2024-2025學年重慶市南開中學高一數(shù)學上學期開學考試卷（附答案解析）

2024-2025學年重慶市南開中學高一數(shù)學上學期開學考試卷

（試卷滿分：100分時間：90分鐘）

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.一個四邊形的四邊長依次為b,c,d,且（"—°）+M—M=°,則這個四邊形一定為（）

A.平行四邊形B.矩形

C.菱形D.正方形

2.若4d—（4+1）%+9能用完全平方公式因式分解，則左的值為（）

A.±6B.±12c.—13或11D.13或—n

3.把1+2孫+丁分解因式的結(jié)果是（）

A.(x+l)(x-l)+y(2x+y)B.(%+y+l)(x-y-l)

C.(x-y+l)(%-y-l)D.(x+y+l)(x+y-l)

4.回xJg+M的結(jié)果在哪兩個連續(xù)整數(shù)之間（）

A.7與8B.8與9C.9與10D.10與11

5.將拋物線y=/_2x+3通過某種方式平移后得到拋物線y=（%-4）2+4,則下列平移方式正確的是

（）

A.向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度

B.向上平移2個單位長度，再向右平移2個單位長度

C.向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度

D.向上平移3個單位長度，再向右平移1個單位長度

h—1a—]

6.若實數(shù)awb,且a,6滿足/一8。+5=0，ZJ2-8Z?+5=O＞貝!1代數(shù)式--+----值為（）

a-1b-1

A.2B.-20C.2或一20D.2或20

,3

7.若不等式2區(qū)2+6一：＜o對一切實數(shù)》都成立，則實數(shù)左的取值范圍是（）

A—3（左＜0B.—3WZW0C.—3＜ZW0D.%＜—3或左之0

1

x-a,八

------1>0

2

8.若關(guān)于尤的不等式組〈無解，且一次函數(shù)y=（a—5）x+（2—a）的圖象不經(jīng)過第一象限,

4。+2x<2

3-<

則符合條件的所有整數(shù)a的和是（）

A.7B.8C.9D.10

二、選擇題：本題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.我們定義一種新函數(shù)，形如y=|依2-4ac>0）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù).小麗同學

畫出了“鵲橋”函數(shù)y=2x-3］的圖象（如圖所示），并寫出下列四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）

A.圖象與y軸的交點為（0,3）

B.圖象具有對稱性，對稱軸是直線x=l

C.當一1<%<1或X23時，函數(shù)值y隨x值增大而增大

D.當x=l時，函數(shù)的最大值是4

10.己知不等式3加+2ax+l>0，則下列說法正確的是（）

A.若a=—1,則不等式的解集為1-L；

B.若不等式的解集為1-2,：

貝!JQ=--

8

C.若不等式的解集為（％,%），則占4〉0

D.若不等式的解集為（玉,%）"無+玉|+|九—司之耳

11.已知拋物線丁=3代—加+c,當X=1時，y<Q；當X=2時，y<Q.下列說法正確的是（）

A.b2<2c

2

3

B.若c〉l，則

2

c.已知點4(774,4),6(7%,4)在拋物線+c上，當叫<?<〃時，nx>n2

D.若方程］必—法+c=0的兩實數(shù)根為王,々，則%+々〉3

三、填空題：本題共3小題，每小題3分，共9分.

12.多項式2x?—4孫+4y~+6x+25的最小值為.

13.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，b,c,已知bsinAcosC=Lasin3,ab=6,則△ABC

2

的面積為.

14.對于每個x,函數(shù)y是％=-x+6,%=-2必+4x+6這兩個函數(shù)的較小值，則函數(shù)y的最大值是

四、解答題：本題共5小題，共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.己知關(guān)于x的一元二次方程d—2"+/+2=2(1—另有兩個實數(shù)根項,馬.

(1)求實數(shù)左的取值范圍；

(2)若方程兩個實數(shù)根毛,％,滿足|%+%|=%%一6，求上的值.

16.已知函數(shù)y=2x+a.

x+1

(1)當%>—1時，函數(shù)值y隨工的增大而增大.求〃的取值范圍；

⑵若。=1,求xe［0,2］時，函數(shù)值y的取值范圍.

17.已知二次函數(shù)y=奴2+6x+c的圖象經(jīng)過點A(2,c),

(1)求該拋物線的對稱軸；

(2)若點(〃,％)和點5—2,%)均在該拋物線上，當“<2時.請你比較打，為的大??；

(3)若c=l,且當—時，y有最小值;，求。的值.

1

18.己知~7=,求2a2—8a+l的值，小明是這樣分析與解答的：

2+V3

1_2-6_°仄

‘??”"飛囚(2_司73,

3

??a-2=—y/3，

?**(a-2)2=3,即/-4。+4=3，

a2—4a=-1，

???2/—8Q+1=2(/—4〃)+i=2x(-1)+1=-1.

請你根據(jù)小明的分析過程，解決如下問題:

1

(1)若。二不一］，求3〃的值;

口）求萬山+及五+國晨行++7100+799值

（3）比較J2025—J2024與J2024—42023的大小，并說明理由.

19.己知某二次函數(shù)圖象的頂點坐標為（3,T）,且圖象經(jīng)過點（0,5）.

（1）求該二次函數(shù)的解析式，

（2）若當時，該二次函數(shù)的最大值與最小值的差是9,求才的值；

（3）己知點M（2,m）,N（5,-4）,若該函數(shù)圖象與線段MN只有一個公共點，求用的取值范圍.

4

【答案】

1.A

【分析】由非負數(shù)和為零的意義得a-c=0,b-d=O,由平行四邊形的判定方法即可求解.

【詳解】(a—。7+忸―d|=0,

/.ci—c=0,b—d=0,

a=c,b=d,

四邊形一定是平行四邊形.

故選：A.

2.C

【分析】由題意可知，關(guān)于X的方程4/—(左+l)x+9=0有兩個相等的實根，可得出A=0,即可求

得實數(shù)人的值.

【詳解】由題意可知，關(guān)于x的方程4——優(yōu)+1b+9=0有兩個相等的實根，

則△=(左+1)2—4x4x9=(k+1)2—12?=0,解得上=11或一13.

故選：C.

3.D

【分析】觀察發(fā)現(xiàn)：一、三、四項一組，符合完全平方公式，然后運用平方差公式繼續(xù)分解.

【詳解】x2-l+2xy+y2=(x2+2孫+丁)—1=(x+y)2-l=(x+y+1)(%+y-1).

故選：D.

4.C

【分析】根據(jù)二次根式的乘法和二次根式的性質(zhì)化簡再估算血的大小，進一步求解.

【詳解】回義《+灰=5后義5+3&=5+3后，

V2?1.414-

;.4<3形<5，

.-.9<5+3V2<10.

故選：C.

5

5.A

【分析】將原二次函數(shù)整理為用頂點式表示的形式，根據(jù)二次函數(shù)的平移法則即可判斷.

【詳解】函數(shù)y=J—2x+3=(x—1了+2,對稱軸軸為x=l,頂點為(1,2),

函數(shù)y=(x—4,+4,對稱軸為x=4,頂點為(4,4),

故將拋物線y=Y-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度，

得到,=(%—4)2+4的圖象.

故選：A

6.B

【分析】

b—1a—1

利用韋達定理可求——+--的值.

a-1b-1

【詳解】因為4―8々+5=0，〃―8人+5=0,故為方程8X+5=0的兩個根，

i^a+b=S,ab=5.

又b-la-1僅-1)2+一2(〃+6)一2ab+2

a—1b—1ab—(〃+Z?)+lab—++1

64-16-10+2.

=--------------二-20,

5-8+1

故選：B.

【點睛】本題考查一元二次方程的解、韋達定理，注意利用同構(gòu)的思想來構(gòu)建方程，另外注意將代數(shù)式

整合成與兩根和、兩根積有關(guān)的代數(shù)式，本題屬于基礎(chǔ)題.

7.C

3

【分析】由2日92+丘一§<0對一切實數(shù)x都成立，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)分類討論進行求解.

3

【詳解】解：2"29+丘一§<0對一切實數(shù)x都成立，

3

①左二0時，——<0恒成立，

8

快<。

②左00時，L,,c,C，解得一3(左<0,

A=k+3k<0

綜上可得，—3〈女W0,

故選：C.

6

8.C

【分析】先解不等式組求出。的取值范圍,再根據(jù)一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第一象限求出a的取值范圍，從

而可得符合條件的所有整數(shù)然后求和即可得到答案.

-1>00

【詳解】因為窘+2工三，

解不等式①得：x>a+2,

解不等式②得：x<3-2a,

此不等式組無解，

a+2?3—2a,解得a2—,

3

一次函數(shù)y=(a—5)x+(2—a)的圖象不經(jīng)過第一象限，

a—5<0

解得2<a<5,

2-a<0

綜上所述：2<a<5,

所以符合條件的所有整數(shù)。的和是2+3+4=9

故選：C

9.ABC

【分析】代入檢驗函數(shù)圖象上的點判斷選項A；觀察圖象結(jié)合二次函數(shù)對稱軸公式求解選項B；觀察圖

象變化情況判斷選項C；由函數(shù)圖象得最值情況判斷選項D.

【詳解】對于A,點(0,3)的坐標滿足函數(shù)y=2x-3|,所以函數(shù)圖象與y軸的交點為(0,3),A選項

正確；

對于B,觀察圖象可知，圖象具有對稱性，對稱軸用二次函數(shù)對稱軸公式求得是直線x=l,故B選項正

確；

對于C,根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當-1<工<1或X23時，函數(shù)值y隨x值的增大而增大，故C選

項正確；

對于D,由圖象可知，當x<-1時，函數(shù)值y隨x值的減小而增大，當x>3時，函數(shù)值y隨尤值的增大

而增大，

均存在大于頂點縱坐標的函數(shù)值，故當x=l時，函數(shù)值4并非最大值，D選項不正確.

故選：ABC.

7

10.ABD

【分析】對于A解一元二次不等式即可判斷，對于BC根據(jù)不等式的解集可知對應一元二次方程的根,

由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可判斷，對于D,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及絕對值不等式即可判斷.

【詳解】對于A,a=—1時，不等式—3必—2x+l>0,即3f+2萬—1<0,即(3x—l)(x+l)<0,

解得—,所以不等式的解集為，A正確;

3七

對于B,若不等式的解集為1-2,g],則二次函數(shù)丁=3以2+2℃+1的圖象開口向下，即。<0,

4141

且女次？+2av+l=0方程的兩根為—2,二,故3^=—2義二,所以。=一二,B正確；

33a38

對于C,若不等式的解集為(石,9)，則二次函數(shù)y=3以？+2奴+1的圖象開口向下，即。<0,

且3ax2+2依+1=0方程的兩根為西,々，故玉々=’-<0，C錯誤；

對于D,若不等式的解集為(玉,士),則二次函數(shù)y=3奴2+2奴+1的圖象開口向下，即。<0,

2

且3依2+2℃+1=0方程的兩根為國,々，故國+%=—]，

當且僅當(x+%)(x—/)W0時，等號成立，D正確.

故選：ABD.

11.BC

【分析】對于A,利用根的判別式可判斷；對于B,把x=1,代入，得到不等式，即可判斷；對于C,求得拋

物線的對稱軸為直線X=瓦利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷;對于D,利用根與系數(shù)的關(guān)系即可判斷.

【詳解】對于A,a=—>0,開口向上，且當x=l時，y<0；當x=2時，y<0,

2

1

拋物線y=-x9-bx+c與x軸有兩個不同的交點，

2

A=/-4ac-b1-2c>Q,

」./?2>2c,故A不正確；

對于B,當x=1時，y<0,

8

—/?+c<0,即b>—Fc,

22

3

C>1.故B正確；

2

1

對于C,拋物線y=-x92-bx+c的對稱軸為直線x=b，且開口向上，

當x<b時，V的值隨犬的增加反而減少，

.,.當叫<7%<6時，%>%,故?正確；

對于D,方程萬必-法+c=0的兩實數(shù)根為石,々，

玉+%2=2〃，

3

當c>1時，b>一，「.玉+%2〉3,

2

但當c<1時，則b未必大于|，則玉+々>3的結(jié)論不成立，故D不正確；

故選：BC.

12.16

【分析】將多項式分別按照％y的二次項與x的二次項進行配方，分析即可求得.

【詳角軍】2x2-4xy+4y2+6尤+25=(%?-4xy+4y2^+(^x2+6x+9)+16

=(x-2y)2+(X+3)2+16,

因?qū)θ我鈱崝?shù)％，y，都有(1—2y)2>0,(x+3)2>0成立，

「f3

x-2y=0y=——

故當且僅當</c，即2時，多項式取得最小值16.

尤+3=0。

、[x=-3

故答案為：16

133A/3

2

【分析】根據(jù)正弦定理化簡人sinAcosC=Lasin3可得.

2

【詳解】由正弦定理，sinBsinAcosC=—sinAsinB,

2

因為sinA>0,sinjB>0,故cosC=

2

又。￡(0,兀)，故。=>|,

9

故SVABC=—absinC=—^~.

故答案為：正

2

14.6

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，在同一平面直角坐標系內(nèi)作出大致圖象，然后根據(jù)圖象即可解答.

【詳解】函數(shù)%=一%+6,%=-2爐+4x+6的圖像如圖，函數(shù)y取兩個函數(shù)的較小值，圖像是如圖

的實線部分，兩個函數(shù)圖像都過（0,6）點.

當xWO時，％<為，函數(shù)y的最大值是6,

2

當x>0時，函數(shù)y無論在％=-》+6上取得，還是y2=-2x+4x+6上取得，總有y<6,即％>0時,

函數(shù)y的圖像是下降的.

所以函數(shù)y的最大值是6.

【分析】（1）利用一元二次方程有實根的等價條件，列出不等式求解即得.

（2）利用韋達定理，結(jié)合已知列出方程并求解即得.

【小問1詳解】

方程V—2"+/+2=2（1—x）,整理得2（左一l）x+左2=o,

由該方程有兩個實數(shù)根內(nèi),々，得△=4（左—Ip—4左2之0,解得上

所以實數(shù)左的取值范圍是％<工.

2

小問2詳解】

由和當是方程X?—2（左一l）x+左2=。的兩個實數(shù)根，得玉+%=2伏—I）,%%=E,

10

而|不+%|=不%2—6，則I2（左一1）|=公一6,由（1）知，2（左一1）<0,

于是產(chǎn)+2左一8=0，又左《二，解得左=T,

所以女的值為Y.

\5'

16.（1）a<2（2）1,-

L3j

【分析】（1）將y=變形為y=2+匕，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可求出。的取值范圍;

x+1x+1

（2）將a=1代入到函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出函數(shù)的值域.

【小問1詳解】

2x+a2（x+l）+a—2a—2

y------------------ZH----,

x+1x+1x+1

因為當x>-1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，

根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可知。-2<0,即a<2,

所以。的取值范圍是a<2.

【小問2詳解】

因為。=1,所以y=上丁二2-----,

x+1X+1

因為當XG[0,2]時，函數(shù)值y隨x的增大而增大，

所以當x=0時，y有最小值2——二=1；當x=2時，y有最大值2=?,

0+12+13

所以當。=1,尤e[0,2]時，函數(shù)值,的取值范圍是1,1.

22

17.（1）x=l；（2）答案見解析；（3）二或——.

39

【分析】（1）把（2,c）代入二次函數(shù)解析式，求出。力的關(guān)系，再求出對稱軸.

（2）把（〃,必）和⑺-2,%）分別代入二次函數(shù)解析式，作差分類即可判斷.

（3）按二次項系數(shù)的正負分類求出最小值即可得解.

【小問1詳解】

由二次函數(shù)_y=以？+6x+c的圖象過點A（2,c）,得4a+2Z?+c=c,解得b=-2a,

b

所以該拋物線的對稱軸為直線％=-L，即X=L

11

【小問2詳解】

由(1)得拋物線的解析式為丁=以2一2以+。，

依題意，％=a”？-2?！?c,%=。("-2)2-2。(〃一2)+c,

則M一%=a/—2cm+c-[tz(n-2)2-2a(n-2)+c]=4t?(n-2),而“<2，

當a>0時，有4a(4-2)<0,因此％<%；

當a<0時，有4aoi-2)>0,因此<>為，

所以當a>0時，M<%；當。<0時，%>為?

【小問3詳解】

由c=l,得拋物線的解析式為y=a?—2ax+l,

當a>0時，則當x=l時，y有最小值，即a—2。+1=,，解得a=2；

33

12

當avO時，即當尤=—1時，y有最小值，即〃+2〃+1=§,解得〃二一§,

22

所以，的值為一或-一.

39

18.(1)2(2)9(3),2025々2024<,2024-32023，理由見解析

1廣r-

【分析】⑴根據(jù)小明的分析過程，?=-7r-T-化為。=b+2,貝Ua—2=逐，兩邊平方得

v5—2

儲_4a=l，由3a之一12。-1=3(4—4a)—1即可求解；

1111

⑵根據(jù)小明的分析過程，將其I+ETET+而晨麗的每一項分母有理化’

即可求得結(jié)果；

⑶因為,2025>(2024〉^2023，可得,2025—J2024〉0，J2024-J2023〉0，由

11

；——t——=72025+V2024,；——.——,=72024+72023,可得結(jié)論.

,2025-,2024,2024—,2023

【小問1詳解】

..a=1=____后+2____=小2

■乒2(拈—2)(百+2)"'

12

??a-2=y/5，

(a-2)2=5,即/—4。+4=5,片—4〃=1,

3a2—12a—1=3(a?—4。)—1=3x1—1=2.

【小問2詳解】

1111

-------------1------------------1------------------1-H----------------------

A/2+1G+0"+百y/lOO+y/99

V2-1月-0A/4-73

------------------------------1--------------------------------------1-------------------------------------

(A/2+1)(V2-1)(V3+72)(73-V2)(A/4+73)(A/4-73)

(^/100+^/99)(^/100-^/99)

=A/2-1+A/3-V2+V4-A/3++^/^00-A/99=V100-1=9.

【小問3詳解】

J2025—42024<J2024—J2023，理由如下：

,/2025>2024>2023,；.。2025>,2024>,2023，

；?J2025-J2024〉0,。2024-12023〉0，

1_J2025+J2024(____,____

??.V2025-V2024=(72025-72024)(72025