專題07三角形的計(jì)算與證明-2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（原卷版）

2023年中考數(shù)學(xué)大題高分秘籍（江蘇專用）專題07三角形的計(jì)算與證明【方法揭秘】揭示思想方法，提升解題效率全等三角形的性質(zhì)與判定全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等；全等三角形的周長(zhǎng)相等，面積相等；全等三角形對(duì)應(yīng)的中線、高線、角平分線、中位線都相等．全等三角形的判定定理：①邊邊邊定理：有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或“SSS”）；②邊角邊定理：有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或“SAS”）；③角邊角定理：有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角邊角”或“ASA”）；④角角邊定理：有兩角和它們所對(duì)的任意一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“角角邊”或“AAS”）；⑤對(duì)于特殊的直角三角形，判定它們?nèi)葧r(shí)，還有HL定理（斜邊、直角邊定理）：有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（可簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．（3）判定兩個(gè)三角形全等的思路（4）全等三角形中常見的輔助線：①把三角形一邊的中線延長(zhǎng)，把分散條件集中到同一個(gè)三角形中是解決中線問(wèn)題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法”，這些問(wèn)題經(jīng)常用到全等三角形來(lái)證明．等腰三角形與等邊三角形等腰三角形的性質(zhì)：性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角）．推論：等腰三角形頂角平分線平分底邊并且垂直于底邊，即等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合．等腰三角形的判定判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．【簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊】說(shuō)明：①等腰三角形是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來(lái)底邊的高線也可以作未來(lái)頂角的角平分線，但不能作未來(lái)底邊的中線；④判定定理在同一個(gè)三角形中才能適用．等邊三角形的性質(zhì)①等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．②等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線是對(duì)稱軸．（4）等邊三角形的判定①由定義判定：三條邊都相等的三角形是等邊三角形．②）判定定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．③判定定理2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．說(shuō)明：在證明一個(gè)三角形是等邊三角形時(shí)，若已知或能求得三邊相等則用定義來(lái)判定；若已知或能求得三個(gè)角相等則用判定定理1來(lái)證明；若已知等腰三角形且有一個(gè)角為60°，則用判定定理2來(lái)證明．4.直角三角形與勾股定理（1）定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形．（2）性質(zhì)：①直角三角形兩銳角互余；②在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；③在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（3）判定：①兩個(gè)內(nèi)角互余的三角形是直角三角形；②三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．（4）勾股定理：直角三角形的兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方，即：a2+b2=c2．（5）勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊a、b、c有關(guān)系：a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．5.相似三角形性質(zhì)與判定（1）定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比．（2）性質(zhì)：①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；②相似三角形的對(duì)應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；③相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比，面積比等于相似比的平方．（3）判定：①有兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似；④兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．相似基本模型：【專項(xiàng)突破】深挖考點(diǎn)考向，揭示內(nèi)涵實(shí)質(zhì)考向一、全等三角形的性質(zhì)與判定1．（2022·江蘇鹽城·鹽城市第四中學(xué)（鹽城市藝術(shù)高級(jí)中學(xué)、鹽城市逸夫中學(xué)）?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．(1)求證(2)若，，求的長(zhǎng)．2．（2021·江蘇常州·常州實(shí)驗(yàn)初中校考二模）如圖，點(diǎn)C、E、F、B在同一直線上，點(diǎn)A、D在BC異側(cè)，ABCD，AE＝DF，∠A＝∠D．(1)求證：AB＝CD；(2)若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度數(shù)．3．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考二模）在①DE＝BC，②，③AE＝AC這三個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答．問(wèn)題：如圖，AC平分，D是AC上的一點(diǎn)，．若______，求證：．4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知AB=CD，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AF=CE．(1)說(shuō)明：△ABE≌△CDF；(2)連接BC，若∠CFD=100°，∠BCE=30°，求∠CBE的度數(shù)．5．（2019·江蘇徐州·統(tǒng)考三模）在中，，如圖①，當(dāng)，為的平分線時(shí)，在上截取，連接DE，易證．(1)如圖②，當(dāng)，為的角平分線時(shí)，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要說(shuō)明理由，請(qǐng)直接寫出你的猜想.(2)如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時(shí)，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并對(duì)你的猜想進(jìn)行說(shuō)明.考向二、等腰三角形與等邊三角形6．（2017·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考模擬）已知：如圖，在四邊形中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．(1)求證：是等腰三角形：(2)當(dāng)°時(shí)，是等邊三角形．7．（2022·江蘇南京·南師附中樹人學(xué)校校考二模）如圖，在中，，垂足為H，且，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作，分別交于F，M．(1)求證；(2)若，求的長(zhǎng)．8．（2020·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考一模）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了如下的題目：“在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且ED＝EC，如圖，試確定線段AE與DB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由”．小敏與同桌小聰討論后，進(jìn)行了如下解答：(1)特殊情況，探索結(jié)論當(dāng)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，如圖1，確定線段AE與DB的大小關(guān)系，請(qǐng)你直接寫出結(jié)論：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．(2)特例啟發(fā)，解答題目題目中，AE與DB的大小關(guān)系是：AEDB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EFBC，交AC于點(diǎn)F．（請(qǐng)你完成以下解答過(guò)程）(3)拓展結(jié)論，設(shè)計(jì)新題在等邊三角形ABC中，點(diǎn)E在直線AB上，點(diǎn)D在直線BC上，且ED＝EC．若△ABC的邊長(zhǎng)為1，AE＝2，求CD的長(zhǎng)（請(qǐng)你直接寫出結(jié)果）．9．（2022·江蘇揚(yáng)州·校聯(lián)考三模）已知和都為等腰三角形，．(1)當(dāng)時(shí)，①如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，請(qǐng)直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不在上時(shí)，判斷線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)時(shí)，①如圖3，探究線段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．10．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，點(diǎn)在上，且．(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)诘难娱L(zhǎng)線上找一點(diǎn)，使得；（不寫作圖，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下探索與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．考向三、直角三角形與勾股定理11．（2022·江蘇無(wú)錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知中，，，，垂直平分交于，交于，連接，求的長(zhǎng)．12．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，點(diǎn)D在BC上且DA⊥AC，垂足為A．(1)求證：；(2)若BD＝2，則AC的長(zhǎng)是______．13．（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？级＃┮阎鰽BC，∠B=60°，．(1)如圖1，若，求AC的長(zhǎng)；(2)試確定四邊形ABCD，滿足∠ADC+∠B=180°，且AD=2DC．（尺規(guī)作圖，不需寫作法，但要保留作圖痕跡．）14．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）定義：若一個(gè)三角形一邊長(zhǎng)的平方等于另兩邊長(zhǎng)的乘積的2倍，我們把這個(gè)三角形叫做有趣三角形．(1)若是有趣三角形，，，則______；(2)已知等腰的周長(zhǎng)為10，若是有趣三角形，求的腰長(zhǎng)；(3)如圖，在中，，點(diǎn)，在邊上，且是以為斜邊的等腰直角三角形．求證：由三條線段，，組成的三角形是有趣三角形．15．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D為BC邊上一點(diǎn)（與B，C不重合），連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD交AB于點(diǎn)E，設(shè)CD＝a，(1)求證：∠CAD＝∠BCE；(2)當(dāng)a＝時(shí)，求BE的長(zhǎng)；(3)探究的值（用含a的代數(shù)式表示）．考向四、幾何基本作圖16．（2022·江蘇無(wú)錫·校考二模）如圖，，P為線段上的一點(diǎn)．

(1)在圖①中僅用圓規(guī)和無(wú)刻度直尺分別在、上分別作點(diǎn)E、F，使，且．無(wú)需寫出作圖步驟，但保留作圖痕跡；(2)若，求．（圖②供問(wèn)題（2）用）17．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┤鐖D，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，．(1)試用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)，在上作一點(diǎn)，使得直線平分的周長(zhǎng)；(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)；(2)在（1）的條件下，若，，求的長(zhǎng)．18．（2020·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．(1)尺規(guī)作圖：不寫作法，保留作圖痕跡．①作∠ACB的平分線，交斜邊AB于點(diǎn)D；②過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為E．(2)在（1）作出的圖形中，求DE的長(zhǎng)．19．（2022·江蘇鹽城·濱海縣第一初級(jí)中學(xué)校考三模）如圖，一張矩形紙片ABCD中，，．將矩形紙片折疊，使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折痕交AD于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作出折痕MN（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，連接AN、CM，判斷四邊形ANCM的形狀并說(shuō)明理由；(3)若，，求折痕MN的長(zhǎng)．20．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）已知△ABC，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)完成下列作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．(1)在圖①中，BC所在直線的下方求作一點(diǎn)M，使得∠BMC＝∠A；(2)在圖②中，BC所在直線的下方求作一點(diǎn)N，使得∠BNC＝2∠A．考向五、相似三角形21．（2022·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，點(diǎn)D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，∠ABC＝∠ACD．(1)求證：△ABC∽△ACD；(2)當(dāng)AD＝2，AB＝3時(shí)，求AC的長(zhǎng)．22．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，中，平分，，(1)求證：﹔(2)若，求．23．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知：中，為邊上的一點(diǎn)(1)如圖①，過(guò)點(diǎn)作DE//AB交邊于點(diǎn)若，，，求的長(zhǎng)；(2)在圖②中，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在邊上作點(diǎn)，使；保留作圖痕跡，不要求寫作法(3)如圖③，點(diǎn)在邊上，連接、若，的面積等于，以為半徑作，試判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．24．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，點(diǎn)E、F、G分別在邊上，且．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng).25．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)泰州市第二中學(xué)附屬初中校考期末）（1）如圖1，、為等邊中邊所在直線上兩點(diǎn)，，求證：；（2）中，，請(qǐng)用不含刻度的直尺和圓規(guī)在上求作兩點(diǎn)、，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，使得為等邊三角形；（3）在（1）的條件下，為邊上一點(diǎn)，過(guò)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，，，求的值．（用含有的代數(shù)式表示）考向六、三角形綜合問(wèn)題26．（2023秋·江蘇南通·八年級(jí)校聯(lián)考期末）（1）如圖1，在中．點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊上，，．求證；（2）如圖2．在中．．點(diǎn)D，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)．且．以為腰向右作等腰．使得．連接．①試猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．②如圖3．已知，點(diǎn)G是的中點(diǎn)，連接．請(qǐng)直接寫出的度數(shù)和的最小值．27．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的角平分線，，、所對(duì)的邊記為a、c．(1)當(dāng)時(shí)，求a的值；(2)求的面積（用含a，c的式子表示即可）；(3)求證：a，c之和等于a，c之積．28．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）(1)如圖1，在四邊形中，，，對(duì)角線，求四邊形的面積；(2)如圖2，園藝設(shè)計(jì)師想在正六邊形草坪一角內(nèi)改建一個(gè)小型的兒童游樂(lè)場(chǎng)，其中平分，米，，點(diǎn)M，N分別在射線和上，且，為了盡可能的少破壞草坪，要使游樂(lè)場(chǎng)面積最小，你認(rèn)為園林規(guī)劃局的想法能實(shí)現(xiàn)嗎？若能，請(qǐng)求出游樂(lè)場(chǎng)面積的最小值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．29．（2022秋·江蘇常州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1，在中，，D為射線上（不與B、C重合）一動(dòng)點(diǎn)，在的右側(cè)射線的上方作．使得，，連接．(1)找出圖中的一對(duì)全等三角形，并證明你的結(jié)論；(2)延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，①利用（1）中的結(jié)論求出的度數(shù)；②當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出的度數(shù)；(3)當(dāng)D在線段上時(shí)，若線段，面積為3，則四邊形周長(zhǎng)的最小值是．30．（2022春·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）(1)如圖1，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、在線段上方，連接、、、、，當(dāng)時(shí)，（填“”或“”；(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)、在線段上方，連接、、、、，當(dāng)銳角時(shí)，（1）中的結(jié)論是否依然成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖3，在中，，，點(diǎn)為邊中點(diǎn)．點(diǎn)是邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A出發(fā)，以每秒的速度，沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在邊上，且．點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒），當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．【真題再現(xiàn)】直面中考真題，實(shí)戰(zhàn)培優(yōu)提升一、解答題1．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，點(diǎn)A、D、C、F在一條直線上，且AD=CF，AB=DE，∠BAC=∠EDF．求證：∠B=∠E．2．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點(diǎn)A在射線OX上，OA=a．如果OA繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n°(0<n≤360)到OA′，那么點(diǎn)A′(1)按上述表示方法，若a=3，n=37，則點(diǎn)A′(2)在（1）的條件下，已知點(diǎn)B的位置用3,74°表示，連接A′A、A′3．（2021·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）已知：如圖，AC，DB相交于點(diǎn)O，AB=DC，∠ABO=∠DCO．求證：（1）△ABO≌△DCO；（2）∠OBC=∠OCB．4．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC是四邊形ABCD的對(duì)角線，∠1＝∠B，點(diǎn)E、F分別在AB、BC上，BE＝CD，BF＝CA，連接EF．（1）求證：∠D＝∠2；（2）若EF∥AC，∠D＝78°，求∠BAC的度數(shù)．5．（2020·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC．DC=EC，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：AE=BD；（2）求∠AFD的度數(shù)．6．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將一張長(zhǎng)方形紙片ABCD沿E折疊，使C,A兩點(diǎn)重合．點(diǎn)D落在點(diǎn)G處．已知AB=4，BC=8（1）求證：ΔAEF是等腰三角形；（2）求線段FD的長(zhǎng)．7．（2022·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若∠B=60°，AB=2，BC=3，則四邊形ABCD的面積為8．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，AE與CD交于點(diǎn)F．(1)求證：△DAF≌△ECF；(2)若∠FCE=40°，求∠CAB的度數(shù)．9．（2021·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，B、F、C、E是直線l上的四點(diǎn)，AB//（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）將△ABC沿直線l翻折得到△A①用直尺和圓規(guī)在圖中作出△A②連接A′D，則直線A′10．（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖①，O為AB的中點(diǎn)，直線l1、l2分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、B，且l1∥l2，以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫弧交直線l2于點(diǎn)C，連接AC．求證：直線l1垂直平分AC；（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1∥l2∥l3∥l4，且相鄰兩直線間距離相等，點(diǎn)P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ．用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺在直線l4上求作一點(diǎn)D，使線段PD最短．（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）11．（2021·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，OA=OD,∠ABO=∠DCO，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF//CD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）求證△AOB≌△DOC；（2）若AB=2,BC=3,CE=1，求EF的長(zhǎng)．12．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，三條筆直公路兩兩相交，交點(diǎn)分別為A、B、C，測(cè)得∠CAB=30°，∠ABC=45°，AC=8千米，求A、B兩點(diǎn)間的距離．（參考數(shù)據(jù)：2≈1.4，313．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知線段a，點(diǎn)A在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，（1）用直尺和圓規(guī)在第一象限內(nèi)作出點(diǎn)P，使點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，且與點(diǎn)A的距離等于a．（保留作圖痕跡，不寫作法）（2）在（1）的條件下，若a≈25，A點(diǎn)的坐標(biāo)為3,1，求P14．（2020·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）問(wèn)題1：如圖①，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=90°，P是BC上一點(diǎn)，PA=PD，∠APD=90°．求證：AB+CD=BC．問(wèn)題2：如圖②，在四邊形ABCD中，∠B=∠C=45°，P是BC上一點(diǎn)，PA=PD，∠APD=90°．求AB+CDBC15．（2020·江蘇無(wú)錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB//CD，AB=CD，BE=CF．求證：（1）ΔABF?ΔDCE；（2）AF//DE．16．（2020·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【初步嘗試】（1）如圖①，在三角形紙片ABC中，∠ACB=90°，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，則AM與BM的數(shù)量關(guān)系為；【思考說(shuō)理】（2）如圖②，在三角形紙片ABC中，AC=BC=6，AB=10，將△ABC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為MN，求AMBM【拓展延伸】（3）如圖③，在三角形紙片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，將△ABC沿過(guò)頂點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)B′處，折痕為CM①求線段AC的長(zhǎng)；②若點(diǎn)O是邊AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OB′上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△APM沿PM折疊得到△A′PM，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，A′17．（2021·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊AD上（P不與A,D重合），連接PB,PC．將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PE，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PF．連接EF,EA,FD．（1）求證：①ΔPDF的面積S=1②EA=FD；（2）如圖2，EA.FD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，取EF的中點(diǎn)N，連接MN，求MN的取值范圍．1