0的集合，其關(guān)系為：0u{O},0c{0},0e{0}.

7.集合的含義：

(l)A={x|y=f(x)}表示函數(shù)的定義域；

(2)B=(y|y=f(x)}表示函數(shù)的值域；

(3)C={(x,y)|y=f(x)}表示方程y=f(x)的解的集合，或表示曲線(xiàn)上的點(diǎn)的集合-

8?集合間的基本運(yùn)算：

(1)交集：一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A與B的交集，記作AAB,即AHB=

{x\x^A,且xGB}.

(2)并集：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱(chēng)為A與2的并集，記作AU8,即AU2

={x|xGA,或xGB}.

(3)補(bǔ)集：對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱(chēng)為集合A相對(duì)于全集。的補(bǔ)集，簡(jiǎn)

稱(chēng)為集合A的補(bǔ)集，記作CuA,即CuA={小eU,且xM}.

9.運(yùn)算性質(zhì)：

A￡B,且BUC0AUC；

0cAnB=BnAsA(或B)cAuB=BuA；

APB^AUB；AUB^=AHB;5=U;TT=0

10.幾個(gè)結(jié)論：

L若有限集A中有w個(gè)元素，則A的子集有2"個(gè)，真子集有2"-1個(gè)，非空子集有2"-1個(gè)，非空真子集有2"-2

個(gè)

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3.容斥定理：記集合M中的元素的個(gè)數(shù)為Card(M)，則Card(AUB)=Card(A)+Card(B)-Card(AClB)(可

推廣到有限個(gè)集合)

11,正整數(shù)(整數(shù))分類(lèi)：被2整除與否可分為2k-l,2k(kGN(或Z),k>l)；

被3整除與否可分為3k-2,3k-l,3k(keN(或Z),k>l)；

被4整除與否可分為4k-3,4k-2,4k-1.4k(k4N(或Z),k>l)；其余依此類(lèi)推.

二、命題

1.命題的概念

一般地，在數(shù)學(xué)中，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題.其中判斷為真的語(yǔ)

句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題

2.命題的形式

在數(shù)學(xué)中，“若P，則q”是命題的常見(jiàn)形式，其中P叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論.

3.真命題，假命題

命題：“若P，則q”,如果由題設(shè)p能夠推出結(jié)論q,我們稱(chēng)這個(gè)命題是真命題，反之則稱(chēng)這個(gè)命題是假命題.

溫馨提示

一個(gè)語(yǔ)句是命題應(yīng)具備兩個(gè)條件:一是陳述句;二是能夠判斷真假.一般來(lái)說(shuō)，疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句等都不是

命題，

(2)對(duì)于含有變量的語(yǔ)句，要注意根據(jù)變量的取值范圍，看能否判斷真假，若能，則是命題；若不能，則不是

命題。

⑶還有一些語(yǔ)句，目前無(wú)法判斷真假，但從事物的本質(zhì)而論，這些語(yǔ)句是可辨別真假的，尤其是科學(xué)上的一

些猜想等，這類(lèi)語(yǔ)句也叫做命題。

(4)數(shù)學(xué)中的定義、公理、定理和推論都是命題。

⑸要判定一個(gè)命題是真命題，一般需要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理論證，在判斷時(shí)，要有理有據(jù)，有時(shí)應(yīng)綜合各種情況

作出正確的判斷。而判定一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可

三、充分條件與必要條件

1.充分條件與必要條件

一般地，“若P，則q”為真命題，是指由p通過(guò)推理可以得出q,記作“p=q”，這時(shí)稱(chēng)p是q的充分條件,q是

P的必要條件如果“若p,則q”為假命題，那么由p推不出q,記作p分q,這時(shí)稱(chēng)p不是q的充分條件，q不是p

的必要條件.

2.充要條件

一般地,如果既有p=q,又有q今P，就記作p=q.此時(shí)，我們說(shuō)p是q的充分必要條件,簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件.顯然，

如果P是q的充要條件，那么q也是P的充要條件.概括地說(shuō)，如果poq,那么P與q互為充要條件.

3.常見(jiàn)的四種條件與命題真假的關(guān)系

如果原命題為“若P，則q"，逆命題為“若q,則p"，那么p與q的關(guān)系如下:__________________________

原命題逆命題P與q的關(guān)系結(jié)論

真假p=>q且q分pp是q的充分不必要條件

假真p分q且q=pp是q的必要不充分條件

真真p今q且q今pP是q的充要條件

假假p#q且q分pP是q的既不充分也不必要條件

四、證明命題成立的方法

1.綜合法、分析法

內(nèi)容綜合法分析法

從命題的條件出發(fā)，利用定義、公從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探

理、定理及運(yùn)算法則，通過(guò)演繹推索保證前一個(gè)結(jié)論成立的充分條

定義理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，件，直到歸結(jié)為這個(gè)命題的條件，

直到完成命題的證明.我們把這樣或者歸結(jié)為定義、公理、定理等.我

的思維方法稱(chēng)為綜合法們把這樣的思維方法稱(chēng)為分析法

實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因

|QUPI|T|PI=P2|

框圖

得到一個(gè)明顯

表ZF

T…一成立的條件

文字要證……只需證……

因?yàn)椤浴蛴伞谩?/p>

語(yǔ)言即證……

2.反證法

⑴反證法的定義：在假定命題結(jié)論的反面成立的前提下，經(jīng)過(guò)推理，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾,

或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說(shuō)明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的

方法叫反證法.

⑵反證法的證題步驟：

①作出否定結(jié)論的假設(shè)；②進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；③否定假設(shè)，肯定結(jié)論.

3.常見(jiàn)詞語(yǔ)的否定詞語(yǔ)

等于大于小于至多至多至少

原詞是都是

(=)(>)(<)

有一個(gè)有n個(gè)有一個(gè)

不等于不大于不小于至少有至少有一個(gè)也

否定不是不都是

(力(<)(>)

兩個(gè)(n+1)個(gè)沒(méi)有

02蹤訓(xùn)練

一、單選題

1.下列四個(gè)命題中，其中真命題的個(gè)數(shù)為()

①與0非常接近的全體實(shí)數(shù)能構(gòu)成集合；

②{T,(T)2}表示一個(gè)集合；

③空集是任何一個(gè)集合的真子集；

④任何一個(gè)非空集合至少有兩個(gè)子集.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)集合定義，空集性質(zhì)以及非空集合子集個(gè)數(shù)為2"即可得結(jié)果.

【解析】①與。非常接近的全體實(shí)數(shù)不確定，所以不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；

②{一1,(-1)2}={-!,1},正確；

③空集是任何非空集合的真子集，錯(cuò)誤；

④對(duì)于非空集合，至少有一個(gè)元素，所以子集的個(gè)數(shù)為2"22,正確.

故選：C

2.下列命題中正確的是()

①。與{0}表示同一個(gè)集合

②由1,2,3組成的集合可表示為{1,2,3}或{3,2,1}

③方程(x-1/(%-2)=0的所有解的集合可表示為(1,1,2}

④集合{N4<x<5}可以用列舉法表示

A.只有①和④B.只有②和③C.只有②D.以上都對(duì)

【答案】C

【分析】由集合的表示方法判斷①，④；由集合中元素的特點(diǎn)判斷②，③.

【解析】解：對(duì)于①，由于“0”是元素，而“{。}”表示含0元素的集合，而。不含任何元素，所以①不正確;

對(duì)于②，根據(jù)集合中元素的無(wú)序性，知②正確；

對(duì)于③，根據(jù)集合元素的互異性，知③錯(cuò)誤；

對(duì)于④，由于該集合為無(wú)限集、且無(wú)明顯的規(guī)律性，所以不能用列舉法表示，所以④不正確.

綜上可得只有②正確.

故選：C.

3.下列集合中表示同一集合的是()

A.M={(3,2)},N={(2,3)}B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=l}

C.M={1,2},N={(1,2)}D.M={y|y=f+3},N=[x\y=y[^3]

【答案】D

【分析】根據(jù)集合的定義，依次分析選項(xiàng)即得.

【解析】對(duì)于A,兩個(gè)集合都為點(diǎn)集，（3,2）與（2,3）是不同點(diǎn)，故/、N為不同集合，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,M是點(diǎn)集,N是數(shù)集，故M、N為不同集合，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,M是數(shù)集，N是點(diǎn)集，故M、N為不同集合，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,Af={y|y=x2+3}=[3,-H?）,N={x|y=J尤-3}=[3,+oo）,故M、N為同一集合，故D正確.

故選：D.

4.已知集合4={尤|尤2-x=0},則-1與集合A的關(guān)系為（）

A.-IGAB.-l^AC.-1￡AD.-1（ZA

【答案】B

【分析】把集合A用列舉法表示出來(lái)，利用元素和集合是屬于或不屬于的關(guān)系，就能判斷選項(xiàng).

【解析】A={X|X2-X=0}={0,1}

二-1eA

故選：B

5.設(shè)a,6eR,集合{-l,a+b,-a}=jo,：,b},則。+6=（）

A.1B.-1

C.0D.-2

【答案】C

【分析】根據(jù)集合相等即可得出答案.

【解析】因?yàn)閧-1間+a-磯=，,：，4，awO,所以。+6=0.經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了由集合相等求參數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題.

6.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},若集合M滿(mǎn)足{1,4}1e"，則（）

A.41MB.UM

C.2cMD.3^M

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系及補(bǔ)集的定義判斷即得.

【解析】全集U={1,2,3,4,5},由{1,4仁30，知1?瘵％4,M,則1任匠,4。生,A錯(cuò)誤，B正確；

不能判斷2eM,也不能判斷3把/,CD錯(cuò)誤.

故選：B

7.已知六個(gè)關(guān)系式①0e{0}；②0a。}；③網(wǎng)友。；@020；⑤0={0};⑥0/{0},它們中關(guān)系表達(dá)正確

的個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)、元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷各關(guān)系式的正誤.

【解析】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：

。是｛0｝的一個(gè)元素，故0e｛。｝,①正確；

0是任何非空集合的真子集，故0?｛0｝、｛。｝30,②③正確；

。沒(méi)有元素，故。比0,④正確；且0片｛0｝、0/｛0｝,⑤錯(cuò)誤，⑥正確；

所以①②③④⑥正確.

故選：C

8.若集合A={x|23-3>0,zn￡R},其中2￡%且leA,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（

33333333

A.B.C.D.

452“5492492

【答案】A

【分析】借助元素與集合的關(guān)系計(jì)算即可得.

2mx2-3>033

【解析】由題意可得,解得'相了

2mxl-3<0

故選：A.

9.設(shè)集合加=則集合M的真子集個(gè)數(shù)為（）

A.8B.7C.32D.31

【答案】B

【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合知=｛-2,-1,0｝,結(jié)合集合真子集的求法，即可求解.

【解析】由不等式土二＜。，解得-3＜》＜1,

因?yàn)閤eZ,所以"=｛—2,—1,0｝,

所以集合M的真子集個(gè)數(shù)為23-1=7.

故選：B.

10.若集合A=｛xeZ[m＜x＜4｝有15個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

A.[-1,0）B.（-1,0]C.（-1,0）D.[-1,0]

【答案】A

【分析】根據(jù)真子集的定義可得集合A中有4個(gè)元素，得解.

【解析】因?yàn)榧螦有15個(gè)真子集，所以集合A中有4個(gè)元素，所以-IV相＜0.

故選：A.

11.已知集合A={1,16,8“},B={l,fl4},則滿(mǎn)足A8=8的實(shí)數(shù)。的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根據(jù)集合運(yùn)算得集合關(guān)系，結(jié)合集合元素的性質(zhì)分類(lèi)討論求解即可.

【解析】依題意，BcA,若/=16,解得。=-2（。=2時(shí)不滿(mǎn)足集合的互異性，舍去），

若/=8°,解得。=0=2時(shí)不滿(mǎn)足集合的互異性，舍去）,

綜上所述，a=0或〃=-2.

故選：B

12.設(shè)集合A=={劃則AcB中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】

先求出集合A,再求交集即可.

【解析】

依題意可得A={-8,<-2,—1,1,2,4,8},

則Ac3={2,4,8},則AcB中元素的個(gè)數(shù)為3.

故選：B.

13.設(shè)集合Af={2"2-1,加一3},若一則實(shí)數(shù)相=（）

A.0B.-1C.0或-1D.0或1

【答案】C

【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論2m-1=-3和旭-3=-3兩種情況，求解加并檢驗(yàn)集合的互異性，可得到

答案.

【解析】設(shè)集合加={2租-1,，〃-3},若-3e『,

.—3GM,:.2in—1=—3m—3=—3,

當(dāng)2zn—1=—3時(shí)，m=-l,此時(shí)M={—3,—4}；

當(dāng)m一3=-3時(shí)，m=0,此時(shí)M={-3,-1}；

所以機(jī)=-1或0.

故選：C

14.已知集合M=1d—|<xWl,,N={R2x￡Z},則AfcN=（）

d,oa

A-{°』B.V!cH'e>-K4}

【答案】D

【分析】由交集的定義求解.

【解析】集合M=1x—<xW，,N={x|2xeZ},則McN=>;.

故選：D

15.已知集合{尤1卜-。2）（犬-1）=（）}的元素之和為],則實(shí)數(shù)°所有取值的集合為（）

A.{0}B.{1}C.{-1,1}D.{0,-1,1）

【答案】D

【分析】根據(jù)集合中元素和為1,確定一元二次方程的根，即可得出。的取值集合.

【解析】因?yàn)榧喜?（》-叫（龍-1）=。}的元素之和為1,

所以一元二次方程卜-“2）（彳-1）=0有等根時(shí)，可得尤="=1,即。=±1,

當(dāng)方程有兩不相等實(shí)根時(shí)，x=a2=0,即。=0,

綜上，實(shí)數(shù)a所有取值的集合為{0,1,-1}.

故選：D

16.已知集合4="|1<無(wú)<2024},B^{x\x<a\,若A=則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）

A.（2024,—）B.[2024,+oo）C.（^,2024]D.（—8,2024）

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關(guān)系求解即得.

【解析】集合A={x[l<x<2024},B={x\x<a],又A=B,貝!!a22024,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2024,+8）.

故選：B

17.下列語(yǔ)句中，命題的個(gè)數(shù)是（）

①空集是任何集合的真子集；②請(qǐng)起立；

③-1的絕對(duì)值為1;④你是高一的學(xué)生嗎？

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】

根據(jù)命題的概念逐一判斷.

【解析】

①③是命題；②是祈使句，不是命題；④是疑問(wèn)句，不是命題.

故選：C.

18.若“尤>?！笔恰皒>l”的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為()

A.(-oo,l)B.(-co,l]C.(1,+co)D.[1,+co)

【答案】A

【分析】由題意可得{無(wú)以>1}耳卜區(qū)>a},再根據(jù)集合的包含關(guān)系求參即可.

【解析】因?yàn)椤皒>?！笔恰皒>1”的必要不充分條件，

所有{尤,>1}耳卜門(mén)>。},所以a<1,

即實(shí)數(shù)。的取值范圍為(f』).

故選：A.

二、填空題

19.已知集合4=卜|1<》<4,天€?4},用列舉法表示A為.

【答案】{2,3,4}

【分析】根據(jù)集合的意義直接表示集合A.

【解析】A={x|l<x<4,.reN}={2,3,4),

故答案為：{2,3,4}.

20.設(shè)全集U={1,2,3,4,5},集合4={2,4},則」=.

【答案】{1,3,5}

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可求

【解析】由題設(shè)有其={1,3,5},

故答案為：{1,3,5}

21."x>l或>>1”的否定形式為.

【答案】“E且”1”

【分析】直接由或命題的否定法則進(jìn)行否定即可得解.

【解析】由題意*】>1或y>i”的否定形式為“xwi且好1”.

故答案為："x<l且ywi”.

22.己知全集"={2,3,/+2a-3},4={,+[,2},^={5},則。=.

【答案】-4或2

【分析】由補(bǔ)集運(yùn)算法則可知需滿(mǎn)足解出。的取值代入檢驗(yàn)即可得出結(jié)果.

[a+2a-3=5

【解析】根據(jù)題意可知，需滿(mǎn)足打尸「解得a=T或。=2；

[a+2〃-3=5

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=-4時(shí)，U={2,3,5},A={3,2},Z={5},滿(mǎn)足題意；

當(dāng)a=2時(shí)，U={2,3,5},A={3,2},Z={5},滿(mǎn)足題意；

故答案為：T或2

23.用反證法證明命題：“已知Y+y24i,則卜區(qū)1且卜歸1"時(shí)，應(yīng)假設(shè).

【答案】國(guó)>1或|y|>L

【分析】利用反證法的概念直接求解.

【解析】用反證法證明命題：“已知V+y24I,則同41且國(guó)41”時(shí)，

應(yīng)假設(shè)：國(guó)>1或可>1.

故答案為：W>1或|y|>L

24.己知。是4的充分非必要條件，4的充要條件是r,則r是P的條件

【答案】必要非充分

【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.

【解析】由題意，p=qor,但。所以，r是P的必要非充分條件.

故答案為：必要非充分.

25.A={x|a-l<x<o+l},8={尤|尤>5或x<-l},且則。的取值范圍是.

【答案】。<0或。>4

【分析】根據(jù)條件及集合的運(yùn)算，借助數(shù)軸，即可求出結(jié)果.

【解析】因?yàn)锳={x|aT（元<。+1},8={x|x>5或x<-l},且ACJBH。，

由圖知。一1<-1或a+l>5,得至！Ja<0或。>4,

-IO