2023年北京市初三二模數(shù)學(xué)試題匯編：圓章節(jié)綜合

第1頁/共1頁2023北京初三二模數(shù)學(xué)匯編圓章節(jié)綜合一、單選題1．（2023·北京石景山·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，C，D為上的點(diǎn)，．若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．2．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）船航行的海岸附近有暗礁，為了使船不觸上暗礁，可以在暗礁的兩側(cè)建立兩座燈塔.只要留心從船上到兩個(gè)燈塔間的角度不超過一定的大小，就不用擔(dān)心觸礁.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)是網(wǎng)格線交點(diǎn)，當(dāng)船航行到點(diǎn)的位置時(shí)，此時(shí)與兩個(gè)燈塔間的角度（的大?。┮欢o觸礁危險(xiǎn).那么，對(duì)于四個(gè)位置，船處于___________時(shí)，也一定無觸礁危險(xiǎn).（）

A．位置 B．位置 C．位置 D．位置二、填空題3．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）如圖，是的直徑，是的弦，，則________°．4．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A,B,C在⊙O上，BC=6,∠BAC=60°，則⊙O的半徑為______．三、解答題5．（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于圖形M給出如下定義；將M上的一點(diǎn)變換為點(diǎn)，M上所有的點(diǎn)按上述變換后得到的點(diǎn)組成的圖形記為N，稱N為M的變換圖形．(1)①點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為______；②直線的變換圖形上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______；(2)求直線的變換圖形與y軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知⊙O的半徑為1，若的變換圖形與直線有公共點(diǎn)，直接寫出k的取值范圍．6．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）已知：如圖，線段AB．求作：，使得，且．

作法：①分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的上方交于點(diǎn)D，下方交于點(diǎn)E，作直線；②以點(diǎn)D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，交直線于點(diǎn)C，且點(diǎn)C在的上方；③連接．所以就是所求作的三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接．∵，，∴是線段的垂直平分線，∴________．∵，∴為等邊三角形，∴．∵，∴（________）（填推理的依據(jù)），∴．7．（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，有圖形W和點(diǎn)P，我們規(guī)定：若圖形W上存在點(diǎn)M、N（點(diǎn)M和N可以重合），滿足，其中點(diǎn)是點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，則稱點(diǎn)P是圖形W的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”．

(1)如圖1所示，已知，點(diǎn)，點(diǎn)．①在點(diǎn)中，是線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的是___________；②線段上是否存在線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出符合要求的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的橫坐標(biāo)的范圍，若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)如圖2，以點(diǎn)為圓心，1為半徑作．坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)C滿足，再以點(diǎn)C為圓心，1為半徑作，若上存在的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”，直接寫出C點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍．8．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P，直線l與圖形G．連接點(diǎn)P與圖形G上任意一點(diǎn)Q，取的中點(diǎn)M，點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為N，所有的對(duì)稱點(diǎn)組成的圖形W稱為圖形G關(guān)于點(diǎn)P及直線l的“對(duì)應(yīng)圖形”．已知點(diǎn)．(1)對(duì)于直線，若直線關(guān)于點(diǎn)A及直線l的“對(duì)應(yīng)圖形”與直線的交點(diǎn)在x軸的上方，求a的取值范圍；(2)已知點(diǎn)，，，直線，的圓心，半徑為2．若存在關(guān)于點(diǎn)D及直線l的“對(duì)應(yīng)圖形”與的邊有交點(diǎn)，直接寫出t的取值范圍．9．（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，給定圓C和點(diǎn)P，若過點(diǎn)P最多可以作出k條不同的直線，且這些直線被圓C所截得的線段長(zhǎng)度為正整數(shù)，則稱點(diǎn)P關(guān)于圓C的特征值為k．已知圓O的半徑為2，(1)若點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則經(jīng)過點(diǎn)M的直線被圓O截得的弦長(zhǎng)的最小值為___________，點(diǎn)M關(guān)于圓O的特征值為___________；(2)直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，若線段上總存在關(guān)于圓O的特征值為4的點(diǎn)，求b的取值范圍；(3)點(diǎn)T是x軸正半軸上一點(diǎn)，圓T的半徑為1，點(diǎn)R，S分別在圓O與圓T上，點(diǎn)R關(guān)于圓T的特征值記為r，點(diǎn)S關(guān)于圓O的特征值記為s．當(dāng)點(diǎn)T在x軸正軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若存在點(diǎn)R，S，使得，直接寫出點(diǎn)T的橫坐標(biāo)t的取值范圍．10．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）用尺規(guī)“三等分任意角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名難題，它已經(jīng)被數(shù)學(xué)家伽羅瓦用《近世代數(shù)》和《群論》證明是不可能的．但對(duì)于特定度數(shù)的已知角，如角，角等，是可以用尺規(guī)進(jìn)行三等分的．下面是小明的探究過程：已知：如圖1，．求作：射線三等分．

作法：如圖2，①在射線上取任一點(diǎn)；②分別以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在上方交于點(diǎn)，在下方交于點(diǎn)，連接；③作直線交于點(diǎn)；④以為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交線段于點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）；⑤作射線．所以射線即為所求射線．(1)利用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：，為等邊三角形．．．為的直徑，___________．又，平分（）（填推理的依據(jù)）．．．即射線三等分．

參考答案1．A【分析】根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為90度可得，進(jìn)而可得，．【詳解】解：如圖，連接，，

，，，為的直徑，，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角．2．B【分析】先利用格點(diǎn)找出的外接圓的圓心，再判斷哪個(gè)點(diǎn)在的外接圓上即可．【詳解】解：如圖，

由網(wǎng)格可知，點(diǎn)O是和垂直平分線的交點(diǎn)，即點(diǎn)O是的外接圓的圓心，，點(diǎn)M在的外接圓上，，船處于位置B時(shí)，也一定無觸礁危險(xiǎn)，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，三角形的外心，勾股定理與網(wǎng)格問題等，解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是找出的外接圓的圓心，二是掌握同弧所對(duì)的圓周角相等．3．50【分析】連接BC，則由圓周角定理可以得到∠ADC=∠ABC，再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是90度，得到∠ACB=90°，再根據(jù)∠BAC=40°即可求解.【詳解】解：如圖所示，連接BC∴∠ADC=∠ABC∵AB是直徑∴∠ACB=90°∵∠BAC=40°∴∠ABC=180°-90°-40°=50°∴∠ADC=∠ABC=50°故答案為：50.【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.4．【分析】根據(jù)已知條件以及圖形，可知本題考查圓對(duì)應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，包括圓周角、圓心角、垂徑定理，可構(gòu)造輔助線用垂徑定理以及角度關(guān)系解答本題．【詳解】連接OB、OC并作OFBC,如下圖所示∵同弧∴∠BOC=2∠BAC=120°（同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的二倍）又∵OFBC（垂徑定理），BC=6∴FB=FC=3，∠FOC=60°∴OF=，OC=

(30°特殊直角三角形三邊之比為)∴半徑為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題簡(jiǎn)要綜合了圓的基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，且有60°特殊角度的提示，加之求半徑常用垂徑定理，故輔助線不難做出，構(gòu)圖完成題目即可解決．5．(1)①；②；(2)；(3)且．【分析】（1）①按定義操作即可得出答案；②設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，然后按定義操作即可得出答案；（2）設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，求出該點(diǎn)的變換點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橫縱坐標(biāo)之間的關(guān)系求出直線的變換圖形的解析式即可得出答案；（3）設(shè)⊙O上點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，然后求出其變換點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，可得的變換圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，再根據(jù)直線恒過點(diǎn)，求出直線與的變換圖形相切時(shí)的k值即可．【詳解】（1）解：①按定義操作：，，∴點(diǎn)的變換點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；②設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，按定義操作：，∴直線的變換圖形上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：設(shè)直線的圖像上任意一點(diǎn)坐標(biāo)為，則該點(diǎn)的變換點(diǎn)坐標(biāo)為，令，得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴直線的變換圖形與y軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)⊙O上點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵⊙O的半徑為1，∴點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1，∴，∵⊙O上的點(diǎn)的變換點(diǎn)坐標(biāo)為，∴其變換點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為：，∴的變換圖形是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，又∵直線，∴直線恒過點(diǎn)，如圖，點(diǎn)，直線與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)直線與的變換圖形相切于點(diǎn)B時(shí)，可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴此時(shí)直線過點(diǎn)，∴，解得：，同理，當(dāng)直線與的變換圖形相切于x軸的下方時(shí)，可得，∴若的變換圖形與直線有公共點(diǎn)，k的取值范圍為且．

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一次函數(shù)的應(yīng)用，圓的基本概念，切線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，勾股定理等知識(shí)，正確理解變換圖形的定義，能夠準(zhǔn)確表示出變換點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)，一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．【分析】（1）尺規(guī)作圖，使得，利用一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半，畫的．（2）根據(jù)尺規(guī)作圖的畫法，得到垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩段距離相等．【詳解】（1）解：根據(jù)題意尺規(guī)作圖如下．

（2）解：；一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖做線段的垂直平分線線，以及一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半的知識(shí)點(diǎn)，其中能夠根據(jù)畫法畫出圖形是解決本題的關(guān)鍵．7．(1)①，；②不存在，理由見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)對(duì)稱平衡點(diǎn)的定義進(jìn)行判斷即可；②不存在，根據(jù)對(duì)稱平衡點(diǎn)的定義進(jìn)行討論可得結(jié)論；（2）畫出圖形進(jìn)行判斷即可．【詳解】（1）①如圖所示，點(diǎn)，，則；，則，

∴線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”的是，；故答案為：，；②不存在設(shè)P為線段上任意一點(diǎn)，則它與線段上點(diǎn)的距離最小值為0，最大值為和中的較大值；顯然點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，它到線段上任意一點(diǎn)的距離即若是線段上的任意兩點(diǎn)，，不存在∴線段上不存在線段的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”；（2）如圖，由②可知線段上不存在的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”，上存在的“對(duì)稱平衡點(diǎn)”，

∵∴【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱平衡點(diǎn)．兩圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)取特殊點(diǎn)特殊位置解決問題．8．(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，，根據(jù)新定義可得，點(diǎn)與直線上的任意一點(diǎn)所成的線段的中點(diǎn)，即為直線，設(shè)直線關(guān)于的對(duì)稱直線與軸的交點(diǎn)為，直線關(guān)于點(diǎn)A及直線l的“對(duì)應(yīng)圖形”與直線的交點(diǎn)在x軸的上方，則只需要點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，據(jù)此可得，即可求解．（2）根據(jù)題意，先畫出圖形，由的圓心，半徑為，關(guān)于點(diǎn)及直線的“對(duì)應(yīng)圖形”，，根據(jù)新定義求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，則點(diǎn)與直線上的任意一點(diǎn)所成的線段的中點(diǎn)，即為直線，∴，設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴直線的解析式為，設(shè)直線關(guān)于的對(duì)稱直線與軸的交點(diǎn)為，直線關(guān)于點(diǎn)A及直線l的“對(duì)應(yīng)圖形”與直線的交點(diǎn)在x軸的上方，則只需要點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)，因此，∴又∵∴，即

（2）的圓心，半徑為，關(guān)于點(diǎn)及直線的“對(duì)應(yīng)圖形”，，則是以為圓心，半徑為1，作關(guān)于的對(duì)稱的圓，則此圓是以為圓心的圓，半徑為1，

∵點(diǎn)，，，∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，∵與的邊有交點(diǎn)，當(dāng)在的左側(cè)，與相切時(shí)，到的距離為，，解得：，當(dāng)在的右側(cè)，與相切時(shí)，到的距離為，解得：，當(dāng)在的左側(cè)，與相切時(shí)，到的距離為；解得：，當(dāng)在的右側(cè)，與相切時(shí)，到的距離為；解得：，結(jié)合圖形可知：或．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何新定義，一次函數(shù)的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握新定義，中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．(1)，3(2)b的取值范圍是或；(3)【分析】（1）設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M的直線與交于E、F兩點(diǎn)，過點(diǎn)O作于H，連接，利用垂徑定理得到，由勾股定理可得當(dāng)最大時(shí)，最小，即此時(shí)最小，求出，再由，得到當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)M重合時(shí)，有最大值，即可求出的最小值為，則被圓O截得的弦長(zhǎng)取值范圍為，再由被圓O截得的弦長(zhǎng)為3的弦有2條，被圓O截得的弦長(zhǎng)為4的弦只有1條，可得點(diǎn)M關(guān)于圓O的特征值為3；（2）根據(jù)題意得，關(guān)于圓O的特征值為4的所有點(diǎn)都在以O(shè)為圓心，為半徑的圓周上，分當(dāng)時(shí)和當(dāng)時(shí)，兩種情況討論即可求解；（3）由于同一平面內(nèi)，對(duì)于任意一點(diǎn)Q，經(jīng)過O、Q的直線與圓O截得的弦（直徑）都為4，則點(diǎn)Q關(guān)于圓O的特征值不可能為0，由此可得，則或；經(jīng)過點(diǎn)S且弦長(zhǎng)為4（最長(zhǎng)弦）的直線有1條，弦長(zhǎng)為3（最短弦）的直線有1條，由（2）可知點(diǎn)S一定在以O(shè)為圓心，以為半徑的圓上，同理點(diǎn)R一定在以T為圓心，以為半徑的圓上，則當(dāng)滿足以O(shè)為圓心，2為半徑的圓與以T為圓心，為半徑的圓有交點(diǎn)，且同時(shí)滿足以O(shè)為圓心，為半徑的圓與以T為圓心，1為半徑的圓有交點(diǎn)時(shí)t的值符合題意，由此求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)經(jīng)過點(diǎn)M的直線與交于E、F兩點(diǎn)，過點(diǎn)O作于H，連接，∴，在中，由勾股定理得，∴當(dāng)最大時(shí)，最小，即此時(shí)最小，∵點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴，又∵，∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)M重合時(shí)，有最大值，∴此時(shí)有最小值，∴的最小值為∵過點(diǎn)M的直線被圓O截得的弦長(zhǎng)的最大值為4（直徑），∴被圓O截得的弦長(zhǎng)取值范圍為，∴被圓O截得的弦長(zhǎng)為正整數(shù)的只有是3或4，∵被圓O截得的弦長(zhǎng)為3的弦有2條，被圓O截得的弦長(zhǎng)為4的弦只有1條，∴點(diǎn)M關(guān)于圓O的特征值為3，故答案為：，3；

（2）解：設(shè)點(diǎn)G是圓O的特征值為4的點(diǎn)，由（1）可知經(jīng)過一點(diǎn)G且弦長(zhǎng)為4（最長(zhǎng)弦）的直線有1條，弦長(zhǎng)為3的直線有2條，∵特征值要保證為4，∴經(jīng)過點(diǎn)G且弦長(zhǎng)為2的直線有且只有1條，∴經(jīng)過點(diǎn)G的直線被圓O截得的弦長(zhǎng)的最小值為2，∵，∴由（1）可知，關(guān)于圓O的特征值為4的所有點(diǎn)都在以O(shè)為圓心，為半徑的圓周上，

∵直線分別與x，y軸交于點(diǎn)A，B，∴，，∴，∴當(dāng)時(shí)，∵線段上總存在關(guān)于圓O的特征值為4的點(diǎn)，∴線段與以O(shè)為圓心，為半徑的圓有交點(diǎn)，當(dāng)線段與以O(shè)為圓心，為半徑的圓相切時(shí)，將切點(diǎn)設(shè)為H，連接OH，則，∴，∴，將以O(shè)為圓心，為半徑的圓與y軸正半軸的交點(diǎn)記為，則，當(dāng)線段與以O(shè)為圓心，為半徑的圓相交，且過點(diǎn)時(shí)，可得，∴；同理可求當(dāng)時(shí)，；綜上，b的取值范圍是或；（3）：∵同一平面內(nèi)，對(duì)于任意一點(diǎn)Q，經(jīng)過