2023年北京市初三二模數(shù)學(xué)試題匯編：平行四邊形章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編平行四邊形章節(jié)綜合一、解答題1．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）已知：如圖1，直線AB及AB外一點．

求作：直線，使得．作法：如圖2，①在直線上任取一點C，連接；②C為圓心，長為半徑作弧，交直線于點D；③分別以點P，D為圓心，長為半徑作弧，兩弧在直線外交于一點Q；④作直線．直線就是所求作的直線．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接．__________，四邊形是__________形（__________）（填推理的依據(jù)）．2．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，點O為的對角線的中點，直線l繞點O旋轉(zhuǎn)，當時，與邊分別交于點E，F(xiàn)，連接．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的面積．3．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）已知：如圖1，線段a，b．求作：矩形ABCD，使得，．

作法：如圖2．

1．在直線上截?。?．過點B作直線，在直線m上截?。?．分別以點A和點C為圓心，b，a的長為半徑畫弧，兩弧的交點為D．(點D與點C在直線的同側(cè))4．連接．則四邊形為所求的矩形．根據(jù)上面設(shè)計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，在圖2中補全圖形(保留作圖痕跡)；(2)完成下面的證明：證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形(___________)．(填推理的依據(jù))∵直線，∴___________，∴四邊形ABCD是矩形(___________)．(填推理的依據(jù))．4．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）下面是曉彤在證明“平行四邊形的對角相等”這個性質(zhì)定理時使用的三種添加輔助線的方法，請你選擇其中一種，完成證明．平行四邊形性質(zhì)定理：平行四邊形的對角相等．

已知：如圖，．求證：，．方法一：證明：如圖，連接AC．

方法二：證明：如圖，延長BC至點E．

方法三：證明：如圖，連接AC、BD，AC與BD交于點O．

5．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點，連接交于點是上的一點，且，連接．

(1)求證：；(2)求證：是的切線．6．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的對角線相交于點O，過點D作的平行線交的延長線于點E．

(1)求證：；(2)連接，若，，求的長．7．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）如圖，在菱形中，對角線交于點，點是過點作的平行線與過點作的垂線（垂足為）的交點.(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)連接，求證：四邊形是矩形.

參考答案1．(1)見解析(2)，菱，四邊相等的四邊形是菱形【分析】（1）根據(jù)題意，按照步驟補全作圖即可；（2）根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：直線如下圖所示：

（2）證明：連接．

，四邊形是菱形（四邊相等的四邊形是菱形）．．故答案為：，菱，四邊相等的四邊形是菱形．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)作圖方法判斷出．2．(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)證明得再證明四邊形是平行四邊形，最后根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形進行證明即可；（2）過點C作交延長線于點H，求出，再根據(jù)菱形的面積計算公式求解即可．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，∴∵O為的中點，∴在和中，，∴∴∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是菱形，（2）過點C作交于點H，

∴°，∵四邊形是菱形，∵，∴，∴，∵，∴，∴的面積【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)和以及菱形面積求法等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．3．(1)見解析(2)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；；有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．【分析】（1）按照步驟操作即可；（2）根據(jù)矩形的判定定理推導(dǎo)，填空即可.【詳解】（1）解：補全圖形如下：

（2）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形(兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形)．∵直線，∴，∴四邊形ABCD是矩形(有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形)．故答案是：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；；有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，矩形的判定，掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．4．見解析【分析】方法一：通過證明△與△全等即可證明角相等；方法二：利用平行線的性質(zhì)及互補的關(guān)系即可；方法三：利用兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)解題即可．【詳解】方法一：證明：∵，

∴∴∴即在△與△中∴∴方法二：證明：∵，∴∴

∴又∵，∴方法三：證明：∵，

∴∴∴，即【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)的運用，能夠熟練運用平行四邊形的性質(zhì)得到三角形全等及角度的等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．5．(1)見解析；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角及菱形的性質(zhì)得到點是的中點即可解答；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)及全等三角形的判定得到，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，最后利用四邊形的內(nèi)角和及切線的判定即可解答．【詳解】（1）解：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴點是的中點，∴；

（2）解：連接，

∵四邊形是菱形，∴，，∴在和，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴在四邊形中，，∴，∴，∴是的切線．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角所對的圓周角是，等腰三角形的性質(zhì)，切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)矩形的對角線相等可得，對邊平行可得，再證明出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等可得，從而得證；（2）如圖，過點O作于點F，欲求，只需在直角中求得的值即可．結(jié)合三角形中位線求得，結(jié)合矩形、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理求得即可．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，∴，又∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴；（2）如圖，過點O作于點F，

∵四邊形是矩形，∴點O是的中點，∴∴∴，∴點是的中點，∴是的中位線，∴又∵四邊形是平行四邊形，∴．∴．在中，由勾股定理可得：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并求出四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．7．(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，進而可得，根據(jù)兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）先證四邊形是平行四邊形，再根據(jù)可證四邊形是矩形．【詳解】（1