高考數(shù)學(xué)科學(xué)復(fù)習(xí)提升版第40講空間點(diǎn)直線(xiàn)平面之間的位置關(guān)系

第40講空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系[課程標(biāo)準(zhǔn)]借助長(zhǎng)方體，在直觀(guān)認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系的定義，并了解基本事實(shí)和定理．1．基本事實(shí)與推論(1)基本事實(shí)1：過(guò)eq\x(\s\up1(01))不在一條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．即eq\x(\s\up1(02))不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．(2)基本事實(shí)2：如果一條直線(xiàn)上的eq\x(\s\up1(03))兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在這個(gè)平面內(nèi)．(3)基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)eq\x(\s\up1(04))該點(diǎn)的公共直線(xiàn)．(4)三個(gè)推論推論1：經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和eq\x(\s\up1(05))這條直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面．2．空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)異面直線(xiàn)的定義把不同在eq\x(\s\up1(06))任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)叫做異面直線(xiàn)．(2)位置關(guān)系的分類(lèi)eq\a\vs4\al(空間,直線(xiàn))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(共面直線(xiàn)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(相交直線(xiàn),\x(\s\up1(07))平行直線(xiàn))),異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有,公共點(diǎn)))(3)基本事實(shí)4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)eq\x(\s\up1(08))平行．(4)定理：如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角eq\x(\s\up1(09))相等或互補(bǔ)．(5)異面直線(xiàn)所成的角①定義：已知兩條異面直線(xiàn)a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線(xiàn)a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的角叫做異面直線(xiàn)a與b所成的角(或夾角)．②范圍：eq\x(\s\up1(10))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．3．空間直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系關(guān)系位置圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言公共點(diǎn)直線(xiàn)與平面相交a∩α＝A1個(gè)平行a∥α0個(gè)在平面內(nèi)a?α無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面平行α∥β0個(gè)相交α∩β＝l無(wú)數(shù)個(gè)1．異面直線(xiàn)判定的一個(gè)方法與一個(gè)平面相交的直線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn)．2．唯一性定理(1)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行．(2)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線(xiàn)垂直．(3)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行．(4)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知平面垂直．1．已知異面直線(xiàn)a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線(xiàn)c一定()A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行答案C解析由題意易知，c與a，b都可相交，也可只與其中一條相交，故A，B錯(cuò)誤；若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，根據(jù)基本事實(shí)4，知a∥b，與a，b為異面直線(xiàn)矛盾，D錯(cuò)誤．故選C.2．(人教A必修第二冊(cè)8.4.1練習(xí)T2改編)下列說(shuō)法中正確的是()A．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 B．四邊形確定一個(gè)平面C．梯形確定一個(gè)平面 D．空間任意兩條直線(xiàn)確定一個(gè)平面答案C解析不共線(xiàn)的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，故A錯(cuò)誤；四邊形有可能是空間四邊形，故四邊形不一定能確定一個(gè)平面，故B錯(cuò)誤；因?yàn)樘菪斡幸唤M對(duì)邊平行，所以梯形確定一個(gè)平面，故C正確；兩條異面直線(xiàn)不能確定一個(gè)平面，故D錯(cuò)誤．故選C.3.(人教A必修第二冊(cè)8.6.1練習(xí)T4改編)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝2，BB1＝1，AC＝2eq\r(2)，則異面直線(xiàn)BD與AC所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案C解析如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則AC∥A1C1∥DE，則∠BDE(或其補(bǔ)角)即為異面直線(xiàn)BD與AC所成的角．由條件知，BD＝DE＝EB＝eq\r(2)，則∠BDE＝60°.故選C.4.(多選)如圖，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C?l，直線(xiàn)AB∩l＝D，A，B，C三點(diǎn)確定的平面記為γ，則平面γ與β的交線(xiàn)必過(guò)()A．點(diǎn)A B．點(diǎn)BC．點(diǎn)C D．點(diǎn)D答案CD解析因?yàn)锳B∩l＝D，所以D∈AB.又A，B，C三點(diǎn)確定平面γ，所以C∈γ，D∈γ.又C，D∈β，故C，D在γ和β的交線(xiàn)上．故選CD.5．設(shè)a，b，c是空間中的三條直線(xiàn)，下面給出四個(gè)命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a⊥b，b⊥c，則a∥c；③若a與b相交，b與c相交，則a與c相交；④若a?平面α，b?平面β，則a，b一定是異面直線(xiàn)．上述命題中錯(cuò)誤的是________(寫(xiě)出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào))．答案②③④解析由基本事實(shí)4知①正確；當(dāng)a⊥b，b⊥c時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故②錯(cuò)誤；當(dāng)a與b相交，b與c相交時(shí)，a與c可以相交、平行或異面，故③錯(cuò)誤；a?α，b?β，并不能說(shuō)明a與b不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，故④錯(cuò)誤．考向一基本事實(shí)與推論的應(yīng)用例1如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)．證明(1)如圖所示，連接EF，CD1，A1B.∵E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B.又A1B∥CD1，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴直線(xiàn)CE與直線(xiàn)D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P.則由P∈CE，CE?平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直線(xiàn)DA，∴CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn)．1．證明點(diǎn)或線(xiàn)共面問(wèn)題的兩種方法(1)首先由所給條件中的部分線(xiàn)(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(xiàn)(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)．(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．2．證明點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題的兩種方法(1)先由兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，再證其他各點(diǎn)都在這條直線(xiàn)上．(2)直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線(xiàn)上．3．證明線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法先證其中兩條直線(xiàn)交于一點(diǎn)，再證其他直線(xiàn)經(jīng)過(guò)該點(diǎn)．提醒：點(diǎn)共線(xiàn)、線(xiàn)共點(diǎn)等都是應(yīng)用基本事實(shí)3，證明點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)，即證明點(diǎn)在交線(xiàn)上．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)設(shè)直線(xiàn)EG與直線(xiàn)FH交于點(diǎn)P.求證：P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)．證明(1)∵E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，∴EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)∵EG∩FH＝P，∴P∈EG，∵EG?平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)，又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三點(diǎn)共線(xiàn)．考向二空間兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系例2(1)(多選)如圖所示，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，l?平面A1B1C1D1，且l與B1C1不平行，則下列結(jié)論能成立的是()A．l與AD平行 B．l與AB異面C．l與CD所成的角為30° D．l與BD垂直答案BCD解析假設(shè)l∥AD，則由AD∥BC∥B1C1，可得l∥B1C1，與“l(fā)與B1C1不平行”矛盾，所以l與AD不平行，A錯(cuò)誤；取l為A1C1所在直線(xiàn)，滿(mǎn)足B，B正確；又因?yàn)閘⊥B1D1，B1D1∥BD，所以l⊥BD，D正確；取l與C1D1成30°角，因?yàn)镃1D1∥CD，所以此時(shí)l與CD所成的角為30°，C正確．故選BCD.(2)在底面半徑為1的圓柱OO1中，過(guò)旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線(xiàn)AB＝2，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線(xiàn)B．AE≠CF，AC與EF是共面直線(xiàn)C．AE＝CF，AC與EF是異面直線(xiàn)D．AE≠CF，AC與EF是異面直線(xiàn)答案D解析由題意，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E是eq\o(BC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AC?平面ABC，所以EF與平面ABC相交，且與AC無(wú)交點(diǎn)，所以AC與EF是異面直線(xiàn)．又CF＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，AE＝eq\r(22＋（\r(2)）2)＝eq\r(6)，所以AE≠CF.故選D.空間兩條直線(xiàn)位置關(guān)系的判定方法1.已知平面α和直線(xiàn)l，則α內(nèi)至少有一條直線(xiàn)與l()A．平行 B．相交C．垂直 D．異面答案C解析直線(xiàn)l與平面α斜交時(shí)，在平面α內(nèi)不存在與l平行的直線(xiàn)，∴A錯(cuò)誤；當(dāng)l?α?xí)r，在平面α內(nèi)不存在與l異面的直線(xiàn)，∴D錯(cuò)誤；當(dāng)l∥α?xí)r，在平面α內(nèi)不存在與l相交的直線(xiàn)，∴B錯(cuò)誤；無(wú)論哪種情形在平面α內(nèi)都有無(wú)數(shù)條直線(xiàn)與l垂直，∴C正確．故選C.2.如圖為正方體表面的一種展開(kāi)圖，則圖中的四條線(xiàn)段AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線(xiàn)的對(duì)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案C解析還原的正方體如圖所示，是異面直線(xiàn)的共三對(duì)，分別為AB與CD，AB與GH，EF與GH.考向三異面直線(xiàn)所成的角例3(1)如圖，在三棱錐D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F(xiàn)分別是棱DC，AB的中點(diǎn)，則EF與AC所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)G，連接FG，EG.∵E，F(xiàn)分別為DC，AB的中點(diǎn)，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)AC，EG＝eq\f(1,2)BD.∴∠EFG(或其補(bǔ)角)為EF與AC所成的角．∵AC＝BD，∴FG＝EG.∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG為等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF與AC所成的角為45°.故選B.(2)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，則異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5) B.eq\f(\r(5),6)C.eq\f(\r(5),5) D.eq\f(\r(2),2)答案C

解析解法一(補(bǔ)形法)：如圖，補(bǔ)上一相同的長(zhǎng)方體CDEF－C1D1E1F1，連接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，則∠B1DE1(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以DE1＝eq\r(DE2＋EEeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2，DB1＝eq\r(12＋12＋（\r(3)）2)＝eq\r(5)，B1E1＝eq\r(A1Beq\o\al(2,1)＋A1Eeq\o\al(2,1))＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝eq\f(22＋（\r(5)）2－（\r(5)）2,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選C.解法二(平移法)：如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點(diǎn)M，連接DM，OM，易知O為BD1的中點(diǎn)，所以AD1∥OM，則∠MOD(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)AD1與DB1所成的角．因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(3)，所以AD1＝eq\r(AD2＋DDeq\o\al(2,1))＝2，DM＝eq\r(AD2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AB))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2)，DB1＝eq\r(AB2＋AD2＋BBeq\o\al(2,1))＝eq\r(5)，所以O(shè)M＝eq\f(1,2)AD1＝1，OD＝eq\f(1,2)DB1＝eq\f(\r(5),2)，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝eq\f(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))\s\up12(2),2×1×\f(\r(5),2))＝eq\f(\r(5),5)，即異面直線(xiàn)AD1與DB1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5).故選C.求異面直線(xiàn)所成角的方法平移法將異面直線(xiàn)中的某一條平移，使其與另一條相交，一般采用圖中已有的平行線(xiàn)或作平行線(xiàn)，形成三角形求解補(bǔ)形法在該幾何體的某側(cè)補(bǔ)接上同樣一個(gè)幾何體，在這兩個(gè)幾何體中找異面直線(xiàn)相應(yīng)的位置，形成三角形求解坐標(biāo)法如果幾何圖形便于建系，可以將問(wèn)題坐標(biāo)化，借助向量求解注意：平移法求異面直線(xiàn)所成角時(shí)，選點(diǎn)要靈活，經(jīng)常選擇“端點(diǎn)、中點(diǎn)、等分點(diǎn)”，通過(guò)作三角形的中位線(xiàn)，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線(xiàn)所成的角．1.(2021·全國(guó)乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點(diǎn)，則直線(xiàn)PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,6)答案D解析如圖，連接A1C1，BC1，因?yàn)锳D1∥BC1，所以∠PBC1(或其補(bǔ)角)為直線(xiàn)PB與AD1所成的角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則PB＝eq\r(6)，PC1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，則PB2＋PCeq\o\al(2,1)＝BCeq\o\al(2,1)，所以PB⊥PC1，△PBC1為直角三角形．在Rt△PBC1中，因?yàn)閟in∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(\r(2),2\r(2))＝eq\f(1,2)，所以直線(xiàn)PB與AD1所成的角為eq\f(π,6).故選D.2.如圖，圓臺(tái)OO1的上底面半徑為O1A1＝1，下底面半徑為OA＝2，母線(xiàn)長(zhǎng)AA1＝2，在下底面內(nèi)過(guò)OA的中點(diǎn)B作OA的垂線(xiàn)交圓O于點(diǎn)C，則異面直線(xiàn)OO1與A1C所成角的大小為()A．30° B．45°C．60° D．90°答案B解析在直角梯形OO1A1A中，∵B為OA的中點(diǎn)，OA＝2，∴O1A1＝OB＝AB＝1，連接A1B，易知四邊形OO1A1B為矩形，∴OO1∥A1B，∴∠BA1C(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)OO1與A1C所成的角．在Rt△AA1B中，AA1＝2，AB＝1，∴A1B＝eq\r(3).連接OC，在Rt△OBC中，由OB＝1，OC＝2，得BC＝eq\r(3).在Rt△A1BC中，BC＝A1B，∴∠BA1C＝45°，即異面直線(xiàn)OO1與A1C所成角的大小為45°.課時(shí)作業(yè)一、單項(xiàng)選擇題1．如果直線(xiàn)a?平面α，直線(xiàn)b?平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，則()A．l?α B．l?αC．l∩α＝M D．l∩α＝N答案A解析∵M(jìn)∈a，a?α，∴M∈α，同理，N∈α.又M∈l，N∈l，則l?α.故選A.2．(2023·惠州三調(diào))已知三個(gè)平面α，β，γ，其中α∩β＝a，β∩γ＝b，γ∩α＝c，且a∩b＝P，則下列結(jié)論一定成立的是()A．b，c是異面直線(xiàn) B．b∩c＝PC．b∥c D．a(chǎn)與c沒(méi)有公共點(diǎn)答案B解析∵α∩β＝a，β∩γ＝b，且a∩b＝P，∴P∈a，P∈b，且a?α，b?γ，∴P∈α，P∈γ，又γ∩α＝c，∴P∈c，可得b∩c＝P.故選B.3．在三棱錐A－BCD的邊AB，BC，CD，DA上分別取E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)，如果EF∩HG＝P，則點(diǎn)P()A．一定在直線(xiàn)BD上 B．一定在直線(xiàn)AC上C．在直線(xiàn)AC或BD上 D．不在直線(xiàn)AC上，也不在直線(xiàn)BD上答案B解析如圖所示，因?yàn)镋F?平面ABC，HG?平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.故選B.4．(2024·保定一模)已知a，b，c是三條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，α∩β＝c，a?α，b?β，則“a，b相交”是“a，c相交”的()A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件答案C解析若a，b相交，a?α，b?β，則其交點(diǎn)在交線(xiàn)c上，故a，c相交；若a，c相交，則a，b為相交直線(xiàn)或異面直線(xiàn)．綜上所述，“a，b相交”是“a，c相交”的充分不必要條件．故選C.5．(2023·上海春季高考)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P為邊A1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線(xiàn)中，始終與直線(xiàn)BP異面的是()A．DD1 B．ACC．AD1 D．B1C答案B解析對(duì)于A(yíng)，當(dāng)P是A1C1的中點(diǎn)時(shí)，BP與DD1是相交直線(xiàn)；對(duì)于B，根據(jù)異面直線(xiàn)的定義知，BP與AC是異面直線(xiàn)；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)P與C1重合時(shí)，BP與AD1是平行直線(xiàn)；對(duì)于D，當(dāng)點(diǎn)P與C1重合時(shí)，BP與B1C是相交直線(xiàn)．故選B.6．(2024·寧德模擬)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D和CD1與底面所成的角分別為45°和30°，則異面直線(xiàn)A1D與B1D1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(\r(5),4)答案B解析由題意，可作圖如右，則∠A1DA＝45°，∠D1CD＝30°，設(shè)AD＝1，在Rt△ADA1中，易知AA1＝AD＝1，在Rt△D1DC中，DD1＝AA1＝1，DD1⊥CD，CD＝eq\f(DD1,tan30°)＝eq\r(3)，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，易知BD∥B1D1，則∠A1DB為異面直線(xiàn)A1D與B1D1所成的角或其補(bǔ)角，在Rt△ABD中，AD2＋AB2＝BD2，則BD＝2，同理可得A1D＝eq\r(2)，A1B＝2，由余弦定理，得cos∠A1DB＝eq\f(A1D2＋BD2－A1B2,2A1D·BD)＝eq\f(2＋4－4,2×\r(2)×2)＝eq\f(\r(2),4).故選B.7.如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線(xiàn)段ED的中點(diǎn)，則()A．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)B．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是相交直線(xiàn)C．BM＝EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)D．BM≠EN，且直線(xiàn)BM，EN是異面直線(xiàn)答案B解析如圖，取CD的中點(diǎn)F，DF的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)N，MG，GB，BD，BE.∵點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，∴點(diǎn)N在BD上，且N為BD的中點(diǎn)．∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD.∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD，∴EF⊥FN.不妨設(shè)AB＝2，則FN＝1，EF＝eq\r(3)，∴EN＝eq\r(FN2＋EF2)＝2.∵M(jìn)，G分別是ED，DF的中點(diǎn)，∴MG∥EF，∴MG⊥平面ABCD，∴MG⊥BG.∵M(jìn)G＝eq\f(1,2)EF＝eq\f(\r(3),2)，BG＝eq\r(CG2＋BC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)＋22)＝eq\f(5,2)，∴BM＝eq\r(MG2＋BG2)＝eq\r(7).∴BM≠EN.∵BM，EN都是△DBE的中線(xiàn)，∴BM，EN必相交．故選B.8.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點(diǎn)，則平面AD1E與平面ABCD的交線(xiàn)與直線(xiàn)C1D1所成角的正切值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．2答案A解析延長(zhǎng)D1E與直線(xiàn)DC交于點(diǎn)F，連接AF，則平面AD1E與平面ABCD的交線(xiàn)為AF，又C1D1∥CD，∴∠AFD(或其補(bǔ)角)為平面AD1E與平面ABCD的交線(xiàn)與直線(xiàn)C1D1所成的角，∵E是棱CC1的中點(diǎn)，且DD1∥CC1，∴CD＝CF，∴tan∠AFD＝eq\f(AD,DF)＝eq\f(1,2).故選A.二、多項(xiàng)選擇題9.如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是()A．AC與BD1是兩條相交直線(xiàn)B．AA1∥平面BB1D1C．B1C與BD1是異面直線(xiàn)D．A，C，B1，D1四點(diǎn)共面答案BC解析BD1?平面ABD1，AC∩平面ABD1＝A，A?BD1，所以AC與BD1是異面直線(xiàn)，A錯(cuò)誤；因?yàn)锳A1∥BB1，AA1?平面BB1D1，BB1?平面BB1D1，所以AA1∥平面BB1D1，B正確；BD1?平面BB1D1，B1C∩平面BB1D1＝B1，B1?BD1，所以B1C與BD1是異面直線(xiàn)，C正確；如題圖所示，A，C，D1三點(diǎn)在平面ACD1上，B1D1與平面ACD1相交，所以A，C，B1，D1四點(diǎn)不共面，D錯(cuò)誤．故選BC.10.一個(gè)正方體的展開(kāi)圖如圖所示，A，B，C，D為原正方體的頂點(diǎn)，則在原來(lái)的正方體中()A．AB∥CD B．AB與CD異面C．AB⊥CD D．AB與CD所成的角為60°答案BD解析將展開(kāi)圖還原，得如圖所示正方體，易知AB與CD是異面直線(xiàn)，且它們所成的角為60°.故選BD.11.(2024·海南模擬)如圖，四棱錐S－ABCD的底面為正方形，SD⊥平面ABCD，則下列結(jié)論正確的是()A．AB⊥SAB．AC與SB所成的角為90°C．AD與SB所成的角等于CD與SB所成的角D．AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案ABC解析對(duì)于A(yíng)，SD⊥平面ABCD，則AB⊥SD，又底面ABCD為正方形，則AD⊥AB，則AB⊥平面SAD，故AB⊥SA，A正確；對(duì)于B，SD⊥平面ABCD，則AC⊥SD，又底面ABCD為正方形，則BD⊥AC，則AC⊥平面SDB，故AC⊥SB，即AC與SB所成的角為90°，B正確；對(duì)于C，AD∥BC，則AD與SB所成的角等于∠SBC，而AB∥CD，則CD與SB所成的角等于∠SBA，在△SBC與△SBA中，SC＝SA，BC＝BA，SB為公共邊，則△SBC≌△SBA，故∠SBC＝∠SBA，故AD與SB所成的角等于CD與SB所成的角，C正確；對(duì)于D，AB∥CD，SD⊥平面ABCD，則AB與SC所成的角為∠SCD<90°，而DC與SA所成的角為∠SAB＝90°，則AB與SC所成的角小于DC與SA所成的角，故D錯(cuò)誤．故選ABC.三、填空題12.如圖是正四面體的平面展開(kāi)圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點(diǎn)，在這個(gè)正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線(xiàn)；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是________．答案②③④解析將正四面體的平面展開(kāi)圖復(fù)原為正四面體A－DEF，如圖．對(duì)于①，G，H分別為DE，BE的中點(diǎn)，則GH∥AD，而AD與EF異面，故GH與EF不平行，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，假設(shè)BD與MN共面，則A，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，與A－DEF為正四面體矛盾，故假設(shè)不成立，故BD與MN異面，故②正確；對(duì)于③，依題意，得GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH與MN成60°角，故③正確；對(duì)于④，連接GF，點(diǎn)A在平面DEF內(nèi)的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE與MN垂直，故④正確．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③④.13．已知在三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且異面直線(xiàn)AB與CD所成的角為60°，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AB與MN所成的角為_(kāi)_______．答案60°或30°解析如圖，取AC的中點(diǎn)P，連接PM，PN，則PM∥AB，且PM＝eq\f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq\f(1,2)CD，所以∠MPN(或其補(bǔ)角)為異面直線(xiàn)AB與CD所成的角，則∠MPN＝60°或∠MPN＝120°.因?yàn)镻M∥AB，所以∠PMN(或其補(bǔ)角)是異面直線(xiàn)AB與MN所成的角．①當(dāng)∠MPN＝60°時(shí)，因?yàn)锳B＝CD，所以PM＝PN，則△PMN是等邊三角形，所以∠PMN＝60°，即異面直線(xiàn)AB與MN所成的角為60°；②當(dāng)∠MPN＝120°時(shí)，易知△PMN是等腰三角形，所以∠PMN＝30°，即異面直線(xiàn)AB與MN所成的角為30°.綜上，異面直線(xiàn)AB與MN所成的角為60°或30°.14.如圖，正方體A1C的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，過(guò)M的平面α與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案3eq\r(2)解析如圖所示，因?yàn)锳1M＝2MD1，故該截面與正方體的交點(diǎn)位于靠近D1，A，C的三等分點(diǎn)處，故可得截面為MIHGFE.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3a，則ME＝2eq\r(2)a，MI＝eq\r(2)a，IH＝2eq\r(2)a，HG＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝2eq\r(2)a，EF＝eq\r(2)a，所以截面MIHGFE的周長(zhǎng)為ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋I(xiàn)M＝9eq\r(2)a，又因?yàn)檎襟wA1C的棱長(zhǎng)為1，即3a＝1，故截面多邊形的周長(zhǎng)為3eq\r(2).四、解答題15．在空間四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BD＝a，M，N分別為BC，AD的中點(diǎn)．(1)兩異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)是指與兩異面直線(xiàn)都垂直且相交的直線(xiàn)，求證：MN是異面直線(xiàn)BC與AD的公垂線(xiàn)；(2)求MN的長(zhǎng)．解(1)證明：如圖，由已知可得，△ABC≌△BCD，又M為BC的中點(diǎn)，則AM＝DM，又N為AD的中點(diǎn)，∴MN⊥AD.同理可證MN⊥BC.又MN與直線(xiàn)BC和AD都相交，∴MN是異面直線(xiàn)BC與AD的公垂線(xiàn)．(2)在等邊三角形ABC中，由邊長(zhǎng)為a，可得AM＝eq\f(\r(3),2)a，在Rt△ANM中，又AN＝eq\f(a,2)，可得MN＝eq\r