2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：基本不等式及其應(yīng)用（十八大題型）（練習(xí)）（原卷版）

第04講基本不等式及其應(yīng)用

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................................3

題型一：基本不等式及其應(yīng)用....................................................................3

題型二：直接法求最值..........................................................................4

題型三：常規(guī)湊配法求最值......................................................................4

題型四：化為單變?法..........................................................................4

題型五：雙換元求最值..........................................................................4

題型六：“1”的代換求最值.......................................................................5

題型七：齊次化求最值..........................................................................5

題型八：利用基本不等式證明不等式..............................................................5

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題............................................................6

題型十：與a+b、平方和、成有關(guān)問(wèn)題的最值....................................................7

題型十一：三角換元法..........................................................................8

題型十二：多次運(yùn)用基本不等式..................................................................9

題型十三：待定系數(shù)法..........................................................................9

題型十四：多元均值不等式......................................................................9

題型十五：萬(wàn)能K法...........................................................................10

題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問(wèn)題...................................................10

題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題.................................................10

題型十八：整體配湊法..........................................................................11

02重難創(chuàng)新練.................................................................................11

真題實(shí)戰(zhàn)練....................................................................................13

題型一：基本不等式及其應(yīng)用

1.（2024?高三?安徽蕪湖?期末）《幾何原本》第二卷中的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成

了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱

之為無(wú)字證明.現(xiàn)有如圖所示的圖形，點(diǎn)/在半圓O上，且。尸，A5,點(diǎn)C在直徑A3上運(yùn)動(dòng).作

交半圓。于點(diǎn)。.設(shè)AC=a,BC=b,則由產(chǎn)C2CD可以直接證明的不等式為（）

A.(<7>0,Z?>0)B.a2+b2>2ab(<a>0,Z?>0)

C篝“尸…>°)

D.y[ab<J(q>0,〃>0)

2.下列運(yùn)用基本不等式求最值，使用正確的個(gè)數(shù)是（）

①已知所。，求訝的最小值；解答過(guò)程：價(jià)》"=2；

元+5

②求函數(shù)y=j24的最小值;解答過(guò)程:可化得y=&+4

③設(shè)X>1,求'=尤+=的最小值；解答過(guò)程：y=x+—>2.l^,

X-1x-1Vx-1

當(dāng)且僅當(dāng)X=三即X=2時(shí)等號(hào)成立，把X=2代入2*三得最小值為4.

x-1\x-1

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

3.下列不等式一定成立的是()

A.lg，+；)>lgx(x>0)

B.sinx-\----N2(xWk/c,kGZ)

sinx

C.%2+1>2|x|(xeR)D.——>1(xsR)

x+1

題型二：直接法求最值

（2024?上海普陀?二模）若實(shí)數(shù)J6滿足。-力>0,則2"+彘的最小值為

4.

h2

5.（2024?高三?上海青浦-期中）若。力￡R且滿足"=8,則的最小值為

16

若貝的最小值為

6.x>0,IJx+3

X

題型三：常規(guī)湊配法求最值

若則X+士的最小值是

7.

若X>-1,則函數(shù)/（x）=三的值域是.

8.

—2x+2*/、

9.若一lvxvl,貝!Jy=---------有（）

2%—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

題型四：化為單變量法

10.若a+Z?+c=4,3a+2b—c=0,則的最大值為（）

縣

ABcD.

-1V-I3

11.（2024?高三?河南漂河?期末）設(shè)正實(shí)數(shù)X、V、z滿足三-孫+V-z=0,貝的最大值為（）

Z

A.4B.2C.3D.1

8

12.已知正數(shù)X,>滿足31=夕，則X+一的最小值為

y

13.已知％,yKR+,若2元+y+9=7,則％+2y的最小值為

題型五：雙換元求最值

62

14.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知x>>>。，+不=1,則2…的最小值為

15.（2024?高三?福建龍巖?期中）已知x>0,y>0且必+3丁+4孫=8,則3x+5y的最小值為

題型六："1"的代換求最值

16.（2024?高三?江蘇南京?開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)y=log.（無(wú)+2）-3（°>0且"1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A

Yl1

在直線儂+〃y+l=0上，其中mn>0,則一+一的最小值為.

mn

17.（2024?四川南充?二模）已知羽y是實(shí)數(shù)，x>0,y>Q,且％+y=4,則'的最小值為_(kāi)_______

xy

18.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）若直線2g:+〃y-4=00>0,">0）過(guò)函數(shù)y=loga（x-l）+2（a>。，且awl）

的定點(diǎn)T,則二n+24的最小值為.

mn

19.（2024?上海徐匯?二模）若正數(shù)a、〃滿足I+g=1,則2a+6的最小值為_(kāi)____.

ab

題型七：齊次化求最值

20.（2024?高三?浙江?開(kāi)學(xué)考試）已知正實(shí)數(shù)％，>滿足x+2y=l,則』+二的最小值為.

1-Y2

21.已知1>0,y>0,丁+、3=尤_,,則一1的最小值是（）

y

A.2B.2+百C.75+2D.20+2

題型八：利用基本不等式證明不等式

22.已知。，b,c為正數(shù)，函數(shù)/（%）=,+4+卜+4+,一小

⑴若a=b=c=2,求的最小值；

⑵若"0）=1且。，b,c不全相等，求證：bic+c?a+cc'b>abc-

23.不等式選講已知〃,瓦。均為正實(shí)數(shù)，函數(shù)/（九）=卜-4力+,+9q+。的最小值為4.

（1）求證：ab+bc+ca>9abc；

（2）求證：6yfab+3y/bc+2y[ca<4.

24.（2024?四川資陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知a>0,b>0,且a+b=2.

⑴求Y+/的最小值；

（2）證明：而T+歷Tv2虛.

題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

25.（2024?黑龍江?二模）"不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子?離婁章句上》.“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相

互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫(huà)圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖

中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，若將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角a滿

足cosa=；,則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為（）

26.（2024?廣東韶關(guān)?二模）在工程中估算平整一塊矩形場(chǎng)地的工程量W（單位：平方米）的計(jì)算公式

是卬=（長(zhǎng)+4）x（寬+4）,在不測(cè)量長(zhǎng)和寬的情況下，若只知道這塊矩形場(chǎng)地的面積是10000平方米，每平

方米收費(fèi)1元，請(qǐng)估算平整完這塊場(chǎng)地所需的最少費(fèi)用（單位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

27.（2024?高三?山東濟(jì)寧?開(kāi)學(xué)考試）一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店里

購(gòu)買(mǎi)10g黃金，售貨員現(xiàn)將5g的祛碼放在天平的左盤(pán)中，取出陰黃金放在天平右盤(pán)中使天平平衡；將天平

左右盤(pán)清空后，再將5g的祛碼放在天平右盤(pán)中，再取出“黃金放在天平的左盤(pán)中，使天平平衡；最后將兩

次稱得的黃金交給顧客.則（）

A.x+y>10B.x+y=10

C.x+j<10D.以上都有可能

28.（2024?高三?北京朝陽(yáng)?期末）根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)理論，企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)量受勞動(dòng)投入、資本投入和技術(shù)水

平的影響，用。表示產(chǎn)量，入表示勞動(dòng)投入，K表示資本投入，A表示技術(shù)水平，則它們的關(guān)系可以表示

%Q=AK"U,其中4>0,K>0,L>0,0<a<l,0<P<l.當(dāng)A不變，K與乙均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，下面結(jié)論中正確

的是（）

A.存在。<g和P<白,使得。不變

B.存在a>《和夕>!，使得。變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

C.若擊%則Q最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

D.若公+"=9，則。最多可變?yōu)樵瓉?lái)的2倍

29.某合作社需要分裝一批蔬菜.已知這批蔬菜只由一名男社員分裝時(shí)，需要12天完成，只由一名女社員分

裝時(shí)，需要18天完成.為了讓市民盡快吃到這批蔬菜，要求一天內(nèi)分裝完畢.由于現(xiàn)有的男、女社員人數(shù)都不

足以單獨(dú)完成任務(wù)，所以需要若干名男社員和若干名女社員共同分裝.已知分裝這種蔬菜時(shí)會(huì)不可避免地造

成一些損耗.根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這批蔬菜分裝完畢后，參與任務(wù)的所有男社員會(huì)損耗蔬菜共80千克，參與任務(wù)

的所有女社員會(huì)損耗蔬菜共30千克.則參與分裝蔬菜的男社員的平均損耗蔬菜量（千克）與女社員的平均損

耗蔬菜量（千克）之和的最小值為（）

A.10B.15C.30D.45

題型十：與〃+瓦平方和、ab有關(guān)問(wèn)題的最值

30.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)處b滿足3片+3廿+4"=5,則下列結(jié)論正確的是（）

2

A.ab<1B.ab2—

5

c.a2+b2>2D.-y/2<a+b<^2

31.（多選題）己知位于第一象限的點(diǎn)（a,b）在曲線:+；=1上，則（）

A.（a—1）（&-1）=—1B.ab>4

122

C.a+4b<9D.^+-2—

a2b13

32.（多選題）設(shè)正實(shí)數(shù)x＞。，y＞0,且滿足x+y+3=孫，貝！J（）

A.4x+j>13B.xy<9

11、2

C.x2+/<18D.一+一2—

xy3

13

33.（多選題）已知。＞0,b>0,—+7=1，則下列說(shuō)法正確的是（)

ab

A.々b的最小值為12

B.a+b的最小值為4抬

C./+/的最小值為24

13

D.+—的最小值為2

a—1b—3

題型十一：三角換元法

34.（多選題）由知實(shí)數(shù)。，b滿足/+4/=2,貝【J（）

A.ab的最大值為g

B.a+b的最大值為26

VioA/TO

C.a—bG

當(dāng)"0，°〈"乎時(shí),消;的最大值為冷

D.

35.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）實(shí)數(shù)。，匕滿足/+4/=2,貝U（）

71

A.ab<—

2

B.。+人的最大值為20

VioTip

C.a—bG

（〃+粗片+防）的最大值為￡

D.23

36.（多選題）若x,y滿足￡+必-沖=1,則下列結(jié)論正確的是（)

22、2

A.x+y<lB.x+y>-2C.x2+y2<2D.x+y>—

3

題型十二：多次運(yùn)用基本不等式

37.已知〃〉0,b〉0,則a+Z?4的最小值為_(kāi)____.

ab

38.（2。24?黑龍江?二模）已知實(shí)數(shù)〃，。且"＞。，則辦:"+9取得最大值時(shí),a+b的值為（）

A.73B.273C.-2A/3D.2代'或-2退

若實(shí)數(shù)滿足協(xié)＞則〃+《的最小值為（

39.a,60,"+4)

ab

A.8B.6C.4D.2

40.已知?！?力＞0則4〃+A+—〒的最小值為（）

7ab

A.2B.20C.4D.5

題型十三：待定系數(shù)法

41.（云南師范大學(xué)附屬中學(xué)2023-2024學(xué)年高三4月月考數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)1,V,Z不全為0,則

1+的最大值為()

x+y+z

A.逅B.更C.叵D,6

2222

ab+bc,,?.小、r/

42.（2024?山西運(yùn)城?二模）若a,b,c均為正實(shí)數(shù)，則a2+2b2+c2的取大值為)

A.1B.-C.正D.縣

2422

題型十四：多元均值不等式

43.已知母=1(尤〉0),則16x+y2的最小值為.

-yMz；z./\81"+4,9"+4*3*+1%曰［/古曰/、

4A4A.函數(shù)=----------------的最小值是()

V79尤+2『

Q1Q

A.2A/2B.3C.—D.-

題型十五：萬(wàn)能K法

45.已知實(shí)數(shù)滿足1+4廿+必=1，貝必的最大值為.

46.（2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)天,兀滿足/+盯+3/=3,貝i]x+y的最大值為（）

AR6A/1T—6+1門(mén)g+3

A.-------D.----------C.-----------D.--------

H1133

47.（2024?高三?重慶?期中）已知x,yeR,且犬+4/=3,則;x+y的最大值為.

題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒（能）成立問(wèn)題

O11

48.（2024?遼寧大連?一模）對(duì)于任意的正數(shù)相，n,不等式-+——成立，則九的最大值為一

mn2m+n

49.（2024?高三?山東濱州?期末）若不等式f-砒+420對(duì)任意x@[l,司恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.[0,4]B.（-8,4]C.（一00，：D.（-oo,5]

12

50.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足一+—=1且不等式2x+y>〃/+2機(jī)恒成立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

xy

A.?2）B.（-2,4）

C.(-00,-4)U(2,+00)D.(-co,-2)1(4,+co)

題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問(wèn)題

51.已知x>0,y>0,向量&=（x,y）,6=（2,l）,a力=1,則"的最大值為.

52.（2024?河南新鄉(xiāng)?二模）在直三棱柱44c「ABC中，BC,AG=244,=4,則該三棱柱的體積

的最大值為.

53.（2024?四川南充?二模）在ABC中，a,b,C分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知a=2,

2sinB+2sinC=3sinA.則cosA的最小值為.

54.（2024?湖南?模擬預(yù)測(cè)）已知鞏尸為銳角，且tana-tan￡+2tanctan2/?=0,則tana的最大值為（）

A.立B.受C.克D.萬(wàn)

432

題型十八：整體配湊法

55.（2024?四川成都?三模）若正實(shí)數(shù)。/滿足/+廿=加，貝的最大值為（用加表示）.

56.對(duì)于正數(shù)〃力，有（2而+l）（a+b）=6ab,則a+6的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[1,A/3]C.[1,2]D.[2,+<?]

57.已知“，〃>0且"=a+%+3,則a+b的取值范圍為.

58.若。>0,〃>0,相=2（1+⑹+4,則機(jī)的最小值為.

a+b

1.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若正實(shí)數(shù)匕滿足。+〃=1,則工+，有最小值4

ab

B.若正實(shí)數(shù)a/滿足。+如=1,則2“+4〃22近

c.y=+3+/。,的最小值為4?

VX2+33

D.若貝|aZ?+lva+b

2.（2024?河南焦作?模擬預(yù)測(cè)）已知正數(shù)尤，V滿足2A+2y-斗=0,則當(dāng)孫取得最小值時(shí)，x+2y=

（）

A.4+8/B.2+4石C.3+6石D.8+60

3.（2024?遼寧葫蘆島?一模）已知a>0,b>0,a+b=2,貝U（）

A.O<?<1B.O<?Z?<1C.a2+我>2D.l<b<2

4.（2024?遼寧大連?一模）若〃x）=lnj吐匚（〃z>0,”0）奇函數(shù)，則[二+工的最小值為（）.

\-n-x4m+ln

69

A.—B.—C.4D.5

55

5.（2024?貴州黔東南?二模）己知正實(shí)數(shù)a,b滿足e2"-2+eb=e2-2"+eM,則”占的最大值為（）

2b

A.0B.』C.1D.-

22

6.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)a,b滿足必=2,則/+2戶的最小值為（）

A.2B.272C.4D.472

7.（2024?江蘇南通?二模）設(shè)x>0,y〉0,-+2y=2f則1+一的最小值為（

Xy

AB.2V2C.-+V2D.3

-12

（2。24?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知x>。，…且x+i則三+$的最小值為（）

8.

A-1B-1c-iD-7

9.（多選題）（2024?河北保定?二模）已知〃2+4/+2出7=1,貝IJ（

A.次?的最大值為1B.〃2+4k的最小值為1_

6

D.ab的最小值為-g

C.C+4廿的最大值為2

10.（多選題）（2024?浙江紹興?二模）已知a>0,Z?>0,a+b=ab,貝|()

A.々>1且人>1B.abN4

cb1]

C.a4b<9D.-+->1

ab

11.（多選題）（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知。>0,b>0,且a+Z?=2,貝[J()

A.B.”<42

c.log2a+log2Z?>0D.a-b>0

12.（多選題）（2024?高三?浙江湖州?期末）已知正數(shù)。,6滿足。（。+沙）=1,下列結(jié)論中正確的是（）

A./+卜2的最小值為2忘一2B.2a+6的最小值為2

3的最小值為孚

D.y[a-4b的最大值為1

（2024?湖北黃石?三模）設(shè)。，beR+，若。+46=4,則必獸逝的最小值為_(kāi)___,此時(shí)。的值為.

13.

yJab

14.（2024?上海靜安?二模）在下列關(guān)于實(shí)數(shù)〃、〃的四個(gè)不等式中，恒成立的是.（請(qǐng)?zhí)钊肴?/p>

正確的序號(hào)）