2025屆高三數(shù)學(xué)第二次大聯(lián)考試題文含解析

PAGE20-2025屆高三數(shù)學(xué)其次次大聯(lián)考試題文（含解析）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式求得全集，由此求得.詳解】由，解得，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查集合補(bǔ)集的概念和運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡，由此求得，進(jìn)而求得對應(yīng)點(diǎn)所在象限.【詳解】依題意，所以，對應(yīng)點(diǎn)為，在其次象限.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)所在象限，屬于基礎(chǔ)題.3.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.4.若橢圓：一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則的長軸長為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用交點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，由此求得的長軸長.【詳解】由于方程為橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，所以，長軸長為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)求參數(shù)，考查橢圓長軸長的求法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知是兩個不同平面，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)面面平行的判定定理與性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：由題意，若∥，則∥，依據(jù)面面平行的性質(zhì)，∥是∥的充分條件；若∥，依據(jù)面面平行的判定定理不能推出∥，故不是充分條件；∴∥是∥的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件與必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．6.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有器中米，不知其數(shù)，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗為十升).問，米幾何？”下圖是解決該問題的程序框圖，執(zhí)行該程序框圖，若輸出的S=15(單位：升)，則輸入的k的值為（）?A.45 B.60 C.75 D.100【答案】B【解析】【分析】依據(jù)程序框圖中程序的功能，可以列方程計算．【詳解】由題意，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，讀懂程序的功能是解題關(guān)鍵．7.已知等差數(shù)列滿意，，則數(shù)列的前10項的和為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)已知條件求得數(shù)列的通項公式，利用裂項求和法求得數(shù)列的前10項的和.【詳解】依題意等差數(shù)列滿意，，所以，所以，所以.所以數(shù)列的前10項的和為.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列通項公式的求法，考查裂項求和法，屬于基礎(chǔ)題.8.以下是人數(shù)相同的四個班級某次考試成果的頻率分布直方圖，其中方差最小的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)方差表示的意義選出正確選項.【詳解】方差表示數(shù)據(jù)波動性的大小、穩(wěn)定程度.由頻率分布直方圖可知：數(shù)據(jù)越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B選項.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查依據(jù)頻率分布直方圖估計方差的大小，屬于基礎(chǔ)題.9.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若是奇函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處切線的斜率為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】利用為奇函數(shù)求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，由于是奇函數(shù)，所以，解得，所以，所以.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計算，考查函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)，有下列四個結(jié)論：①是偶函數(shù)②是周期函數(shù)③在上是增函數(shù)④在上恰有兩個零點(diǎn)其中全部正確結(jié)論的編號有（）A.①③ B.②④ C.①②④ D.①③④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性和零點(diǎn)對四個結(jié)論逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】由于，所以為偶函數(shù)，故①正確.由于，所以是周期為的周期函數(shù)，故②正確.當(dāng)時，，所以，且，所以在上先減后增，③錯誤.當(dāng)時，令，得，所以，且，所以有兩個零點(diǎn)，所以④正確.綜上所述，正確結(jié)論的編號有①②④.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)的奇偶性、周期性、單調(diào)性和零點(diǎn)，屬于中檔題.11.定義在上的奇函數(shù)滿意，若，，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】首先推斷出是周期為的周期函數(shù)，由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù)，得，而，所以，所以，即的周期為.由于，，，所以，，，.所以，又，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性，屬于基礎(chǔ)題.12.正三棱柱的全部定點(diǎn)均在表面積為的球的球面上，，則到平面的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)球的表面積求得球的半徑，由此求得側(cè)棱的長，利用等體積法求得到平面的距離.【詳解】設(shè)等邊三角形的外接圓半徑為，由正弦定理得.由于球表面積為，故半徑，所以側(cè)棱長.在三角形中，，而，所以三角形的面積為.設(shè)到平面的距離為，由得，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查幾何體外接球有關(guān)計算，考查等體積法求點(diǎn)面距離，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知，滿意約束條件，則的最小值為______．【答案】2【解析】【分析】作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時，取得最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量，，則向量與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】利用向量夾角公式，計算出向量，由此推斷出向量與的夾角為.【詳解】由于，所以，所以向量與的夾角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量坐標(biāo)的線性運(yùn)算，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.15.已知為數(shù)列的前項和，，則______．【答案】【解析】【分析】利用證得數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得的值.【詳解】由于，當(dāng)時.當(dāng)時，兩式相減得.所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查已知求，考查等比數(shù)列的前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.16.已知、分別為雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，，則的離心率為_____．【答案】【解析】【分析】依據(jù)勾股定理求得的關(guān)系式，化簡后求得雙曲線離心率.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，由于，所以，而，所以，是三角形的中位線.，設(shè)，則由雙曲線的定義可得，所以，，所以，在三角形中，由勾股定理可得，化簡得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.17.如圖，長方體中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）證明：平面.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）由，證得平面，由此證得平面平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，由此證得：平面.【詳解】（1）∵是長方體，∴，，又，且平面，平面∴平面，即平面.因為平面，所以平面平面.（2）取中點(diǎn)，連接，，，則，，，，所以，且∴是平行四邊形，∴，∵平面，且平面，∴平面.【點(diǎn)睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查空間想象實力和邏輯推理實力，屬于基礎(chǔ)題.18.疫情爆發(fā)以來，相關(guān)疫苗企業(yè)發(fā)揮專業(yè)優(yōu)勢與技術(shù)優(yōu)勢爭分奪秒開展疫苗研發(fā).為測試疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，則認(rèn)為測試沒有通過)，選定2000個樣本分成三組，測試結(jié)果如“下表:組組組疫苗有效673疫苗無效7790已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1個，抽到組疫苗有效的概率是0.33.（1）求，的值；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取360個測試結(jié)果，求組應(yīng)抽取多少個?（3）已知，，求疫苗能通過測試的概率.【答案】（1），=500（2）90（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)“在全體樣本中隨機(jī)抽取1個，抽到組疫苗有效的概率”列方程，解方程求得的值，進(jìn)而求得的值.（2）依據(jù)組占總數(shù)的比例，求得組抽取的個數(shù).（3）利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】（1）∵在全體樣本中隨機(jī)抽取1個，抽到組疫苗有效的概率是0.33.∴，∴，.（2）應(yīng)在組抽取的個數(shù)為.（3）由題意疫苗有效需滿意，即，組疫苗有效與無效的可能狀況有，共6種結(jié)果，有效的可能狀況有，共4種結(jié)果，∴疫苗能通過測試的概率.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分層抽樣，考查古典概型概率計算，考查數(shù)據(jù)處理實力，屬于基礎(chǔ)題.19.內(nèi)角，，的對邊分別是，，，其外接圓半徑為，面積，.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，結(jié)合兩角和與差的余弦公式，求得的值，由此求得的大小，進(jìn)而求得的大小.（2）依據(jù)正弦定理求得，由此求得，結(jié)合余弦定理列方程，求得，化簡后求得的值.【詳解】（1）由已知及正弦定理可得，即，∴，∵，∴，∴，∴，.（2），，∴，由已知及余弦定理得，，∴，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查兩角和與差的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題.20.在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上動點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線:的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，為的中點(diǎn).（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點(diǎn)?若是，求出這個定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）直線過定點(diǎn).【解析】分析】（1）設(shè)出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)并代入切線的方程，同理將點(diǎn)坐標(biāo)代入切線的方程，利用韋達(dá)定理求得線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由此推斷出軸.（2）求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由此求得點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點(diǎn).【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，，，∴切線的斜率為，切線：，設(shè)，則有，化簡得，同理可的.∴，是方程的兩根，∴，，，∴軸（2）∵，∴.∵，∴直線：，即，∴直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查直線過定點(diǎn)問題，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)，.（1）探討的單調(diào)性；（2）若，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，對分成兩種狀況進(jìn)行分類探討，求得的單調(diào)區(qū)間.（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得的最大值小于零，由此證得不等式成立.【詳解】（1），，若，則當(dāng)且時，，當(dāng)時，，∴在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）令（），則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，∴，當(dāng)時，，令，則，（），由于，所以，所以，存在使得.由得.故取，且使，即，而，所以有.∵，∴存在唯一零點(diǎn)，∴有唯一的極值點(diǎn)且為極大值點(diǎn)、最大值點(diǎn)，由可得，∴，∵，∴為上的增函數(shù)，∴（），∴.綜上可知，當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查分類探討的數(shù)學(xué)思想方法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將曲線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到曲線，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出的極坐標(biāo)方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)，（以上兩點(diǎn)坐標(biāo)均為極坐標(biāo)，，），使點(diǎn)、到的距離都為3？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1），（2）存在，【解析】【分析】（1）先求得曲線的一般方程，利用伸縮變換的學(xué)問求得曲線的直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程.依據(jù)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式，求得直線的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的圓心和半徑，計算出圓心到直線的距離，結(jié)合圖像推斷出存在符合題意，并求得的值.【詳解】（1）曲線的一般方程為，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到曲線的直角坐標(biāo)方程為，其極坐標(biāo)方程為，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）曲線是以為圓心，為半徑的圓，圓心到直線的距離.∴由圖像可知，存在這樣的點(diǎn)，，則，且點(diǎn)到直線的距離，∴，