甘肅省武威市某中學(xué)2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

甘肅省武威市第一中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高三期末考試數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知乙6滿足同=2百，問=3,示石=—6,則乙在B上的投影為（）

A.-2B.-1C.-3D.2

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)上口=（）

1

A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i

3.空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距

離.已知平面a,￡,彳兩兩互相垂直，點Aea,點A到/的距離都是3,點P是a上的動點，滿足p到夕的

距離與P到點A的距離相等，則點P的軌跡上的點到￡的距離的最小值是（）

A.3-73B.3C.IzJLD.-

22

4.集合A={x|x?-3尤WO},5={尤|y=lg（2-x）},則Ac5=（）

A.{x|0<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|0<x<2}

5.如圖，在棱長為4的正方體ABC?！?，E,F9G分別為棱AB9BC9CG的中點，M為棱AD的中點,

設(shè)P,。為底面A5C。內(nèi)的兩個動點，滿足。P//平面EEG,D】Q=后,則PM+尸。的最小值為（）

A.372-1B.3夜-2C.2A/5-1D.2^5-2

6.已知雙曲線C：—-/=1,耳，居為其左、右焦點，直線/過右焦點工，與雙曲線。的右支交于A，B兩點,

4--

且點A在x軸上方，若|A閶=3忸閶，則直線/的斜率為（）

A.1B.-2c.-1D.2

7.已知i（l一切）=2+2Q為虛數(shù)單位,a,bGR),則向等于（）

11

A.2B.-2C.一D.——

22

(1\lnx

8.若X?(0,1),a=lnx,b=—,c=elnx,則a,b,c的大小關(guān)系為

[2

A.b>c>aB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c

9.已知函數(shù)/（x）=4sin（2x-0,；兀，若函數(shù)尸（x）=/（%）-3的所有零點依次記為和馬名,…,天,且

<%2<%3<...<xn,則X]+2%+2%+…+2X,T+x〃=()

D.42萬

10.上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)

學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某

骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太

陽光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表:

黃赤交角23。4r23°57'24°13,24°28'24。"

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

x-y<0,

x+3

11.若x,y滿足約束條件x+V?2,則z=—的取值范圍為（）

y+2

x+l>0,

24242

A.B.[-,3]C.[-,2]D.[-,2]

53535

12.天干地支，簡稱為干支，源自中國遠古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天

干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀年法是天干和地支依次按固定的順序

相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份，則這2個年份

的天干或地支相同的概率為（）

29485

A.—B.—C.—D.—

19959519

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知關(guān)于x的不等式6-4）>0的解集為A,且A中共含有〃個整數(shù)，則當(dāng)"最小時實數(shù)a的值

為

14.己知函數(shù)/（尤）=》（/-1）,若關(guān)于％的不等式/V-2x-2a）+/（依-3）,,0對任意的恒成立，則實數(shù)。的

取值范圍是.

15.如圖，6、工分別是雙曲線二-4=1的左、右焦點，過心的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別交于A、B兩

ab

點,若豆=4豆，耶.可二0,則雙曲線C的離心率是.

2x-y+2<0

16.若變量x,y滿足：x+2y—420,且滿足?++?—l）y+r+l=0,則參數(shù)t的取值范圍為.

%-3y+11>0

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）若不等式l+2'+41a>0在尤e（O,l]時恒成立，則。的取值范圍是.

18.（12分）函數(shù)/（無）=ar-ln（尤+l）,g（x）=sinx,且/（九）..0恒成立.

（1）求實數(shù)。的集合"；

（2）當(dāng)aeM時，判斷了。）圖象與g（x）圖象的交點個數(shù)，并證明.

(參考數(shù)據(jù)：In2ao.69,1"77)

JQ—cos，

19.(12分)在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為",「以。為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，

y=sin8.

7T

設(shè)點A在曲線C2：Qsin￡=l上，點3在曲線G：8=—；(夕＞0)上，且AAOB為正三角形.

(1)求點A,3的極坐標(biāo)；

(2)若點P為曲線G上的動點，M為線段AP的中點，求的最大值.

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=e'+2or-e,g(x)=-lnx+ov+a.

(1)求函數(shù)/(%)的極值；

(2)對任意都有/(x)Ng(x),求實數(shù)a的取值范圍.

21.(12分)某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為0,現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽，要求在交付用戶前

每件產(chǎn)品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗5件該產(chǎn)品，且每件產(chǎn)品檢驗合格與否相互獨立.若

每件產(chǎn)品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產(chǎn)品每上個(左＜5)一組進行分組檢驗，如

果某一組產(chǎn)品檢驗合格，則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對該組內(nèi)每一件

產(chǎn)品單獨進行檢驗，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗1次或1+左次.設(shè)該工廠生產(chǎn)1000件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗

次數(shù)為X.

(1)求X的分布列及其期望；

(2)(i)試說明，當(dāng)。越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數(shù)越少；

(ii)當(dāng)"=0」時，求使該方案最合理時上的值及1000件該產(chǎn)品的平均檢驗次數(shù).

22.(10分)已知六面體ABCDEF如圖所示，跖1平面ABC。，BE//AF,AD//BC,BC=1,CD＜,

FM1

AB=AF=AD=2,〃是棱ED上的點，且滿足——=一.

MD2

(1)求證：直線8尸〃平面跖IC；

(2)求二面角A—MC—。的正弦值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.A

【解析】

根據(jù)向量投影的定義，即可求解.

【詳解】

f影為同…1三7

故選:A

本題考查向量的投影，屬于基礎(chǔ)題.

2.D

【解析】

利用復(fù)數(shù)的除法運算，化簡復(fù)數(shù)上口=l-i，即可求解，得到答案.

1

【詳解】

1+i+—i)

由題意，復(fù)數(shù).=]—i,故選D.

1ix(-i)

本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，

屬于基礎(chǔ)題.

3.D

【解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為點尸的軌跡上的點到％軸的距離的最小值，利用尸到x軸的距離等于尸到點4的

距離得到P點軌跡方程，得到6y=(x—3)2+929,進而得到所求最小值.

如圖，原題等價于在直角坐標(biāo)系中，點4(3,3),P是第一象限內(nèi)的動點，滿足尸到x軸的距離等于點p到點A的

距離，求點P的軌跡上的點到x軸的距離的最小值.

設(shè)P（羽y）,則y=J（x_3）2+（y_31，化簡得：（x—3『—6y+9=0,

,、,3

則6y=（九一3）'+929,解得：y>—,

3

即點P的軌跡上的點到0的距離的最小值是萬.

故選：D.

本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確求得動點軌跡方程，進而根據(jù)軌跡方程構(gòu)造不等關(guān)系求得

最值.

4.A

【解析】

解一元二次不等式化簡集合A,再根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于零化簡集合B,求交集運算即可.

【詳解】

由3x<0可得04尤<3,所以A={x[0<x<3},由2—%>0可得x<2,所以3={x|x<2},所以

AnB={x|0<x<2},故選A.

本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數(shù)的概念，屬于中檔題.

5.C

【解析】

把截面EFG畫完整，可得P在AC上，由=J萬知。在以D為圓心1為半徑的四分之一圓上，利用對稱性可得

PM+PQ的最小值.

【詳解】

如圖，分別取GDI，A4，AA的中點連接易證及共面，即平面ERG為截面

EFGHIJ,連接A2，AC,AC,由中位線定理可得AC//所，平面ERG,EFu平面EFG,則AC//平

面EFG,同理可得A，//平面ERG,由ACIA。=A可得平面A。。//平面防G,又，P//平面E尸G,尸在

平面ABCD上，，PeAC.

7

正方體中DDt1平面ABCD,從而有DD]±DQ，二DQ=淳=5五=1,Q在以。為圓心1為半徑的四分

之一圓（圓在正方形ABC。內(nèi)的部分）上，

顯然M關(guān)于直線AC的對稱點為E，

PM+PQ=PE+PQ>PE+PD-DQ>ED-DQ=742+22-1=2逐—1，當(dāng)且僅當(dāng)E,P,Q,°共線時取等號，

所求最小值為2小-1.

故選：C.

本題考查空間距離的最小值問題，解題時作出正方體的完整截面求出P點軌跡是第一個難點，第二個難點是求出Q點

軌跡，第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.

6.D

【解析】

由|AF2|=3|BF2|,可得Ag=3凡3.設(shè)直線1的方程x=my+&',m>0,設(shè)4（石,%），,即yi=-3y2①，

聯(lián)立直線1與曲線C,得yi+y2=-2”②，yiy2=」一③，求出m的值即可求出直線的斜率.

療—4m-4

【詳解】

2_

雙曲線C：-y2=1,Fl,F2為左、右焦點，則F2（石，0）,設(shè)直線1的方程x=my+石，m>0,：雙曲線的漸

4'

近線方程為x=±2y,??.mW±2,

設(shè)A（xi,yi）,B（X2,y2）,且yi>0,由|AF2|=3|BF2|,AAF2=3F2B,?'?yi=-3y2①

由｛2“-Q+&,-4]y2+2y/5my+l=0

4y2_4=0\）

.*.△=（2^/5m）2-4（m2-4）>0,即m2+4>0恒成立，

?I2y臺1自

??yi+y2=-----------②，yiy2=r—

m2-4m-4

聯(lián)立①②得—2%=一攣（>0,聯(lián)立①③得—3貨=<0,

y/5m1y/5m',m>Q,解得：m=L直線/的斜率為2,

—7----—rBP：

J乙y—ZA

2m-412-3TO212-3m2病—4,2

故選D.

本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系,考查韋達定理的運用，考查向量知識，屬于中檔題.

7.A

【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解.

【詳解】

i(l-ai)=2+bi,

「.々+2=2+初，得〃=2,b=1.

:.ab=2.

故選：A.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題.

8.A

【解析】

利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接求解.

【詳解】

Vxe(0,1),

??a~~lux0,

b=(—)lnx>(—)°=1,

22

0<ic=elnjc<ie()=1,

b,c的大小關(guān)系為b>c>〃.

故選：A.

本題考查三個數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.C

【解析】

JTJT13

令2x-版?(keZ),求出在0,—7i的對稱軸，由三角函數(shù)的對稱性可得

623

JI5冗23兀

為+%2=—義2,羽+%=—X2,...,x_,+x=——X2,將式子相加并整理即可求得X1+2M+2%+...+2x_+x的

36nn63nxn

值.

【詳解】

函數(shù)周期7=萬，令一]左兀+二=[一3兀，可得左=8.則函數(shù)在xe0,]—3n上有8條對稱軸.

2333

TT5TC237t

根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知石+/=—X2,%2+X3=LX2,...，ZT+Z=U-X2,

366

2K5K8K23兀）兀（2+23）x8100兀

將以上各式相加得：玉+2%2+2%3+…+2%〃_]+II?...xZ=—x--------------

6666）323

故選:C.

本題考查了三角函數(shù)的對稱性，考查了三角函數(shù)的周期性，考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為

%1+%2+x2+%3+x3+x4+...+Xn_x+xn的形式.

10.D

【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤

交角，即可得到正確選項.

【詳解】

解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為戊，春秋分日光與垂直線夾角為少，

則a-尸即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角,

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：

EI16f/八16—9.4//

貝Utana=—=1.6,tan/?=----------=0.66,

1010

/八、tana-tan61.6-0.66八

tan(a-/7)=----------------=----------------?0.457.

1+tancr?tanp1+1.6x0.66

?/0.455<0.457<0.461,

,估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故選：D.

本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及

數(shù)學(xué)運算能力，屬中檔題.

11.D

【解析】

%+3

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)z=［用為連接點￡＞（-3,-2）和可行域內(nèi)的點（尤,y）的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合

即可得解.

【詳解】

由題意作出可行域，如圖,

%+3

目標(biāo)函數(shù)Z=［用可表示連接點D（-3,-2）和可行域內(nèi)的點（尤,y）的直線斜率的倒數(shù),

由圖可知，直線。A的斜率最小，直線。6的斜率最大,

x-y=0/、x++y=L2可得比/L3、)，

由＜x+l=。可得A(T'T)’由

—1+21過2=3,所以

所以^DA=_]+3=~2，kDB~

-1+325

本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.B

【解析】

利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù)，結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.

【詳解】

20個年份中天干相同的有10組（每組2個），地支相同的年份有8組（每組2個），從這20個年份中任取2個年份,

10+89

則這2個年份的天干或地支相同的概率P=

C?o95?

故選:B.

本小題主要考查古典概型的計算，考查組合數(shù)的計算，考查學(xué)生分析問題的能力，難度較易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-1

【解析】

4

討論a<0,a=O,a>0三種情況，a<0時,根據(jù)均值不等式得到a+-=

a

等號成立的條件得到答案.

【詳解】

已知關(guān)于％的不等式(QX-QI-4)(x-4)>0,

44

①〃V0時，[x-(QH—)](x-4)<0,其中—<0,

aa

4

故解集為(〃+—,4),

a

4一

當(dāng)且僅當(dāng)-a-,即a=-1時取等號，

a

44

???〃+—的最大值為-4,當(dāng)且僅當(dāng)〃+—=-4時，A中共含有最少個整數(shù)，此時實數(shù)〃的值為-1；

aa

②〃=0時，-4(%-4)>0,解集為(-8,4),整數(shù)解有無窮多，故。=0不符合條件；

44

③〃>0時，[x~—)](%-4)>0,其中—24,

aa

4

???故解集為(-8,4)U(〃+—,+8),整數(shù)解有無窮多，故。>0不符合條件；

a

綜上所述，a=-1.

故答案為：-1.

本題考查了解不等式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.

14.[TO]

【解析】

首先判斷出函數(shù)人元)為定義在H上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由此不等式f(x2-2x-2a)+f(ax-3)?0對任

意的卜恒成立，可轉(zhuǎn)化為丁+("2口-2”3,,0在九目1,3]上恒成立，進而建立不等式組，解出即可得到答案.

【詳解】

解：函數(shù)Ax)的定義域為R,且/(-無)=-直27-1)=-》(/-1)=-/(尤),

???函數(shù)/(尤)為奇函數(shù),

當(dāng)%>0時，函數(shù)/(x)=x(2，-l),顯然此時函數(shù)f(x)為增函數(shù),

函數(shù)“X)為定義在R上的增函數(shù)，

不等式/(無2-2x-2a)+/(tix-3),,。即為-2無一2“，3-ax,

1+tz—2—2a—3,,0

解得Y胸？0.

9+3（?！?）—2?！??0

故答案為［T,。］.

本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運用，考查不等式的恒成立問題，屬于常規(guī)題目.

15.2

【解析】

___.___,b

根據(jù)三角形中位線證得4?！?月，結(jié)合耶.可=0判斷出AO垂直平分8乙，由此求得/的值，結(jié)合02=笛+6求

得上的值.

a

【詳解】

,.?可=謖，為典中點，4?！?耳，郎=0,AO垂直平分8區(qū)，

222

ZAOTs=ZAOB=ABOFX=60°,即々=tan60°=/，；.6=百。，c=3?+?=即6=f=2.

aa

故答案為：2

本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

【解析】

2x-y+2<0

根據(jù)變量無，y滿足：(x+2y—420,畫出可行域，由(f+l)x+(f—l)y+7+1=。，解得直線過定點A(—1,0),直

x-3y+ll>0

線繞定點旋轉(zhuǎn)與可行域有交點即可，再結(jié)合圖象利用斜率求解.

【詳解】

2x-y+2<0

由變量x,y滿足：［x+2y-4>Q,畫出可行域如圖所示陰影部分，

%-3y+11>0

由(r+l)x+(z—l)y+r+l=O,整理得(x+y+l)/+x—y+l=O,

x+y+l=0

由＜x-y+l=?！獾谩?Ty=°'

所以直線?+l)x+(f—l)y+r+l=O過定點A(—1,0),

2x—y+2<0/、

由＜/一C，解得c(l,4),

[x-3y+ll>0、7

x+2y—4^0/、

由＜/「C，解得6(_2,3),

x-3y+ll>0'7

要使U+l)x+(f—l)y+r+l=O,則與可行域有交點,

當(dāng)r=1時，滿足條件,

當(dāng)時，直線得斜率應(yīng)該不小于AC,而不大于AB,

即⑴22或山V—3,

1-t1-t

解得—＜%W2,且，wl,

3

綜上：參數(shù)/的取值范圍為；,2.

故答案為：2

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化運算求解的能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

3

17.a＞—

4

【解析】

原不等式等價于a〉-1(+g］在(0,司恒成立，令/=：,/(/)=/+/,求出在g,l］上的最小值后可得。

的取值范圍.

【詳解】

因為1+2*+4*-a>0在％e(。/］時恒成立，故a>+~在(0』恒成立.

令f=(,由xe(0,l］可得/e：/］.

令/(/)=r+/,.e),1］,則為g,1］上的增函數(shù)，故

小3

故a〉—.

4

3

故答案為：ci>—.

4

本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立，對于此類問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最

值問題，本題屬于基礎(chǔ)題.

18.(1){1}；(2)2個，證明見解析

【解析】

(1)要，(九)-0恒成立，只要f(x)的最小值大于或等于零即可，所以只要討論求解看了(尤)是否有最小值；

(2)將/(%)圖像與g(x)圖像的交點個數(shù)轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實數(shù)解的個數(shù)問題，然后構(gòu)造函數(shù)

0>)=f(x)-g(x),再利用導(dǎo)數(shù)討論此函數(shù)零點的個數(shù).

【詳解】

(1)Ax)的定義域為(—L+8),因為/''(%)=a———,

x+1

1°當(dāng)4,0時，/'(x)<0"(x)在*e(0,+s)上單調(diào)遞減，*€(0,+8)時，使得/(無)</(0)=0,與條件矛盾；

2。當(dāng)a>0時，由尸(x)<0,得—l<x<L—l；由尸(x)>0,得x〉L—1,所以/(x)在1―1,工—1］上單調(diào)遞減，

aa\aJ

在(工-1,+8］上單調(diào)遞增，即有7mhi=—lj=l—4+ln。，由/(%)..。恒成立，所以1—a+lna.O恒成立，

J

11—Q

令h(a)=1一Q+Ina(a>0),h'(a)=-1+—=----,

aa

若0va(1,“(a))0,h(d)<h(X)-0；

若a>l,〃(a)<0,丸(a)<7z(l)=0；而a=l時，h(a)-Q,要使l-a+Ina..0恒成立,

故。€口｝.

(2)原問題轉(zhuǎn)化為方程/(x)=g(x)實根個數(shù)問題，

當(dāng)。=1時，/(無)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點，理由如下：

由J(尤)=g(x)，BPx-ln(x+l)-sinx=0,令。(％)=x—ln(x+l)—sinx,

因為9(0)=0,所以x=0是0(x)=。的一根；(p'(x)=1——-——cosx,

10當(dāng)一l<x<0時，1------(0,cos

X+1

所以“(x)<0,°(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減，以》>°(0)=0,即e(x)=0在(-1,0)上無實根;

2。當(dāng)0<%<3時，<p\x)=1+sinx>0,

(x+l『

2

則°(x)在(0,3)上單調(diào)遞遞增，又9'1------>0,^(0)=-1<0,

?1

所以0(x)=0在(0,3)上有唯一實根x0,x0e,且滿足1------；=COSx0,

①當(dāng)0c%,不時，9'(x),,0,9(x)在(0,%］上單調(diào)遞減，此時0(%)<0(0)=0,0(%)=0在(0,%］上無實根;

②當(dāng)天<x<3時，“(%)〉0,9(%)在Oo,3)上單調(diào)遞增，9(%)<°仁卜^TTn《+lJ=ln

<lngjlnl=0M3)=3-sm3-21n2=2(l-ln2)+l-sin3)0,故以?=。在(/,3)上有唯一實根.

2

3。當(dāng)為之3時，由(1)知，x—ln(l+x)—l在(0,+co)上單調(diào)遞增,

故(p(x)=x-ln(l+尤)一sin尤=無一ln(l+x)-l+(l-sinx)>0,所以(p(x)=0在［3,+00)上無實根.

綜合1。，2。，3。，故°(x)=0有兩個實根，即/Xx)圖象與g(x)圖象有且僅有2個交點.

此題考查不等式恒成立問題、函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想，考查導(dǎo)數(shù)的運用，屬于較難題.

19.(1)A

【解析】

(1)利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；

(2)設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(x,y),則點P的直角坐標(biāo)為(2x-G,2y-1).將此代入曲線G的方程，可得點"在以

為圓心，；為半徑的圓上，所以IBMI的最大值為|3Q|+；,即得解.

【詳解】

7T

(1)因為點5在曲線。3：。=——(夕>0)上，AAOB為正三角形，

6

兀

所以點A在曲線。=;(夕>0)上.

又因為點A在曲線。2：夕sin。=1上,

所以點A的極坐標(biāo)是2,彳卜

從而，點3的極坐標(biāo)是2,-彳

(2)由(1)可知，點A的直角坐標(biāo)為(G,l),B的直角坐標(biāo)為(6,-1)

設(shè)點M的直角坐標(biāo)為(元,y),則點尸的直角坐標(biāo)為(2x-6,2>-1).

X-——+—cos/

將此代入曲線G的方程，有122

>="sin&

(也1)1

即點M在以。為圓心，3為半徑的圓上.

122yl2

3f我2+.=3

所以|BM|的最大值為|3Q|+g=g+G.

本題考查了極坐標(biāo)和參數(shù)方程綜合，考查了極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化，參數(shù)方程的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃

歸，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.

20.(1)當(dāng)時，/(X)無極值；當(dāng)a<0時，/(九)極小值為一2。+2<7111(-20)—6門2)[-6-1,+?).

【解析】

(1)求導(dǎo)，對參數(shù)。進行分類討論，即可容易求得函數(shù)的極值；

(2)構(gòu)造函數(shù)M%)=/(%)-g(x),兩次求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，由恒成立問題求參數(shù)范圍即可.

【詳解】

(1)依題/'(力=心+勿,

當(dāng)時，/'(%)>0,函數(shù)/(%)在R上單調(diào)遞增，此時函數(shù)/(九)無極值；

當(dāng)°<0時，令/'(x)=，+2a>0,得x〉ln(-2a),

令/'(x)=e*+2a<0,得尤<ln(-2a)

所以函數(shù)/(%)在(ln(-2a),+8)上單調(diào)遞增,

在(-00,In(—2〃))上單調(diào)遞減.

此時函數(shù)/(%)有極小值，

且極小值為f(in(—2a))=—2Q+2aln(—2Q)-e.

綜上：當(dāng)時，函數(shù)/(x)無極值；

當(dāng)QVO時，函數(shù)/(X)有極小值，

極小值為2a))=—2Q+2aln(—2Q)—e.

(2)令h(x)=/(x)-g(x)=e尤+ax+\nx-a-e［x>\)

易得力⑴=0且為⑺=/+—+?(x>l),

X

令(%)=〃(％)=ex+—+<2(%>1)

所以—(%)=ex—N1),

因為e"之e,0<——1,從而，(x)>0,

所以，［尤)在［Lw)上單調(diào)遞增.

又/⑴=a+e+l

若—e-l,則r(x)=/z,(x)>r(l)=a+e+l>0

所以/2(x)在［1,+<?)上單調(diào)遞增，從而/z(x)>/z(l)=0,

所以a2—e—1時滿足題意.

右QV—e—1，

所以1(“而門=%(l)=Q+e+lvO,%(—Q)—€"+Q—,

在/(%)中，令。=—;，由(1)的單調(diào)性可知，

/(x)=e*—x—e有最小值/⑼=l—e,從而—>x+l-

所以《一〃)=，"+a-—>-a+l+a--=l-—>0

aaa

所以f(l)4(—a)<0,由零點存在性定理：

3x0e使*x0)=0且

/z(x)在(l,%o)上單調(diào)遞減，在[%，+8)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)時,/z(x)<7z(l)=0.

故當(dāng)a<-e-l,/(x)2g(x)不成立.

綜上所述：。的取值范圍為[―e—1,+。。).

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的極值，涉及由恒成立問題求參數(shù)范圍的問題，屬壓軸題.

21.(1)見解析，1-(1-(2)(i)見解析(ii)左=4時平均檢驗次數(shù)最少，約為594次.

k

【解析】

(1)由題意可得p[x,X的可能取值為和，

分別求出其概率即可求出分布列，進而可求出

V)