專題01菱形的性質(zhì)與判定（重點突圍）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊重難點專題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）

專題01菱形的性質(zhì)與判定考點一根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度考點二根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長考點三根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積考點四根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求動點中的最值問題考點五根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求折疊問題考點六根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定無刻度作圖考點一根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度例題：（2021·重慶·西南大學(xué)附中八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，過點D分別作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AE＝CF．（1）求證四邊形ABCD為菱形；（2）若點E是AB的中點，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）先由AD∥BC，且AD＝BC得出四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)ASA證得△ADE≌△CDF，得出AD=CD即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AD=AB，結(jié)合已知從而得出AE=AD，再利用直角三角形的性質(zhì)即可得出答案；【詳解】（1）證明：∵AD∥BC，且AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF，∴AD=CD∴四邊形ABCD為菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，如圖，連接∵點E是AB的中點，∴是等邊三角形，∴∠A=【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定與性質(zhì)，含有30°的直角三角形的性質(zhì)等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2021·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)一模）如圖，是的角平分線，過點作交于點，交于點．（1）求證：四邊形是菱形；（2）如果，，求的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）∠BDE=35°．【解析】【分析】（1）由題意可證BE=DE，四邊形BEDF是平行四邊形，即可證四邊形BEDF為菱形；（2）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，再由菱形的性質(zhì)可求解．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，又四邊形為平行四邊形，∴四邊形為菱形．（2），，∴，∵四邊形為菱形，∴，∴．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，掌握菱形的判定定理是本題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江寧波·八年級期末）已知：如圖，在四邊形中，．點在對角線上，且，（1）求證：；（2）連接，交于點，若，四邊形周長為，求的大?。敬鸢浮浚?）見解析；（2）60°【解析】【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)即可證明；（2）證明四邊形是菱形．由勾股定理求出，由直角三角形的性質(zhì)可得出的度數(shù)，則可得出答案．【詳解】解：證明：（1），，，，，在和中，，．（2），，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形．，，四邊形周長為16，，，，，，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是證明和四邊形為菱形．考點二根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長例題：（2022·河北保定·八年級期中）如圖，在ABCD中，BD＝AD，延長CB到點E，使BE＝BD，連接AE.(1)求證：四邊形AEBD是菱形；(2)連接DE交AB于點F，若，，求AD的長.【答案】(1)證明見解析(2)【解析】【分析】（1）證四邊形AEBD是平行四邊形，再因為BE＝BD，即可由菱形的判定定理得出結(jié)論；（2）連接DE交AB于F，根據(jù)四邊形AEBD是菱形，得出AB⊥DE，從而證得∠EDC＝∠EFB＝90°.得用勾股定理即可求解．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ADBC，AD＝BC，∵DB＝DA，BE＝BD，∴AD＝BE，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵BE＝BD，∴四邊形AEBD是菱形(2)解：如圖，連接DE交AB于F，∵四邊形AEBD是菱形，∴AB⊥DE，∴∠EFB＝90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴ABDC.∴∠EDC＝∠EFB＝90°.∵DC＝，DC：DE＝1：3，∴DE＝.在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理可得∴AD＝.【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)是解題詞的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）已知，如圖，在?ABCD中，分別在邊BC、AD上取兩點，使得CE＝DF，連接EF，AE、BF相交于點O，若AE⊥BF．(1)求證：四邊形ABEF是菱形；(2)若四邊形ABEF的周長為16，∠BEF＝120°，求AE的長．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出，，證出，則四邊形是平行四邊形，由，即可得出四邊形是菱形；（2）由菱形的性質(zhì)得出，，證出是等邊三角形，得出．(1)證明：四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；(2)解：菱形的周長為16，，，，是等邊三角形，．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)．2．（2022·新疆·烏魯木齊市第九中學(xué)一模）如圖，在矩形中，對角線的垂直平分線分別交、于點、，連接、．(1)求證：四邊形是菱形．(2)當(dāng)AB4，BC8時，求線段EF的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）利用EF是AC的垂直平分線，可得∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，在矩形中有，即有∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，即可證得∠CFD=∠EAF，則有，再結(jié)合，AE=EC，可證四邊形AFCE是菱形；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，平行四邊形AFCE是菱形，即有EF、AC相互垂直平分，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BE=BCAE，利用矩形的性質(zhì)可求出AC，則有OA，在Rt△ABE中，利用勾股定理，有，即可解得AE，在Rt△AOE中，利用勾股定理，有，根據(jù)AE=5，OA=，可得OE=，即有EF=．(1)證明：∵EF是AC的垂直平分線，∴AE=EC，AF=FC，∴∠EAC=∠ECA，∠CAF=∠FCA，∵在矩形中有，∴∠ECA=∠CAF，∠ECF=∠CFD，∴∠EAC=∠ECA=∠CAF=∠FCA，∴∠ECF=∠EAF，∴∠CFD=∠EAF，∴，再結(jié)合，可知四邊形AFCE是平行四邊形，∵AE=EC，∴平行四邊形AFCE是菱形；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，平行四邊形AFCE是菱形，∴EF、AC相互垂直平分，且AE=EC=CF=FA，∴EF=2OE，AC=2OA，∵BC=8，AB=4，∴BE=BCEC=8EC=8AE，，∴OA=，在Rt△ABE中，利用勾股定理，有，即：，解得：AE=5，∴在Rt△AOE中，利用勾股定理，有，根據(jù)AE=5，OA=，可得OE=，∴EF=．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)和勾股定理等知識，利用垂直平分線的性質(zhì)證得四邊形AECF是菱形是解答本題的關(guān)鍵．考點三根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積與周長例題：（2022·四川·德陽五中三模）如圖，在四邊形中，，于點O，點E是延長線上一點，，于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若平分，，，求．【答案】(1)證明見解析(2)33【解析】【分析】（1）先證明它是平行四邊形，再證明是菱形；（2）先設(shè)，再用x表示AE，利用勾股定理建立方程即可求解．(1)∵，于點O，∴，∵，∴四邊形AECD是平行四邊形，由AD=CD，∴四邊形AECD是菱形．(2)如圖，∵于點F，∴∠AFC=90°，又∵AC⊥BD，∴∠BOA=90°，∵平分，，∴，∴，∴∵，∴，∴設(shè)，在中，，∴，∴，∴，∵菱形AECD中，OD=OE，∴，∴．．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念，能利用勾股定理建立方程．【變式訓(xùn)練】1．（2022·貴州貴陽·一模）如圖，已知四邊形中，對角線，相交于點O，且，，過點O作，分別交，于點E，F(xiàn)．(1)求證：；(2)若，，求四邊形的周長．【答案】(1)見解析(2)52【解析】【分析】（1）先證四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥CB，則可證得△AOE≌△COF（ASA）；（2）由△AOE≌△COF（ASA），可得OE＝OF＝5，BO＝12，利用勾股定理求出BF＝13，繼而求得周長．(1)證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴AD∥CB，∴∠OAE＝∠OCF，∵∠AOE＝∠COF，，∴△OAE≌△OCF（ASA），(2)解：∵△OAE≌△OCF，，，∴OE＝OF＝5，BO＝DO＝12，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴平行四邊形是菱形，∴，∴四邊形BCFE的周長＝13×4＝52．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)和勾股定理，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)性質(zhì)，熟練運用這些判定與性質(zhì)推理證明．2．（2022·甘肅武威·三模）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，∠ADC＝90°，∠ABC的平分線BE交CD于點E，交對角線AC于點O，OA＝OC，連接AE．(1)求證：四邊形ABCE是菱形；(2)若BC＝5，CD＝8，求四邊形ABCE的面積．【答案】(1)見解析(2)20【解析】【分析】（1）利用AAS證明△ABO≌△CEO可得BO＝EO，即可證明四邊形ABCE是平行四邊形，由角平分線的定義可得∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，即可得CB＝CE，進(jìn)而可證明結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)可求解CE＝AE＝5，DE＝3，利用勾股定理可求解AD的長，再利用菱形的面積公式計算可求解．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CEO，∠BAO＝∠ECO，在△ABO和△CEO中，∴△ABO≌△CEO（AAS），∴BO＝EO，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠ABE＝∠CEB，∴CB＝CE，∴四邊形ABCE為菱形；(2)解：∵四邊形ABCE是菱形，BC＝5，∴AE＝CE＝BC＝5，∵CD＝8，∴DE＝CD?CE＝8?5＝3，∵∠ADE＝90°，∴AD＝＝＝4，∴S四邊形ABCE＝CE?AD＝5×4＝20．【點睛】本題主要考查菱形的判定，角平分線的定義，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明四邊形ABCE是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．3．（2022·云南·一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，過點O的直線MN與AD、CB的延長線分別交于點M、N，連接CM，AN，且．(1)求證：四邊形ANCM是菱形；(2)若四邊形ANCM周長為12，，求四邊形ANCM的面積．【答案】(1)見解析；(2)【解析】【分析】（1）利用平行四邊形的性質(zhì)，通過證明，得到四邊形ANCM是平行四邊形，再根據(jù)，即可判定；（2）根據(jù)四邊形ANCM周長為12，得到，由勾股定理可得，由，可得，從而求得，即可求解．(1)證明：平行四邊形ABCD中，，∴又∵∴（ASA）∴，∴四邊形ANCM是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形ANCM是菱形；(2)解：由四邊形ANCM周長為12可得，∵，，∴由勾股定理可得：，四邊形ANCM的面積為【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)．考點四根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決動點中的最值問題例題：（2022·湖南婁底·中考真題）菱形的邊長為2，，點、分別是、上的動點，的最小值為______．【答案】【解析】【分析】過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點F重合，Q與G重合時，PQ+QC最小，菱形的邊長為2，，中，PQ+QC的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，掌握軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學(xué)校八年級期中）如圖，菱形的邊在軸上，頂點坐標(biāo)為，頂點坐標(biāo)為，點在軸上，線段軸，且點坐標(biāo)為，若菱形沿軸左右運動，連接、，則運動過程中，四邊形周長的最小值是________．【答案】13+【解析】【分析】由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形周長的最小，AE＋DF的和應(yīng)是最小的，運用“將軍飲馬”模型，根據(jù)點E關(guān)于AD的對稱點為O，過點A作AF1∥DF，當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，再求四邊形周長的最小值．【詳解】∵點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，∴OC＝4，OD＝3，∴在Rt△COD中，CD＝5，∵四邊形是菱形，∴AD＝CD＝5，∵坐標(biāo)為，點在軸上，線段軸，∴EF＝8，連接OA，過點A作AF1∥DF交EF于點F1，則四邊形ADFF1是平行四邊形，F(xiàn)F1=AD=5，∴EF1=EFFF1=3，∵點E，O關(guān)于AD對稱，∴OA=AE，當(dāng)O，A，F(xiàn)1三點共線時，AE+DF=OA+AF1=OF1，為所求線段和的最小值，在Rt△OEF1中，OF1＝，∴四邊形周長的最小值：AD＋EF＋AE＋DF＝AD＋EF＋OF1＝5＋8＋＝13+．【點睛】本題考查菱形，勾股定理，平移，軸對稱，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，平移圖形全等性，軸對稱性質(zhì)．2．（2022·遼寧大連·一模）如圖，菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在對角線AC和邊AD上，連接DE，EF，若AC=4，BD=2，則DE，EF之和的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】如圖所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點D作DH⊥AB，垂足為H．因為EF+DE=EF′+DE，推出當(dāng)D、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+DE的值最小．【詳解】解：∵菱形ABCD中，AC=4，BD=2，∴AO=OC=2，BO=OD=1，∴AD=AB=，如圖所示：在AB上取點F′，使AF′=AF，過點D作DH⊥AB，垂足為H．∵S△ABD=?AO?BD=?AB?DH，∴DH=，∵EF+DE=EF′+DE，∴當(dāng)D、E、F′共線，且點F′與H重合時，F(xiàn)E+DE的值最小，最小值為，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)利用對稱解決最短問題．考點五根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決折疊問題例題：（2022·山西·模擬預(yù)測）如圖，在菱形中，，，，分別是邊，上的點，將沿EF折疊，使點的對應(yīng)點落在邊上，若，則的長為______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)和，可得，，，過點作于點，于點，過點于點，得矩形，然后利用含度角的直角三角形可得，得，再利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：在菱形中，，，，，如圖，過點作于點，于點，過點于點，得矩形，如圖所示：，，，，，，由翻折可知：，，，，，，解得，，在中，，，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理，得：，，解得，，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理求線段長，涉及到翻折變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·云南·麻栗坡縣第二中學(xué)一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝45°，點E在邊AB上，將△BCE沿CE折疊．若點B的對應(yīng)點B′落在AD邊所在的直線上，則BE的長為________．【答案】4或【解析】【分析】分兩種情況，第一種情況，由折疊性質(zhì)可知：=CB=CD，可知E點與A點重合，BE=AB，第二種情況，由折疊性質(zhì)可知，BC=，得∠B=∠E=45°，再證∠AE=90°，設(shè)BE=E=x，得，即可得答案．【詳解】解：第一種情況，如上圖，由折疊性質(zhì)可知：=CB=CD，∴在AD線上僅D點符合題意，∵∠B=∠D=45°，∴E點與A點重合，BE=AB，∴BE=4；第二種情況，如上圖，由折疊性質(zhì)可知，BC=，∴∠B=∠E=45°，∵在菱形中BC=CD=，∴∠D=∠B=∠D=45°，ADBC，∠AE=∠B=45°，∴∠AE=∠DC+∠EC=90°，∴A=E，設(shè)BE=E=x，則，，解得：，故答案為：4或．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、一元一次方程的解法，解題的關(guān)鍵是注意兩種情況．2．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E為AD邊上的一個動點，連接BE，將AB沿著BE折疊得到A'B，A的對應(yīng)點為A'，連接A'D，當(dāng)A′B⊥AD時，∠A'DE的度數(shù)為______．【答案】15°##15度【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)可得，可證是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)可得垂直平分，，由折疊的性質(zhì)可得，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，垂直平分，，，，將沿著折疊得到，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．考點六根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定無刻度作圖例題：（2022·江西吉安·九年級期末）如圖，菱形ABCD中，∠B=60°，延長BC至E，使．取CD的中點F，連接EF，請利用無刻度的直尺按下列要求作圖（保留畫圖痕跡）．(1)在圖1中作出△CEF中CF邊上的中線；(2)在圖2中作出BC的中點．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）連接AC和BD交于點O，連接OE交CD于點G，EG即為所求；（2）連接AC和BD交于點O，連接FO并延長交AB于點M，連接MC交BD于點N，連接AN并延長，交BC于點H，點H即為所求.(1)解：如圖，EG即為所求；(2)解：如圖，點H即為所求；【點睛】本題考查了作圖復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，靈活運用所學(xué)知識解決問題.【變式訓(xùn)練】1．（2022·江西萍鄉(xiāng)·二模）如圖，菱形ABCD及點P，請僅用無刻度的直尺按要求完成下列作圖．（1）如圖1，若點P在AB上，請在CD上作出點Q，使CQ=AP；（2）如圖2，若點P在菱形ABCD外，請在菱形外作點Q，使△CQD≌△APB．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）連接，交于點，連接延長交于點，點即為所求．（2）連接，交于點，延長交的延長線于，連接交的延長線于，連接，連接，延長交于點，連接，點即為所求．【詳解】解：（1）如圖1中，點即為所求．（2）如圖2中，點即為所求．【點睛】本題考查作圖復(fù)雜作圖，菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作出菱形的對稱中心，屬于中考?？碱}型．2．（2022·江蘇鹽城·二模）如圖，在中，點N在BC上，，BM平分交AD于點M，請用無刻度的直尺畫圖（保留作圖痕跡，不寫畫法）．(1)在圖1中，過點A畫出中BM邊上的高AP，并證明你的結(jié)論；(2)在圖2中，過點C畫出C到BM的垂線段CQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）連接AN即可，根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定證明即可；（2）連接，交于點，過點作，交于點，連接交于點，則線段即為所求．(1)如圖1，AP即為所求中BM邊上的高；證明：∵BM平分，∴．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴四邊形ABNM是平行四邊形，∵，∴是菱形，∴，即AP為中BM邊上的高；(2)如圖2，連接，交于點，過點作，交于點，連接交于點，則線段即為所求．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AE∥CN，∴∠AEO=∠CNO，∵∠AOE=∠CON，∴△AOE≌△CON（AAS），∴OE=ON，∴四邊形ANCE是平行四邊形，∴AN∥CE，∵AN⊥BM，∴CE⊥BM，即CQ⊥BM．【點睛】本題考查了無刻度直尺作圖，平行線的性質(zhì)與判定，菱形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．一、選擇題1．（2022·廣東·珠海市拱北中學(xué)八年級期中）已知菱形的兩條對角線的長分別為8和10，則菱形的面積為（

）A．160 B．80 C．40 D．20【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形面積等于兩條對角線乘積的一半，計算求值即可．【詳解】解：∵菱形的兩條對角線的長分別為8和10，∴菱形的面積，故選：C．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形的面積，掌握菱形的對角線互相垂直平分是解題關(guān)鍵．2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級期中）如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，過點A作于點E，連接OE．若，，則DE的長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AC＝2OE＝2，則OA＝AC＝，再由勾股定理得OB＝，則BD＝2OB＝2，然后由菱形面積求出AE的長，即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝AD＝AB＝3，OA＝OC，OB＝OD，BD⊥AC，∵AE⊥CD，∴∠AED＝∠AEC＝90°，∴AC＝2OE＝2，∴OA＝AC＝，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝，∴BD＝2OB＝2，∵S菱形ABCD＝CD?AE＝AC?BD＝×2×2＝2，∴AE＝，∴DE＝，故選：A．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·海南省直轄縣級單位·二模）如圖，菱形紙片中，，P為中點，折疊菱形紙片，使點C落在所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到△ABD為等邊三角形，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，進(jìn)而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【詳解】解：連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P為AB的中點，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°?∠CDE?∠C＝75°，故選：B．【點睛】此題考查了翻折變換（折疊問題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．4．（2022·河北·八年級期中）如圖，在菱形中，，．動點從點出發(fā)，以1個單位長度/秒的速度沿方向向點運動，同時，動點從點出發(fā)沿方向向點運動，它們同時到達(dá)目的地，則運動到（

）秒時．A．3或 B．3 C． D．5【答案】A【解析】【分析】分兩種情形求解即可：①當(dāng)點Q與點O重合時，PQ=OP，此時t=3秒；②如圖1中，當(dāng)OP=PQ時，想辦法構(gòu)建方程即可解決問題．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AO=CO，BC//AD，∵，∴∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∠BAO=∠DAO=30°，∴BO=AB=3，∴CO=AO=，設(shè)點Q的運動速度為x單位/秒，由題意得，解得x=，經(jīng)檢驗x=符合題意．①當(dāng)點Q與點O重合時，PQ=OP，此時t=3÷=3秒；②如圖1中，當(dāng)OP=PQ時，作PH⊥OA于H，則QH=OH．在Rt△APH中，PA=t，∠PAH=30°，∴PH=t，∴AH=t，∴OH=3t，∵QH=（t3），∴（t3）=3t，解得t=，綜上所述，當(dāng)t=3秒或秒時，OP=PQ．故選A．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考常考題型．5．（2022·甘肅武威·中考真題）如圖1，在菱形中，，動點從點出發(fā)，沿折線方向勻速運動，運動到點停止．設(shè)點的運動路程為，的面積為，與的函數(shù)圖象如圖2所示，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖1和圖2判定三角形ABD為等邊三角形，它的面積為解答即可．【詳解】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABD為等邊三角形，設(shè)AB=a，由圖2可知，△ABD的面積為，∴△ABD的面積解得：a=故選B【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，根據(jù)菱形的性質(zhì)和函數(shù)圖象，能根據(jù)圖形得出正確信息是解此題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2022·江蘇·徐州市第十三中學(xué)三模）如圖，在菱形中，、分別為、的中點，若，則菱形的周長為______．【答案】16【解析】【分析】由三角形中位線定理可求長為長的2倍，那么菱形的周長等于，由此問題得解．【詳解】解：∵點，分別為，的中點，，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴菱形周長為：．故答案為：16．【點睛】本題考查了菱形的四邊相等的性質(zhì)，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)．熟記各性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級期中）在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B分別為A（－3，0）、B（0，－4），點C在x軸上，若四邊形ACBD是菱形，則點D的坐標(biāo)為________．【答案】【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)得BD=AC=BC，，設(shè)OC=x，則BD=BC=AC=OA+OC=3+x，然后在Rt△OBC中，由勾股定理得：x2+42=（3+x）2，解得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，∵四邊形ACBD是菱形，∴BD=AC=BC，，∵A（3，0）、B（0，4），∴OA=3，OB=4，設(shè)OC=x，則BD=BC=AC=OA+OC=3+x，在Rt△OBC中，由勾股定理得：x2+42=（3+x）2，解得：，∴BD=3+=，∴點D的坐標(biāo)為，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學(xué)校八年級期中）如圖，在中，分別是上的點，，將沿所在的直線翻折，使點的對應(yīng)點與點重合，且點落在點處，連接，若，，則________．【答案】【解析】【分析】過點作的垂線交延長線于點，根據(jù)翻折的性質(zhì)證明，根據(jù)全等的性質(zhì)，證明四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到、的長度，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)含角的直角三角形三邊關(guān)系，即可求出，的長度，根據(jù)勾股定理即可求出的長度．【詳解】解：過點作的垂線交延長線于點∵翻折∴，，∵四邊形是平行四邊形∴，，∴，，∵，∴在和中∵∴∴，∵∴∴又∵∴四邊形是平行四邊形∵∴平行四邊形是菱形∵∴是等邊三角形∴∵∴∵∴∵∴∴∴，∴故答案為：．【點睛】本題考查了翻折、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、含角的直角三角形三邊關(guān)系、勾股定理等知識點，正確作出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求線段長是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·陜西·中考真題）如圖，在菱形中，．若M、N分別是邊上的動點，且，作，垂足分別為E、F，則的值為______．【答案】【解析】【分析】連接AC交BD于點O，過點M作MG//BD交AC于點G，則可得四邊形MEOG是矩形，以及，從而得NF=AG，ME=OG，即NR+ME=AO，運用勾股定理求出AO的長即可．【詳解】解：連接AC交BD于點O，如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=，AD//BC，∴在Rt中，AB=4，BO=，∵，∴過點M作MG//BD交AC于點G，∴,∴又∴，∴四邊形MEOG是矩形，∴ME=OG，又∴∴在和中，,∴≌∴，∴，故答案為．【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．10．（2022·上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級期中）如圖，在ABCD和BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，點A、B、E在同一直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，則________．【答案】【解析】【分析】延長GP交CD于點H，根據(jù)AB＝AD，BG＝BE，得出四邊形ABCD和四邊形BEFG都是菱形，由菱形的性質(zhì)證明△DPH≌△FPG，得出DH=GF，進(jìn)而得出△CHG為等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)得出CP⊥HG，∠PCG=60°，再利用直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：如圖，延長GP交CD于點H，在ABCD和BEFG中，AB＝AD，BG＝BE，∴四邊形ABCD和四邊形BEFG都是菱形，∴CD=CB，GF=GB，CD∥AE，GF∥AE，∴CD∥GF，∴∠DHP=∠FGP，∵∠DPH=∠FPG，DP=FP，∴△DPH≌△FPG（AAS），∴DH=GF，PH=PG，∴DH=GB，∴CH=CG，∴CP⊥PG，∴∠HCG=2∠PCG，∵∠ABC=60°，∴∠HCG=180°∠ABC=120°，∴∠PCG=60°，∴∠CGP=30°，∴CG=2PC，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了菱形的的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2022·四川廣元·中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ABCD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E為AB中點，連接CE．(1)求證：四邊形AECD為菱形；(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面積．【答案】(1)見詳解(2)△ABC的面積為【解析】【分析】（1）由題意易得CD=AE，∠DAC=∠EAC=∠DCA，則有四邊形AECD是平行四邊形，然后問題可求證；（2）由（1）及題意易得，則有△BCE是等邊三角形，然后可得△ACB是直角三角形，則，進(jìn)而問題可求解．(1)證明：∵ABCD，AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠EAC，∠EAC=∠DCA，∴∠DAC=∠DCA，∴DA=DC，∵AB＝2CD，E為AB中點，∴，∵，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵DA=DC，∴四邊形AECD是菱形；(2)解：由（1）知：，∵∠D＝120°，∴，∵E為AB中點，∴，∴△BCE是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)及含30°直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，∠BAC＝90°，點E為BC的中點(1)求證：四邊形AECD是菱形；(2)連接BD，如果BD平分∠ABC，AD＝2，求BD的長．【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可得，且，可證四邊形是平行四邊形，即可得結(jié)論；（2）由角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可得，可證四邊形是等腰梯形，可得，由勾股定理可求的長，即可得的長．(1)證明：，點為的中點，，，且，四邊形是平行四邊形，且，四邊形是菱形；(2)解：如圖，，四邊形是梯形，平分，，，，四邊形是菱形，四邊形是等腰梯形，，．【點睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是求證．13．（2022·廣東深圳·三模）如圖，在四邊形中，，對角線的垂直平分線與邊、分別相交于點、．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的周長．【答案】(1)見解析(2)68【解析】【分析】（1）證△MOD≌△NOB（AAS），得出OM=ON，由OB=OD，證出四邊形BNDM是平行四邊形，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得出BM=BN=DM=DN，OB=BD，OM=MN，由勾股定理得BM的長，即可得出答案．(1)證明：∵AD∥BC，，是對角線的垂直平分線，，，和中，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；(2)解：四邊形是菱形，，，，，，在中，由勾股定理得：，菱形的周長．【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．14．（2022·浙江金華·九年級期中）如圖，中，、分別是、的中點，，過點作BF//CE，交的延長線于點．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【解析】【分析】（1）跟了中點的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)即可求證結(jié)論．（2）根據(jù)（1）中菱形的性質(zhì)可得是等邊三角形，過點作于點，利用勾股定理即可求得答案．(1)證明：、分別是、的中點，，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是菱形．(2)由知，，是等邊三角形，，，，過點作于點，如圖所示，，在中，，，，，．【點睛】本題考查了菱形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、三角形的中位線定理，熟練掌握菱形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·安徽·中考真題）已知四邊形ABCD中，BC＝CD．連接BD，過點C作BD的垂線交AB于點E，連接DE．(1)如圖1，若，求證：四邊形BCDE是菱形；(2)如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點F，DE垂直平分線段AC．（?。┣蟆螩ED的大??；（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．【答案】(1)見解析(2)（?。?；（ⅱ）見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)DC=BC，CE⊥BD，得出DO=BO，再根據(jù)“AAS”證明，得出DE=BC，得出四邊形BCDE為平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，得出四邊形BCDE為菱形；（2）（ⅰ）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形三線合一，證明∠BEG=∠DEO=∠BEO，再根據(jù)∠BEG+∠DEO+∠BEO=180°，即可得出；（ⅱ）連接EF，根據(jù)已知條件和等腰三角形的性質(zhì)，算出，得