人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：直線和圓的位置關(guān)系

直線和圓的位置關(guān)系

第1課時(shí)直線和圓的位置關(guān)系[見A本P43]

風(fēng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.已知。。的半徑為5,圓心。到直線/的距離為3,則反映直線/與。。的位置關(guān)系的圖

形是（B）

【解析】：。。的半徑r為5,圓心。到直線/的距離d為3,且0<d<r,.?.直線/與。。

的位置關(guān)系是相交且直線/不經(jīng)過圓心.

2.已知圓的半徑是5cm，如果圓心到直線的距離是5cm，那么直線和圓的位置關(guān)系是（B）

A.相交B.相切C.相離D.內(nèi)含

【解析】d—r—5cm,故選B.

3.[2013?青島]直線/與半徑為r的。。相交，且點(diǎn)。到直線/的距離為6,則r的取值范圍

是（C）

A.r<6B.r—6

C.r>6D.

【解析】???直線/與半徑為r的。。相交，且點(diǎn)。到直線/的距離d=6,

r>6.

4.己知。。的半徑為2,直線/上有一點(diǎn)尸滿足PO=2,則直線/與。。的位置關(guān)系是（D）

A.相切B.相離

C.相離或相切D.相切或相交

【解析】當(dāng)。尸垂直于直線/時(shí)，即圓心。到直線/的距離d=2=r,。。與/相切；當(dāng)OP

不垂直于直線/時(shí)，即圓心。到直線/的距離d<2=r,。。與直線/相交，故直線/與。。

的位置關(guān)系是相切或相交.

5.在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，以點(diǎn)（一3,4）為圓心，4為半徑的圓（C）

A.與x軸相交,與y軸相切

B.與無軸相離,與y軸相交

C.與無軸相切,與y軸相交

D.與x軸相切,與y軸相離

6.RtAABC中，NC=90°,AC=3cm,2C=4cm,以C為圓心，r為半徑作圓，若圓C

與直線相切,則r的值為（B）

A.2cmB.2.4cmC.3cm.D.4cm

7.在△ABC中，已知/AC8=90°,BC=AC=10,以C為圓心，分別以5,58為半

徑作圓，那么直線A3與圓的位置關(guān)系分別為.相離.、.相切.、相交..

【解析】C到的距離1=5陋.當(dāng)1=5啦>r=5時(shí)，直線48與圓相離；當(dāng)d=5小=r

時(shí)，直線A8與圓相切；當(dāng)d=5陋<r=8時(shí)，直線與圓相交.

8.已知。。的面積為9ncm2,若點(diǎn)。到直線/的距離為mcm,則直線/與。。的位置關(guān)

系是相離.

【解析】因?yàn)?。。的面積為9ncm2,所以。。的半徑r=3cm,而點(diǎn)。到直線/的距離d

=五cm,所以d>r,所以直線/與。。相離.

9.如圖24—2—7,在RtZXABC中，NC=90°,ZA=60°,BC=4cm,以點(diǎn)C為圓心，

以3cm長(zhǎng)為半徑作圓，則。C與AB的位置關(guān)系是」

【解析】在RtaABC中，因?yàn)镹C=90°,NA=60°,所以NB=30°,所以AB=2AC.

4r-

由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即AC?+42=4AC2,解得AC=y\「(負(fù)值已舍)，所以A8=

oACBC|V3X4

2AC=C/5.設(shè)C至!JAB的距離為CD,則CD=^^~=8s=2cm<3cm,所以以點(diǎn)C

3

為圓心，以3cm長(zhǎng)為半徑的。C與AB的位置關(guān)系是相交.

10.己知NAOB=30°,尸是。1上的一點(diǎn)，OP=24cm,以r為半徑作。P.

⑴若r=12cm,試判斷。尸與。2的位置關(guān)系；

(2)若。P與OB相離，試求出r需滿足的條件.

解：過點(diǎn)P作尸CLOB,垂足為C,則NOCP=90。.

VZAOB=30°,OP=24cm,

；.PC=OP=12cm.

⑴當(dāng)r=12cm時(shí)，r—PC,

二。尸與02相切,

即。尸與02位置關(guān)系是相切.

(2)當(dāng)。尸與。3相離時(shí)，r<PC,

；.r需滿足的條件是：0cm<r<12.cm.

忌，能力握H

圖24—2—9

11.如圖24—2—9,在平面直角坐標(biāo)系中，。。的半徑為1,則直線y=x—也與。。的位

置關(guān)系是（B）

A.相離B.相切

C.相交D.以上三種情況都有可能

12.如圖24—2—10,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若動(dòng)點(diǎn)尸在拋物線丫=浸上，。尸恒過點(diǎn)

（0,ri）.且與直線y=一〃始終保持相切，則，?=_七_(dá)（用含。的代數(shù)式表示）.

圖24-2-10

【解析】如圖，連接PE設(shè)。尸與直線y=—"相切于點(diǎn)E,連接尸E.則PELAE

:動(dòng)點(diǎn)P在拋物線>=加上,

設(shè)P(m,am2).

:。尸恒過點(diǎn)尸(0,ri),

:.PE=PF,即m=2n

anr—n

故答案是工

13.如圖24—2—11,在口ABC。中，AB=10,AD^m,ZD=60°,以AB為直徑作。O.

圖24-2-11

（1）求圓心O到CD的距離（用含m的代數(shù)式來表示）;

⑵當(dāng)相取何值時(shí)，CD與。。相切？

解：（1）分別過A，。兩點(diǎn)作AELCO,OFLCD,垂足分別是點(diǎn)E,F,

J.AE//OF,OF就是圓心0到CD的距離.

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

S.AB//CD,J.AE^OF.

在AAOE中，ZD=60°,ZAED=9Q°,：.ZDAE=30°,：.DE=^AD=^m,：.AE=

當(dāng)m,：.OF=AE=^m.

J3

（2）VOF=^m,AB為（DO的直徑,且A8=10,

.,.當(dāng)。尸=5時(shí)，CD與。。相切于廠點(diǎn)，

即坐m=5,.,.當(dāng)m=1今"時(shí),CD與。O相切.

14.如圖24—2—12所示，在AABC中，A。為BC邊上的高，且AO=3BC,E,尸分別為

AB,AC的中點(diǎn)，試問以斯為直徑的圓與BC有怎樣的位置關(guān)系.

解：如圖所示，過所的中點(diǎn)。作OGLBC于G,

,:E,尸分別為A2,AC的中點(diǎn)，

EF為4ABC的中位線./.EF=^BC,

即BC=2EF.

又：OG_LBC,AD1BC,所是AABC的中位線，

AD=^BC,：.OG=^AD=^BC=^X2EF=^EF=OF.：.以EF為直徑的圓與8c相切.

15.如圖24—2—13所示，點(diǎn)A是一個(gè)半徑為300m的圓形森林公園的中心，在森林公園

附近有B,C兩個(gè)村莊，現(xiàn)要在8,C兩個(gè)村莊間修一條長(zhǎng)為1000m的筆直公路將兩村連

通，經(jīng)測(cè)得NABC=45°,ZACB=30°,問此公路是否會(huì)穿過森林公園？請(qǐng)通過計(jì)算進(jìn)行

說明.

A

BC

圖24-2-13

A

BHC

第15題答圖

【解析】此題實(shí)質(zhì)上是判斷直線BC與。A的位置關(guān)系.問題的關(guān)鍵是求出點(diǎn)A到直線

的距離A/1的長(zhǎng)，可設(shè)在RtaABH和RtZVIS中分別用x表示出①7及CH,然

后依據(jù)BH+CH=BC構(gòu)建方程求解即可.

解：如圖所示，

過點(diǎn)A作于點(diǎn)"設(shè)AH=xm.

VZABC=45°,；.BH=AH=xm.VZACB=30°,；.AC=2xm,

由勾股定理可得CH=y[3xm.

又,：BH+CH=BC,BC=1000m,：.x+yf3x=l000,解得尤=500($—1)>300,

即BC與。A相離，故此公路不會(huì)穿過森林公園.

布展創(chuàng)新

16.由于過度采伐森林和破壞植被，我國(guó)部分地區(qū)頻頻遭受沙塵侵襲..如圖24-2-14所

示，近日，A城氣象局測(cè)得沙塵暴的中心在A城的正西方向240km的2處，正以每小時(shí)12

km的速度向北偏東60°的方向移動(dòng)，距沙塵暴的中心150km的范圍內(nèi)為受影響區(qū)域.

(1)4城是否受到這次沙塵暴的影響？為什么？

(2)若A城受到這次沙塵暴的影響，那么遭受影響的時(shí)間有多長(zhǎng)？

北串

第16題答圖

解：⑴如圖所示，過A作于C,則AC=%2=120<150,因此A城受到這次沙塵

暴的影響.

⑵設(shè)沙塵暴由B移動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)A城剛好受到這次沙塵暴的影響，則AZ)=150,DC=

yjAD2~AC2=90,那么A城遭受影響的時(shí)間為=弩=^15(h).

第2課時(shí)切線的判定和性質(zhì)[見B本P44]

理基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)

1.下.列結(jié)論中，正確的是（D）

A.圓的切線必垂直于半徑

B.垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

C.垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

D.經(jīng)過圓心與切點(diǎn)的直線必垂直于切線

【解析】根據(jù)切線的性質(zhì)來判斷.選項(xiàng)A中，只有過切點(diǎn)的半徑才與切線垂直；選項(xiàng)B中,

只有過切點(diǎn)且垂直于切線的直線才經(jīng)過圓心；選項(xiàng)C中，只有垂直于切線的半徑才經(jīng)過切

點(diǎn)，所以A,B,C都錯(cuò)誤，故選D.

2.如圖24—2—15,是。。的弦，BC與。。相切于點(diǎn)3,連接。4,0B,若/A8C=70°,

則NA等于（B）

A.15°B.20°C.30°D.70°

【解析】與。。相切于點(diǎn)3,

；./OBC=90°.：NABC=70°,/.ZOBA=ZOBC-ZABC^90°-70°=20°=

圖24-2-16

3.如圖24—2—16所示，。。與直線AB相切于點(diǎn)A,8。與。。交于點(diǎn)C,若N8AC=30°,

則等于（B）

A.29°B.30°C.31°D.32°

【解析】連接。1,則NO42=90°,又NCAB=30°,

...NOAC=60°.又OA=OC,

...△OAC是等邊三角形，...NO=60°,

AZB=30°.

4.如圖24—2—17所示，線段48是。。上一點(diǎn)，/CDB=20°,過點(diǎn)C作。。的切線交

AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,則NE等于（A）

D

圖24-2-17

A.50°B.40°C.60°D.70°

【解析】連接。C,

圓心角ZBOC與圓周角/CDB都對(duì)弧BC,

:./BOC=2/CDB,又N0)2=20°,

：.ZBOC=4Q°,

又為圓0的切線，

C.OCLCE,即NOC￡=90°,

則NE=90°-40°=506.

圖24-2-18

5.如圖24—2—18,AB是。。的直徑，BC交。。于點(diǎn)。，OELAC于點(diǎn)E,要使。E是。。

的切線，還需補(bǔ)充一個(gè)條件，則補(bǔ)充的條件不正確的是（A）

A.DE=DOB.AB=AC

C.CD=DBD.AC//OD

6.如圖24-2-19,以。為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦切小圓于點(diǎn)C,若/AOB=120°,

則大圓半徑R與小圓半徑r之間滿足（C）

A.R=y[3rB.R=3r

C.R=2rD.R=2y[ir

【解析】連接OC,因?yàn)榇髨A的弦切小圓于點(diǎn)C,所以0CLA8,又因?yàn)椤?=。2,所以/AOC

=1xi20°=60°,所以NA=30°,所以。4=2OC,即R=2r,故選C.

圖24-2-19

圖24-2-20

7.如圖24—2—20,點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，B4是。。的切線，切點(diǎn)為A,。。的半徑。4=2

cm,NP=30°,則P0=4cm.

8.如圖24—2—21,從。。外一點(diǎn)A引圓的切線A3,切點(diǎn)為3,連接49并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)

C,連接BC若NA=26°,則NACB的度數(shù)為-32°..

AR

圖24—2—21

圖24-2-22

9.如圖24—2—22,ZvlBC的一邊A8是。。的直徑，請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使8C是。。的

切線，你所添加的條件為.

【解析】當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，即NABC=90°時(shí)，8C與圓相切，理由是：經(jīng)過半

徑外端，與半徑垂直的直線是圓的切線.

10.如圖24—2—23,是。。的直徑，。是圓心，BC與。。相切于B點(diǎn)，C。交。。于

點(diǎn)、D,且BC=8,CO=4,那么。。的半徑是6.

圖24-2-23

圖24-2-24

11.如圖24—2—24,已知尸是。。外一點(diǎn)，尸0交。。于點(diǎn)C,OC=CP=2,弦AB_LOC,

劣弧AB的度數(shù)為120°,連接產(chǎn)區(qū)

⑴求BC的長(zhǎng)；

(2)求證：PB是。。的切線.

解：(1)連接02，:弦A8L0C,劣弧AB的度數(shù)為120°,

：.ZCOB=60°,

又,:OC=OB.

:AOBC是正三角形，

；.BC=OC=2.

(2)證明：-：BC=CP,

:..NCBP=NCPB,

VAOBC是正三角形，

：.ZOBC^ZOCB=6Q°.

：.ZCBP^3,0°,

：.NOBP=NCBP+NOBC=90°,

C.OBLBP,

:點(diǎn)B在。。上，...尸8是。。的切線.

段能力與H

12.如圖24—2—25,A。是。。的弦，AB經(jīng)過圓心。，交。。于點(diǎn)C,/DAB=/B=30°

(1)直線2。是否與。。相切？為什么？

(2)連接C。，若8=5,求A8的長(zhǎng).

第12題答圖

解：(1)直線與。。相切.

理由如下：如圖，連接。。，'：OA=OD,：.Z0DA=ZDAB^ZB=3Q°,：.ZODB^1SO°

-ZODA-ZDAB-ZB=.180°-30。一30。-30。=90。，即。。_LB。，直線BD與。。相

切.

(2)如圖，連接CD,由(.1)知，NODA=NDAB=30°,

：.ZDOB^ZODA+ZDAB=60°.又；OC=OD,

.,.△DOC是等邊三角形，??.0A=0O=CD=5.

又：/B=30°,NODB=90°,；.OB=2OD=10,

；.AB=OA+OB=5+10=15.

13.如圖24—2—26,已知AB是。。的直徑，.點(diǎn)C,。在。。上，點(diǎn)E在。。外，ZEAC

=NZ)=60°.

(1)求NABC的度數(shù)；

(2)求證：AE1是。。的切線.

解：(1)：/ABC與/。都是僉所對(duì)的圓周角，

AZABC=ZD=60°.

(2)VAB是。。的直徑，；.ZACB=90°,/.Nft4c=90°-ZABC^3Q°,：./BAE=/BAC

+NEAC=30°+60°=90°,BPBA1AE,是。。的切線.

B

AE

圖24-2-26

圖24-2-27

14.如圖24—2—27,已知為。。的直徑，2為AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，2C與。。切于C點(diǎn)，

NA=30°.求證：(1)BD=CD；(2)AAOC^ACDB.

證明：(1)；AD為。。的直徑，.,.NACZ)=90°.

又；NA=30°,OA^OC=OD,AZACO=ZA^30°,ZODC^ZOCD=90°-ZACO

=60°.又與。。切于C點(diǎn)，.,.NOCB=90°,.,.488=90°—NOCD=30°,

B=/ODC—NBCD=30°,

:"BCD=/B,:.BD=CD.

(2)V.ZA=ZACO=ZBCD^ZB=30°,：.AC^BC,：.AAOC^ACDB.

圖24-2-28

15.如圖24—2—28,△04C中，以。為圓心、。4為半徑作。。，作03_L0C交。。于點(diǎn)

B,連接交。C于點(diǎn)。，ZCAD^ZCDA.

⑴判斷AC與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(2)若。4=5,OD=1,求線段AC的長(zhǎng).

解：(1),.,點(diǎn)A,3在。。上，；.OB=OA,；.NOBA=/OAB.；NCAD=/CDA=NBDO,

：.ZCAD+ZOAB^ZBDO+AOBA."：BOLCO,

：.ZCAD+ZOAB=ZBDO+ZOBA=90°,即/OAC=90°,；.AC是。