數(shù)學(xué)單元整合學(xué)案：第二講直線與圓的位置關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精單元整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò)專題探究專題一與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明圓中的角有四類:圓心角、圓周角、弦切角和弧所對(duì)的角，與圓有關(guān)的角的計(jì)算與證明通常涉及這四類角，因此圓周角定理、圓心角定理和弦切角定理是解決此類問(wèn)題的知識(shí)基礎(chǔ)，通常利用圓周角、弦切角、圓心角與弧的關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化，并借助于圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑（獲得直角)來(lái)解決．【例1】如圖，AB是圓O的直徑，D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，連接BD，并延長(zhǎng)至點(diǎn)C，使BD＝DC，連接AC，AE，DE。求證：∠E＝∠C.證明：如圖，連接OD，因?yàn)锽D＝DC，O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)D∥AC，于是∠ODB＝∠C。因?yàn)镺B＝OD，所以∠ODB＝∠B。于是∠B＝∠C.因?yàn)辄c(diǎn)A，E，B，D都在圓O上,且D，E為圓O上位于AB異側(cè)的兩點(diǎn)，所以∠E和∠B為同弧所對(duì)的圓周角，故∠E＝∠B.所以∠E＝∠C.【例2】如圖所示,D，E分別是△ABC的BC，AC邊上的點(diǎn),且∠ADB＝∠AEB。求證：∠CED＝∠ABC.提示：要證明∠CED＝∠ABC，容易想到圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，需證A，B，D，E四點(diǎn)共圓．用圓內(nèi)接四邊形的判定定理不易找到條件，故采用分類討論來(lái)解決．證明：作△ABE的外接圓，則點(diǎn)D與外接圓有三種位置關(guān)系：①點(diǎn)D在圓外；②點(diǎn)D在圓內(nèi)；③點(diǎn)D在圓上．（1）如果點(diǎn)D在圓外，設(shè)BD與圓交于點(diǎn)F，連接AF，如圖所示．則∠AFB＝∠AEB。而∠AEB＝∠ADB,∴∠AFB＝∠ADB.這與“三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角”矛盾．故點(diǎn)D不能在圓外．（2）如果點(diǎn)D在圓內(nèi),設(shè)圓與BD的延長(zhǎng)線交于F,連接AF，如圖所示，則∠AFB＝∠AEB。又∵∠AEB＝∠ADB,∴∠AFB＝∠ADB。這也與“三角形的外角大于任一不相鄰的內(nèi)角”矛盾．故點(diǎn)D不可能在圓內(nèi)．綜上可得，點(diǎn)A，B，D，E在同一圓上．∴∠CED＝∠ABC。專題二與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明在圓中，解決與圓有關(guān)的線段的計(jì)算與證明問(wèn)題時(shí)，首先考慮圓冪定理:相交弦定理、割線定理、切割線定理和切線長(zhǎng)定理，從而獲得成比例線段，再結(jié)合射影定理、相似三角形進(jìn)行等比代換或等線代換加以證明,或列出方程解得線段的長(zhǎng)．【例3】如圖所示，已知⊙O和⊙O′外切于點(diǎn)E，AC是外公切線,A,C是切點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O′的切線,D是切點(diǎn)，求證:AB＝BD.證明：作兩圓內(nèi)公切線EF，交AC于F。連接AE，BE，CE。∵∠FAE＝∠FEA，∠FEC＝∠FCE，∴∠AEF＋∠FEC＝90°，即∠AEC＝90°.∵AB是直徑，∴∠AEB＝90°.∴B，E，C在一條直線上．∵AC切⊙O于A，∴AB⊥AC。在Rt△ABC中，由射影定理，得AB2＝BE·BC。又BD切⊙O′于D，由切割線定理得BD2＝BE·BC，∴AB2＝BD2?！郃B＝BD.【例4】如圖,直線AB為圓的切線，切點(diǎn)為B，點(diǎn)C在圓上，∠ABC的角平分線BE交圓于點(diǎn)E，DB垂直BE交圓于點(diǎn)D.(1)證明:DB＝DC;(2）設(shè)圓的半徑為1,BC＝eq\r(3），延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F，求△BCF外接圓的半徑．(1）證明：連接DE,交BC于點(diǎn)G。由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.而∠ABE＝∠CBE，故∠CBE＝∠BCE，BE＝CE.又因?yàn)镈B⊥BE，所以DE為直徑，∠DCE＝90°,由勾股定理可得DB＝DC.（2)解：由(1)知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，故DG是BC的中垂線，所以BG＝eq\f(\r(3)，2)。設(shè)DE的中