高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：復(fù)數(shù)（講義）（原卷版+解析）

第03講復(fù)數(shù)

目錄

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)通過方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)高考對(duì)集合的考查相對(duì)穩(wěn)定，每年必考

數(shù).題型，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均

(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及變化不大.復(fù)數(shù)的運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的

2022年/卷〃卷第2題，5分

其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相模、復(fù)數(shù)的幾何意義是?？键c(diǎn)，難度較

2021年〃卷第1題，5分

等的含義.低，預(yù)測(cè)高考在此處仍以簡(jiǎn)單題為主.

2021年/卷第2題，5分

(3)掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，

了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意

義.

形如a+bi(a,bwR)的軟叫復(fù)軟，記作a+biwC

兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共輛要欲

兩個(gè)復(fù)數(shù)a+bi,c+di(a,b,c,deR)相等oQ=c,b=d

復(fù)數(shù)的慨念

22

復(fù)數(shù)的模：|z|=|Q+即=\/a-}-b

(a+尻)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(a+fri)?(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

復(fù)數(shù)運(yùn)算

a+bi_(a+6t)-(c-di)_(ac+&d)+(de-ad)i

(2+d2540)

c+di(c+di)?(c—di)c2+d2C

復(fù)數(shù)n=a+bi(a,bWR)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(Q,b)

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)2=。+尻(/66區(qū))對(duì)應(yīng)平面向量。2

復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)2=。+從(d6￡a)的模因表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)2(。,6)到原點(diǎn)的距離

復(fù)數(shù)的三角表示式：r(cos6+isin6)

輻角的主值

三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等

當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等

復(fù)效三角形式的乘范運(yùn)算：

復(fù)數(shù)的三角形式

rr

ri(cos&+isin0i)?Ti(COS02+，曲電)=\2[cos(0i+02)+2sin(&+初]

復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算：

ri(cos/+Osin%)riA一??根八

--~?、=—cos(0i-02)+2sm(&-02)\

『2(cos%+zsinOz)r2

?夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念

(1)，叫虛數(shù)單位，滿足『=一1,當(dāng)一CZ時(shí),嚴(yán)=1,嚴(yán)M=Z；產(chǎn)+2=—1,產(chǎn)+3=—/.

(2)形如a+砥a,〃eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作。+初eC.

①?gòu)?fù)數(shù)z=a+bi(a,bwR)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)，＜?叫z的實(shí)部,6叫z的虛部；6=0。zeR,

Z點(diǎn)組成實(shí)軸；6*0,z叫虛數(shù)；bHO且。=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)組成虛軸(不包括原點(diǎn)).兩個(gè)實(shí)

部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軌復(fù)數(shù).

[a=c

②兩個(gè)復(fù)數(shù)a+慶,c+成(々為cdwH)相等Ot〃(兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn))

[b=a

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)a+初(〃/￡尺)的模，也就是向量衣的模，即有向線段。亍的長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為

|z|=|a+bi|=7?2+b2,顯然，|z|=|“-4[=4?+4,z?z=亦+%?.

知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則

1、復(fù)數(shù)運(yùn)算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+bi)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(a+bi)?(a-bi)=z-z=tz2+Z?2=|212

〈(注意Z2=|Z『)

z+z=2a

其中|z|=+力,叫z的模；W=a-次是z=a+沅的共輾復(fù)數(shù)(a,6eR).

(3)a+bi_(a+bi)?(c—di)_{ac+bd)+(be—ad)i2/0)

c+di(c+di)?(c—di)c2+d1

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)幕運(yùn)算法則)都適用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)40分別對(duì)應(yīng)的向量西，區(qū)為鄰邊作平行四邊形OZZ4,對(duì)角線OZ表示的向量次就是復(fù)

數(shù)Z[+Z]所對(duì)應(yīng)的向量.Z]-Z2對(duì)應(yīng)的向量是Z?Z].

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi{a,b&R)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b);

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6eR)對(duì)應(yīng)平面向量OZ;

(3)復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示復(fù)數(shù).

(4)復(fù)數(shù)z=a+友(a,beR)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)到原點(diǎn)的距離.

3、復(fù)數(shù)的三角形式

(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)2=4+初都可以表示成r(cosd+isine)形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模；。是以X軸的

非負(fù)半軸為始邊，向量無所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)2=。+次的輻角.r(cos6+isin6)

叫做復(fù)數(shù)z=a+4'的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.

(2)輻角的主值

任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差2%的整數(shù)倍.規(guī)定在0V6<2"范圍內(nèi)的

輻角。的值為輻角的主值.通常記作argz,即04argz<2萬(wàn).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形

式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.

(3)三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等

兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.

(4)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算

①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即

。(cos3X+isin4)?馬(cossin%)=r1rz[cos(a+32}+isin(a+2)]

②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義

復(fù)數(shù)4,4對(duì)應(yīng)的向量為西，西，把向量西繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角/(如果％<0,就要把西

繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角闋)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼臑楸叮玫较蛄糠?，厲表示的?fù)數(shù)就是積z/2.

(5)復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算

兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)

的輻角所得的差，即與(cos，+M)=4[cosC-&)+isin?-.

L

r2(cos%+?sin02)r2

.提升?必考題型歸納

題型一：復(fù)數(shù)的概念

例L(2023?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考三模)已知(i+2i)(“+i)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)。=()

例2.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模)已知復(fù)數(shù)z滿足z(g-i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，貝”的虛部為()

A.—B.—iC.--D.

2222

例3.(2023.海南海口?校聯(lián)考一模)若復(fù)數(shù)z=/—4+(°-2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為()

A.2B.2或—2C.-2D.-4

例4.（多選題）（2023?河南安陽(yáng)?安陽(yáng)一中校考模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z=7一,則（）

1-1

A.|z|=V17B.z的實(shí)部與虛部之差為3

C.z=4+iD.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

2

例5.（2023?遼寧?校聯(lián)考一模）若z是純虛數(shù)，|z|=l,則一的實(shí)部為______.

1-z

【解題方法總結(jié)】

無論是復(fù)數(shù)模、共輾復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠?，所以在解決復(fù)

數(shù)有關(guān)問題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚.

題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

例6.（2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)2=二，則閔-工=（）

1-1

A.1+iB.1C.1-iD.i

例7.（2023?河北衡水?模擬預(yù)測(cè)）若（i—l）（z—2i）=2+i,貝陵=（）

例8.（2023?陜西榆林?高三綏德中學(xué)校考階段練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z滿足（z-2i）i=3+i,貝（）

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

例9.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足3z+i=l—4iz,則|z|=（）

A.2B.逑C.正D.-

2555

【解題方法總結(jié)】

設(shè)4=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dGR),則

(1)Zj±z2=a±c+(b±d)i

(2)Zj-z2=ac—bd+{ad+bc)i

%ac+bdbe—ad,八、

(3)z

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

例10.（2023?河南鄭州?三模）復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)丁不再對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

例11.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知復(fù)數(shù)4與z=3+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則工=（）

A.1+iB.1-ic.-i+iD.-1-i

例12.（2023?湖北?校聯(lián)考三模）如圖，正方形048c中，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+5i,則頂點(diǎn)8對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是

A.—2+8iB.2-8iC.-l+7iD.-2+7i

例13.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，z“4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為4（0,2）,Z2（l,-1）,則三

B.73C.6

【解題方法總結(jié)】

復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，這是

研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn).

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共軌復(fù)數(shù)

例14.（2023?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知2-i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于X的方程/+加+c=OS,ceR）

的一個(gè)根，則。+c=（）

A.9B.1C.-7D.2i-5

例15.（2023?貴州貴陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知Z]=a+2i,Z?=2+歷，（a,6eR）,+z1）+（z2z2）i=4+13i,

則（）

A.a=2,b=3B.a=-2,/?=-3

C.a=hb=i3D.a=-2,/?=±3

例16.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z=3+4i,且z+質(zhì)=9-4i,其中。是實(shí)數(shù)，貝U（）

A.a=—2B.a=2C.（z=lD.a=3

例17.（2023?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)z滿足z+同=2+4i,貝心的共輾復(fù)數(shù)的虛部為（）

A.2B.-4C.4D.-2

例18.（2023?四川宜賓?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z=3+4i,且z+占+歷=9,其中。，b是實(shí)數(shù),貝U（）

A.a=-2>b=3B.a=2,b-4-

C.a=l,b=2D.a-2tb--4

【解題方法總結(jié)】

復(fù)數(shù)相等：a+bi=c+dioa=c且6=d（a,b,c,deR）

共輾復(fù)數(shù)：a+bi=c+dioa=c且=—d（a,b,c,deR）.

題型五：復(fù)數(shù)的模

例19.（2023?河南?統(tǒng)考二模）若（i+l）（z—1）=2,則|『+1|=.

例20.（2023?上海浦東新?統(tǒng)考三模）已知復(fù)數(shù)z滿足憶-2|=曰=2,則z3=.

例21.（2023?遼寧鐵嶺?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)復(fù)數(shù)4,zZ滿足㈤書|=2,%+4=百+i,則匕一,匚__________.

【解題方法總結(jié)】

\z\=y/a2+b2

題型六：復(fù)數(shù)的三角形式

例22.（2023?四川成都?成都七中統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的

關(guān)系，并寫出以下公式/=cosx+isinx（無CR,i為虛數(shù)單位），這個(gè)公式在復(fù)變論中占有非常重要的地位，

被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)此公式，下面四個(gè)結(jié)果中不成立的是（）

ChY022

A./+1=0B.-+—i=1

I227

C.|eLT+e-Lr|<2D.-2<ek-e^<2

例23.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi（a,beR）都可以表示成

z=r（cose+isine）（rNO,eeR）的形式，通常稱之為復(fù)數(shù)的三角形式.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗發(fā)現(xiàn):

[r（cos6>+isinO'）y'=rn（cosnd+isinnO）（neZ）,我們稱這個(gè)結(jié)論為棣莫弗定理.貝!j（l-后嚴(yán)？=（）

A.1B.22022C.-22022D.i

例24.（2023?河南?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）歐拉公式/=cos6+isin。把自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e、虛數(shù)單位i、三角函數(shù)

聯(lián)系在一起，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美.若復(fù)數(shù)z滿足（e玩+i）-z=l,則z的虛部為（）

A.-B.—C.1D.一1

22

例25.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）棣莫弗公式（cos元+isinx）"=cosnx+isinra;（其中i為虛數(shù)單位）是由法國(guó)數(shù)

z\2023

學(xué)家棣莫弗（1667-1754年）發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)cos2+isin-在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

I66）

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【解題方法總結(jié)】

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+4?都可以表示成r（cos6+isin6）形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模；。是以x軸的

非負(fù)半軸為始邊，向量位所在射線（射線OZ）為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)2=4+次的輻角.r（cos6?+/sin6>）

叫做復(fù)數(shù)z=a+4?的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.

題型七：與復(fù)數(shù)有關(guān)的最值問題

例26.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）若|z+l-i|=l,則目的最大值與最小值的和為

例27.（2023?陜西西安?西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,i為虛數(shù)單位，則

Iz-3-4i|的最大值為.

例28.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)z是復(fù)數(shù)且|z-l+2i|=l,則|刁的最小值為（）

A.1B.V3-1C.V5-1D.非

例29.（2023?重慶?統(tǒng)考二模）復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z滿足憶-2|-卜+2[=2,則|zq的最小值為（）

A.戈B.@C.73D.>/5

22

例30.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考三模）已知復(fù)數(shù)z,z。滿足|z-Zo|=&,|zo卜下，則|z|的最大值為（）

A.aB.20C.4D.3后

【解題方法總結(jié)】

利用幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）（2+2i）（l-2i）=（）

A.-2+4iB.-2-4iC.6+2i.6-2i

2.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)（l+2i）a+人=2i,其中。力為實(shí)數(shù),J（）

A.a-l,b--lB,C.a--l,b=l.a=-1,Z?=-1

3.（2022.全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）若z=l+i.則山+3切=（）

A.46B.4A/2C.2A/5.2V2

第03講復(fù)數(shù)

目錄

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析

(1)通過方程的解，認(rèn)高考對(duì)集合的考查相對(duì)穩(wěn)定，每

識(shí)復(fù)數(shù).年必考題型，考查內(nèi)容、頻率、

(2)理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表2022年/卷〃卷第2題，5題型、難度均變化不大.復(fù)數(shù)的

示及其幾何意義，理解兩分運(yùn)算、概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的

個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.2021年〃卷第1題，5分幾何意義是?？键c(diǎn)，難度較低，

(3)掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)2021年/卷第2題，5分預(yù)測(cè)高考在此處仍以簡(jiǎn)單題為

算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算主.

的幾何意義.

形如a+bi(a,bWR)的數(shù)叫復(fù)軟，記作a+biWC

兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共聊復(fù)數(shù)

兩個(gè)復(fù)數(shù)a+從,c+di(a,b,c,dEA)相等oa=c,b=d

復(fù)數(shù)的模：\z\=\a+ln\=Va2+b2

(a+瓦)土(c+di)=(a±c)+(b土d)i

(a+&i)?(c4-di)—(ac—bd)+(ad+bc)i

復(fù)數(shù)運(yùn)算

a+bi(a+-(c—di)(ac+fed)+(be-ad)i

(c2+d2/0)

(c+di),(c—di)c2+d2

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b￡R)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)

復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)2=。+尻(/6€/2)對(duì)應(yīng)平面向量02

復(fù)數(shù)的幾何意義

復(fù)數(shù)z=a+b￡(a,6WR)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,6)到原點(diǎn)的距離

復(fù)數(shù)的三周表示式：r(cos6+isin6)

輻角的主值

三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等

當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等

復(fù)效三角形式的乘法運(yùn)算：

復(fù)數(shù)的三角形式

T\(cos&+isin0i)?r2(cos%+i8in&)=r\T2[cos(&+&)+tsin(%+&)]

復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算：

ri(cos/+zsin0i)

=—[cos(01-02)+￡sin(%-02)]

「2(cosW+2sin02)72

夯基?必備基礎(chǔ)知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)一、復(fù)數(shù)的概念

(1)，叫虛數(shù)單位，滿足『=-1,當(dāng)讓2時(shí)，產(chǎn)=1,產(chǎn)+1=。產(chǎn)+2=一1,泮+3=7.

(2)形如a+砥a,8eR)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作a+bz,eC.

①?gòu)?fù)數(shù)z=a+6i(a,beR)與復(fù)平面上的點(diǎn)Z(a,6)一—對(duì)應(yīng)，。叫z的實(shí)部，6叫z的虛

部；6=0ozwR,Z點(diǎn)組成實(shí)軸；bwO,z叫虛數(shù)；且a=0,z叫純虛數(shù)，純虛數(shù)對(duì)應(yīng)

點(diǎn)組成虛軸(不包括原點(diǎn)).兩個(gè)實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軌復(fù)數(shù).

②兩個(gè)復(fù)數(shù)a+4,C+成(a/cdeR)相等,(兩復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)同一點(diǎn))

[b=d

③復(fù)數(shù)的模：復(fù)數(shù)〃+初(〃,8￡尺)的模，也就是向量歷的模，即有向線段改的長(zhǎng)度，

其計(jì)算公式為\z\=\a+bi\=y/a2+b2,顯然，|z|=|〃一次|=y/a2+b2,z-z=a2+b2.

知識(shí)點(diǎn)二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運(yùn)算法則

1、復(fù)數(shù)運(yùn)算

(1)(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i

(2)(a+bi)?(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i

(q+bi)-(a-bi)=z-z=a2+b2=|z|2

v(注意z2=|z|2)

z+z=2a

其中|z|=J/+。2，叫z的模；z=a-。，是z=a+4的共利復(fù)數(shù)(。,。￡尺).

(3)a+bi(a+bi)-(c-di)_(ac+bd)+(Jbc-ad)i2+筋力0)

c+di(c+di)?(c-di)c2+d2

實(shí)數(shù)的全部運(yùn)算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)塞運(yùn)算法則)都

適用于復(fù)數(shù).

注意：復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義

以復(fù)數(shù)4*2分別對(duì)應(yīng)的向量西，西為鄰邊作平行四邊形ozzz2,對(duì)角線OZ表示的

向量OZ就是復(fù)數(shù)Z]+z2所對(duì)應(yīng)的向量.Z1-Z2對(duì)應(yīng)的向量是落Z.

2、復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,beR)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)z(a,b)；

(2)復(fù)數(shù)z=a+砥對(duì)應(yīng)平面向量反；

(3)復(fù)平面內(nèi)實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)，除原點(diǎn)外虛軸上的點(diǎn)表示虛數(shù)，各象限內(nèi)的點(diǎn)都

表示復(fù)數(shù).

(4)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6eR)的模|z|表示復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z{a,b)到原點(diǎn)的距離.

3、復(fù)數(shù)的三角形式

(1)復(fù)數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cos6+isin。)形式，其中r是復(fù)數(shù)z的

模；6是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量區(qū)所在射線(射線OZ)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)

z=a+沅的輻角.r(cos6+isine)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式.

(2)輻角的主值

任何一個(gè)不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個(gè)值，且這些值相差2萬(wàn)的整數(shù)倍.規(guī)定在

04，<2萬(wàn)范圍內(nèi)的輻角。的值為輻角的主值.通常記作argz,即04argz<2%.復(fù)數(shù)的代

數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式，三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.

(3)三角形式下的兩個(gè)復(fù)數(shù)相等

兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.

(4)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算

①兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和，即

八(cos0x+isin0t)-r2(cos02+zsin%)=(力[cos(^+02)+isin(4+6^)]

②復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算的三角表示的幾何意義

復(fù)數(shù)4/2對(duì)應(yīng)的向量為西，區(qū)，把向量西繞點(diǎn)。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角％(如果

02<0,就要把西繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角陶|),再把它的模變?yōu)樵瓉淼鸟R倍，得到向

量OZ,OZ表示的復(fù)數(shù)就是積zxz2.

(5)復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算

兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的

輻角減去除數(shù)的輻角所得的差，即L(c°s1+isinq)=2L[cos(a_a)+isin(a_d)].

4(cosg+isin2)4

.提升?必考題型歸納

題型一：復(fù)數(shù)的概念

例1.(2023?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考三模)已知(l+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)。=(

A.-B.—C.gD.—

3322

【答案】A

【解析】由于(l+2i)(a+i)=a—2+(l+2a)i,

(l+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，故。-2+(l+2a)=0,，a=；,

故選：A

例2.(2023?浙江紹興?統(tǒng)考二模)已知復(fù)數(shù)z滿足z(6-i)=2i,其中i為虛數(shù)單位，貝！|z的

虛部為（）

1

A.B.C.D.

212~2

【答案】A

2i(g+i)一2+2此1叵

【解析】因?yàn)閦（W-i）=2i,

所以(73-i)(V3+i)42+21

所以Z的虛部為也.

2

故選：A.

例3.（2023?海南海口?校聯(lián)考一模）若復(fù)數(shù)z=Y-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)”的值為（）

A.2B.2或-2C.-2D.-4

【答案】C

[a2-4-0

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)2=儲(chǔ)-4+（a-2）i為純虛數(shù)，則有解得a=-2,

[a-2^0

所以實(shí)數(shù)”的值為-2.

故選：C

例4.（多選題）（2023?河南安陽(yáng)?安陽(yáng)一中?？寄M預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)z==l,則（）

A.|Z|=A/T7B.z的實(shí)部與虛部之差為3

C.z=4+iD.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限

【答案】ACD

【解析】???Z-F-ITET

1-1(1-1)(1+1)

；.Z的實(shí)部與虛部分別為4,-1,

忖=142+(-1)2=后,A正確;

z的實(shí)部與虛部之差為5,B錯(cuò)誤；

z=4+i，C正確；

z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（4,-1）,位于第四象限，D正確.

故選：ACD.

7

例5.（2023?遼寧?校聯(lián)考一模）若z是純虛數(shù)，忖=1,則4的實(shí)部為.

1—Z

【答案】1

【解析】Z是純虛數(shù)，且忖=1,則有z=±i,故/二=1土i,實(shí)部為1.

故答案為：1.

【解題方法總結(jié)】

無論是復(fù)數(shù)模、共軟復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)相等或代數(shù)運(yùn)算都要認(rèn)清復(fù)數(shù)包括實(shí)部和虛部?jī)刹糠?

所以在解決復(fù)數(shù)有關(guān)問題時(shí)要將復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都認(rèn)識(shí)清楚.

題型二：復(fù)數(shù)的運(yùn)算

例6.(2023?黑龍江哈爾濱?哈師大附中統(tǒng)考三模)己知復(fù)數(shù)2=魯，則忖-2=()

1—1

A.1+iB.1C.1-iD.i

【答案】A

(l+i)(l+i)2i.皿-

【解析】依題意,z=(l_i)(l+i)=5=L則Izl=l，zr

所以|z|-z=l+i.

故選：A

例7.(2023?河北衡水?模擬預(yù)測(cè))若(i—l)(z—2i)=2+i,則彳=()

A.-14.11.

B.---------1

2222

C-HiD.-之，

22

【答案】B

【解析】由已知得z=_2+2i=_(2+i)(l+i)+2i=_l±ji

+2i=--+-,

1-i2222

1./-11.

故選：B.

例8.(2023?陜西榆林?高三綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí))已知復(fù)數(shù)2滿足(2-2中=3+1,則2=()

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

【答案】A

【解析】因?yàn)?z-2i)i=3+i,

2+2i=止電3

所以z=+2i=l-3i+2i=l-i.

ii(-i)

故選：A.

例9.(2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知復(fù)數(shù)z滿足3z+i=l-4iz,則|z|=(

B.逑2

A.2.----D.

2557

【答案】C

【解析】解法一：由32+1=1-短得2=鼠=言7,所以IzU會(huì),故選C.

解法二：由3z+i=l—4iz得(3+4i)z=l-i,所以5|2|=近，即|z|=孝，

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

設(shè)Z[=a+bi,Zz=c+di(a,b,c,deR),則

(1)zx±z2=a±c+(b±d)i

(2)zx-z2=ac—bd+{ad+bc)i

/c、Z]ac+bdbe-ad.八、

⑶,=一一+〒z

z2c+dc+d

題型三：復(fù)數(shù)的幾何意義

例10.(2023?河南鄭州?三模)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)士盛對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

3-i3-i3-i(3-iYl+i')

【解析】由題得=丁一==2+i,即復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(2,1),在

1+11+11—1(；1—1+1二)

第一象限.

故選：A.

例11.(2023?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)4與z=3+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱,

則m=（）

2+1

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)4與z=3+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以z=3-i,

3-i（3-i）（2-i）5-5i

Z1=l-i

2+i-2+T-（2+i）（2-i）-5

故選：B.

例12.(2023?湖北?校聯(lián)考三模)如圖，正方形OABC中，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是3+5i,則頂點(diǎn)

B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()

C.-l+7iD.-2+7i

【答案】A

【解析】由題意得：礪=（3,5）,不妨設(shè)C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，+歷（。（0,少0）,則區(qū)=（。力）,

由叫。C,網(wǎng)二國(guó)，得,

即C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-5+3i,

由礪=函+能得：B點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)為（3+5i）+（-5+3i）=-2+8i.

故選：A.

例13.（2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)，40對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z/0,2）,

z2（l,-l），貝!J」=（）

Z2

A.2B.石C.42D.1

【答案】C

【解析】由題意，知4=2i,z2=l-i,所以2=3=T+i,所以五二拒.

一Z21-1Z2

故選：C.

【解題方法總結(jié)】

復(fù)數(shù)的幾何意義在于復(fù)數(shù)的實(shí)質(zhì)是復(fù)平面上的點(diǎn)，其實(shí)部、虛部分別是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)、

縱坐標(biāo)，這是研究復(fù)數(shù)幾何意義的最重要的出發(fā)點(diǎn).

題型四：復(fù)數(shù)的相等與共輾復(fù)數(shù)

例14.（2023?湖北?黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知2-i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于x的方程

V+6x+c=0（A,cwR）的一個(gè)根，貝|Z?+c=（）

A.9B.1C.-7D.2i-5

【答案】B

【解析】已知2-i（i是虛數(shù)單位）是關(guān)于X的方程％2+fex+C=03,C￡R）的一個(gè)根,

3+26+c=0

貝!)(2—i)2+儀2—i)+C=0,即4—4i-l+2Z?-/?i+c=0,即

-4-b=0

\b=-4

解得』，故6+c=L

故選：B.

例15.(2023?貴州貴陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知z=“+2i,z2=2+bi,(a,6eR),若

(zj+^)+(z2z2)i=4+13i,貝[J()

A.。=2,b=3B.a=—2,Z?=—3

C.a=