數(shù)學(xué)單元整合學(xué)案：第二講參數(shù)方程

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元整合知識網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一曲線的參數(shù)方程與普通方程的互化(1)將直線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，需要消去參數(shù)t，其一般步驟為:①將參數(shù)t用變量x表示；②將t代入y的表達(dá)式；③整理得到x,y的關(guān)系，即為所求的普通方程．(2)參數(shù)方程與普通方程的區(qū)別與聯(lián)系．曲線的普通方程F(x，y)＝0是相對參數(shù)方程而言，它反映了坐標(biāo)變量x與y之間的直接聯(lián)系；而參數(shù)方程x＝f(t），y＝g（t）（t為參數(shù)）是通過參數(shù)t反映坐標(biāo)變量x與y之間的間接聯(lián)系．曲線的普通方程中有兩個變數(shù),變數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多1；曲線的參數(shù)方程中，有三個變數(shù)和兩個方程,變數(shù)的個數(shù)比方程的個數(shù)多1，從這個意義上講，曲線的普通方程和參數(shù)方程是“一致”的．(3）參數(shù)方程與普通方程是同一曲線的兩種不同形式．參數(shù)方程普通方程，可見普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式．【應(yīng)用1】已知圓(x－r)2＋y2＝r2(r＞0），點(diǎn)M在圓上,O為原點(diǎn)，以∠MOx＝φ為參數(shù)，那么圓的參數(shù)方程為（）A．B．C．D．解析：如圖，設(shè)圓心為O′,連接O′M?！逴′為圓心，∴∠MO′x＝2φ?！啻鸢?D【應(yīng)用2】求在下列條件下普通方程4x2＋y2＝16對應(yīng)的參數(shù)方程．(1)設(shè)y＝4sinθ,θ為參數(shù);（2)以過點(diǎn)A（0,4）的直線的斜率k為參數(shù)．提示：對于（1），可以直接把y＝4sinθ代入已知方程，解方程求出x即可；對于(2），可尋找斜率k與此方程任一點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系來求解．解：(1)把y＝4sinθ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16,于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ.所以x＝±2cosθ.由于參數(shù)θ的任意性，可取x＝2cosθ，因此4x2＋y2＝16的參數(shù)方程是x＝2cosθ,y＝4sinθ（θ為參數(shù))．（2）設(shè)M（x，y）是曲線4x2＋y2＝16上異于A的任一點(diǎn)，則eq\f（y－4,x)＝k（x≠0)，將y＝kx＋4代入方程，得x［(4＋k2)x＋8k］＝0。所以（k為參數(shù))，易知A（0，4）也適合此方程．另有一點(diǎn).所以所求的參數(shù)方程為(k為參數(shù)）和專題二曲線參數(shù)方程的應(yīng)用曲線的參數(shù)方程通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x，y之間的間接關(guān)系．其中的參數(shù)一般具有相應(yīng)的幾何意義或物理意義．利用參數(shù)來表示曲線的方程時，要充分注意參數(shù)的取值范圍．常用參數(shù)方程研究最值問題、求軌跡方程、證明恒等式等．【應(yīng)用1】求點(diǎn)M0（0,2）到雙曲線x2－y2＝1的最小距離(即雙曲線上任一點(diǎn)M與點(diǎn)M0距離的最小值）．解:把雙曲線方程化為參數(shù)方程（θ為參數(shù))．設(shè)雙曲線上的動點(diǎn)為M(secθ，tanθ），則|M0M|2＝sec2θ＋（tanθ－2）＝tan2θ＋1＋tan2θ－4tanθ＋4＝2tan2θ－4tanθ＋5＝2（tanθ－1)2＋3，當(dāng)tanθ－1＝0,即tanθ＝1時，｜M0M|2取最小值3，此時有｜M0M|＝eq\r(3)，即點(diǎn)M0到雙曲線的最小距離為eq\r(3）?！緫?yīng)用2】橢圓eq\f(x2，16）＋eq\f(y2,4)＝1上有P，Q兩點(diǎn)，O為橢圓中心,OP，OQ的斜率分別為kOP，kOQ，且kOP·kOQ＝－eq\f(1,4）。（1）求|OP｜2＋|OQ｜2的值；（2）求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．提示：利用橢圓的參數(shù)方程,設(shè)出P，Q的坐標(biāo)，再依題意求解．解：（1）設(shè)P（4cosθ1,2sinθ1)，Q(4cosθ2,2sinθ2)．因?yàn)閗OP·kOQ＝－eq\f(1,4),所以eq\f(2sinθ1,4cosθ1）·eq\f（2sinθ2，4cosθ2）＝－eq\f(1,4）.所以cos（θ1－θ2）＝0。所以θ1－θ2＝kπ＋eq\f(π，2)（k∈Z)．所以sin2θ1＝cos2θ2,cos2θ1＝sin2θ2.所以|OP|2＋|OQ|2＝16cos2θ1＋4sin2θ1＋16cos2θ2＋4sin2θ2＝20，即|OP|2＋|OQ｜2＝20.（2）設(shè)PQ的中點(diǎn)為(x，y)，則所以eq\f(x2，4)＋