遼寧省丹東市某中學2024-2025學年高三年級上冊期初考試 數(shù)學模擬試題（含解析）

遼寧省丹東四中2024-2025學年度上學期期初考試模擬試題

局二數(shù)學

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合/=｛x|-l<x<3,xeN｝,則集合Z的真子集的個數(shù)為（）

A.3B.4C.7D.8

2.已知a,6為非零實數(shù),則“0<q<1”是“同<冏”的（）

b

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設S“是等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若邑=2,%+%=6,則盤=（）

§4

713

A.2B.—C.3D.—

44

4.已知函數(shù)/（x）=x2e'T-依的圖象在點處的切線斜率為2,則a=（）

A.-1B.1C.-2D.2

5.已知連續(xù)型隨機變量X,~N（%,b,2）?=1,2,3）,其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結論正確的是（）

A.尸（X]<〃2）<尸（丫2

B.P（X2>/z2）>P[X3>/z3）

C.尸（X]<〃2）〈尸（萬2V〃3）

D.P（從-2a,.<X.<//,.+2cr（.）=P出+1-2（r（.+1<X+1<4刊+2%十1）々=1,2）

f2

6.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和為S〃，q=9,%為整數(shù)，且S三色，則數(shù)列<-----的前9項和為

7.在概率論中，馬爾可夫不等式給出了隨機變量的函數(shù)不小于某正數(shù)的概率的上界，它以俄國數(shù)學家安德

雷?馬爾可夫命名，由馬爾可夫不等式知，若J是只取非負值的隨機變量，則對Va〉O,都有

尸某市去年的人均年收入為10萬元，記“從該市任意選取3名市民，則恰有1名市民去

年的年收入超過100萬元”為事件Z,其概率為尸(Z).則尸(/)的最大值為()

2724344

A.----B.C.D.

10001000279

3a—1

8.若關于x的不等式lnx+a-3一＜0有且只有一個整數(shù)解，則正實數(shù)。的取值范圍是(

X

A.f,2In2+1B.f,3In3+1

C.[21n2+I,31n3+1)D.In2+g,31n3+1J

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知正實數(shù)a,b滿足=i,貝|j()

A.6的最大值為2B.ab的最小值為1

C./+〃的最大值為2D.6+〃的最小值為1

10.已知紅箱內有6個紅球、3個白球，白箱內有3個紅球、6個白球，所有小球大小、形狀完全相同.第

一次從紅箱內取出一球后再放回去，第二次從與第一次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回

去，依此類推，第左+1次從與第4次取出的球顏色相同的箱子內取出一球，然后再放回去.記第〃次取出

的球是紅球的概率為月，則下列說法正確的是()

A.=—■B.3小匕=1

29

122139

C.第5次取出的球是紅球的概率為——D.前3次取球恰有2次取到紅球的概率是——

243243

11.已知函數(shù)/(x)=x(lnxY+x,貝ij()

A./(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調遞增

B.當x=:時，/(x)取最小值

C.對Vxem>0,g(x)=/(x+加為增函數(shù)

D.對VX],/e]：,+co|,1[/(^)+/(%2)]

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.雙空題第一個空2分，第二個空3分.

12.曲線y=21nx-x在x=l處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為.

13.已知實數(shù)a,b滿足，b=l+a,6e(O,l),則3空—幺上的最小值為

,'b2023a

14.數(shù)列｛%｝滿足4+2a2+22%+…+2"一％“=；(〃+1)〃(〃—1),若對任意2>0,所有的正整數(shù)〃都

有丸2—左彳+2〉卷成立，則實數(shù)后的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(本小題滿分15分)

已知｛%｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項和為16,且%,成等比數(shù)列?

(1)求數(shù)列｛4｝的通項公式;

2%,〃為奇數(shù)

⑵設6"=<J，〃為偶數(shù)，求數(shù)列也｝的前2〃項和J.

aa,

?n+2

16.(本小題滿分15分)

已知函數(shù)f(x)=x2+\nx-ax+a.

(1)討論/(x)的單調性;

(2)若/(x)2x(lnx+l)對任意的恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

17.(本小題滿分15分)

已知數(shù)列｛%｝前〃項和為S“，且2S"=M〃+1),記以=(-1)"孕土L

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設數(shù)列也｝的前〃項和為7；,求與吻.

18.(本小題滿分17分)

當前，人工智能技術以前所未有的速度迅猛發(fā)展，并逐步影響我們的方方面面，人工智能被認為是推動未

來社會發(fā)展和解決人類面臨的全球性問題的重要手段.某公司在這個領域逐年加大投入，以下是近年來該

公司對產品研發(fā)年投入額x(單位：百萬元)與其年銷售量y(單位：千件)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表.

X123456

y0.511.53612

z=Iny-0.700.41.11.82.5

(1)公司擬分別用①y=bx+a和②y=eOT+m兩種方案作為年銷售量y關于年投入額x的回歸分析模型,

請根據(jù)已知數(shù)據(jù)，確定方案①和②的經驗回歸方程；(風“加,〃計算過程保留到小數(shù)點后兩位，最后結果保

留到小數(shù)點后一位)

(2)根據(jù)下表數(shù)據(jù)，用決定系數(shù)A?(只需比較出大小)比較兩種模型的擬合效果哪種更好，并選擇擬合

精度更高的模型，預測年投入額為7百萬元時，產品的銷售量是多少？

經驗回歸方程y=bx+ay=enx+m

6

殘差平方和WX匕一立)218.290.65

i=l

E(z-z)266

參考公式及數(shù)據(jù)：5=上---------------,a=y-bx,R2=1-^----------,=121,=91,

Z(x,-x)2ZU-y)2T汩

i=\i=l

6

ExjZj=28.9,e28?16.5,e3?20.1.

Z=1

19.(本小題滿分17分)

已知函數(shù)/(x)=alnx-x+—(aGR).

x

(1)若Q=2,求證：當時，/(%)<0.

(2)若/(X)有兩個不同的極值點下,、2(王<工2)且+%2-4-

(i)求。的取值范圍；

(ii)求證：/(%)<2百.

局二數(shù)學

參考答案

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.【答案】C

【分析】簡化A即可得到集合A共有7個真子集.

【詳解】解：由題意得：

/={x|-l<x<3,x￡N}=(0,1,2),

其真子集有：0,{o},{1}，{2},{0,1},{0,2},{1,2},共7個.

故選：C.

2.【答案】A

【分析】根據(jù)充分、必要條件的知識求得正確答案.

【詳解】當0＜色＜1時，a,6同號且非零，則0＜.Cl,所以問〈網(wǎng).

b

當同＜問時，如。=—1,b=2,則2＜0,無法得到

ab

所以是“同＜同”的充分不必要條件.

b

故選：A.

3.【答案】D

【分析】根據(jù)邑，邑-$2,5-S,成等比數(shù)列，得到方程，求出$6=26,得到答案.

【詳解】由題意得邑=2，S4-52=6,64=62+6=8,

因為S2,S4_S2,$6_S4成等比數(shù)列，故(S4_$2)2=S236_S,)，

即62=2(5—8),解得叢=26,

故選：D.

4.【答案】B

【分析】求得/=a,根據(jù)題意得出方程/'(1)=3—a=2,即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(另=/尸1—ax,可得/'(力=(/+2%卜1一。，

因為函數(shù)/(x)的圖象在點處的切線斜率為2,

可得/(1)=3-?=2,解得a=l.

故選：B.

5.【答案】D

【分析】根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的性質與概率的關系判斷.

【詳解】解：對于A：尸(X/W〃2)是第一條正態(tài)分布密度函數(shù)圖象在第二條虛線左側與刀軸圍成的部分，

P(X2＜是第二條正態(tài)分布密度函數(shù)圖象在第一條虛線左側與x軸圍成的部分，

故由圖象可知尸(X]V〃2)〉尸(丫2〈4)，故A錯誤；

對于B:P（X2>//2）=1,P（X3>//3）=|,則尸（萬22〃2）=尸（萬32〃3）,故B錯誤；

對于C：與A分析同理，尸（X]V〃2）〉尸（占），故C錯誤；

對于D：由于概率表示曲線和x軸圍成的部分，與是，還是i+1無關，

故尸（伍-2oiWXZV/zz+2ai）=P（/zz+1-2<rz+1<Xi+<（j,i++2cri+=1,2）成立，故D正確.

故選：D.

6.【答案】A

【解析】設等差數(shù)列｛4｝的公差為d，由5”項得%20，。640，

‘9+4420,99

解得——-一，％=9,2為整數(shù)，

9+5d<0,45

2211

d=-2,a=11-2/7,-------

aa(11-2")(9-2〃)9-2〃11-2?

nn+X

皿向21h….111111112

數(shù)歹!]<----->的刖9項和為Ta=--------1-------1------1-—I---------=---.

"+J795735-9-79

故選：A.

7.【答案】D

【解析】記該市去年人均收入為X萬元，從該市任意選取3名市民，年收入超過100萬元的人數(shù)為設

從該市任選1名市民，年收入超過100萬元的概率為夕，

,、E（x\101

則根據(jù)馬爾可夫不等式可得P=P（XN100）"=1Go=S

10

因為y~8（3,夕），

所以尸(/)=尸(y=l)=C；p(l_p/=3p(l-p)2=3p3-6p-+3p,

令/(，)=3P3—6p2+3,,則/'(0=9夕2—12夕+3=3(3夕一l)(p—1),

?.?0<2，.?.3p—1<0,0一1<0,即/'(夕)〉0,

.?./(,)在0,—上單調遞增.

243243

,即P(/)

W001000

故選：D.

8.【答案】A

【分析】原不等式可化簡為xlnx+1<3a-ax,設/(x)=xlnx+l,g(x)=3a-axf作出函數(shù)/(x)的

圖象，由圖象可知函數(shù)g(x)的圖象應介于直線ZC與直線5C之間(可以為直線BC),進而求得答案.

【詳解】原不等式可化簡為xlnx+l<3a-ax,設/(x)=xlnx+l,g(x)=3a-ax,

由/(x)=xlnx+l得'/'(x)=lnx+l,令/'(x)=0可得x=,,

「.x40,3時,/〈X)<0,X€,+cO

時,f'(x)>0,

易知函數(shù)/(X)在單調遞減，在1g,+oo］單調遞增，且=1—g,

作出/(X)的圖象如下圖所示，

—1

而函數(shù)g(x)=3a-"恒過點C(3,0),要使關于x的不等式lnx+a--------<0有且只有一個整數(shù)解，則

X

函數(shù)g(x)的圖象應介于直線ZC與直線BC之間(可以為直線BC),

又3(2,212+1),

0-10-(21n2+l)

3,后BC=—----------=-21n2-l

3^13-2

/,-2In2-1<-6/<-—,

2

二.一<aV2In2+1.

2

故選：A.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.【答案】AC

【分析】由題可得［a—21+—=1,可令a—2=cos。，叵=sine,即a=cos6+且sin。，

［24223

b=——sin。，代入選項依次化簡即可結果.

3

【詳解】由/—仍+/=1,可得。+—=1,令a—2=cos。，^-=smO,

I422

由z_A乖＞?A,_273.f2兀、

所以a=cos0-\---sin9,b—----sin0?8￡[0,—,

33I3J

對于A,則a+Z?=cos8+J^sin8=2sin|—當。=一時，a+6取最大值為2,故A正確;

對于B,

2A/3,(Z36.a)26,ZJ2.2q

ab----sin"cos〃H----sin"=----sin"cos"H——sin〃

3(3)33

二-^-sin2^--cos2^+—=—sin\20—+1

3333I6

71

當。='時，ab的最大值為1,故B錯誤；

3

對于C、D,由B可得0<aZ?Vl,由/+人2=1+/，貝!]1</+人242,故C正確，D錯誤.

故選：AC.

10.【答案】AC

【分析】依題意求出《，設第〃次取出球是紅球的概率為心，則白球概率為（1-勺），即可求出第,+1次

取出紅球的概率，即可得到+；,從而可判斷各個選項.

【詳解】依題意々,

93

設第n次取出球是紅球的概率為P,則白球概率為（1-匕），

對于第〃+1次，取出紅球有兩種情況.

21

①從紅箱取出的概率為pn~,②從白箱取出的概率為

2111

對應勺+1=§勺+3（1_勺）=]勺+）,IP3P+1=P+1,故B錯誤;

1(1Y-115122

故月=一一+—，所以巴=—，己=——，故選項A，C正確;

"6(3j2295243

2S

第1次取出球是紅球的概率為＜=—,第2次取出球是紅球的概率為8=-

1329

14

第3次取出球是紅球的概率為巴=一,

327

oil2211128

前3次取球恰有2次取到紅球的概率是一x—x—+—x-x-+-x-x-=—

33333333327

故D錯誤;

故選：AC.

11.【答案】ACD

【分析】直接求導確定函數(shù)單調遞增，即可判斷A、B選項；求導由g'(x)〉O即可確定C選項；由導函數(shù)

和原函數(shù)在上均為增函數(shù)，結合函數(shù)圖像即可判斷D選項.

【詳解】易知定義域為(0,+8)，/'(X)=(lnx)-+x-21nx--+1=(inx)2+21nx+l=(lnx+1J＞0,

JC

故/(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調遞增，A正確；

/(x)無最小值，B錯誤;

當,+8加＞0時,

g'(x)-/'(%+加)—/'(1)=[ln(x+m)+1]2_(inx+1)2=[in(x+m)+lnx+2][in(v+m)-Inx],

易得111(1+冽)>111]〉111，二一1,則ln(x+加)+lnx+2〉0,ln(x+m)-lnx>0,即g'(x)>0,故

e

g(x)為增函數(shù)，C正確；

當時，lnx〉-l,令/二lnx,?+t>-l,易得〃為增函數(shù)，即

/'(x)=(lnx+l)2在\,+00)為增函數(shù),

又/(x)在］』,+oo］為增函數(shù)，故函數(shù)/(x)為“上凹”函數(shù),

y

D正確.

故選：ACD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.雙空題第一個空2分，第二個空3分.

12.【答案】2

【分析】利用導數(shù)求的幾何意義求出切線方程，求出切線與兩坐標軸的交點，結合三角形的面積公式可求

得結果.

22

【詳解】對函數(shù)y=21nx—x求導得了=——1,所求切線斜率為左=——1=1,

x1

當X=1時，J=21nl-1=-1,切點坐標為(1,—1),

所以，曲線y=21nx—x在x=l處的切線方程為y+l=x—l,即y=x-2,

直線y=x-2交x軸于點(2,0),交j軸于點(0,-2),

所以，曲線y=21nx-x在x=l處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S=]x22=2.

故答案為：2.

13.【答案】2025

【分析】先對式子變形得到迎1--上L=2023-1空出由基本不等式求出

b2023a(b2023a)

2023ab/、從而求出竺”-衛(wèi)L的最小值.

b2023ab2023a

2023a+12023(6-a)b[2023ab)

b2023ab2023a(b2023a)

因為l+ae(0,l),所以ae(-1,0),—e(-oo,-l),

bl+o.1,,b普<。,

—=-----=1+—e(z-℃,0),故<0,

aaa2023ab

2023。h.12023a(hA

由基本不等式得：---------十<9.—9

b2023aVbI2023a)

?.2023ab12023,日「.、

當且僅當------=-,目口C〃l一—，b-時，等節(jié)成立,

b2023a20242024

,,2023a+1b

=2023-1'2023a|>2023+2=2025,

b2023a1<b2023aJ

2023a+1,.?,

即Hri-------------的最小值為2025.

b2023a

故答案為：2025.

14.【答案】(-oo,V2)

【分析】先由題設求得％,然后利用數(shù)列的單調性求得其最大值，把對任意;1〉0,所有的正整數(shù)〃都有

11

%0—板+2>%成立轉化為k<A+——對任意4〉0恒成立，再利用基本不等式求得2+——的最小值，

〃2222

即可得到答案.

【詳解】由q+2出+2?%H----F2〃T*=+篦(〃一1),

當〃22時，/+2a2+Z??+…+2"2a葭7=—(〃一1)僅一2),

兩式相減可得：2"-1%=+-2)]=〃(〃_]),

n(n-\\

a〃=二J，由q二0，顯然成乂，

n2+n-2n2+2n-n2+3〃

設Q—a=---------------

以Un+\Un2?2"T2"

.,.當0<〃W3時，an+1-an>Q,當〃24時，an+l-an<0,

因此，0<〃V3,數(shù)列｛4｝單調遞增，當“24時，數(shù)列｛4｝單調遞減,

由生=；,?4=|,故當〃=3或〃=4時，數(shù)列｛%｝取最大值，且最大值為

對任意2〉0,所有的正整數(shù)〃都有分—女2+2〉4“成立，可得萬―左2+2〉二,

“2

,11

因止匕，U<22+-,即左<2+——對任意;1〉0恒成立，

222

由2+」一22/九義工=收，當且僅當丸=',即;1=收時取最小值，則上<(；[+,]=41,

22V222222Jmm

實數(shù)左的取值范圍是卜oo,亞卜

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

,4〃+111

15.【答案】(1)a=2z?—1(2)T2=-------------------------

"2n152016/2+12

【分析】(1)設出公差，借助等差數(shù)列性質與等比數(shù)列性質計算即可得；

(2)分奇數(shù)項及偶數(shù)項分組求和，結合等比數(shù)列的性質與裂項相消法計算即可得.

【詳解】(1)設｛4｝的公差為d(dwO),由題意知｛；234,

Cl?—

阿q+6d=16[2a+3tZ=8

即/、2/、，即有,c-

(q+d)=<7；+4d)[d=2aA

因為dwO,可得4=1,d=2,

所以%=2〃-1；

(2)設數(shù)列｛〃｝的前2〃項中的奇數(shù)項之和為Z,偶數(shù)項之和為8,

21-16"

則A=2a,+2%+…+2%T=21+25+---+24H-3=—--------

1-16

24?+124"+1

1-16-15

八111

B-------1--------F???H-----------

a2a4a4a6a2na2n+2

1"1___1_+J___1_+?]]、

2da2n02n+2J

1(11、

2d\a202n+2J

11111

4134〃+31216〃+12

24H+1-21124n+111

所以乙“=2+8=+-----

151216〃+12152016〃+12

16.【答案】(1)答案見詳解;(2)(-oo,l]

【分析】(1)求導，分類討論a,A的符號，結合二次不等式求/(x)的單調性;

⑵構建g(x)=/(x)-x(lnx+l),原題意等價于g(x)20對任意的x21恒成立，求導，結合g⑴=0,

可得g'(l)20naVI,并代入檢驗即可.

1r\2.1

【詳解】(1)由題意可知：/(X)的定義域為(0,+8),且r(x)=2x+"=9+1,

XJC

對于2x~-ctx+1,則有：

若a<0時，則2--ax+l〉0,可得/'(x)〉0,

所以/(x)在(0,+8)內單調遞增；

若。>0時，則有：

當△=4—8<0,即0<。<2行時，貝！12/—ax+120,可得/'(x)N0,

所以/(x)在(0,+8)內單調遞增；

當△=1—8>0,即a〉2c時，令2》2一辦+1=0,

a~—8a+Na~—8_

解得x；=---------,x2=----------,且0<%</，

令/'(x)〉0,解得x〉》2或0<x<X］；令/'(x)<0,解得王<》<》2；

所以/(x)在(%,々)內單調遞減，在(0,西)，(々,+8)內單調遞增；

綜上所述：

當aV2亞時，/(x)在(0,+8)內單調遞增；

、,，*/T-.1a-y/a2-8a+Ja2-81上％―「八a-d『-8〕(a+3。-8

當a〉2j2時，/(x)在----------,——------內單倜遞減，在0,---------,——-----,+s

4444

\?\?\7

內單調遞增.

(2)構建g(x)=/(x)-x(lnx+l)=x2+(l-x)lnx-(o+l)x+?，

原題意等價于g(x)20對任意的x21恒成立，

］一1］

則g’(x)—2x—InxH------(a+1)=2x—InxH----(a+2),

XX

且g(l)=。,則g'(l)=1—a20,解得a41,

下證充分性，

若aVl,令〃(x)=g'(x),x>l,則1(x)=(2x+l|(x1)>Q,

可知M%)在［l,+8)內單調遞增，則/z(x)2%⑴=1一a20,

即g'(X)20對任意的X21恒成立，可知g(X)在[1,+8)內單調遞增，

可得g(x)?g(l)=O,符合題意；

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為(-00,1].

17.【答案】(1)%="(〃eN*)；(2)T2021=-

【分析】(1)2S“=〃(〃+1),令〃=1,求出E，再結合“22時，利用%=S"—Si結合求出％,然后

結合〃=1和“22時，驗證%是否滿足;

(2)把%的通項公式帶入包中，化簡，然后分離成兩項之間的和的關系，借助前面的(-1)”進行抵消求和.

+當〃=1時，E=；xlx2=l；

【詳解】(1)S=-n

n2

當〃22,時，S“_]=5〃(〃一1),an=Sn-Sn—i,=-1n(〃+1)—-72(〃_].)=n.

當〃=1時也符合，，冊=N*

⑵“(可型篙=(力(77+1)+721

〃(〃+1)72+1

』=_1+?+■+》[+j+…-焉+&

1111111112023

―2233420212022—2022—2022,

18.【答案】(1)j=2.1x-3.4,y=e“xT4；(2)②的擬合效果好，預測銷售量是16.5千件

【分析】(1)根據(jù)經驗回歸方程的求法求得正確答案.

(2)通過計算決定系數(shù)確定擬合效果較好的方案，并由此進行預測.

1+2+3+4+5+6_0.5+1+1.5+3+6+12,

【解析】(1)x==3.5，v=---------------------------=4,

6-6

37

所以121—6義3.5：4=三合zu,a=4---x3.5=-3.40,所以y=2.1x—3.4.

91-6x3.5*217.517.5.

由丁二砂＞",兩邊取以e為底的對數(shù)得Iny=+加，即z=〃x+加，

28.9-6x3.5x0.850.63,/n=0.85-^^-x