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文檔簡(jiǎn)介

福建省福州市2025屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題

一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合4={x|x2-4x-5<0],B={x|0WxW6},則2CB=()

A.{x|-5<%<6}B.{x|-l<x<6]

C.{x|0<x<1}D.{x|0<x<5}

2.已知復(fù)數(shù)z=2i,則|z|=()

A.誓B.1C.依D.5

3.以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),1軸非負(fù)半軸為始邊的角a,其終邊落在直線y=2%上,則()

A.sincr=B.cosa=咯C.tana=2D.sin2a=-g

4.以y=±3%為漸近線的雙曲線可以是()

A.y-y2=1B.x2-^=1C.=1D.y2_'=i

5.如圖,梯形ZBG)的腰CO的中點(diǎn)為E,且記荏=沆而=蔡,則族=()

C

1—>-*1—>-*—*1-*1—*3~*

幾九

A.——乙Tn+2B.—乙Tn+2C.—2m+—乙nD.——乙TIT+—乙n

6.已知圓/+y2+47nx—2my+m=0(meR)與久軸相切,則m=()

A.1B.0或彳C.0或1Dy

7.已知圓錐S。的底面半徑為1,過(guò)高線的中點(diǎn)且垂直于高線的平面將圓錐SO截成上、下兩部分,若截得小

圓錐的體積為噌兀,則圓錐S。的側(cè)面積為()

A.47rB.27rC.避兀D.n

8.大氣壓強(qiáng)p(單位:kPa)與海拔h(單位:機(jī))之間的關(guān)系可以由p=poe-"近似描述,其中po為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓

強(qiáng),k為常數(shù).已知海拔為5000科8000機(jī)兩地的大氣壓強(qiáng)分別為54kPa,36kp.若測(cè)得某地的大氣壓強(qiáng)為

80kPa,則該地的海拔約為()(參考數(shù)據(jù):lg2=0.301,lg3=0.477)

A.295mB.995mC.2085mD.3025m

二、多選題:本題共3小題,共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求。

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29

9.已知(1—2%)9=a。+arx+a2xH---Fa9x,則()

A.a0=1B.a±=18

1+39

C.+。2+…+。9=—1D.+。3+。5+。7+。9=

10.如圖是函數(shù)/(%)=sin(3%+0)的部分圖象,貝!J()

|6V3

A.兀是/⑺的一個(gè)周期B.f⑨=f得)

C/⑨>/(苧)Dj(x)在[0,3用上恰有6個(gè)零點(diǎn)

11.已知函數(shù)/'(X),g(x)均為定義在R上的非常值函數(shù),且。(久)為/'(X)的導(dǎo)函數(shù).對(duì)V久,yeR,f(x+y)+f

(*-y)=2/1(x)/O)且/1(1)=。則()

A./(0)=0B.f(x)為偶函數(shù)

C.g(x)+g(2024-x)=0D.[/(x)]2+[f(l-x)]2=1

三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。

12.已知正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為2,高為避,則其體積為.

13.已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,且點(diǎn)M到直線久=-2的距離為6,則|MF|=.

14.已知等差數(shù)列{斯}的前幾項(xiàng)和為S“"6=-600,當(dāng)且僅當(dāng)幾=30時(shí)S'取得最小值,則{斯}的公差的取值

范圍為.

四、解答題:本題共5小題,共60分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。

15.(本小題12分)

數(shù)列{an}滿足的=2,an+1-3an+2.

(1)證明數(shù)列{斯+1}為等比數(shù)列;

(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和S“.

16.(本小題12分)

已知A/IBC的內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且2acosC=避6cosc+避c.cosB

(1)求角C;

(2)若a=4力=避,。為4B中點(diǎn),求CD的長(zhǎng).

17.(本小題12分)

第2頁(yè),共11頁(yè)

如圖,在四棱錐S—ABC。中,BC1^^SAB,AD//BC,SA=BC=1,SB=也,Z.SBA=45。.

AD

(1)求證:SA1平面ABCD;

(2)若4。=|,求平面SCO與平面SAB的夾角的余弦值.

18.(本小題12分)

已知橢圓W:/+t=l(a>b>0)的離心率為]且過(guò)點(diǎn)(2,0).

(1)求勿的方程;

(2)直線%—/ny+1=0(mH0)交加于4,8兩點(diǎn).

(i)點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,直線BC的斜率為k,證明:[為定值;

(ii)若“上存在點(diǎn)P使得而,而在荏上的投影向量相等,且-PAB的重心在y軸上,求直線的方程.

19.(本小題12分)

閱讀以下材料:

①設(shè)(。)為函數(shù)/O)的導(dǎo)函數(shù).若/'(X)在區(qū)間。單調(diào)遞增;則稱/(%)為區(qū)。上的凹函數(shù);若((無(wú))在區(qū)間。上

單調(diào)遞減,則稱/(久)為區(qū)間。上的凸函數(shù).

②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)P稱為函數(shù)/(%)的,切點(diǎn)”,當(dāng)且僅當(dāng)過(guò)點(diǎn)P恰好能作曲線y=/(%)的k條切線,

其中keN.

(1)已知函數(shù)/'(x)=a/+4―3(2a+l)x2—x+3.

(i)當(dāng)aWO時(shí),討論人(久)的凹凸性;

(九)當(dāng)a=0時(shí),點(diǎn)「在丫軸右側(cè)且為/0)的“3切點(diǎn)”,求點(diǎn)P的集合;

(2)已知函數(shù)g(x)=久e"點(diǎn)Q在y軸左側(cè)且為g(K)的“3切點(diǎn)”,寫出點(diǎn)Q的集合(不需要寫出求解過(guò)程).

第3頁(yè),共11頁(yè)

參考答案

1.D

2.C

3.C

4.B

5.4

6.D

7.B

8.C

9.AD

1Q.ABD

11.BCD

12.3

13.5

14.(24,25)

15.⑴

證明:因?yàn)閍n+i=3冊(cè)+2,所以冊(cè)+1+1=3冊(cè)+3=3(a”+1),

又因?yàn)?+1=3HO,所以等青=3,

數(shù)列{a?+1}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

解:由(1)知即+1=3九,所以冊(cè)=3九一1,

所以Sn=(3+32+33+???+3n)-n=3.占3")f=

16.⑴

因?yàn)?acosC=避bcosC+y/^c?cosB,

由正弦定理,得2sirh4cosc=避sinBcosC+斕cosBsinC

=避sin(B+C)

=/sin(7r—Z)

=退sinA,

第4頁(yè),共11頁(yè)

因?yàn)?<4<7T,貝!JsinZW0,所以cosC=得,

7T

由于OVC<7T,則C=%;

(2)

因?yàn)?。?B中點(diǎn),故而=*不+而),

所以而[2=*褊+兩2

=J|西2+1函2+:函|函cos£

4426

]]1/3

=彳x34--x16+萬(wàn)x"\/3x4x—

44Z2

31

=彳,

所以CD的長(zhǎng)為手.

17.⑴

解法一:在aSAB中,

因?yàn)镾2=1,ASBA=45°,SB=",

由正弦定理,得急而=鼻,所以/=/16,

所以sin/SAB=1,

因?yàn)?°<NS2B<180°,所以NSAB=90°,所以S41AB.

因?yàn)锽C1平面S4B,S4u平面S4B,所以BC1SA,

又BCnZB=B,BC,ABu平面4BCD

所以SA1平面4BCD;

方法二:證明:設(shè)4B=x,在aSAB中,

因?yàn)镾4=1,ASBA=45°,SB=*,

由余弦定理,得SA?=SB2+AB2-2SB-ABcos^SBA,

所以1=2+%2—2"XCOS45°,即%2一2%+1=0,解得x=1.

所以sa2+AB2=SB2=2,所以saiAB.

因?yàn)锽C1平面SAB,SAu平面SAB,

所以BC1SA,

又BCCtAB=B,BC,ABu平面4BCD

第5頁(yè),共11頁(yè)

所以$41平面ABCD;

解法三:設(shè)=X,在aSAB中,

因?yàn)镾2=1/SB4=45°,S8=",

由余弦定理,得S4=SB2+AB2-2SB-ABcos^SBA,

所以1—2+x2-2V2XCOS45",即/—2久+1=0,解得x=1.

fiJr^SA2+AB2=SB2=2,所以S41AB.

因?yàn)锽C1平面S4B,8Cu平面ABCD,

所以平面2BCD_L平面S4B;

又平面4BCDC平面$48=AB,SA1AB,SAu平面S4B,

所以S41平面4BCD;

(2)

解法一:由(1)知S4J.平面力BCD,

y.AB,ADu平面4BCD,所以S41AB,SA1AD,

因?yàn)锽C1平面SAB,ABu平面$4B,所以BC1AB,

因?yàn)?D〃8C,所以4。1AB,

所以SA/D/B兩兩垂直.

以點(diǎn)A為原點(diǎn),分別以力D/B/S所在直線為久軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

ADX

則s(0,0,i),CQi,0M&0,0),所以元=(1,1,—1)防=(1,0,-1),

設(shè)平面SCD的法向量為可=(x,y,z),

則{黑;1§'即[2:1§二31KI"取"=2,則可=(2,—1,1),

顯然平面S4B的一個(gè)法向量雨=(1,0,0),

所以COS標(biāo)河=注焉=,22+(4)2+12=字

所以平面SCD與平面S4B的夾角的余弦值為乎.

第6頁(yè),共11頁(yè)

解法二:由(1)知SA1平面力BCD,過(guò)B作BM〃S4則BM1平面力BCD,

又AB,BCu平面4BCD,所以BM1AB,BM1BC,

因?yàn)锽C1平面S48,

又ABu平面S4B,所以BC1AB,

所以BMB4BC兩兩垂直.

以點(diǎn)B為原點(diǎn),分別以B4BGBM所在直線為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則S(L0,l),C(0,l,0),D(iq,0),所以元=(-1,1-1),CD=0),

設(shè)平面SCD的法向量為可=(x,y,z),

-X+y

‘可sc--

nJISC,-1-0,

則即coX--y取y=2,則可=(1,2,1),

njlCD,Hl2

顯然平面S4B的一個(gè)法向量超=(0,1,0),

"所I以〃COSTl1J/,厄4=1二ml;?2|7l2l]=/調(diào)+22+l12=—3

所以平面SCO與平面S48的夾角的余弦值為空.

解法三:延長(zhǎng)CD、B4交于點(diǎn)用,連接SM,

則平面SCDC平面S4B=SM,

在-SBM中,

由余弦定理,得SM2=SB2+MB2-2SB-MBcos乙SBM,

所以SM2=(")2+22-2X*X2義#=2,所以S"2+SB2=BM2,

所以SM1SB,

第7頁(yè),共11頁(yè)

因?yàn)锽C1平面SAB,SMu平面亂48,

所以SM1BC,又SM1SB,SBC\BC=B,

所以SM1平面SBC,

又SCu平面SBC,所以SM1SC,

所以NBSC為平面SCD與平面S4B的夾角,

因?yàn)锽C1平面SAB,SBu平面SAB,

所以BC1SB,

因?yàn)镾B=",BC=1,得SC=A/3,

所以cos/BSC增=點(diǎn)=*,

所以平面sen與平面SAB的夾角的余弦值為坐.

18.(1)

c1

---

Q.2

Q.2

由題意,得.

b22

-a

所以W的方程為曰+白=1;

依題意可設(shè)點(diǎn)4(一打,一打),8(>2,丫2),且打Hx2,

(i)證明:因?yàn)辄c(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,所以C(-Xi,-月),

2

X?-+=277723

克Z13X^B1

所以2--^-^-

2=-2---

因?yàn)辄c(diǎn)4B:在W上,所以+4314

4723

因?yàn)橹本€4B:x—my+1=0(m70)的斜率為《,直線BC的斜率為k,

所以=合y+yiyl-yj3即K為定值_3.

527H

x2+xixl-xl4,即小刀恒4'

(譏)設(shè)弦4B的中點(diǎn)。的坐標(biāo)為(即,〉。),

第8頁(yè),共11頁(yè)

點(diǎn)P的坐標(biāo)為(%p,yp),△P4B的重心G的坐標(biāo)為OG/G),

'之+比=1

由43—,得(3租2+4)y2—67ny—9=0,

{x—my+1=0

222

所以/=36m+36(3m+4)=144(m+1)>0,且yi+丫2=37n2+4'

因?yàn)锳PAB的重心G在y軸上,所以—+.+燈=0,

所以孫=-(xi+%2)=-(myi-1+my2-1)=—m(yi+y2)+2=-m-3J;二1+2=

KChir—工1+支24__yi+y23m

所以和_2-3m2+4-yo-2-3m2+4>

因?yàn)镼,而在同上的投影向量相等,所以|P4|=|PB|,且PD1AB,

所以直線PD的方程為丫-*=-m(x-xD),

所以yp=yfl-m(xP-xD)=島L婷缶+金^)=一^^,

所以點(diǎn)

v3m2+43m2+4,

(8、2(9mA2

又點(diǎn)「在W上,所以137n2+/+,3*+/=1,

43

即m2(37n2—1)=0,

又因?yàn)閙40,所以爪=±乎,所以直線4B的方程為3x±狙丫+3=0.

19.(1)

因?yàn)?(%)—ax4+X3-3(2a+l)x2—%+3,

所以/'(%)=4ax3+3x2-6(2a+l)x—1,

令h(%)=4ax3+3/—6(2a+l)x—1,

所以“(%)=12a%2+6x-6(2a4-1)=6(2ax+2a+l)(x—1).

(i)當(dāng)a=0時(shí),九'(%)=6(久—1),令"(%)NO,解得%Nl;

令h'(x)<0,解得%<1;

第9頁(yè),共11頁(yè)

故人久)為區(qū)間[1,+8)上的凹函數(shù),為區(qū)間(一8,1]上的凸函數(shù);

當(dāng)一)<a<0時(shí),令"⑶>0,解得1<%<—竽

qza

令1(%)<0,解得X<1或%>士

故/(%)為區(qū)間[L一當(dāng)上4上的凹函數(shù),為區(qū)間(一8,1]和[一。二,+8)上的凸函數(shù);

乙Cv乙(X

當(dāng)a=-J時(shí),h,(x)=-3(x-l)2<0,故/(久)為區(qū)間(一8,+8)上的凸函數(shù);.

q

1

當(dāng)a<-尚時(shí),令T(x)20,

解得一智'WxWL

令h'(久)<0,解得x>1或x<―?彳:I

故/。)為區(qū)間[—卷好,1]上的凹函數(shù),為區(qū)間(一8,—粵上工|和[1,+8)上的凸函數(shù);

乙Ct乙CC

綜上所述,當(dāng)a<—亨時(shí),/(久)為區(qū)間[—與夏,1]上的凹函數(shù),為區(qū)間(—巴—今愛(ài)]

和[1,+8)上的凸函數(shù);

當(dāng)。=一;時(shí),/(%)為區(qū)間(-8,+8)上的凸函數(shù);

當(dāng)一!<a<0時(shí),f(x)為區(qū)間[1,一竽耳上的凹函數(shù),為區(qū)間(—8,1]和[一然二,+8)

上的凸函數(shù);

當(dāng)a=0時(shí),/(x)為區(qū)間[1,+8)上的凹函數(shù),為區(qū)間(-8,”上的凸函數(shù);

(ii)當(dāng)a=0時(shí),/(x)=%3—3x2—x+3,/'(x)=3x2—6x—1,

故在點(diǎn)(t,f(t))處的切線方程為y=(3t2-6t-l)(x-t)+t3-3t2-t+3.

設(shè)PQ2)Q>0)為f(x)的“3切點(diǎn)”,

則關(guān)于t的方程〃=(3t2-6t-l)(u-t)+t3-3t2-t+3有三個(gè)不同的解,

即關(guān)于t的方程u=-2t3+(3+3u)t2-6ut+3-n有三個(gè)不同的解,

令F(t)

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