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文檔簡介
高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1導(dǎo)數(shù)3.1.1函數(shù)的平均變化率教案新人教B版選修1-1課題:科目:班級:課時(shí):計(jì)劃3課時(shí)教師:單位:一、教學(xué)內(nèi)容本章為高中數(shù)學(xué)第三章“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”的第一小節(jié)“導(dǎo)數(shù)”,具體內(nèi)容為3.1.1“函數(shù)的平均變化率”。本節(jié)將依據(jù)新人教B版選修1-1教材,圍繞以下內(nèi)容進(jìn)行教學(xué):
1.函數(shù)平均變化率的定義及其求法;
2.利用平均變化率探究函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率;
3.通過實(shí)際例子,理解平均變化率在生活中的應(yīng)用;
4.掌握利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)瞬時(shí)變化率的方法;
5.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。
教學(xué)內(nèi)容將嚴(yán)格遵循教材,注重引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā),理解導(dǎo)數(shù)的基本概念,掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,并學(xué)會(huì)將其應(yīng)用于實(shí)際問題中。二、核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)致力于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。通過探究函數(shù)平均變化率的概念,學(xué)生將能:
1.抽象出函數(shù)變化率的數(shù)學(xué)模型,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng);
2.通過邏輯推理,理解平均變化率與瞬時(shí)變化率之間的關(guān)系,發(fā)展邏輯推理素養(yǎng);
3.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解瞬時(shí)變化率,構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,提高數(shù)學(xué)建模能力;
4.熟練進(jìn)行導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng);
5.將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于實(shí)際問題,培養(yǎng)解決實(shí)際問題的能力,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。
在教學(xué)過程中,注重引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、探索和實(shí)踐,使他們在掌握導(dǎo)數(shù)知識(shí)的同時(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)。三、教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)
(1)理解函數(shù)平均變化率的概念。學(xué)生需要掌握如何從實(shí)際問題中抽象出函數(shù)平均變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),以及該表達(dá)式的含義。
舉例:對于函數(shù)f(x),在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率表示為:(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)。
(2)掌握導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。學(xué)生需要理解導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率,并能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題。
舉例:導(dǎo)數(shù)f'(x)表示函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的瞬時(shí)變化率,其幾何意義為函數(shù)圖像在這一點(diǎn)處的切線斜率。
(3)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解瞬時(shí)變化率。學(xué)生需要掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,并能運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解具體函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。
舉例:對于冪函數(shù)f(x)=x^n,其導(dǎo)數(shù)為f'(x)=n*x^(n-1)。
2.教學(xué)難點(diǎn)
(1)從實(shí)際問題中抽象出平均變化率的數(shù)學(xué)表達(dá)式。學(xué)生往往難以將實(shí)際問題中的變化過程轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。
解決方法:通過實(shí)際案例,引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析和抽象,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。
(2)理解導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。導(dǎo)數(shù)的概念較為抽象,學(xué)生可能難以理解瞬時(shí)變化率的含義。
解決方法:借助圖像、動(dòng)畫等教學(xué)手段,直觀展示導(dǎo)數(shù)的幾何意義,幫助學(xué)生理解。
(3)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則掌握不夠熟練,容易混淆。
解決方法:總結(jié)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則,通過典型例題進(jìn)行講解和練習(xí),使學(xué)生熟練掌握。
(4)將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于實(shí)際問題。學(xué)生可能不知道如何將導(dǎo)數(shù)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題。
解決方法:設(shè)置實(shí)際情境,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解,培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用能力。四、教學(xué)資源1.軟硬件資源
-數(shù)學(xué)教材(新人教B版選修1-1)
-黑板、粉筆
-多媒體教學(xué)設(shè)備(投影儀、計(jì)算機(jī))
-函數(shù)圖像繪制軟件(如Geogebra、Graphmatica等)
2.課程平臺(tái)
-學(xué)校內(nèi)部學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)(LMS)
-電子白板
3.信息化資源
-PPT演示文稿
-數(shù)學(xué)教學(xué)視頻
-電子教案
-電子版練習(xí)題
4.教學(xué)手段
-探究式學(xué)習(xí)
-小組合作學(xué)習(xí)
-案例分析法
-互動(dòng)提問
-課后在線討論
-實(shí)際問題情景模擬五、教學(xué)實(shí)施過程1.課前自主探索
-教師活動(dòng):提前在學(xué)校內(nèi)部學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)上發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù),包括導(dǎo)數(shù)預(yù)習(xí)資料和引導(dǎo)性問題。
-學(xué)生活動(dòng):學(xué)生通過閱讀教材、預(yù)習(xí)資料,嘗試回答引導(dǎo)性問題,自主探索導(dǎo)數(shù)的概念。
-教學(xué)方法:采用翻轉(zhuǎn)課堂模式,引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)。
-教學(xué)手段:利用學(xué)校內(nèi)部學(xué)習(xí)管理系統(tǒng),提供電子預(yù)習(xí)資料。
-教學(xué)資源:預(yù)習(xí)資料、引導(dǎo)性問題。
-作用和目的:培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力,為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ),初步理解導(dǎo)數(shù)的概念。
2.課中強(qiáng)化技能
-環(huán)節(jié)一:導(dǎo)入新課
-教師活動(dòng):通過PPT展示實(shí)際案例,引入平均變化率的概念。
-學(xué)生活動(dòng):觀察案例,思考平均變化率的意義。
-教學(xué)方法:案例分析,互動(dòng)提問。
-教學(xué)手段:PPT展示,黑板板書。
-教學(xué)資源:實(shí)際案例,PPT。
-作用和目的:激發(fā)學(xué)生興趣,理解平均變化率的實(shí)際意義。
-環(huán)節(jié)二:探究導(dǎo)數(shù)定義
-教師活動(dòng):講解導(dǎo)數(shù)的定義,通過函數(shù)圖像軟件展示導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
-學(xué)生活動(dòng):小組討論,探索導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。
-教學(xué)方法:小組合作,探究式學(xué)習(xí)。
-教學(xué)手段:函數(shù)圖像軟件,黑板板書。
-教學(xué)資源:教材,函數(shù)圖像軟件。
-作用和目的:深入理解導(dǎo)數(shù)的定義,掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義。
-環(huán)節(jié)三:計(jì)算導(dǎo)數(shù)
-教師活動(dòng):講解導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則,通過例題演示計(jì)算過程。
-學(xué)生活動(dòng):跟隨教師思路,自主練習(xí)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。
-教學(xué)方法:講解示范,練習(xí)鞏固。
-教學(xué)手段:PPT展示,黑板板書。
-教學(xué)資源:例題,電子版練習(xí)題。
-作用和目的:掌握導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,突破難點(diǎn)。
-環(huán)節(jié)四:應(yīng)用導(dǎo)數(shù)
-教師活動(dòng):設(shè)置實(shí)際情境,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問題。
-學(xué)生活動(dòng):嘗試解決實(shí)際問題,展示解題過程。
-教學(xué)方法:實(shí)際問題情景模擬,互動(dòng)討論。
-教學(xué)手段:PPT展示,黑板板書。
-教學(xué)資源:實(shí)際情境題目。
-作用和目的:培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的能力。
3.課后拓展應(yīng)用
-教師活動(dòng):在學(xué)校內(nèi)部學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)上發(fā)布拓展練習(xí),提供在線討論平臺(tái)。
-學(xué)生活動(dòng):完成拓展練習(xí),參與在線討論,鞏固所學(xué)知識(shí)。
-教學(xué)方法:課后自主學(xué)習(xí),在線討論。
-教學(xué)手段:學(xué)校內(nèi)部學(xué)習(xí)管理系統(tǒng)。
-教學(xué)資源:拓展練習(xí)題,在線討論平臺(tái)。
-作用和目的:鞏固課堂所學(xué),提高學(xué)生的問題解決能力,促進(jìn)知識(shí)的內(nèi)化。六、知識(shí)點(diǎn)梳理1.函數(shù)平均變化率
-定義:函數(shù)在某一區(qū)間上的平均變化率表示為該區(qū)間內(nèi)函數(shù)值變化與自變量變化的比值。
-表達(dá)式:(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
-平均變化率的幾何意義:表示函數(shù)圖像上兩點(diǎn)的連線的斜率。
2.導(dǎo)數(shù)的定義
-定義:函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。
-表達(dá)式:f'(x)
-導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)圖像在這一點(diǎn)處的切線斜率。
3.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則
-基本規(guī)則:冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、常數(shù)倍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、和差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
-高級規(guī)則:乘積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、商函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。
4.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像
-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性:導(dǎo)數(shù)為正,函數(shù)單調(diào)遞增;導(dǎo)數(shù)為負(fù),函數(shù)單調(diào)遞減。
-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值:導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)。
5.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
-物理學(xué)中的速度與加速度:速度是位移對時(shí)間的導(dǎo)數(shù),加速度是速度對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。
-經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際分析:邊際成本、邊際收益等概念與導(dǎo)數(shù)密切相關(guān)。
6.實(shí)際問題中的導(dǎo)數(shù)
-求解最大值和最小值問題:通過求解導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),找到函數(shù)的極值。
-優(yōu)化問題:利用導(dǎo)數(shù)找到函數(shù)的最優(yōu)解,如最短路徑、最大面積等。
7.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法
-直接求導(dǎo):根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算。
-導(dǎo)數(shù)公式:運(yùn)用已知的導(dǎo)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。
-鏈?zhǔn)椒▌t:用于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算。
8.導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)
-線性性質(zhì):導(dǎo)數(shù)的和等于各部分導(dǎo)數(shù)的和。
-乘積法則:兩個(gè)函數(shù)的乘積的導(dǎo)數(shù)等于其中一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以另一個(gè)函數(shù)加上另一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以其中一個(gè)函數(shù)。
-商法則:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母減去分母的導(dǎo)數(shù)乘以分子,再除以分母的平方。
9.導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用
-確定物體的速度和加速度。
-求解曲線的切線方程。
-分析函數(shù)的增減性和極值。
-解決最優(yōu)化問題。七、課后作業(yè)1.求函數(shù)f(x)=3x^2-2x+1在區(qū)間[1,3]上的平均變化率。
答案:(f(3)-f(1))/(3-1)=(27-3)/2=12
2.已知函數(shù)g(x)=x^3-4x^2+2x,求g(x)在x=2處的瞬時(shí)變化率(導(dǎo)數(shù))。
答案:g'(x)=3x^2-8x+2,代入x=2得到g'(2)=12-16+2=-2
3.求函數(shù)h(x)=x^4-6x^2+5在x=1處的切線方程。
答案:h'(x)=4x^3-12x,代入x=1得到h'(1)=-8。切點(diǎn)為(1,0),所以切線方程為y=-8(x-1)。
4.若物體運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)s(t)=t^2-3t+2,求物體在t=2秒時(shí)的速度。
答案:s'(t)=2t-3,代入t=2得到s'(2)=1m/s。
5.某商品的成本函數(shù)C(x)=3x^2+2x+10,其中x為生產(chǎn)數(shù)量。求生產(chǎn)數(shù)量為20時(shí)的邊際成本。
答案:C'(x)=6x+2,代入x=20得到C'(20)=122。所以邊際成本為122元/件。八、教學(xué)反思與改進(jìn)在本次教學(xué)過程中,我重點(diǎn)關(guān)注了學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解和應(yīng)用能力的培養(yǎng)。通過課后反思,我發(fā)現(xiàn)以下幾個(gè)亮點(diǎn)和需要改進(jìn)的地方:
1.亮點(diǎn):
-采用翻轉(zhuǎn)課堂模式,讓學(xué)生在課前自主探索導(dǎo)數(shù)的概念,提高了學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。
-利用函數(shù)圖像軟件和實(shí)際案例,使學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的幾何意義和實(shí)際應(yīng)用有了更直觀的認(rèn)識(shí)。
-小組合作和互動(dòng)提問的方式,激發(fā)了學(xué)生的思考,提高了課堂氛圍。
2.需要改進(jìn)的地方:
-在講解導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則時(shí),部分學(xué)生對乘積法則和商法則掌握不夠熟練,需要加強(qiáng)個(gè)別輔導(dǎo)和針對性練習(xí)。
-在實(shí)際問題中的應(yīng)用環(huán)節(jié),部分學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的能力較弱,需要在今后的教學(xué)中增加此類題目的講解和練習(xí)。
-部分學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的定義理解不夠深入,容易與平均變化率混淆,需要通過更多實(shí)例和練習(xí)來強(qiáng)化理解。
針對上述問題,我制定了以下改進(jìn)措施:
1.在講解導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則時(shí),增加典型例題的數(shù)量,并對學(xué)生進(jìn)行分類指導(dǎo),針對不同水平的學(xué)生提供不同難度的題目。
2.在實(shí)際問題環(huán)節(jié),引入更多與生活相關(guān)的案例,讓學(xué)生在實(shí)際情境中運(yùn)用導(dǎo)數(shù),提高解決問題的能力。
3.加強(qiáng)導(dǎo)數(shù)與平均變化率的對比講解,通過圖像、動(dòng)畫等教學(xué)手段,幫助學(xué)生深入理解導(dǎo)數(shù)的定義。
4.課后及時(shí)了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,通過作業(yè)、測試等形式,掌握學(xué)生對知識(shí)點(diǎn)的掌握程度,為下一節(jié)課的教學(xué)提供參考。
5.鼓勵(lì)學(xué)生積極參與課堂討論,培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力和團(tuán)隊(duì)合作精神。
在未來的教學(xué)中,我將不斷調(diào)整和優(yōu)化教學(xué)方法,關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異,以提高教學(xué)效果。同時(shí),加強(qiáng)對學(xué)生的輔導(dǎo)和指導(dǎo),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)他們運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的能力。板書設(shè)計(jì)①導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)
-函數(shù)平均變化率
-表達(dá)式:(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)
-導(dǎo)數(shù)的定義
-表達(dá)式:f'(x)
-幾何意義:切線斜率
②導(dǎo)數(shù)的計(jì)算規(guī)則
-冪函數(shù)導(dǎo)數(shù)
-例子:f(x)=x^n,f'(x)=n*x^(n-1)
-基本導(dǎo)數(shù)公式
-常數(shù)倍、和差、乘積、商的導(dǎo)數(shù)
③導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
-物理學(xué):速度與加速度
-經(jīng)濟(jì)學(xué):邊際分析
-實(shí)際問題:最值、優(yōu)化
板書設(shè)計(jì)采用簡潔明了的框架,突出重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn),同時(shí)注重藝術(shù)性和趣味性。通過顏色、粗細(xì)、圖形等元素的運(yùn)用,使板書更具吸引力,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。作業(yè)布置與反饋1.作業(yè)布置:
-基礎(chǔ)作業(yè):計(jì)算函數(shù)f(x)=2x^3-4x^2+3x在x=1處的導(dǎo)數(shù)。
-提高作業(yè):已知函數(shù)g(x)=x^4-6x^2+9,求g(x)的導(dǎo)數(shù),并判斷其在區(qū)間[-2,2]上的單調(diào)性。
-實(shí)踐作業(yè):某商品的銷售量y與價(jià)格x之間的關(guān)系為y=-2x^2+8x+6,求銷售量最大時(shí)的價(jià)格。
2.作業(yè)反饋:
-及時(shí)批改學(xué)生的作業(yè),對正確答案給予肯定,對錯(cuò)誤答案給出明確的修改建議。
-針對學(xué)生普遍存在的問題,進(jìn)行集中講解和輔導(dǎo),幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。
-對學(xué)生在作業(yè)中展現(xiàn)出的創(chuàng)新思維和獨(dú)特見解,給予表揚(yáng)和鼓勵(lì),激發(fā)學(xué)生的學(xué)
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