重慶市某中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

重慶市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試

題

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知M,N均為R的子集，若存在無使得尤eM,且xe'N,貝I]（）

A.McN手0B.McNC.N^MD.M=N

2.若函數(shù)/（2x-l）的定義域為[-3,1],則.=/（=："）的定義域為（）

Vx-1

A.{1}B.[1,|]C-[|4]D'■

3.已知aB,C是三個隨機(jī)事件，“aB,c兩兩獨立”是“尸（NBC）=尸（⑷尸（3）尸（c）”的

（）條件

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

4.近年來純電動汽車越來越受消費者的青睞，新型動力電池迎來了蓬勃發(fā)展的風(fēng)口，Peukert

于1898年提出蓄電池的容量C（單位：Ah）,放電時間f（單位：h）與放電電流/（單位:

A）之間關(guān)系的經(jīng)驗公式：C=I"t,其中"為Peukert常數(shù).為測算某蓄電池的Peukert常數(shù)

n,在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流/=30A時，放電時間/=15h；當(dāng)放電電流/=40A

時，放電時間/=8h.若計算時取lg2”0.3,1g3go.477,則該蓄電池的Peukert常數(shù)〃大約為

（）

A.1.25B.1.75C.2.25D.2.55

5.將5本不同的書（2本文學(xué)書、2本科學(xué)書和1本體育書）分給甲、乙、丙三人，每人至

少分得1本書，每本書只能分給一人，其中體育書只能分給甲、乙中的一人，則不同的分配

方法數(shù)為（）

A.78B.92C.100D.122

6.一堆蘋果中大果與小果的比例為9:1,現(xiàn)用一臺水果分選機(jī)進(jìn)行篩選.已知這臺分選機(jī)

把大果篩選為小果的概率為5%,把小果篩選為大果的概率為2%.經(jīng)過一輪篩選后，現(xiàn)在

從這臺分選機(jī)篩選出來的“大果”里面隨機(jī)抽取一個,則這個“大果”是真的大果的概率為（）

試卷第1頁，共6頁

,855857—1719

A.——B.-------C.D.—

857100020010

7.設(shè)函數(shù)/（x）=d-x,正實數(shù)0力滿足/⑷+/伍）=_26,若/+2/wi,則實數(shù)彳的最

大值為（）

A.2+2后B.4C.2+V2D.272

8.在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，自動化控制技術(shù)的應(yīng)用有效提高了農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率.如圖所示，在某矩形試

驗田MAP。中，MQ=2MN=4,R為MN中煎,尸為中點，三角形區(qū)域種植小麥,

梯形心PQ區(qū)域種植玉米.為提高勞動效率，節(jié)約用水，現(xiàn)采用自動澆水機(jī)器人（忽略機(jī)器

人的面積）對試驗田進(jìn)行灌溉.已知該機(jī)器人沿著以尸為焦點，"0為準(zhǔn)線的拋物線運(yùn)動，

且向以自身為圓心，半徑為:的圓形區(qū)域內(nèi)澆水.記小麥田能夠被機(jī)器人灌溉的面積為S,則

O

（）（若直線/與拋物線￡相切于點A,平行于/的直線「與E交于反C兩點，記與E圍

成的圖形面積為幾△45。的面積為S2,貝I」3H=4邑）

B.

4192

4949

C.S=——D.S>——

192192

二、多選題

9.為研究光照時長x（小時）和種子發(fā)芽數(shù)量y（顆）之間的關(guān)系，某課題研究小組采集

了10組數(shù)據(jù)，繪制散點圖如圖所示，并進(jìn)行線性回歸分析，若去掉點P后，下列說法正確

的是（）

試卷第2頁，共6頁

A.相關(guān)系數(shù)r變小B.經(jīng)驗回歸方程斜率變大

C.殘差平方和變小D.決定系數(shù)燈變小

10.已知2"=log]Q,log2b=,則(

A.a+2a=b+2-bB.a+b=2b+2-a

C2"+l>e"D-2">e吃

11.定義在R上的函數(shù)/'(x)同時滿足①/'(x+1)-/(x)=2x+2,xeR；②當(dāng)xe[0,l]時,

則()

A./(0)=-1B./（X）為偶函數(shù)

C.BneN,,使得/(")>2024〃D.VxeR,|/(x)|<x2+|x|+3

三、填空題

ax+a3

12.若（工一2）4=%/+。3、3+。2,+。科+。0，貝!J。0=：

%+出+%

13.設(shè)/'（x）是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，且滿足〃-l-x）+/（x）=-7,若對于任意非零實

數(shù)x都有//(x)+--x----+2=-4,貝I]/(2024)=

/(x)+3x

14.設(shè)函數(shù)〃對=卜--辦+1|+辦2,若函數(shù)y=與直線？="有兩個不同的公共點，則

。的取值范圍是.

四、解答題

15.一企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，通過加大技術(shù)創(chuàng)新投入降低了每件產(chǎn)品成本，為了調(diào)查年技術(shù)創(chuàng)

新投入x（單位：千萬元）對每件產(chǎn)品成本y（單位：元）的影響，對近10年的年技術(shù)創(chuàng)新

試卷第3頁，共6頁

投入X,和每件產(chǎn)品成本%(i=l,2,3,…,10)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如下散點圖，并計算得:

101I10；"1”,g10vf

x=6.8，10,g-=3'=350

八每件產(chǎn)品成本/元

250-

200

150-?

100-?

50-???.

????

_____???_____I_____?_______??______

02468101214

年技術(shù)創(chuàng)新投入/千萬元

⑴根據(jù)散點圖可知，可用函數(shù)模型y=g+a擬合y與X的關(guān)系，試建立V關(guān)于X的回歸方程;

(2)已知該產(chǎn)品的年銷售額加(單位：千萬元)與每件產(chǎn)品成本y的關(guān)系為

加=一總+1+￡^+10°.該企業(yè)的年投入成本除了年技術(shù)創(chuàng)新投入’還要投入其他成本

io千萬元，根據(jù)(1)的結(jié)果回答：當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入尤為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？

(注：年利潤=年銷售額一年投入成本)

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)(%,匕)、(％%)、L、其回歸直線V=C+例的斜率和截

/__

X%匕-nuv

距的最小乘估計分別為：2=嚀-------,a=v-pu.

-nu

i=\

16.已知函數(shù)/(x)=bgjWT］的圖象恒過定點(L°)，其中。>。且

(1)求實數(shù)機(jī)的值，并研究函數(shù)y=/(x+1)的奇偶性；

(川+*+2、

⑵函數(shù)g(x)=10g“X+--——2(左+1),關(guān)于X的方程〃x)=g(x)恰有唯一解，求實數(shù)后

的范圍.

17.已知函數(shù)/豆)=朧嗎\

⑴求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)g(無)=|〃幻+尸4,xe(0,+劃存在最大值，求。的取值范圍.

22

18.如圖，雙曲線G：與-4=l("0,b>0)的左,右焦點片，E分別為雙曲線

試卷第4頁，共6頁

22

。2：肅-》=1的左,右頂點，過點片的直線分別交雙曲線。的左、右兩支于48兩點，交

雙曲線C2的右支于點M（與點月不重合），且耳匕與△/叫的周長之差為2.

⑴求雙曲線G的方程;

⑵若直線匹交雙曲線G的右支于。,E兩點.

①記直線的斜率為《，直線。E的斜率為質(zhì)，求左用的值;

②試探究：。￡|-|“刈是否為定值？并說明理由.

19.若函數(shù)/（x）滿足以下三個條件，則稱/（尤）為SG-C函數(shù).①定義域為N*;②對任意

xeN*,/（x）eN*；③對任意正整數(shù)為，%,當(dāng)再時，有

（〃%+七）-〃網(wǎng)）-〃七））（〃玉+%）-〃網(wǎng)）-〃七）-1）40.若給定56—函數(shù)/3某幾

個函數(shù)值，在滿足條件①②③的情況下，可能的八司如果有左種，分別為工（x）,力⑺，…,

■A(x).

函數(shù)1234n

z\/\r\/X

工

工

2工3

/XI

l|(X1:!()

\7\7l/\/工（4）工(〃)

人

人

/X\(1\z2\為73\

(!1!((!

\//\7\/工⑷

X

人

入

力?M")

7\1\z2\73\

(|11(1(

\77\/\7力⑷力(〃)

?-?

?-?

....

人（x）AO）人（2）人（3）。（4）人(〃)

那么我們記尸⑺等于工（〃）,力⑺，…，/（〃）的最大值.這樣得到的尸⑺稱為/（X）的最

大生成函數(shù).

⑴若/'（X）為SG函數(shù)，且尸（支）是在給定條件/⑴=1,1（3）=5下的/（X）的最大生成函

數(shù)，求“2）和尸（4）的值;

試卷第5頁，共6頁

(2)若g(x)為SG—函數(shù)，且滿足g⑴=8出=1,求數(shù)列｛2叫的前10項和；

(3)若八⑺為SG-L函數(shù)，且"(x)是在給定條件人⑴=1,人⑵=2下的h(x)的最大生成函數(shù),

求數(shù)列｛?(")｝的前"項和.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

題號12345678910

答案ADDCCAADBCAD

題號11

答案ACD

1.A

【分析】由題意可知存在xeMcN,從而可知答案.

【詳解】因為xe'N,所以xeN,又因為xeM,所以xeMcN,故MCNN0,故A

正確；

由于題目條件是存在x,所以不能確定集合M,N之間的包含關(guān)系，故BCD錯誤；

故選：A.

2.D

【分析】根據(jù)題意先求得函數(shù)/（司的定義域為卜7,1],然后結(jié)合抽象函數(shù)定義域與求

解即可；

【詳解】由題意可知-3VxVl,所以-742XT41,要使函數(shù)了=’（：一,無）有意義,則

\x~\

_7K3_4x<1,5

x-l>。，解得

故選：D

3.D

【分析】舉特例驗證即可.

【詳解】解析：一方面，考慮。=｛。,6,c/｝含有等可能的樣本點,

/={a,b},8={a,c},C={。，力.

則尸（/）=尸"）=尸（C）=g,尸（/3）=尸（8C）=P（/C）=；,故4民。兩兩獨立，但

尸故此時，尸（/3C）=P（/）P（3）P（C）不成立.

48

另一方面，考慮C=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝含有等可能的樣本點，

Z={1,2,3,4},8={3,4,5,6},C={4,6,7,8}.

答案第1頁，共21頁

則尸(⑷=P(B)=尸(C)=I，尸(ABC)=：

2o

尸(/C)=：H：X:，故4c不獨立，也即42,c兩兩獨立不成立.

822

綜上，“48,C兩兩獨立”是“尸(/3C)=尸(㈤尸(8)尸(C)”的既不充分也不必要條件

故選：D.

4.C

【分析】利用經(jīng)驗公式將數(shù)據(jù)代入構(gòu)造方程組，再由對數(shù)運(yùn)算法則可解得常數(shù)”.

CC—30"x15

【詳解】根據(jù)題意由C=/"1可得八一杯“。，

[C=40x8

兩式相除可得竺竺=1,即可得[3]=心，

40"x815

兩邊同時取對數(shù)可得1g=lg2，即可得〃lg：=lg[;

Ig8-lgl531g2—(Ig3+l-lg2)41g2-lg3-l_4x0.3-0.477-1_

即0n〃―---------------------------------------1--------------k/.幺3.

Ig3-lg4Ig3-21g2Ig3-21g20.477-2x0.3

故選：C

5.C

【分析】分體育書分給甲和乙兩種情況求解.

【詳解】若將體育書分給甲，當(dāng)剩余4本書恰好分給乙、丙時，此時的分配方法有

p2.p2

C；?C卜A：+42-A：=14種，

A、

當(dāng)剩余4本書恰好分給甲、乙、丙三人時，此時的分配方法有C1A；=36種.

綜上，將體育書分給甲，不同的分配方法數(shù)是14+36=50.

同理，將體育書分給乙，不同的分配方法數(shù)也是50.

故不同的分配方法數(shù)是50+50=100.

故選：C

6.A

【分析】記事件4:放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件4:放入水果分選機(jī)的蘋果為小果,

記事件比水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，利用全概率公式計算出尸(B)的值，再利用貝葉

斯公式可求得所求事件的概率.

答案第2頁，共21頁

【詳解】記事件4：放入水果分選機(jī)的蘋果為大果，事件4：放入水果分選機(jī)的蘋果為小果,

記事件3：水果分選機(jī)篩選的蘋果為“大果”，

則尸⑷*，尸（4）=＞尸（5⑷=[，尸（引4）=:

由全概率公式可得尸（5）=尸（4）?尸（a4）+P（4）?尸（司4）=：xt+[x]=^,

P（AB'）=P（A）P（B\AA=-x—=~,

'-ii?"10201000

/?\尸（4刈

因此，/4忸）=笳2_8_5_5_x_1_0_0_0_—_8_5_5_

1000857—857,

故選：A.

7.A

/21+M

【分析】依題意可得/+/=〃—3從而得到246」"=—1〃.，再令最

ab-b2ab

3T

后利用基本不等式計算可得.

【詳解】因為/'（X）=X3-X,所以/■伍）=/一即八"一功,

又〃。）+/優(yōu)）=-26,

所以。3-a+〃一/)=-26,即/+63=4-6,

因為a>0,b>0,所以〃+63>0,所以。>6>0,所以q+'=1,

a-b

又/+助2“即/+訪

a-b

所以枇四，所以+,

a-bab-b2〃1

—1

b

令,=則”1,

b

l+

產(chǎn)—1+212

所以=t+lH------

t-\

?—l)+-~~-+2>2^(/—l)?2]+2=2+2V2,

7

當(dāng)且僅當(dāng)，-1=』，即/=行+1時取等號,

答案第3頁，共21頁

所以=2（0+1），所以花2+2收，

\/min

則實數(shù)力的最大值為2+2后.

故選：A

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出口二=1,從而參變分離得到幾^長父，再換

a-bab-b

元、利用基本不等式求出的最小值.

ab-b2

8.D

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出拋物線和直線尺。的方程.把拋物線向右平移:個單位得

O

至求平行于五。且與F=X-J相切的直線，并求出切點，則可求切點到直線尺。的

OO

距離，再聯(lián)立方程組，求拋物線V=x-J與直線五。的交點，由韋達(dá)定理和弦長公式得到弦

O

長，把距離和弦長代入三角形面積公式可求拋物線y2=x-J和直線R0圍成的三角形面積，

O

根據(jù)題目所給的公式，可求拋物線和直線尺。圍成的圖形的面積W.再把拋物線向左

O

平移:個單位，用同樣的方法求出目，即可得到直線尺。左側(cè)，兩條平移后的拋物線圍成的

O

區(qū)域的面積s'.最后驗證機(jī)器人澆水的區(qū)域必然大于兩條拋物線圍成的區(qū)域，即可得到結(jié)論.

【詳解】如圖1,取M0的中點7,以7F所在直線為X軸，7F的中點。為坐標(biāo)原點，建立

平面直角坐標(biāo)系.

圖1

設(shè)拋物線的方程為必=2px,°>0,則7F=p=；,所以拋物線的方程為，=x.

則，tanZMRF=；=4,所以直線RQ的斜率為4,

所以直線尺。的方程為y=4x-l.

答案第4頁，共21頁

如圖2,

圖2

把拋物線向右平移：個單位得V=x-，

oo

設(shè)平行于尺。且與F=X-5相切的直線方程為"y=4(X+X。)-：，其中4(%,%)為切點,

82o

,1x1

xn

貝!J歹=------------,

2%2%8%

—=4

所以尸外,解得/=，%=』，所以切點坐標(biāo)為

216481648)

4x-------1

則切點到直線R。：4x-y-l=0的距離64819

1-V42+l2-16V17

設(shè)直線尺。與必4相交于/(占,%),/馬,%),

O

「21

y=XQ

聯(lián)立方程組8得：16/一”+-=0,.

y=4x-l8

3

則項+迎=而百?％=透~'|%[-X21=-^(xj+x2)-4A：1

16

\AB\=Jl+/—x,|=■

所以s件》=萬|48卜4=

i4Q

則RQ與拋物線產(chǎn)=一?圍成的圖形的面積品=：凡4加=三.

83128

如圖3,

答案第5頁，共21頁

圖3

把拋物線向左平移:個單位得v=x+:，

OO

設(shè)平行于R0且與/=X+；相切的直線方程為為y=:（X+X。）+：,其中鳥（X。',%'）為切點,

r.,1X；1

貝IJ尸一7式+37+一;，

2%2%8y0

，二4

所以2%解得《一三,打：：,所以切點坐標(biāo)為鳥（_三,已

,2,164oVo4o7

VO=X0+Q

IO

則切點到直線R。：4x-y-l=0的距離=（64）825,

2―"+仔_16后

設(shè)直線R。與V=x+：相交于。（%,%）,/）（%4，乂），

O

+1

聯(lián)立方程組了=，得：16X2-9X+-=0,.

y=4x-l8

則X3+無4=斗”3,工4=,|尤3-xj=+X4）--4r3*4=/,

loIzo10

\CD\=J1+L卜3_X41=』舊，

16

1II715r~z25125

所以S^CD=-\CD\.d2=---^-而而二—.

則五。與拋物線V=X+!1圍成的圖形的面積邑=4三邑38=1言25.

*3384

如圖4,

答案第6頁，共21頁

A

X

圖4

直線火。左側(cè)兩條拋物線V=x-：與V=x+5圍成的區(qū)域的面積

OO

sr=s-s.=—949

2384128192

又因為機(jī)器人澆水的區(qū)域為圓形，方程可設(shè)為卜-/7+⑺一。)2

易知《/-皆=0,所以g(x)有零點，又所以g(x)必有兩個零點,

_+'

由>2=”+耳可得16，-9x+：=0,解析x=,或x=[,結(jié)合圖形可得飛=工，

..816816

y=4x-l

同理可得直線y=4x-l與拋物線/=x的交點的橫坐標(biāo)為絲僅，

32

該交點與C之間的距離為5X噎一A=可福J<I，

綜上，機(jī)器人澆水的區(qū)域必然大于兩條拋物線圍成的區(qū)域，所以S>S',即5>羔.

故選：D

【點睛】方法點睛：解決直線和拋物線的位置關(guān)系類問題時，一般方法是設(shè)出直線方程并聯(lián)

立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，要結(jié)合題中條件進(jìn)行化簡，但要注意的是計算量一

般都較大而復(fù)雜，要十分細(xì)心.

9.BC

【分析】由圖可知：點尸較其他的點偏離直線最大，所以去掉點尸后，回歸效果更好.結(jié)合

答案第7頁，共21頁

相關(guān)系數(shù)、決定系數(shù)、殘差平方和以及相關(guān)性逐項分析判斷.

【詳解】由圖可知：P較其他的點偏離直線最大，所以去掉點尸后，回歸效果更好.

對于A,相關(guān)系數(shù)“越接近于1,線性相關(guān)性越強(qiáng)，因為散點圖是遞增的趨勢，

所以去掉點尸后，相關(guān)系數(shù)「變大，故A錯誤；

對于B,由線性回歸方程的實際意義，要使殘差平方和最小，去掉點尸后，回歸直線靠近V

軸位置需要向下移動，但靠近最右側(cè)兩個點的位置變化不大，經(jīng)驗回歸方程斜率變大，故B

正確；

對于C,殘差平方和變大，擬合效果越差，所以去掉點P后，

殘差平方和變小，故C正確；

對于D,決定系數(shù)上越接近于1,擬合效果越好，所以去掉點尸后，

決定系數(shù)火2變大，故D錯誤；

故選：BC.

10.AD

【分析】結(jié)合圖象和指、對函數(shù)之間的關(guān)系即可判斷AB；利用切線不等式/Nx+l即可判

斷C；利用不等式InxW尤-1即可判斷D.

【詳解】對A,由圖可知：>=2,與1皿丁交點（0<?<1）

y=log2X與y=&］的交點可仇）,（6>1）,

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)為一對反函數(shù)知：A,8關(guān)于y=x對稱，

\a=Tb

故］“，a+T=b+2~b,故A正確；

對B,由A知“+6=2一〃+2",故B錯誤；

對C,由0=2"知2"=!，則外+1=1+1,設(shè)/（尤）=e*-x-l,xeR,

aa

則/（無）=e，-l,則當(dāng)xe（田,0）時,/0,此時/（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)x6（0,+8）時，?。?gt;0,此時/（x）單調(diào)遞增；

則/（尤”/（0）=0,則e'-x-lWO恒成立，即x+14e3當(dāng)x=0時取等；

令苫=工，則有因為工*0,則，+1</,即故C錯誤；

aaaa/十

答案第8頁，共21頁

,.］一x

對D,設(shè)〃(x)=lnx+l—x,Xe(0,+00),則/(%)=---,

則當(dāng)?shù)趀(0,1)時，廣(X)>0,此時/(X)單調(diào)遞增；

當(dāng)％C(l,+8)時，f(x)<Of此時/(x)單調(diào)遞減；

則/z(x)</z(l)=0,即111%+1-工40在(0,+8)上恒成立，

即InxWx-l在(0,+8)上恒成立，當(dāng)x=l時取等，

令x=；,則即也6±1-!，因為6>1,則ln6>l-工，則

b\bJbbb

故20=b>J：，故D正確.

故選：AD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題AB選項的關(guān)鍵是充分利用圖象并結(jié)合指、函數(shù)的關(guān)系，而CD

選項的關(guān)鍵在于兩個不等式e'2尤+1和In尤Wx-l的運(yùn)用.

II.ACD

【分析】令x=0,求得/⑴=/(0)+2,求得可判定A正確；根據(jù)題意求

得/⑴和/(T)的值，得到/(一1片/(1)，可判定B不正確；由〃x+l)-〃x)=2x+2,

結(jié)合疊加法，可判定C正確；設(shè)g(x)=/(x)-x2-x,得出函數(shù)g(x)是以1為周期的周期

函數(shù)，且|g(x)|<3,結(jié)合絕對值的性質(zhì)，可判定D正確.

【詳解】對于A中，因為〃x+l)-〃x)=2x+2,

令x=0,可得/。)-/(0)=2,即/(1)=/(0)+2,

又因為xe[0,l]時，|/(x)展1,gp-l</(x)<l,

即尸"⑼"1

則11-1</(0)2<1，可得-1V〃O)W-1,

T"⑴(1+

答案第9頁，共21頁

所以/(0)=-1,所以A正確；

對于B中，由選項A可得/(1)=〃0)+2=1,

令x=-l,可得=解得=所以/(-I)*/。),

所以函數(shù)/(x)不是偶函數(shù)，所以B錯誤；

對于C中，因為/(x+l)-/(x)=2x+2,

當(dāng)"N2,〃eN*時,/(?)=[/(?)-/(?-1)]+[/(?-1)-/(?-2)]+-+[/(2)-/(1)]+/(1)

_____._,r-+2-

—2〃+2〃-2+，??+2x2+l—2(〃+TI-1+,?,+2)+1—2x---------------—n+n-1,

且"l)=l，符合上式，所以/(〃)=〃2+〃_l,

令”=2024,貝I]/(2024)=20242+2023>2024x2024,

即存在〃eN*,使得/(“)>2024",所以C正確;

對于D中,令g(x)=〃x)-x2-x,

貝i]g(x+l)-g(無)=[/(x+l)-(x+l)2-(x+l)]-[/(x)-尤2-x]=/(x+l)—/(X)—2x-2=0,

即g(x+l)=g(x),即函數(shù)g(x)是以I為周期的周期函數(shù)，

因為xe[0,l]時，則-A|(到+|幺+*§,

結(jié)合周期性可知，對任意xeR,均有|g(x)|<3,

所以|/3|=卜卜)+/+小卜(r)|+x2+|c|<x2+jc卜3

又由C項可得/(x)=x2+尤-1,

令無)|=X2+國+3,gp|x2+x-l|=x2+[r]+3,即+x-l)2=H+國+3丫，

當(dāng)x=0時，上式不成立；

當(dāng)x>0時，上式化簡得/+》+1=0,此時方程無解；

當(dāng)x<0時，上式化簡得(x-2)(尤2+1)=0,此時方程無解；

可得對于任意xeR,卜x?+M+3,

所以，對于任意尤eA,都有|/(尤)|<%2+國+3成立，所以D正確.

答案第10頁，共21頁

故選：ACD

【點睛】方法點睛：對于函數(shù)的新定義試題的求解：

1、根據(jù)函數(shù)的新定義，可通過舉出反例，說明不正確，同時正確理解新定義與高中知識的

聯(lián)系和轉(zhuǎn)化；

2、正確理解函數(shù)的定義的內(nèi)涵，緊緊結(jié)合定義，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性

和周期等性質(zhì))進(jìn)行推理、論證求解.

3、利用函數(shù)的周期性時，將自變量較大的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量較小的函數(shù)值，知道自變量

的值進(jìn)入已知解析式的區(qū)間內(nèi)或與已知的函數(shù)值相聯(lián)系，必要時可再次運(yùn)用奇偶性將自變量

的符號進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

40

12.16——

41

【分析】借助賦值法，分別令x=0、x=l、尤=7計算即可得.

【詳解】令x=0,可得(O-2y=a0,即%=2，=16,

令X—1?可得(1—2)4=%+“3+“2+"1+“0，即4+“3+“2+"1+%=(—=1，

令X——1,可得(―1—2)4=%一+。2-+%，即。4—。3+“2-%=(-3)=81,

貝［］(%+。3+。2+%+。0)+(44—43+。2—"1+40)=2(/+。2+%)=1+81=82,

82\

即=41,貝|。］+。3=1—(+。2+)=1—41=—40,

,,a,+a,40

故---------=----.

+%+%41

_,40

故答案為：16；-■—.

41

13.2021

【分析】利用賦值法求解，令‘=/(.+式二一x1+2,則/?)=-4,再令x=f,結(jié)

合題意中條件求得/,可求得/(x),進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】令，=f(x)+y^J-》一1+2,則/。)=-4,

令x=(,則/=/?⑺+/?；+3——；+2=_4_1__；+2,解得(=_］或_g.

而/(T-X)+/(X)=-7,則+=故/=因止匕/=_］.

答案第11頁，共21頁

則-1=仆)+^^-

崗"'/(x)+3x…尸x/k>3x(/(x)+3)-

因此y(x)+3-x=0或x(/(x)+3)=l,

當(dāng)x(/(x)+3)=l時，/(x)=1-3,在(0,+8)上單調(diào)遞減，不滿足題意，舍去；

當(dāng)/(無)=x-3時，滿足題意.

貝!!42024)=2021.

故答案為：2021

【點睛】方法點睛：求解抽象函數(shù)解析式問題的方法：

(1)若根據(jù)已知可推知函數(shù)模型時，可利用待定系數(shù)法求解；

(2)若無法推知函數(shù)模型，一般結(jié)合賦值法，通過解方程(組)法求解.其中，方程或者

是已知的，或者是利用已知的抽象函數(shù)性質(zhì)列出的，或者是利用已知方程變換出來的.

14.Q<—2—2<〃<—1?！?

【分析】對于y=2I2—辦+1,當(dāng)A<0可直接去絕對值求解，當(dāng)A>0時，分〃<—2行和

a>2V2討論，通過y=12--“X+l和y="(1-X)圖像交點情況來求解.

【詳解】由已知/(x)=12/—ax+l|+ax?=ax,gp|2x2-ax+l|=ax(l-x),

則y=ar(l-x)必過點(0,0),(l,0),y=2x?-"+1必過(0,1),

對于y=2x2-ax+1,

當(dāng)A="—8W0時，一2后(4?2應(yīng)，止匕時2——分+120恒成立，

所以/(x)=2x2-OX+1+ax2=(2+”)f一辦+1,

令(2+Q)f—辦+i=辦，即(2+。)％2一2辦+1=0,要有兩個不同的公共點，

[A]=4/—4(2+Q)〉0E/PII—_p,?r-

則'八V7，解得一2后2或一2<Q<—1或2<。(20，

[2+〃。0

當(dāng)A=/—8>0時，Q<-2行或a〉2拒，

當(dāng)〃<-2逝時，>=|212_"+”和>="(1—工)圖象如下：

答案第12頁，共21頁

此時夾在其兩零點之間的部分為y=-2x?+辦-1,

-2x2+ax-l=-ax2+ax,得（。-2）尤?=1無解，

貝I」|2x2-ax+l|=ax（1-x）有兩個根o2尤2-ax+\=ax（1-x）有兩個根，

即（2+a）d-2辦+1=0有兩個解，A=4a2-4（2+a）＞0,0＜一2夜符合要求;

當(dāng)心2行時，夕=|2—_內(nèi)+”和昨"（1-尤）圖象如下：

令2/_辦+1=0,根據(jù)韋達(dá)定理可得其兩根均為正數(shù),

綜上所述，。的取值范圍是。＜-2或-2＜a＜-l或。＞2.

【點睛】方法點睛：對于方程的根或者函數(shù)零點問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題,

圖象直觀方便，對解題可以帶來很大的方便.

答案第13頁，共21頁

15.(l)y=10+—

x

(2)當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為20千萬元時，年利潤的預(yù)報值取最大值

【分析】(1)令"=!，可得出y關(guān)于，的線性回歸方程為y=a+￡”,利用最小二乘法可求

X

出,、￡的值，即可得出V關(guān)于X的回歸方程;

(2)由k3號可得.浮’可計算出年禾隨〃關(guān)于/的函數(shù)關(guān)系式‘結(jié)合二次函

數(shù)的基本性質(zhì)可求得”的最小值及其對應(yīng)的工值.

【詳解】(1)解：令式=,，則>關(guān)于〃的線性回歸方程為y=a+〃",

X

人—Vum.y.-1Ow/y350-210

由題意可得尸=號---------==200,

S-21.6-0.9

2-110A〃

z=l

==70-200x0.3=10,則［=10+200〃,

所以，y關(guān)于X的回歸方程為y=10+迎.

(2)解：由歹=10+理可得%=用得，

xy—10

工+以與1。。-a1。

年利|潤A/=m-x-10=-

50025y-10y-W

1

-------(y-20)9+90.8,

500v)

200200

當(dāng)天=20時，年利潤M取得最大值，此時x==20,

y-10-20-10

所以，當(dāng)年技術(shù)創(chuàng)新投入為20千萬元時，年利潤的預(yù)報值取最大值.

16.(l)m=2,函數(shù)>=/(x+l)為奇函數(shù);

(2)1V后<2或一1〈左VO.

【分析】(1)將點(1,0)的坐標(biāo)代入函數(shù)中可求出俏的值，然后利用函數(shù)奇偶性的定義判斷

尸/(x+1)的奇偶性；

答案第14頁，共21頁

k?+k+2.八21

x+--------------2(/7k+1)=-1

XX

(2)由題意得，--1>0,再結(jié)合方程恰有唯一解可求得結(jié)果.

X

左？+左+2.,1、?

xH---------------2《z+I)>0

x

【詳解】(1)因為函數(shù)/a)=logj?"的圖象恒過定點(1,0),

所以log_(m-l)=0,則機(jī)-1=1,得加=2,

所以/(x)=log“:T，

2八1I

所以y=/(x+l)=log“-1=10g—7,

X+1)aX+1

由二＞0,得即y=/(x+l)的定義域為(一口)，關(guān)于原點對稱,

X+1

1—x

令即gf

因為仆)=1%雪=1%1-XT\-X

=-log--=-h{x},

X+1ax+1

所以〃(x)為奇函數(shù)，即函數(shù)＞=/。+1)為奇函數(shù);

左2+左+2J.

(2)由/(x)=g(x),得k>g“xH-------------—2《+1),

X

k?+左+2_八

xH----------------2"/z+1)=

xx

所以--1>0

X

左？+左+2C/7八

x----------------2K+I)>0

x

由*2—1〉0,得2——x〉0,尚用得0<、<2,

XX

由X+『+左+2—2優(yōu)+1)=,得Y+/+左+2—2(左+l)x=2—X,

XX

整理得》2—(2左+l)x+左2+左=0,

得(尤—左)[尤—(^+1]=0,解得x=后或x=《+l,

因為關(guān)于x的方程/(X)=g(x)恰有唯一解,

0<女<2、左任(0,2)

所以后+1e(0,2)或

0<左+1<2

解得IV左＜2或一1〈發(fā)V0,

答案第15頁，共21頁

綜上，1V*<2或-1〈左WO.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查對數(shù)函數(shù)的綜合問題，考查對數(shù)型函數(shù)過定點問題，考查函

數(shù)與方程，第(2)問解題的關(guān)鍵是根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)和對數(shù)方程將問題轉(zhuǎn)化為不等式組求解,

考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.

17.(l)/(x)的增區(qū)間為(—8,2),減區(qū)間為(2,+8)

(2)a>-l

_11

【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)，得到r(x)=e"/Q-(x),再求出/'(x)>0和/'(x)<0對應(yīng)的x取

值，即可求出結(jié)果；

(2)令人(幻=/(》)+-2°,對?X)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出/?(x)的單

調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出3)在(0,包)上取值范圍,從而將問題轉(zhuǎn)化成慳力+e%|>|e-2a|成立，

構(gòu)造函數(shù)雙》)=61+院》，再利用"心)的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)易知定義域為R