2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)（配湘教版）4.3 第2課時(shí) 組合在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

第2課時(shí)組合在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.要將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分到A,B,C三個(gè)班中,要求每個(gè)班至少分到一人,則甲被分到A班的分法種數(shù)為()A.6 B.12 C.24 D.362.某校在重陽(yáng)節(jié)當(dāng)日安排6位學(xué)生到兩所敬老院開(kāi)展志愿服務(wù)活動(dòng),要求每所敬老院至少安排2人,則不同的分配方案數(shù)是()A.35 B.40 C.50 D.703.[2024甘肅白銀高二期末](多選題)四位同學(xué)各在周六、周日兩天中任選一天參加社區(qū)公益活動(dòng),則()A.四位同學(xué)選在同一天參加公益活動(dòng)的概率為1B.周六兩位同學(xué),周日兩位同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為3C.周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為3D.周六一位同學(xué),周日三位同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為14.將甲、乙等5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通,每個(gè)路口至少一人,其中一個(gè)路口3人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.18種 B.24種 C.36種 D.72種5.某省示范性高中安排6名高級(jí)教師到甲、乙、丙三所中學(xué)進(jìn)行支教,每所學(xué)校至少安排1人,則不同的分配方案有()A.150種 B.180種 C.270種 D.540種6.[2023全國(guó)乙,理7]甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A.30種 B.60種 C.120種 D.240種7.從6個(gè)人中選4個(gè)人去值班,每人值班一天,第一天安排1個(gè)人,第二天安排1個(gè)人,第三天安排2個(gè)人,則共有種安排情況.

8.雙十一活動(dòng)期間,某商場(chǎng)計(jì)劃將5張廣告宣傳頁(yè)粘貼在商場(chǎng)的3個(gè)不同的入口,其中有2張是電器廣告的宣傳頁(yè),要求這2張電器廣告的宣傳頁(yè)必須粘貼在不同入口,且每個(gè)入口至少粘貼1張宣傳頁(yè),則不同的粘貼方法有種.

9.從6名短跑運(yùn)動(dòng)員中選4人參加4×100米接力賽,如果甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有多少種不同的參賽方法?B級(jí)關(guān)鍵能力提升練10.把16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為1,2,3的盒子中,且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù),則不同的放法有()A.18種 B.28種 C.36種 D.42種11.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)作為頂點(diǎn),可得到四面體的個(gè)數(shù)為()A.C84-12 B.C8C.C84-6 D.C12.現(xiàn)有15個(gè)數(shù)學(xué)競(jìng)賽參賽名額分給五個(gè)班,其中一、二班每班至少3個(gè)名額,三、四、五班每班至少2個(gè)名額,則名額分配方式共有()A.15種 B.35種 C.70種 D.125種13.(多選題)某師范大學(xué)5名畢業(yè)生到某山區(qū)的鄉(xiāng)村小學(xué)工作.將這5名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的A,B,C三所小學(xué),每所學(xué)校至少分配1人.()A.若甲不去A小學(xué),則共有100種分配方法B.若甲、乙去同一所小學(xué),則共有36種分配方法C.若有一所小學(xué)分配了3人,則共有90種分配方法D.共有120種分配方法14.[2023全國(guó)甲,理9]有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù),共服務(wù)星期六、星期天兩天,每天從中任選兩人參加服務(wù),則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為()A.120 B.60 C.40 D.3015.現(xiàn)有10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中,從中任意取出4只,4只鞋子恰有兩雙的種數(shù)為,4只鞋子有2只成雙,另2只不成雙的種數(shù)為.

16.已知從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)數(shù),從0,2,4,6,8中任取兩個(gè)數(shù),組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字且不含有數(shù)字0的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為,沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為.

17.在如圖所示的四棱錐中,頂點(diǎn)為P,從其他的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)中取3個(gè),使它們和點(diǎn)P在同一平面內(nèi),則不同的取法種數(shù)為.(用數(shù)字作答)

18.將四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的小球放入四個(gè)編號(hào)為1,2,3,4的盒子中.(1)若每盒至多一球,則有多少種放法?(2)若恰好有一個(gè)空盒,則有多少種放法?(3)若每個(gè)盒內(nèi)放一個(gè)球,并且恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,則有多少種放法?C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.方程x1+x2+x3+x4=12的正整數(shù)解共有()A.165組 B.120組 C.38組 D.35組

第2課時(shí)組合在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用1.B(方法1)根據(jù)題意分2步進(jìn)行分析:第一步,將甲、乙、丙、丁4名同學(xué)分為3組,有C42=6種分組方法;第二步,將甲所在的組分到A班,剩下2組安排到B,C班,有A22=2種情況.則由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知共有6×2=12種分法(方法2)依題意,若A班只有1名同學(xué),則這名同學(xué)一定是甲,然后將乙、丙、丁3人分到B,C兩個(gè)班,則有C32A22=6種不同的分法;若A班有2名同學(xué),則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為乙、丙、丁3位同學(xué)分到A,B,C三個(gè)班中,共有A33=6種不同的分法,由分類加法計(jì)數(shù)原理可知共有6+62.C6名學(xué)生分成兩組,每組不少于兩人的分組,一組2人另一組4人,或每組3人,所以不同的分配方案數(shù)為C62A223.ABD對(duì)于A,四位同學(xué)各在周六、周日任選一天參加公益活動(dòng)共有24=16(種)結(jié)果,都在同一天即周六或者周日參加共有2種結(jié)果,故其概率為216=18,對(duì)于B,周六和周日各有兩位同學(xué)參加的概率為C4216=3對(duì)于C,不都在同一天即周六、周日都有同學(xué)參加的概率為1-18=78,對(duì)于D,周六一位同學(xué),周日三位同學(xué)參加的概率為C4116=14,故4.A5名交警分配到三個(gè)不同路口疏導(dǎo)交通,每個(gè)路口至少一人,其中一個(gè)路口3人,所以不同路口的執(zhí)勤人數(shù)為3,1,1.又甲、乙在同一路口,先選一個(gè)人和甲乙組成一組有C31種選法,剩余兩人為兩組,然后安排到3個(gè)路口共有C31C215.D將6人分成3組,可以是1,1,4,也可以是1,2,3,也可以是2,2,2,第一類,若分成1,1,4,有C64C21C11A22A33=90種安排方法;第二類,若分成1,2,3,有C61C52A33=360種安排方法;第三類,若分成6.C(方法1直接法)甲在6種課外讀物中任選2種,有C62種選法,乙在甲選的2種課外讀物中挑一種有C21種選法,乙在甲選2種課外讀物后剩下的4種中選一種有C41種選法,則這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法共有C62(方法2間接法)甲、乙兩位同學(xué)各自選讀2種課外讀物共有C62C62種選法,甲、乙所選都不同有C62C42種選法,甲、乙所選都相同有C62種選法,故這兩人選讀的課外讀物中恰有一種相同的選法有C7.180根據(jù)題意,可知共有C64C48.114根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:第1步,將5張宣傳頁(yè)分為3組,其中2張電器廣告的宣傳頁(yè)不能在同一組,若分為1-1-3的三組,有C53-C若分為1-2-2的三組,有C52C32A22-C32第2步,將分好的三組分別粘貼在不同入口,有A33=6根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,則有19×6=114種不同的粘貼方法.9.解把所選取的運(yùn)動(dòng)員的情況分為三類:第1類,甲、乙兩人均不參賽,不同的參賽方法有A44=24第2類,甲、乙兩人有且只有1人參賽,不同的參賽方法有C21C第3類,甲、乙兩人都參賽,不同的參賽方法有C42(A4由分類加法計(jì)數(shù)原理知,所有的參賽方法共有24+144+84=252種.10.C根據(jù)題意,16個(gè)相同的小球放到三個(gè)編號(hào)為1,2,3的盒子中,且每個(gè)盒子內(nèi)的小球數(shù)要多于盒子的編號(hào)數(shù),先在1號(hào)盒子里放1個(gè)球,在2號(hào)盒子里放2個(gè)球,在3號(hào)盒子里放3個(gè)球,則原問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為將剩下的10個(gè)小球,放入3個(gè)盒子,每個(gè)盒子至少放1個(gè)的問(wèn)題,將剩下的10個(gè)球排成一排,有9個(gè)空位,在9個(gè)空位中任選2個(gè),插入擋板,有C92=811.A從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選取4個(gè)頂點(diǎn)有C84種,正方體表面四點(diǎn)共面不能構(gòu)成四面體有6種情況,正方體的六個(gè)對(duì)角面四點(diǎn)共面不能構(gòu)成四面體有6種情況,所以可得到的四面體的個(gè)數(shù)為C84-6-6=C84-12.B根據(jù)題意,先將15個(gè)名額分配給一班、二班每班2個(gè),三、四、五班每班1個(gè),還剩下8個(gè)名額,將剩下的8個(gè)名額進(jìn)行排列,產(chǎn)生7個(gè)“空檔”,在7個(gè)“空檔”中任選4個(gè),則有C74=35種分配方法,故選13.AB對(duì)于A,5名畢業(yè)生分配到三所小學(xué)可以分成3,1,1或2,2,1兩種情況,若A小學(xué)安排1人,則有C41(C4若A小學(xué)安排2人,則有C42C31A22=36種分配方法,若A小學(xué)安排3人,則有C43A22=8種分配方法,所以甲不去A小學(xué)共有對(duì)于B,若甲、乙同去一所小學(xué),則將甲、乙捆綁,共有C42A33=36種,所以甲、乙去同一所小學(xué)共有36種分配方法對(duì)于C,若有一所小學(xué)分配了3人,先將5人分成3,1,1三組,再將三組人分配到三所小學(xué),所以有C53C21C11對(duì)于D,這5名畢業(yè)生分配到該山區(qū)的A,B,C三所小學(xué),每所學(xué)校至少分配1人,共有C53C21C11A22+14.B(方法1直接法)在5名志愿者中任選2人參加星期六的社區(qū)服務(wù),有C52種情況;星期天時(shí),先在星期六選中的2人中任選1人,有C21種情況,再在星期六選中的2人之外的3人中選1人,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有C52·C(方法2間接法)由題意知總的選擇種數(shù)為C52·C52=100種,其中2人都連續(xù)兩天參加服務(wù)有C52=10種情況,沒(méi)有人連續(xù)兩天參加服務(wù)有C52·C32=30種情況,15.451440從10雙中任選2雙有C102=45種取法.先選取一雙有C101種選法,再?gòu)?雙中任取兩雙有C92種選法,每雙鞋只取一只各有2種取法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知選取的種數(shù)為N=C10116.14401120從1,3,5,7,9中任取兩個(gè)數(shù),從2,4,6,8中任取兩個(gè)數(shù),組成C52·C42·A44=10×6當(dāng)0在末位時(shí),共有C52C41A33=10當(dāng)末位為2,4,6,8(且0不在首位),共有4C52C41A3則可以組成240+880=1120個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù).17.56滿足要求的點(diǎn)的取法可分為三類:第一類,在四棱錐的每個(gè)側(cè)面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn),有4C53第二類,在兩個(gè)對(duì)角面上除點(diǎn)P外任取3點(diǎn),有2C43第三類,過(guò)點(diǎn)P的側(cè)棱中,每一條上的三點(diǎn)和與這條棱異面的兩條棱的中點(diǎn)也共面,有4C21因此,滿足題意的不同取法共有4C53+2C43+4C18.解(1)根據(jù)題意,若每盒至多一球,即每個(gè)盒子放入一個(gè)小球,有A44=24(2)根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:第一步,將4個(gè)小球分為3組,其中1組2個(gè)小球,另外2組各有1個(gè)小球,有C42C21C11A22=6種分組方法;第二步,將4個(gè)小盒中任選根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有6×24=144種不同的放法.(3)根據(jù)題意,分2步進(jìn)行分析:第一步,先選出1個(gè)小球,放到對(duì)應(yīng)序號(hào)的盒子里,有C41=4種情況;第二步,其余三個(gè)球的放法有2恰好有一個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)