2023-2024學(xué)年北京市豐臺區(qū)九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)模模擬試卷（含詳解）

2023-2024學(xué)年北京市豐臺區(qū)九年級上學(xué)期期末?？荚嚲?/p>

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目

要求的

1.為推動世界冰雪運(yùn)動的發(fā)展，我國于2022年2月2日至20日舉辦了北京冬奧會.以下是冬奧會會標(biāo)征集活動

中的部分參選作品，其文字上方的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）

工9a

C.

吩BEIJING2022BEIJING

Be2022—2022—BEiJiNG"U

0(^)OOP

2.把一元二次方程N(yùn)+12x+27=0,化為（x+p）2+q=0的形式，正確的是（）

A.(x-6)2-9=0B.(x+6)2-9=0

C.(x+12)2+27=0D.(無+6)2+27=0

3.如圖，是一個紙折的小風(fēng)車模型，將它繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)下列哪個度數(shù)后不能與原圖形重合.（）

A.90B.135C.180D.270°

4.將拋物線y=-2爐+1向右平移1個單位，再向下平移2個單位后所得到的拋物線為（）

A.y=-2(x+l)2-1B.y=—2(1)2+3

C.y=—2(1)2-1D.y=—2(x+l)+3

5.已知二次函數(shù)y=o?+區(qū)+c（〃wo）的圖象如圖所示，關(guān)于〃，。的符號判斷正確的是（）

A.。>0,c>0B.〃>0,c<0C.〃V0,c>0D.a<0,c<0

6.如圖，在中，NABC=90°,A5=8,5C=6,。為線段AB上的動點(diǎn)，連接C￡＞，過點(diǎn)8作BE,CD

交CD于點(diǎn)E,則在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，求線段AE的最小值為（）

A

D.乎

A.10B.773-3C.5

7.二次函數(shù)y=ax?+bx+c的自變量尤與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表:

???-2-10245???

y.??-7-211-7-14???

下列說法正確是（）

A.拋物線開口向上B.當(dāng)1>1時，y隨尤的增大而增大

C.二次函數(shù)的最大值是2D.拋物線與無軸只有一個交點(diǎn)

8.如圖，在中，ZBAC=9Q°,AB=AC,。為3C邊上一點(diǎn)，將△⑷3。繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得

到八4?！?點(diǎn)、B、。的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、E,連接跳，將AC平移得到。/（點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)。、

F）,連接AF,若AB=3后,BD=2,則AF的長為（）

A.2A/10B.6C.672D.722

二、填空題：本題共8小題，共36分（9、10小題各3分，其余小題各5分）

9.方程f=x的解是

10.己知點(diǎn)A（l,m）與4（力,一3）關(guān)于原點(diǎn)對稱，則〃2〃=.

11.若一個二次函數(shù)的圖像開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,那么這個二次函數(shù)的解析式可以為.（只需寫一

個）

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,將矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形AEFG,AE交CD

于點(diǎn)且DH=EH,則的長為

13.已知尸（XI,1）,Q（X2,1）兩點(diǎn)都在拋物線>=尤2-4x+l上.那么Xl+X2=.

14.若二次函數(shù)y=-x2+6x-m的圖象與無軸沒有交點(diǎn)，則m的取值范圍是.

15.有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測得木材的半徑為15cm,露在墻體外側(cè)的弦長

AB=18cm,其中半徑OC垂直平分AB，則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD=cm.

16.已知aN2,m^n,m2—2am+2=0>n2—2an+2=0?求1)~+(〃—的最小值是

三、解答題：本題共12小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.解下列方程:

(1)(%-l)(x+3)=%-1

(2)2x2-6x--3

18.如圖，點(diǎn)E是國ABC的內(nèi)心，AE的延長線和回ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.

（1）當(dāng)EIABC的外接圓半徑為1時，且EIBAC=60。，求弧BC的長度.

（2）連接BD,求證：DE=DB.

19.己知關(guān)于x的一元二次方程d+(2m+l)x+77?-2=0.

(1)求證：無論相取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)當(dāng)該方程的判別式的值最小時，寫出機(jī)的值，并求出此時方程的解.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將鉆繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△C'A'3',點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A,

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)尤，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象;

(3)若y<-3,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍.

22.我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克,

后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周銷售量可增加40千克.在平均每周獲利不變的情況

下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，每千克茶葉應(yīng)降價多少元？

23.如圖，在VA3C中，ZBAC=9Q°,。是3C中點(diǎn)，連接AD分別過點(diǎn)A,點(diǎn)C作A石〃3C,CE//DA,

交點(diǎn)為E.

(1)求證：四邊形AECD是菱形；

(2)若NB=60°,AB=6,求四邊形AECD面積.

24.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)丁=丘+匕的圖象過點(diǎn)。,3),(2,2).

(1)求這個一次函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x>2時，對于x的每一個值，一次函數(shù)丁=如的值大于一次函數(shù)丁=丘+匕的值，直接寫出機(jī)的取值范

圍.

25.擲實心球是中考體育考試項目之一，實心球投擲后的運(yùn)動軌跡可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系，從投擲到著陸的過程中，實心球的豎直高度V(單位：m)與水平距離x(單位：m)近似滿足函數(shù)關(guān)

系y=a(x—h￥+k(a<0).某位同學(xué)進(jìn)行了兩次投擲.

(1)第一次投擲時，實心球的水平距離％與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m0246810

豎直距離y/m1.672.632.952.631.670.07

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出實心球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a(x-0)2+左(。<0)；

(2)第二次投擲時，實心球的豎直高度了與水平距離工近似滿足函數(shù)關(guān)系》=-0。9(》-3.8)2+2.97.記實心球第

一次著地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4,第二次著地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4，則4d2(填“>”"=”或

26.如圖，已知拋物線為=爐+機(jī)》與無軸交于點(diǎn)4(2,0).

(1)求〃2的值和頂點(diǎn)M的坐標(biāo);

(2)求直線40的解析式必；

(3)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)“〉為時x的取值范圍.

27.如圖，正方形ABCD和正方形。EFG有公共頂點(diǎn)D

圖1圖2

(1)如圖1,連接AG和CE,直接寫出AG和CE的數(shù)量及位置關(guān)系；

(2)如圖2,連接AE，M為AE中點(diǎn)，連接。M、CG,探究QM、CG的數(shù)量及位置關(guān)系，并說明理由；

28.如圖1,直線A3分別與X軸、y軸交于A、8兩點(diǎn)，0c平分/AO3交于點(diǎn)C,點(diǎn)。為線段上一

點(diǎn)，過點(diǎn)。作Z)E〃0C交y軸于點(diǎn)E,已知AO=加，BO=n,且機(jī)、w滿足"2一8〃+16+|〃-2時=0.

圖1

(1)求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)?

(2)若點(diǎn)。為AB中點(diǎn)，求0E的長?

(3)如圖2,若點(diǎn)P(M—2尤+6)為直線在x軸下方的一點(diǎn)，點(diǎn)E是y軸的正半軸上一動點(diǎn)，以E為直角頂點(diǎn)

作等腰直角！PEF，使點(diǎn)尸在第一象限，且尸點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)始終相等，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

2023-2024學(xué)年北京市豐臺區(qū)九年級上學(xué)期期末?？荚嚲?/p>

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目

要求的

1.為推動世界冰雪運(yùn)動的發(fā)展，我國于2022年2月2日至20日舉辦了北京冬奧會.以下是冬奧會會標(biāo)征集活動

中的部分參選作品,其文字上方的圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

工9a

C.

吩B日J(rèn)ING2022BEIJING

Be2022—2022—BEiJiNG"U

0(^)

【答案】A

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】解：A.是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項符合題意;

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意;

C.不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項不合題意;

D.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形：把一個圖形沿某條直線對折，圖形兩部分

沿直線折疊后可重合；中心對稱圖形：把一個圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

2.把一元二次方程/+12x+27=0,化為Q+p）2+q=0的形式，正確的是（）

A.(x-6)2-9=0B.(x+6)2-9=0

C.(x+12)2+27=0D.(x+6)2+27=0

【答案】B

【分析】利用完全平方公式進(jìn)行判斷.

【詳解】解：?.?N+12x+27=0,

.'.x2+12x+62-62+27=0,

(尤+6)2-9=0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的變形，需要學(xué)生了解配方法的步驟并將方程進(jìn)行正確變形，解題關(guān)鍵是了解配

方法.

3.如圖，是一個紙折的小風(fēng)車模型，將它繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)下列哪個度數(shù)后不能與原圖形重合.（）

A.90B.135C.180D.270°

【答案】B

【分析】據(jù)旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角及旋轉(zhuǎn)對稱圖形的定義結(jié)合圖形特點(diǎn)，可知圖中的旋轉(zhuǎn)中心就是該圖的幾何中心，即

點(diǎn)O.該圖繞旋轉(zhuǎn)中心。旋轉(zhuǎn)90。，180。，270°,360°,都能與原來的圖形重合，再利用中心對稱圖形的定義即可求

解.

【詳解】解：圖中的旋轉(zhuǎn)中心就是該圖的幾何中心，即點(diǎn)O.該圖繞旋轉(zhuǎn)中心O旋轉(zhuǎn)90。，180。，270°,360°,都能

與原來的圖形重合，

故只有135不能與原圖形重合.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.也考查

了旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角的定義及求法.對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角叫做旋轉(zhuǎn)角.

4.將拋物線＞=-2爐+1向右平移1個單位，再向下平移2個單位后所得到的拋物線為（）

A.y=-2（x+l）2-1B.y=-2（%-l）2+3

C.y=-2（x-l）2-1D.y=-2（x+l）2+3

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)律：左加右減，在％處進(jìn)行；上加下減，在函數(shù)值處進(jìn)行.

【詳解】解：根據(jù)拋物線的平移規(guī)律，拋物線丁=-2爐+1向右平移1個單位，

得：y=-2（x-iy+1,

再向下平移2個單位后，

得：y=-2（x-l）2+l-2

整理得：y=—2（x—I）?—1,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線平移問題，解題的關(guān)鍵是：掌握平移的規(guī)律，左加右減，在x處進(jìn)行；上加下減，在

函數(shù)值處進(jìn)行.

5.已知二次函數(shù)y=G?+Zu+c（awO）的圖象如圖所示，關(guān)于。，c的符號判斷正確的是（）

B.a>0,c<0C.a<0,c>0D.a<0,c<0

【答案】B

【分析】根據(jù)開口方向可得。的符號，根據(jù)對稱軸在y軸的哪側(cè)可得人的符號，根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)可得。

的符號.

【詳解】解：拋物線開口向上,

a>0,

拋物線的對稱軸在y軸的左側(cè),

:.b>0,

拋物線與y軸交于負(fù)半軸,

c<0.

故選：B.

【點(diǎn)睛】考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握拋物線的開口向上，。＞0；對稱軸在y軸左側(cè),

a,匕同號；拋物線與y軸的交點(diǎn)即為C的值.

6.如圖，在中，NABC=90°,A5=8,5C=6,。為線段48上的動點(diǎn)，連接C￡＞，過點(diǎn)2作BE,CD

交。于點(diǎn)E,則在點(diǎn)。的運(yùn)動過程中，求線段AE的最小值為（）

B

口?歲

A.10B.V73-3C.5

【答案】B

【分析】由CD得出點(diǎn)E在以3C為直徑圓上，求出AO的長度，當(dāng)A、0、E三點(diǎn)共線時，AE取得最小值,

據(jù)此即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)3C的中點(diǎn)為點(diǎn)。，以。為圓心，3C為直徑畫圓，如圖:

■:BELCD,BC=6,

.?.點(diǎn)E在以。為圓心，半徑為3的圓上,

2

OE=OB—3,

VZABC=9Q°,AB=8,

AO=A/AB2+BO2=V82+32=773，

..?兩點(diǎn)之間線段最短，

.,.當(dāng)A、0、E三點(diǎn)共線時，AE取得最小值，

此時，AE=AO-OE=413-3,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，正確理解點(diǎn)E在“以。為圓心，半徑為工3。=3的圓上”是解決問題的

2

關(guān)鍵.

7.二次函數(shù)y^ax2+bx+c的自變量無與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：

X.??-2-10245???

y.??-7-211-7-14???

下列說法正確的是（）

A.拋物線的開口向上B.當(dāng)1>1時，y隨尤的增大而增大

C.二次函數(shù)的最大值是2D.拋物線與x軸只有一個交點(diǎn)

【答案】C

【分析】利用表格中的數(shù)據(jù)可求得二次函數(shù)的解析式，再化為頂點(diǎn)式，根據(jù)函數(shù)圖象性質(zhì)逐一判斷即可得解.

【詳解】解：：當(dāng)x=0時，y=l；當(dāng)％=2時，y=l；X=—2時，y=-7

c=1

4a+2匕+c=1

4a-26+c=—7

a——\

.，?<b-2

c-\

...二次函數(shù)的解析式為：y=—必+2x+1=—（x—1）2+2

.1??=-1；對稱軸是：直線x=l；頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,2）；當(dāng)y=0時，玉=—1+及、％=-1—1

拋物線的開口向下；當(dāng)％>1時，y隨尤的增大而減??；二次函數(shù)的最大值是2；拋物線與左軸有兩個交點(diǎn)

，選項中只有C是正確的.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法、二次函數(shù)一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式、二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、拋物線與％軸交點(diǎn)

情況等，利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在RtZkABC中，44c=90°,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn),將△AB￡）繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得

到八4?！?點(diǎn)8、。的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、E,連接鹿，將AC平移得到。尸（點(diǎn)A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)

F）,連接AF,若A5=3&，BD=2,則AF的長為（）

A.2MB.6C.6A/2D.722

【答案】A

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得3D=CE=2,/ACE=NABD=45°,由勾股定理可求BE,由“SAS”可證

AABE^ADFA,可得BE=A尸.

【詳解】解：（1）VZBAC=90°,AB=AC=3亞,

：.ZABC=ZACB=45°,BC=7AB2+AC2=6-

:將△A3。繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到

：.BD=CE=2,ZACE=ZABD=45°,AD=AE,/DAE=9Q°,

：.ZBCE=90°,

：?BE=7BC2+CE2=J36+4=2而；

u：ZBAC=ZDAE=90°,

：.ZBAC+ZDAE=1SO°,

.,.ZBAE+ZDAC=180°,

〈AC平移得至!J。尸，

：.AC=DF=AB,AC//DF,

：.ZADF+ZDAC=180°,

???NADF=NBAE,

在△ABE和△。以中，

AB=DF

</BAE=ZADF,

AE=AD

：.^ABE^ADFA(SAS),

/.BE=AF=2y/lQ,

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用性質(zhì)性質(zhì)解決問題是本

題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共8小題，共36分(9、10小題各3分，其余小題各5分)

9.方程Y=x的解是

【答案］%=0,々=1

【分析】移項后根據(jù)因式分解法求解方向即可.解題的關(guān)鍵是因式分解法在解一元二次方程中的靈活運(yùn)用.

【詳解】?/X2=X

=0

*=0或%一1=0

苞=0,々=1

故答案為：Xj=0,x2=1.

10.已知點(diǎn)A(l,%)與4(〃-3)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則.

【答案】一3

【分析】直接利用關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的性質(zhì)得出相，"的值，即可求解.

【詳解】解：?.,點(diǎn)A（1,m）與點(diǎn)4（小-3）關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱,

.\n=~l,m=3,

mn=—3

故答案為：一3.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)的特征，關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù).

11.若一個二次函數(shù)的圖像開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,那么這個二次函數(shù)的解析式可以為.（只需寫一

個）

【答案】y^-2x-+l（答案不唯一）

【分析】由二次函數(shù)的圖象開口向下，可知。為負(fù)數(shù)，取。=-2,再由頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,即可得出二次函數(shù)的解

析式.

【詳解】?.?二次函數(shù)的圖象開口向下，

可知。為負(fù)數(shù),取。=-2,

,頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,

...二次函數(shù)的解析式為：

y=-2（x-0）2+l=-2x2+1,

故答案為：y=-2N+1（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，掌握頂點(diǎn)式的特點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.

12.如圖，在矩形ABCD中，AB=8,AD=6,將矩形ABC。繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到矩形但G,AE交CD

于點(diǎn)H,且DH=EH,則AH的長為.

【答案】一##6.25

4

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=A3=8,設(shè)DH=EH=x,則AH=8—x,在Rt_ADH中，由勾股定理得

AD2=AH2-DH2＜即6?=（8—求x的值，進(jìn)而可得的值.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AE=A3=8,

設(shè)DH=EH=x,則AH=8—x,

在RtAZ史中，由勾股定理得的＞2=4x2—082,

即62=（8-X）2-X2,

7

解得x=—,

4

?8-x-竺

4

25

故答案為：—.

4

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握和靈活運(yùn)用.

13.已知產(chǎn)(xi,1),Q(%2,1)兩點(diǎn)都在拋物線y=/-4x+l上.那么xi+x2=.

【答案】4

【分析】根據(jù)尸、。兩點(diǎn)坐標(biāo)可知，P、。兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：P(xi,1),Q(及，1)兩點(diǎn)都在拋物線y=N-4x+l上，縱坐標(biāo)相等，

，P、。兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸x=2對稱，

.'.X1+尤2=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，找到尸、。兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱求解.

14.若二次函數(shù)y=-x2+6x-m的圖象與無軸沒有交點(diǎn)，則m的取值范圍是.

【答案】根〉9

【分析】利用判別式意義得到4=62-4X(-1)X(-m)<0,然后解不等式即可.

【詳解】解：；二次函數(shù)y=-N+6X-機(jī)的圖像與x軸沒有交點(diǎn)，

/.△=62-4X(-1)X(-m)<0,

解得〃z>9.

故答案為m>9.

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=oy2+6x+c(a,b,c是常數(shù)，存0)與無軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于尤的一元二次方程；△=按-4成決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù).

15.有一圓柱形木材，埋在墻壁中，其橫截面如圖所示，測得木材的半徑為15cm,露在墻體外側(cè)的弦長

AB=18cm,其中半徑OC垂直平分AB,則埋在墻體內(nèi)的弓形高CD=cm.

【答案】3

【分析】根據(jù)垂徑定理得出AD=LAB,根據(jù)勾股定理得到on再根據(jù)線段的和差關(guān)系求co的長度即可.

2

【詳解】解：垂直平分

AD=—AB=9cm,/ADO—90°,

2

在Rti^ADO中，

OD=yjo^-AD-=A/152-92=12，

CD=OC-OD=15-12=3cm,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，能根據(jù)垂徑定理求出=JA3=9cm是解題的關(guān)鍵.

2

16.已知m^n,^n2—2am+2=0?n2—2an+2=0?求(根—+(〃—的最小值是.

【答案】6

【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的最值，利用根與系數(shù)的關(guān)系找出

(根—iy+(〃—1)2=(24—1)2—3是解題的關(guān)鍵.由題意可知辦及是關(guān)于X的方程——2依+2=0的兩個根，根

據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出m+n=2a、mn—2,將其代入(加一1了+^-1)2=(加-2mn-2[m+n)+2中即

可求出結(jié)論.

【詳解】,**m2-2am+2=0，n2-2an+2=0且加w〃，

?..根、〃是關(guān)于X的方程％2—2依+2=0的兩個根，

mA-n—2a>mn-2,

(m—l)2+(H—l)2

=m2-2m+l+n2-2n+l

=(m+n)2-2mn-2(m+n)+2

=4a2-4-465+2

=(2a-l)2-3

a>2,

.,.當(dāng)a=2時，(加一1)~取最小值，

(m—1)+(〃—1)~的最小值=(2x2—I)?—3=6"

故答案為6.

三、解答題：本題共12小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.解下列方程：

(1)(X-l)(x+3)=x—1

【答案】(1)X=1,X=-2

G3+733-6

⑵

【分析】(i)根據(jù)因式分解法解一元二次方程;

(2)根據(jù)公式法解一元二次方程

【小問1詳解】

(%—1)(%+3)=%-1,

(x-l)(x+3)-(x-l)=0,

(^-l)(x+3-l)=0,

(x-l)(x+2)=0,

解得x=l,x=-2；

【小問2詳解】

2x~—6x——3i

即2/一6%+3=0,

a=2,b=—6,c—3,A=/?"—4-ac=36-24=12，

-b±J/-4ac6±2A/3

x=------------------=----------，

2a4

3+733-0

--------,x,=--------

222

【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，點(diǎn)E是回ABC的內(nèi)心，AE的延長線和回ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.

(1)當(dāng)I3ABC的外接圓半徑為1時，且［3BAC=60。，求弧BC的長度.

(2)連接BD,求證：DE=DB.

【答案】（1）-K；（2）詳見解析.

3

【分析】（1）設(shè)AABC的外接圓的圓心為0,連接OB、0C,由圓周角定理得出/BOC=120。，再由弧長公式即可

得出結(jié)果；

（2）連接BE,由三角形的內(nèi)心得出N1=N2,Z3=Z4,再由三角形的外角性質(zhì)和圓周角定理得出

ZDEB=ZDBE,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）解：設(shè)AABC外接圓的圓心為O,連接OB、OC,如圖1所示：

VZBAC=60°,

/.ZBOC=120°,

好AArz12071X12

???弧BC的長度=-------=-71.

1803

(2)證明：連接BE,如圖2所示:

圖2

,.?E是^ABC的內(nèi)心，

???N1=N2,N3=N4,

VZDEB=Z1+Z3,ZDBE=Z4+Z5

Z5=Z2,

.\NDEB=NDBE,

ADE=DB.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外心與內(nèi)心、圓周角定理、弧長公式、三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的判定等知

識；本題綜合性強(qiáng)，根據(jù)圓周角定理得出角的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

19.己知關(guān)于尤的一元二次方程f+（2m+l）x+m-2=0.

（1）求證：無論加取何值，此方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）當(dāng)該方程的判別式的值最小時，寫出根的值，并求出此時方程的解.

【答案】(1)見解析(2)m=0,為=—2,々=1

【分析】(1)判斷判別式的符號，即可得證；

(2)求出判別式的值最小時的機(jī)的值，再解一元二次方程即可.

【小問1詳解】

證明：VA=(2m+l)2-4x(m-2)=4m2+9,

m2>0>

A=4m2+9>0.

無論m取何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

【小問2詳解】

解：由題意可知，當(dāng)m=0時，A=4療+9的值最小.

將m=0代入x2+(2m+l)x+m-2=0,得/+工一2=0

解得：％1=—2,々=1.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，以及解一元二次方程.熟練掌握判別式與根的個數(shù)

的關(guān)系，以及解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△CAB繞點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到△C'A'3',點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為A,

點(diǎn)3旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為B',點(diǎn)、C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)為C,

y八

->

X

(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的△C'AB',并寫出點(diǎn)A'的坐標(biāo);

(2)求點(diǎn)3經(jīng)過的路徑BB'的長(結(jié)果保留萬).

【答案】⑴詳見解析，點(diǎn)4的坐標(biāo)為(2,1)

⑶3后

⑵-----兀

2

【分析】(1)利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫出對應(yīng)點(diǎn)，從而得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，然后寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可;

(2)先計算出08的長，然后利用弧長公式計算即可；

本題考查了作圖，旋轉(zhuǎn)作圖，坐標(biāo)點(diǎn)，弧長公式等知識，準(zhǔn)確作圖是解題關(guān)鍵.

【小問1詳解】

OB=d于+乎=3萬

，點(diǎn)5經(jīng)過的路徑的的長為吆需邑孚小

21.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)尤，縱坐標(biāo)y的對應(yīng)值如下表:

(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)畫出這個二次函數(shù)的圖象；

(3)若y<-3,結(jié)合函數(shù)圖象，直接寫出x的取值范圍.

【答案】(1)y=-x2+2x

(2)見解析(3)x>3,x<-l

【分析】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給

定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解，也考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

(1)利用表中的數(shù)據(jù)和拋物線的對稱性可得到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),設(shè)二次函數(shù)的解析式為：

y=a(x—1)，+1,把點(diǎn)(0,0)代入求出a的值即可；

(2)利用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)的圖象即可；

(3)根據(jù)y=-3時x的值，再結(jié)合函數(shù)圖象得出y<—3時，x的取值范圍即可.

【小問1詳解】

解：由題意可得：二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1),

設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a(x-l)2+l,

把點(diǎn)(0,0)代入y=a(x-l)2+1得，a=-l,

故拋物線解析式為y=—(x—I)?+1,即>=—+2%；

【小問2詳解】

解：由(1)知，拋物線頂點(diǎn)為(1,1),對稱抽為直線x=l,過原點(diǎn),

根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線過(2,0),

解：當(dāng)丁=一3時，一%2+2%=—3,

解得：%二-1,4=3,

結(jié)合函數(shù)圖象，當(dāng)yv—3時，％>3或XV—1.

22.我市茶葉專賣店銷售某品牌茶葉，其進(jìn)價為每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克,

后來經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每降低10元，則平均每周的銷售量可增加40千克.在平均每周獲利不變的情況

下，為盡可能讓利于顧客，贏得市場，每千克茶葉應(yīng)降價多少元？

【答案】每千克茶葉應(yīng)降價no元

【分析】設(shè)根據(jù)每千克茶葉應(yīng)降價x元，利用“利潤等于每千克的利潤乘以銷售的數(shù)量來求出周銷售利潤”即可

得一元二次方程，解方程即可求解.

【詳解】設(shè)每千克茶葉應(yīng)降價X元，每周利潤為(400—240)x200,則平均每周可售出1200+千克，

依題意，得：(400—240)x200=(400—240—x)1200+,

解得：%]=0,x2=110,

???為盡可能讓利于顧客，贏得市場，

x=110,

答：每千克茶葉應(yīng)降價no元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在VA5C中，ZBAC=9Q°,。是3C中點(diǎn)，連接AD.分別過點(diǎn)A,點(diǎn)C作,CE//DA,

交點(diǎn)為E.

(1)求證：四邊形AECD是菱形；

(2)若28=60°,AB=6,求四邊形AECD的面積.

【答案】(1)詳見解析

⑵18百

【分析】(1)先證四邊形AECD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得=即可得

2

出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)A作于點(diǎn)/，解直角三角形求出結(jié)果即可；

本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四

邊形的判定與性質(zhì)，證明四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵.

小問1詳解】

解：證明：AE//BC,CE//DA,

，四邊形AECD是平行四邊形，

在VABC中，ZBAC=9Q°,。是5c中點(diǎn),

:.AD=-BC=DC,

2

，四邊形AECD是菱形;

【小問2詳解】

過點(diǎn)A作于點(diǎn)/，則NAEB=90°,如圖:

:.ZBAF=90°-ZB=3Q0,

AB=6,

???在中，BF=-AB=3,

2

根據(jù)勾股定理可得，AF=YIAB2-BF2=&2-32=3G，

在RtZkC4B中，ZBAC=90°,ZB=60°,ZACB=90°-ZB=30°,AB=6,

:.BC=2AB=12,

。是3c的中點(diǎn),

:.DC=-BC=6,

2

S署形4“"=CD-AF=6x3^3=18A/3.

24.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=Ax+匕的圖象過點(diǎn)(1,3),(2,2).

(1)求這個一次函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)x>2時，對于x的每一個值，一次函數(shù)丁=如的值大于一次函數(shù)y=Ax+b的值，直接寫出機(jī)的取值范

H.

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=—工+4；

(2)m>l

【分析】(1)用待定系數(shù)法求解即可;

(2)根據(jù)題意列出關(guān)于俄的不等式即可求解.

【小問1詳解】

解：,??一次函數(shù)y=kx+b的圖象過點(diǎn)(1,3),(2,2),

k+b-3

把（1,3）,（2,2）代入得：，

乙K十一乙

k=-l

解得:

b=4

，一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+4；

【小問2詳解】

解：由（1）得：一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-x+4,

當(dāng)x=2時，y=2,

當(dāng)x>2時，對于x的每一個值，一次函數(shù)y=如的值大于一次函數(shù)了=丘+人的值，

把x=2代入丁=7儂得：y=2m,

2m>2，

解得：m>1.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，靈活掌握所學(xué)知識是解題關(guān)鍵.

25.擲實心球是中考體育考試項目之一，實心球投擲后的運(yùn)動軌跡可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平

面直角坐標(biāo)系，從投擲到著陸的過程中，實心球的豎直高度y（單位：m）與水平距離X（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)

系y=a（x—丸）2+左（。<0）.某位同學(xué)進(jìn)行了兩次投擲.

豎直高度Wm，

3

2

/

I

O1234567891011

水平距離x/m

（1）第一次投擲時，實心球的水平距離》與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m0246810

豎直距離y/m1.672.632.952.631.670.07

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出實心球豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-九）2+左（a<0）；

（2）第二次投擲時，實心球的豎直高度?與水平距離了近似滿足函數(shù)關(guān)系/=-0.09（元-3.8）2+2.97.記實心球第

一次著地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4,第二次著地點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為。2,則4d2（填“>”"=”或

【答案】(1)2.95,y=-0.08(%-4)2+2.95

(2)>

【分析】(1)先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)找到頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出實心球豎直高度的最大值，并利用待定系數(shù)法得到拋物

線解析式；

(2)設(shè)著陸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0,分別代入第一次和第二次的函數(shù)關(guān)系式，求出著陸點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為4和4,然后進(jìn)

行比較即可.

【小問1詳解】

解：由表格數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2.95),

所以實心球豎直高度的最大值為2.95,

設(shè)拋物線的解析式為：y=a(無-4)2+2.95,

將點(diǎn)(0,1.67)代入，得1.67=16。+2.95,

解得a=-0.08,

拋物線的解析式為：y=-0.08(x-4)2+2.95；

【小問2詳解】

解：第一次拋物線解析式為y=-0.08(尤-4)2+2.95,

令y=o,得到》=4+叵。，(負(fù)值舍去)，

4

第二次拋物線的解析式為y=-0.09(^-3.8)2+2.97,

令y=0,得到x=3.8+后，(負(fù)值舍去)

4+叵〉3.8+庖，

4

??2,

故答案為：>

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系

式.

26.如圖，已知拋物線％+與無軸交于點(diǎn)4(2,0).

(1)求機(jī)的值和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)求直線AM的解析式為；

(3)根據(jù)圖象，直接寫出當(dāng)%>為時工的取值范圍?

【答案】(1)m=—2,M(15-1);

(2)y2=x-2；

(3)x>2或％<1.

【分析】(1)將4(2,0)代入拋物線解析式，求得m,求出拋物線的對稱軸，即可求解;

(2)^y2=kx+b,將A、V兩點(diǎn)代入求解即可；

(3)結(jié)合函數(shù)圖像，可得在A點(diǎn)的右邊或M點(diǎn)的左邊，滿足％〉為，即可求解.

小問1詳解】

解：將4(2,0)代入％=f+7^^:可得

4+2m=0,解得m=—2,即%=/一2x,

2

則yr=x-2x的對稱軸為x=l

將x=l代入得，%=1-2=—1,即M(L—1)；

【小問2詳解】

解：設(shè)為=依+。，將A(2,0),M。,—1)代入可得

2k+b=0k=\

一廠解得

b=-2,

即為=%-2；

【小問3詳解】

解：由圖像可得：當(dāng)％〉為時x的取值范圍為尤>2或x<l

【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，根據(jù)圖象求解一元二次不等式，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).

27.如圖，正方形ABCD和正方形。EFG有公共頂點(diǎn)D

圖1圖2

(1)如圖1,連接AG和CE,直接寫出AG和CE數(shù)量及位置關(guān)系.

(2)如圖2,連接AE，M為AE中點(diǎn)，連接DM、CG,探究DM、CG的數(shù)量及位置關(guān)系，并說明理由;

【答案】(1)AG=CE,AG±CE；

(2)。暇，CG且CG=2Z)M,理由見解析

【分析】(1)如圖，延長AG交。C于T,交