人教A版高中數(shù)學(xué)必修一-等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式(知識精講)(解析版)

等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)、基本不等式知識精講一知識結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點關(guān)注點不等式的性質(zhì)基本不等式不等式性質(zhì)不等式兩邊同乘負(fù)數(shù)，不等號改方向?；静坏仁角笞钪狄徽ㄈ嗟榷?學(xué)法指導(dǎo)1.作差法比較兩個實數(shù)大小的基本步驟：作差、變形、定號、結(jié)論。2.運用不等式的性質(zhì)判斷時，要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì).解有關(guān)不等式選擇題時，也可采用特殊值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循如下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.3．利用不等式的性質(zhì)證明不等式注意事項1利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用.2應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則.4.求含字母的數(shù)（或式子）的取值范圍時，一要注意題設(shè)中的條件，二要正確使用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不可減，可乘不可除.5.運用基本不等式比較大小時應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的條件是a>0，b>0，等號成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號成立的條件是a＝b.三.知識點貫通知識點1比較兩數(shù)（式）的大小a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.例1.已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。窘馕觥?x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.知識點二利用不等式性質(zhì)判斷命題真假及不等式性質(zhì)的應(yīng)用1.不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c.(3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc.(5)加法法則：a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d.(6)乘法法則：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(7)乘方法則：a＞b＞0?an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．例題2：對于實數(shù)a，b，c下列命題中的真命題是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0【答案】D【解析】法一：∵c2≥0，∴c＝0時，有ac2＝bc2，故A為假命題；由a＞b＞0，有ab＞0?eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＜b＜0?－a＞－b＞0?－\f(1,b)＞－\f(1,a)＞0,a＜b＜0?－a＞－b＞0))?eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b?b－a＜0,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．法二：特殊值排除法．取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯．取a＝2，b＝1，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B錯．取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C錯．例題3.已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．【解析】因為1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2.所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因為eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.知識點三利用基本不等式比較大小1.重要不等式?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．2.基本不等式當(dāng)a，b是任意正實數(shù)時，a，b的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)，即eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．例題4.(1)已知a，b∈(0，＋∞)，則下列各式中不一定成立的是()A．a(chǎn)＋b≥2eq\r(ab) B.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2C.eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥2eq\r(ab) D.eq\f(2ab,a＋b)≥eq\r(ab)(2)已知a，b，c是兩兩不等的實數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是________．【答案】(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac【解析】(1)由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)得a＋b＝2eq\r(ab)，∴A成立；∵eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，∴B成立；∵eq\f(a2＋b2,\r(ab))≥eq\f(2ab,\r(ab))＝2eq\r(ab)，∴C成立；∵eq\f(2ab,a＋b)≤eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab)，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.]知識點四利用基本不等式證明不等式1.當(dāng)a，b是任意正實數(shù)時，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．例題5．已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9.【證明】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋2＋2＋2＝9.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9.知識點五利用基本不等式求最值1.已知x、y都是正數(shù)，(1)若x＋y＝S(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy取得最大值eq\f(S2,4).(2)若xy＝p(積為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y取得最小值2eq\r(p).上述命題可歸納為口訣：積定和最小，和定積最大．例題6.(1)已知x>0，求函數(shù)y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)的最小值；(2)已知0<x<eq\f(1,2)，求y＝eq\f(1,2)x(1－2x)的最大值．【解析】(1)∵y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)＝x＋eq\f(4,x)＋5≥2eq\r(4)＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)即x＝2時等號成立．故y＝eq\f(x2＋5x＋4,x)(x>0)的最小值為9.(2)∵0<x<eq\f(1,2)，∴1－2x>0，∴y＝eq\f(1,4)×2x(1－2x)≤eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16).∴當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，即x＝eq\f(1,4)時，ymax＝eq\f(1,16).五易錯點分析易錯一不等式的性質(zhì)的應(yīng)用例題7.判斷對錯。(1)若a>b，則ac>bc一定成立．()(2)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.()【答案】(1)×(2)×【解析】(1)錯誤．由不等式的可乘性知，當(dāng)不等式兩端同乘以一個正數(shù)時，不等號方向不變，因此若a>b，則ac>bc不一定成立．(2)錯誤．取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2.滿足a＋c>b＋d，但不滿足a>b.誤區(qū)警示

比較大小、證明不等式應(yīng)熟記、記準(zhǔn)不等式的性質(zhì)。易錯二利用基本不等式求最值例題8.已知x<eq\f(5,4)，求y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；【解析】∵x<eq\f(5,4)