2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)36不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE7不同函數(shù)增長(zhǎng)的差異[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．(多選)下面對(duì)函數(shù)f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x與g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的衰減狀況的說法中錯(cuò)誤的有()A．f(x)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越快B．f(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越慢C．f(x)的衰減速度越來越慢，g(x)的衰減速度越來越慢D．f(x)的衰減速度越來越快，g(x)的衰減速度越來越快解析：選ABD結(jié)合指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)和對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的圖象易得C正確，A、B、D錯(cuò)誤．2．某校甲、乙兩食堂某年1月份的營業(yè)額相等，甲食堂的營業(yè)額逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的營業(yè)額也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知本年9月份兩食堂的營業(yè)額又相等，則本年5月份()A．甲食堂的營業(yè)額較高B．乙食堂的營業(yè)額較高C．甲、乙兩食堂的營業(yè)額相同D．不能確定甲、乙哪個(gè)食堂的營業(yè)額較高解析：選A設(shè)甲、乙兩食堂1月份的營業(yè)額均為m，甲食堂的營業(yè)額每月增加a(a>0)，乙食堂的營業(yè)額每月增加的百分率為x，由題意可知，m＋8a＝m×(1＋x)8，則5月份甲食堂的營業(yè)額y1＝m＋4a，乙食堂的營業(yè)額y2＝m×(1＋x)4＝eq\r(m（m＋8a）).因?yàn)閥eq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2.故本年5月份甲食堂的營業(yè)額較高．3．某學(xué)校開展探討性學(xué)習(xí)活動(dòng)，某同學(xué)獲得一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對(duì)于表中數(shù)據(jù)，現(xiàn)給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)C．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)解析：選D法一：相鄰的自變量之差從左到右依次大約為1，相鄰的函數(shù)值之差大約為2.5，3.5，4.5，6，基本上是漸漸增加的，拋物線擬合程度最好，故選D.法二：可以采納特別值代入法，取某個(gè)x的值代入，再比較函數(shù)值是否與表中數(shù)據(jù)相符．可取x＝4，經(jīng)檢驗(yàn)易知選D.4．有甲、乙、丙、丁四種不同品牌的自駕車，其跑車時(shí)間均為x小時(shí)，跑過的路程分別滿意關(guān)系式：f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log3(x＋1)，f4(x)＝2x－1，則5個(gè)小時(shí)以后跑在最前面的為()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：選D法一：分別作出四個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，利用數(shù)形結(jié)合，知5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面．法二：由于4個(gè)函數(shù)均為增函數(shù)，且f1(5)＝52＝25，f2(5)＝20，f3(5)＝log3(5＋1)＝1＋log32，f4(5)＝25－1＝31，f4(5)最大，所以5個(gè)小時(shí)后丁車在最前面，故選D.5．(2024·安徽省級(jí)示范中學(xué)高一期中)若x∈(0，1)，則下列結(jié)論正確的是()A．2x>xeq\s\up6(\f(1,2))>lgx B．2x>lgx>xeq\s\up6(\f(1,2))C．xeq\s\up6(\f(1,2))>2x>lgx D．lgx>xeq\s\up6(\f(1,2))>2x解析：選A如圖所示，結(jié)合y＝2x，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))及y＝lgx的圖象易知，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，2x>xeq\s\up6(\f(1,2))>lgx，故選A.6．現(xiàn)測(cè)得(x，y)的兩組對(duì)應(yīng)值分別為(1，2)，(2，5)，現(xiàn)有兩個(gè)待選模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又測(cè)得(x，y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3，10.2)，則應(yīng)選用________作為函數(shù)模型．解析：把x＝1，2，3分別代入甲、乙兩個(gè)函數(shù)模型，經(jīng)比較發(fā)覺模型甲較好．答案：甲7．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(1，＋∞)上增長(zhǎng)較快的一個(gè)是________．解析：當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長(zhǎng)要快，∴x2要比xlnx增長(zhǎng)的要快．答案：y＝x28．生活閱歷告知我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同)時(shí)，水的高度隨著時(shí)間的改變而改變，在下圖中請(qǐng)選擇與容器相匹配的圖象，A對(duì)應(yīng)______；B對(duì)應(yīng)_____；C對(duì)應(yīng)______；D對(duì)應(yīng)______．解析：A容器下粗上細(xì)，水高度的改變先慢后快，故與(4)對(duì)應(yīng)；B容器為球形，水高度改變?yōu)榭臁?，?yīng)與(1)對(duì)應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的改變?yōu)椋篊容器水高度改變快，與(3)對(duì)應(yīng)，D容器水高度改變慢，與(2)對(duì)應(yīng)．答案：(4)(1)(3)(2)9．畫出函數(shù)f(x)＝eq\r(x)與函數(shù)g(x)＝eq\f(1,4)x2－2的圖象，并比較兩者在[0，＋∞)上的大小關(guān)系．解：函數(shù)f(x)與g(x)的圖象如圖所示．依據(jù)圖象易得：當(dāng)0≤x＜4時(shí)，f(x)＞g(x)；當(dāng)x＝4時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x＞4時(shí)，f(x)＜g(x)．10．每年的3月12日是植樹節(jié)，全國各地在這一天都會(huì)開展各種形式、各種規(guī)模的義務(wù)植樹活動(dòng)，某市現(xiàn)有樹木面積10萬平方米，安排今后5年內(nèi)擴(kuò)大樹木面積，有兩種方案如下：方案一：每年植樹1萬平方米；方案二：每年樹木面積比上一年增加9%.你覺得哪種方案較好．(參考數(shù)據(jù)：(1＋9%)5≈1.5386)解：方案一：5年后樹木面積是10＋1×5＝15(萬平方米)．方案二：5年后樹木面積是10×(1＋9%)5≈15.386(萬平方米)．∵15.386>15，∴方案二較好．[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．三個(gè)變量y1，y2，y3隨自變量x的改變狀況如下表：x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中關(guān)于x呈對(duì)數(shù)型函數(shù)改變的變量是________，呈指數(shù)型函數(shù)改變的變量是________．解析：依據(jù)三種模型的改變特點(diǎn)，視察題表中的數(shù)據(jù)可知，y2隨x的增大而快速增大，故呈指數(shù)型函數(shù)改變，y3隨x的增大而增大，但改變緩慢，因此呈對(duì)數(shù)型函數(shù)改變．答案：y3y212.如圖所示是某受污染的湖泊在自然凈化過程中某種有害物質(zhì)的剩留量y與凈化時(shí)間t(月)的近似函數(shù)關(guān)系：y＝at(t≥0，a＞0且a≠1)的圖象．有以下說法：①第4個(gè)月時(shí)，剩留量就會(huì)低于eq\f(1,5)；②每月削減的有害物質(zhì)質(zhì)量都相等；③當(dāng)剩留量為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)時(shí)，所經(jīng)過的時(shí)間分別是t1，t2，t3，則t1＋t2＝t3.其中全部正確說法的序號(hào)是________．解析：由于函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,9)))，故函數(shù)的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(t).當(dāng)t＝4時(shí)，y＝eq\f(16,81)＜eq\f(1,5)，故①正確；當(dāng)t＝1時(shí)，y＝eq\f(2,3)，削減eq\f(1,3)，當(dāng)t＝2時(shí)，y＝eq\f(4,9)，削減eq\f(2,9)，故每月削減有害物質(zhì)質(zhì)量不相等，故②不正確；分別令y＝eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，解得t1＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,2)，t2＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,4)，t3＝logeq\s\do9(\f(2,3))eq\f(1,8)，t1＋t2＝t3，故③正確．答案：①③13．某地發(fā)生地震后，地震專家對(duì)該地區(qū)發(fā)生的余震進(jìn)行了監(jiān)測(cè)，記錄的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：地震強(qiáng)度(J)1.6×10193.2×10194.5×10196.4×1019震級(jí)(里氏)5.05.25.35.4地震強(qiáng)度x(×1019)和震級(jí)y的模擬函數(shù)關(guān)系可以選用y＝algx＋b(其中a，b為常數(shù))．利用散點(diǎn)圖可得a＝________，b＝________．(取lg2＝0.3進(jìn)行計(jì)算)解析：由模擬函數(shù)及散點(diǎn)圖得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(alg1.6＋b＝5，,alg3.2＋b＝5.2，))兩式相減得a(lg3.2－lg1.6)＝0.2，所以alg2＝0.2，解得a＝eq\f(2,3)，所以b＝5－eq\f(2,3)lg1.6＝5－eq\f(2,3)(4lg2－1)＝5－eq\f(2,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(73,15).答案：eq\f(2,3)eq\f(73,15)14．假設(shè)有一套住房的房?jī)r(jià)從2011年的20萬元上漲到2024年的40萬元．下表給出了兩種價(jià)格增長(zhǎng)方式，其中P1是按直線上升的房?jī)r(jià)，P2是按指數(shù)增長(zhǎng)的房?jī)r(jià)，t是2011年以來經(jīng)過的年數(shù)．t05101520P1/萬元2040P2/萬元2040(1)求函數(shù)P1＝f(t)的解析式；(2)求函數(shù)P2＝g(t)的解析式；(3)完成上表空格中的數(shù)據(jù)，并在同始終角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，然后比較兩種價(jià)格增長(zhǎng)方式的差異．解：(1)設(shè)f(t)＝kt＋b(k≠0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝20，,10k＋b＝40))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝20，,k＝2.))∴P1＝f(t)＝2t＋20.(2)設(shè)g(t)＝mat(a>0，且a≠1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝20，,ma10＝40))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝20，,a＝\r(10,2).))∴P2＝g(t)＝20×(eq\r(10,2))t＝20×2eq\s\up6(\f(t,10)).(3)圖象如圖．表格中的數(shù)據(jù)如下表所示：t05101520P1/萬元2030405060P2/萬元2020eq\r(2)4040eq\r(2)80由圖象可以看出，在前10年，按P1增長(zhǎng)的價(jià)格始終高于按P2增長(zhǎng)的價(jià)格，但10年后，P2價(jià)格增長(zhǎng)速度很快，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出P1的價(jià)格并且時(shí)間越長(zhǎng)，差別越大．[C級(jí)拓展探究]15．某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，依據(jù)預(yù)料可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng)．記2015年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬件)之間的關(guān)系如下表所示：x1234f(x)4.005.587.008.44若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logeq\s\do9(\f(1,2))x＋a.(1)找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2015年和2017年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)因遭遇某國對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行反傾銷的影響，2024年的年產(chǎn)量比預(yù)料削減30%，試依據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2024年的年產(chǎn)量．解：(1)符合條件的是f(x)＝ax＋b，若模型為f(x)＝2x＋a，則由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2，即f(x)＝2x＋2，此時(shí)f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，與已知相差太大，不符合．若模型為f(x)＝logeq