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文檔簡介
專題12函數(shù)與方程
【命題方向目錄】
命題方向一:求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間
命題方向二:利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍
命題方向三:方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題
命題方向四:嵌套函數(shù)的零點問題
命題方向五:函數(shù)的對稱問題
命題方向六:函數(shù)的零點問題之分段分析法模型
命題方向七:唯一零點求值問題
命題方向八:分段函數(shù)的零點問題
命題方向九:零點嵌套問題
命題方向十:等高線問題
命題方向H^一:二分法
【2024年高考預(yù)測】
2024年高考仍將方程解得個數(shù)、函數(shù)零點個數(shù)、不等式整數(shù)解的問題、不等式恒成立與能成立為載體
考查函數(shù)的綜合問題,考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想.
【知識點總結(jié)】
1、函數(shù)的零點與方程的解
(1)函數(shù)零點的概念
對于一般函數(shù)y=F(x),我們把使=0的實數(shù)尤叫做函數(shù)y="X)的零點.
(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系
方程=0有實數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有零點Q函數(shù)y=〃力的圖象與x軸有公共點?
(3)函數(shù)零點存在定理
如果函數(shù)y=在區(qū)間團,切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有/'(alAbkO,那么,函數(shù)
y=在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點,即存在ce3力),使得〃c)=0,這個c也就是方程/(可=0的解.
2、二分法
(1)對于在區(qū)間團,切上連續(xù)不斷且/(砂/(加<0的函數(shù)y=f(x),通過不斷把函數(shù)的零點所在
的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.
(2)對于給定精確度£,利用二分法求函數(shù)/(X)零點近似值的步驟如下:
①確定區(qū)間[。,句,驗證/(a)/S)<0,給定精確度£;
②求區(qū)間3,6)的中點c;
③計算/(c);
a.若f(c)=O,貝Uc就是函數(shù)的零點;
b.若/(a)/(c)<0,則令6=c(此時零點尤°e(a,c));
c.若f(6)f(c)<0,則令a=c(此時零點七e(c,力).
④判斷是否達(dá)到精確度£,即:若則得到零點近似值a(或6);否則重復(fù)②③④.
【方法技巧與總結(jié)】
1、若連續(xù)不斷的函數(shù)/'(X)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則/(X)至多有一個零點.
2、連續(xù)不斷的函數(shù)/(%),其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.
3、連續(xù)不斷的函數(shù)/(X)通過零點時,函數(shù)值不一定變號.
4、連續(xù)不斷的函數(shù)〃幻在閉區(qū)間[a,句上有零點,不一定能推出/■(a)/S)<0.
【典例例題】
命題方向一:求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間
l,x>0
例1.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考三模)定義符號函數(shù)sgm=,0,x=。,則方程dsgru=5x-6的解是()
-1,x<0
A.2或—6B.3或—6C.2或3D.2或3或—6
例2.(2023?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)函數(shù)/(無)=x-l的零點是()
A.-2B.-1C.1D.2
例3.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知看是函數(shù)/口)=2£+二匚的一個零點,若不€(1,毛),々武飛+8),則
()
A./(毛)<0,/(x2)<0B./區(qū))<0,/(x2)>0
C.〃占)>0,/(x2)<0D./(^)>0,/(%2)>0
變式1.(2023?全國.模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)〃x)=e,-卜-4,奴兒則()
A.若〃x)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都有零點,則在區(qū)間(0,1)也有零點
B.若/(X)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都有零點,則在區(qū)間(0,1)沒有零點
C.若“X)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都沒有零點,則在區(qū)間(0,1)有零點
D.若/(尤)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都沒有零點,則在區(qū)間(0,1)也沒有零點
變式2.(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知為是函數(shù)〃尤)=\;-尤+4的一個零點,
若X]€(2,%),%?%+00),則()
A.%?2,4)B./(^)>/(x2)
C./(-^)<0,/(x2)<0D./(Xj)>0,/(x2)>0
變式3.(2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測)己知函數(shù)〃同=)「5":一2若方程〃x)=l的實根在區(qū)間
[xlg(x+2),x>-2
氏后+l)#eZ上,則上的最大值是()
A.-3B.-2C.1D.2
變式4.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(x)=4+x-3的零點所在區(qū)間是()
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)
【方法技巧與總結(jié)】
求函數(shù)/(X)零點的方法:
(1)代數(shù)法,即求方程/(X)=0的實根,適合于宜因式分解的多項式;(2)幾何法,即利用函數(shù)y=/(x)
的圖像和性質(zhì)找出零點,適合于宜作圖的基本初等函數(shù).
命題方向二:利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍
例4.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)/(司=/一依+。_1有兩個不同的零點的一個充分不必要條件是()
A.a=3B.〃=2C.a=lD.a=0
例5.(2023?遼寧大連?大連二十四中??寄M預(yù)測)已知函數(shù)x若函數(shù)
[-2x,x<0
gG)=〃x)-忖2—甸,(人R)恰有4個零點,則上的取值范圍()
A.(-8,-1)°(2石,+8)B.卜8,-75)U(O,2)
C.(-00,0)(0,2+272)D.(-00,0)(2+2君,+可
lnx+x,x>l
例6.(2023?黑龍江?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)已知函數(shù)〃》)=<m,若g(x)=f(x)-L有三個
2,x2-mx-\——,x<\
2
零點,則實數(shù)機的取值范圍是()
A.(1,:B.(1,2]C.D.[1,3]
變式5.(2023?全國?高三專題練習(xí))若方程--1|=加有兩個不同的實數(shù)根,則實數(shù)加的取值范圍為()
A.(0,+e)B.(0,1]C.(0,1)D.(1,+s)
/、of+lax+1,x<0
變式6.(2023.全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測)若函數(shù)/x=、八恰有2個零點,則實數(shù)〃的取值范
ln(x+l)+6r,x>0
圍為()
A.(-00,0)0(1,+oo)B.(0,1)C.(-oo,l)D.(0,+oo)
變式7.(2023.陜西商洛?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)g(x)=2x-21nx,若函數(shù)/(x)=g(犬)-2加+3有2個零點,則
實數(shù)加的取值范圍是()
a-H'Hb-[r+c°)
C.(LD.
變式8.(2023?陜西漢中?統(tǒng)考一模)若函數(shù)〃司=|現(xiàn)2乂-3T的兩個零點是〃/,貝|()
A.mn=lB.m-n>\
C.0<m-n<lD.無法判斷
【通性通解總結(jié)】
本類問題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像,利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì),建立參數(shù)關(guān)系,列關(guān)于參數(shù)的不
等式,解不等式,從而獲解.
命題方向三:方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題
例7.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(尤)滿足(x+=/(工一"|)?當(dāng)時,/(x)=2x3-llx2+14%,
則外力在[-120,120]上的零點個數(shù)為___________
例8.(2023?浙江?二模)己知函數(shù)/(力=及-乖\,則F(/(x))=。至多有______個實數(shù)解.
例9.(2023?四川?四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模)函數(shù)/(x)=sinx-log2尤的零點個數(shù)為_________.
變式9.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)〃x)一:":::",。,當(dāng)了>0時的零點個數(shù)是—.
變式10.(2023?全國?模擬預(yù)測)已知〃x)=[吧:>°;八則函數(shù)y=4[〃x)于-8〃尤)+3的零點個數(shù)
\—x—2x+1,xW0,
是.
變式IL(2023?北京大興?高三??奸_學(xué)考試)已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為
2H,X<0
變式12.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=<,則函數(shù)g(x)=5(x)-3〃x)+2零點的
|hix|,x>0
個數(shù)是__________
【通性通解總結(jié)】
方程的根或函數(shù)零點的存在性問題,可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負(fù)來確定,但是要確定函數(shù)零點
的個數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性,若在給定區(qū)間上是單調(diào)的,則至多有一個零點;如果
不是單調(diào)的,可繼續(xù)分出小的區(qū)間,再類似做出判斷.
命題方向四:嵌套函數(shù)的零點問題
例10.(2023?江蘇?高三專題練習(xí))設(shè)定義在卡上的函數(shù)/(幻=1%-1|,若關(guān)于%的方程產(chǎn)(x)+"(x)+c=0
1,%=1.
有3個不同的實數(shù)解石,馬,工3,則%+々+%3=.
例1L(2023?江西贛州?高三校聯(lián)考)已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù),當(dāng)xNO時,
_2-|__10<x<2
/?=2'一一,若關(guān)于X的方程”"(必2+止/。)+1=0恰好有7個不同的實數(shù)根,那么
log4x,x>2
m-n的值為.
5k一"_山x>0
例12.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)定義域為R的函數(shù)/(x)=",若關(guān)于無的方程
x2+4x+4?x<0
f2(x)-(2m+l)f(x)+m2=0有7個不同的實數(shù)解,則m=
e**x-x〉0
變式13.(2023?四川成都?高三石室中學(xué)???已知函數(shù)〃尤)=_一",若關(guān)于龍的方程
產(chǎn)(x)=2研〃尤)-2]有8個不同的實數(shù)解,則整數(shù)機的值為.(其中e是自然對數(shù)的底數(shù))
變式14.(2023?江蘇揚州?高三揚州中學(xué)校考)已知函數(shù)/■(x)=gg2|x-1],若關(guān)于x的方程
"(x)f+a-/(x)+b=0有6個不同的實數(shù)解,且最小實數(shù)解為-3,則a+b的值為.
川,若關(guān)于x的方程
變式15.(2023?山東棗莊?高三階段練習(xí))設(shè)定義域為R的函數(shù)/(》)=
2r(x)-(2a+3)/(x)+3a=0有五個不同的實數(shù)解,則a的取值范圍是.
4sinTLX0<xK1
{e'1一,若關(guān)于X的方
程(2-m)/(x)+l-力2=0恰有5個不同的實數(shù)解,則實數(shù)小的取值集合為.
【通性通解總結(jié)】
1、涉及幾個根的取值范圍問題,需要構(gòu)造新的函數(shù)來確定取值范圍.
2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算,但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實.
命題方向五:函數(shù)的對稱問題
例13.(2023?全國?高三專題練習(xí))若不同兩點尸、。均在函數(shù)y=/(x)的圖象上,且點尸、。關(guān)于原點對
稱,則稱(AQ)是函數(shù)y=的一個“匹配點對’(點對(P,Q)與X=o視為同一個“匹配點對)已知
__Y〉C)
〃X)=e,’一恰有兩個“匹配點對”,則。的取值范圍是()
2ax2,x<0
例14.(2023?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中校考期中)若函數(shù)>=/(%)圖象上存在不同的兩點A,3關(guān)于>
軸對稱,則稱點對[A司是函數(shù)>=/(%)的一對“黃金點對”(注:點對[A為與[此為可看作同一對“黃金點
3。x<0
對”).已知函數(shù)/(%)=-V+4x,0JW4,則此函數(shù)的“黃金點對”有()
x2-10%+24,x>4
A.0對B.1對C.2對D.3對
例15.(2023?山東德州?高一德州市第一中學(xué)校考期末)若函數(shù)"X)圖象上不同兩點關(guān)于原點對稱,
則稱點對是函數(shù)f(x)的一對“姊妹點對”(點對與看作同一對“姊妹點對"),已知函數(shù)
ex—l,x<0
/(%)=則此函數(shù)的“姊妹點對”有()
x2—2x,x>0
A.0對B.1對C.2對D.3對
變式17.(2023?全國?高三專題練習(xí))若M,N為函數(shù)/(x)圖象上的兩個不同的點,且N兩點關(guān)于原點
對稱,則稱點對(M,N)為函數(shù)FOO的一個“配合點對”(點對(M,N)與點對(N,M)為同一“配合點對”).現(xiàn)
x~+2ex+zn-1,x,,0
給定函數(shù)/(x)=2(e為自然對數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)Ax)的圖象上恰有兩個“配合點對”,
XH--e--,X>0
.尤
則實數(shù)機的取值范圍是()
A.nz.e+1B.m<(e-l)2C.m,,e2D.m..e2+1
變式18.(2023?陜西西安?西安中學(xué)??寄M預(yù)測)已知函數(shù)“X)=/-辦為自然對數(shù)的底數(shù))
e
與g(x)="的圖象上存在關(guān)于直線y=x對稱的點,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.l,e+-B.
e
變式19.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x)=a-x3&WxWe],e為自然對數(shù)的底數(shù))與/z(x)=31nx
的圖象上存在關(guān)于無軸對稱的點,則實數(shù)。的取值范圍是()
A.1,-+3B.[1,/—3]C.—+3,e3—3D.[/—3,+co)
【通性通解總結(jié)】
轉(zhuǎn)化為零點問題
命題方向六:函數(shù)的零點問題之分段分析法模型
例16.(2023?全國?模擬預(yù)測)若函數(shù)/。)=01-丁田+湛11我(xeR,e是自然對數(shù)的底數(shù),。>0)存
在唯一的零點,則實數(shù)”的取值范圍為.
例17.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=xe*-a(x+lnx)(e為自然對數(shù)的底數(shù))有兩個不同零點,
則實數(shù)。的取值范圍是.
例18.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=4elnx--匚+〃式存在4個零點,則實數(shù)優(yōu)的取值范
x-dnx
圍是?
變式20.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃力=三—2或+虛—inx,記8⑺;勺,若函數(shù)g(x)至少存
在一個零點,則實數(shù)m的取值范圍是.
命題方向七:唯一零點求值問題
例19.(2023?江西?校聯(lián)考二模)已知函數(shù)g(x),網(wǎng)力分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且
g(%)+h{x)=2023^+log2023(x+A/177),若函數(shù)/(均=2023+"網(wǎng)一通漢一2023)-23有唯一零點,則實數(shù)幾
的值為()
A.-1或;B.一1或一二C.-1D.;
222
例20.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/'(x)=k+2|+eA2+e-2T+a有唯一零點,則實數(shù)”=()
A.1B.-1C.2D.-2
例21.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃%)=廠彳+jT-a(siiu+cosx)有唯一零點,貝U”()
<兀c4兀-LC
A.—B.—C.y/2,D.1
ee
變式21.(2023?四川瀘州?高三四川省瀘縣第四中學(xué)??奸_學(xué)考試)已知關(guān)于尤的函數(shù)
/(%)=法2一次+,_1|+62+6—4有唯一零點x=a,貝!]a+/?=()
A.-1B.3C.-1或3D.4
變式22.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(幻=--2工+。(01+/加)+<:05(天-1)-1有唯一零點,貝此=
()
A.1B.—C.—D.—
332
變式23.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)g(x),Mx)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù),且
x
g(x)+h(x)=e+sinx-x,若函數(shù)/(尤)=3g2網(wǎng)一彳8(;1—2020)—2下有唯一零點,則實數(shù)4的值為
B.1或二
A.-1或;C.一1或2D.-2或1
2
變式24.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃切=242-:4(21+227)一“2有唯一零點,則負(fù)實數(shù)〃=
1
A.-2B.C.—1D.—或—1
2
【通性通解總結(jié)】
利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法:
U)利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.
(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.
(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題,從而構(gòu)建不等式求解.
命題方向八:分段函數(shù)的零點問題
\x-c,x>0,
例22.(2023?北京?高三專題練習(xí))設(shè)ceR,函數(shù)〃幻="。八若〃月恰有一個零點,貝|c的取值
[2-2c,x<0.
范圍是()
A.(0,1)B.{0}U[l,+8)
C.(0i)D.{0}U[g,+8)
2-x,x<0
例23.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=1,g(x)=/(x)-x-a.若g(x)有2個零點,
In—,x>0
則實數(shù)。的最小值是()
A.2B.0C.-1D.1
0,x<0
例24.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(無)=.八,則使函數(shù)g(x)=/(x)+x-w有零點的實數(shù)機
[e",尤>0
的取值范圍是()
A.[0,1)B.(-*1)
C.(-02,0],(l,+oo)D.(f,l]U(2,y)
廿-3x+2|,xe(0,+8)
1V
變式25.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=?q,有且僅有兩個零點,則實數(shù)。
-ex+0]
的取值范圍是()
A.a<QB.或Q>1C.Q<a<lD.或a>l
九2I無_2X<0
,‘一’一的零點個數(shù)為()
(-1+Inx,x>0
A.3B.2C.1D.0
【通性通解總結(jié)】
已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:
(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;
(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;
(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖
象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
命題方向九:零點嵌套問題
例25.(2023?河北滄州?高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知函數(shù)=+S-2)j+2-a有三個不同的零點
々,/,其中玉<%<三,貝.一々]的值為.
例26.(2023?江西宜春?高三江西省豐城中學(xué)校考階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(a+2)e"-(a+l)xe工+/有三
個不同的零點為,%,%,且芯<%<三,貝,1一^][1一白][1一々]的值為
例27.(2023?全國?高三專題練習(xí))己知函數(shù),(%)=2(4+2)/-(4+1)祀*+尤2有三個不同的零點占,尤2,%,
且&<0</<£,則(2—(2—91[2-烹)的值為.
變式27.(2023?河南信陽?高三信陽高中??奸_學(xué)考試)已知函數(shù)f{x)=x(x-ex)+(^x+me、(x-)有三個
零點七,巧,馬,且再<0<%<尤③,其中機eR,e=2.718為自然對數(shù)的底數(shù),則加一(宗一1:(^一1)(宗一“
的范圍為.
變式28.(2023?江蘇蘇州?高二江蘇省震澤中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/W=(ax+ln尤)(x-lnx)--有四個
不同的零點%1,和叼%4,且四個零點全部大于1,則-生玉)(1-也*")(1-電么)的值為
*^2*^3*^4
變式29.(2023?江蘇蘇州?高二常熟中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/⑴=(ln尤)2+(4+〃)jdnx+(2a+8)f存在三個
零點4、巧、工3,且滿足陽<%2<%3,則—^-+2^,+2+的值為__________.
x
IX]jyx2)\3)
【通性通解總結(jié)】
解決函數(shù)零點問題,常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.
命題方向十:等高線問題
無2+4Y+2
例28.(2023?湖北武漢?高一期末)己知函數(shù)/(x)=}og@_,尤;;,若關(guān)于彳的方程“可,有四個不
X
同的實數(shù)解毛,巧,鼻,4>且為<尤3<匕,則(退+%)(括一%)+2無3+;無4的最小值為()
7Q?
A.-B.8C.-D.J
222
|log2(x+l)|,-l<x<3
例29.(2023?河南鄭州?高一新密市第一高級中學(xué)??茧A段練習(xí))已知函數(shù)/("=<
-X2-5X+—,X>3
22
若關(guān)于X的方程f(X)=m有四個不同的實數(shù)解百,々,三,匕,且滿足見<%<尤3<Z,則下列結(jié)論正確的是()
A.Xtx2=-1B.毛工4目21,25]
111
C.x3+x4=22D.一+—=T
+x<0
例30.(2023?江西上饒?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=:,若方程/(x)=a有四個不同的實數(shù)
Jog2Mx>0
解為,巧,七,&且玉<工2<兀3〈工4,則刀工3(工1+%)的取值范圍是()
%3%
A.(4,5)B.(4,5]C.(4,+oo)D.[4,+oo)
變式30.(2023?全國?高三校聯(lián)考專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=|x+L|+|a-x+—L|-6有五個不同的零點,且所
xa—x
有零點之和為3,則實數(shù)匕的值為()
A.1B.3C.5D.7
【通性通解總結(jié)】
數(shù)形結(jié)合
命題方向H"一:二分法
例31.(2023?全國?高三專題練習(xí))用二分法求函數(shù)〃x)=ln(x+l)+尤-1在區(qū)間[0,1]上的零點,要求精確度
為0.01時,所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()
A.6B.7C.8D.9
例32.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(x+2)+2x-〃z(weR)的一個零點附近的函數(shù)值的參考數(shù)
據(jù)如下表:
X00.50.531250.56250.6250.751
於)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099
由二分法,方程ln(x+D+2x-根=。的近似解(精確度0.05)可能是()
A.0.625B.-0.009C.0.5625D.0.066
例33.(2023?陜西西安?西安中學(xué)??寄M預(yù)測)某同學(xué)用二分法求函數(shù)/(x)=2'+3x-7的零點時,計算出
如下結(jié)果:/(1.5)=0.33,/(1.25)=-0.87,
/(1.375)=-0.26,/(1.4375)=0.02,/(1.4065)=-0.13,/(1.422)=-0.05,下列說法正確的有()
A.1.4065是滿足精度為0.01的近似值.
B.1.375是滿足精度為0.1的近似值
C.1.4375是滿足精度為0.01的近似值
D.1.25是滿足精度為0.1的近似值
變式31.(2023?全國?高三專題練習(xí))用二分法研究函數(shù)/(x)=V+2x-l的零點時,第一次計算,得“0)<0,
/(0.5)>0,第二次應(yīng)計算/&),則々等于()
A.1B.-IC.0.25D.0.75
變式32.(2023?全國?高三專題練習(xí))若函數(shù)在區(qū)間口,1.5]內(nèi)的一個零點附近函數(shù)值用二分
法逐次計算,列表如下:
X11.51.251.3751.3125
了(無)-10.875-0.29690.2246-0.05151
那么方程式_彳_1=0的一個近似根(精確度為0.1)可以為()
A.1.3B.1.32C.1.4375D.1.25
變式33.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(尤)=苫--*的部分函數(shù)值如下表所示:
X10.50.750.6250.5625
fM0.6321-0.10650.27760.0897-0.007
那么函數(shù)f(x)的一個零點近似值(精確度為0.1)為()
A.0.45B.0.57C.0.78D.0.89
【通性通解總結(jié)】
對于在區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷且<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷把函數(shù)/(%)的零點所在的區(qū)間
一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1.(2023?江西萍鄉(xiāng)?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)〃x)='無;0,則y=/(x)-(的所有零點之和為()
|x+l|,x<02
A.B.C.2D.0
22
2.(2023?陜西西安?西安市第三十八中學(xué)??家荒#┖瘮?shù)/5)=1。82x-1。84(尤+20)的零點為()
A.4B.4或5C.5D.T或5
34
fr丫2023、
3.(2023?四川德陽?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(司=1+工-5+r事一亍++餐,xeR,則f(x)在R上的零點個
數(shù)為()
A.0B.1C.2D.2023
4.(2023?四川成都通都市第二十中學(xué)校??家荒#┮阎瘮?shù)/(元)=1中2_2耳,函數(shù)8(制=尸(司+/(力-1,
則函數(shù)g(元)的零點個數(shù)為()
A.4B.5C.6D.7
5.(2023?湖南.模擬預(yù)測)若函數(shù)〃x)=(lnx)2-ln1在(0,8)內(nèi)有2個零點,則a的取值范圍為()
A.(T?,21n2)B.S,O)|J(O,21n2)C.(ro,31n2)D.(ro,0)_(0,31n2)
]2,叫x<2
6.(2023?四川瀘州?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃x)=心,若方程/(X)-a=0恰有三個不同的實數(shù)根,
一,x22
則實數(shù)a的取值范圍為()
A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)
2
7.(2023?吉林長春?長春市實驗中學(xué)??级?函數(shù)y=lnx—-的零點所在的大致區(qū)間是()
x
A.(-,1)B.(1,2)
e
C.(2,e)D.(e,+oo)
8.(2023?四川巴中?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)滿足〃x+l)=2〃尤),當(dāng)x?0,l]時,
=若對任意xe(T?,m],都有/(x)2-咚,則機的取值范圍是()
B.
D.(一吟
二、多選題
9.(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又存在零點的是()
A.y=cosxB.y=^+sinxC.J=ln|x|D.y=x2+l
10.(2023?吉林長春?長春吉大附中實驗學(xué)校??寄M預(yù)測)關(guān)于函數(shù)〃x)=|ln|2-x||,下列描述正確的有
()
A.Ax)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增B.>=/(尤)的圖象關(guān)于直線x=2對稱
C.若占#々,/(匕)=/(々),則4+巧=4D.f(x)有且僅有兩個零點
11.(2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為RJ(x-1)為奇函數(shù),/(x+1)為偶函數(shù),當(dāng)
xe(-L,l)時,/(x)=-x2+l,則下列結(jié)論正確的是()
A.f=—|B./(x+7)為奇函數(shù)
C.〃尤)在(6,8)上為減函數(shù)D.方程〃力+班=。僅有6個實數(shù)解
12.(2023?全國?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知函數(shù)/'(力=3卜1+2,對于任意的。,b,ceR,關(guān)于x的
方程a[y(x)了+紗(x)+c=0的解集可能的是()
A.{0,4}B.{0,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,2,3}
三、填空題
13.(2023?河南南陽?南陽中學(xué)校考模擬預(yù)測)己知函數(shù)/(x)=2(a+2)e"-(4+1)超+/有三個不同的零點
Xt,x2,x3,且當(dāng)<0<苫2<%,貝[2—2j[2—飛][2—的值為.
14.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)已知〃x)=^/^的反函數(shù)y=尸(x)的零點為2,則實數(shù)。的值為
15.(2023?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)??寄M預(yù)測)已知定義在(0,+8)上的函數(shù)/(x)滿足:
fxlnx,0<x<l.1、
〃X)=,,若方程“zX=依-;在(0,2]上恰有三個根,則實數(shù)上的取值范圍是,
16.(2023?四川樂山?統(tǒng)考一模)函數(shù)/(對=向-1-cos口卜1,3]上所有零點之和為.
專題12函數(shù)與方程
【命題方向目錄】
命題方向一:求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間
命題方向二:利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍
命題方向三:方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題
命題方向四:嵌套函數(shù)的零點問題
命題方向五:函數(shù)的對稱問題
命題方向六:函數(shù)的零點問題之分段分析法模型
命題方向七:唯一零點求值問題
命題方向八:分段函數(shù)的零點問題
命題方向九:零點嵌套問題
命題方向十:等高線問題
命題方向十一:二分法
[2024年高考預(yù)測】
2024年高考仍將方程解得個數(shù)、函數(shù)零點個數(shù)、不等式整數(shù)解的問題、不等式恒成立
與能成立為載體考查函數(shù)的綜合問題,考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想.
【知識點總結(jié)】
1、函數(shù)的零點與方程的解
(1)函數(shù)零點的概念
對于一般函數(shù)y=/(%),我們把使/(x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=的零點.
(2)函數(shù)零點與方程實數(shù)解的關(guān)系
方程/(x)=0有實數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有零點o函數(shù)y=的圖象與x軸有公共點.
(3)函數(shù)零點存在定理
如果函數(shù)y=在區(qū)間伍,切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有
那么,函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個零點,即存在ce(“,6),使得〃c)=0,這
個c也就是方程/(力=0的解.
2、二分法
(1)對于在區(qū)間[a,6]上連續(xù)不斷且/(a)/S)<0的函數(shù)y=/(x),通過不斷把函數(shù)
/(尤)的零點所在的區(qū)間一分為二,使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點,進(jìn)而得到零點近似值
的方法叫做二分法.
(2)對于給定精確度£,利用二分法求函數(shù)/(尤)零點近似值的步驟如下:
①確定區(qū)間[a,6],驗證/1(a)/(6)<0,給定精確度£;
②求區(qū)間(“,3的中點c;
③計算/(c);
a.若/(c)=0,則c就是函數(shù)的零點;
b.若/(a)/(c)<0,則令6=c(此時零點與e(a,c));
c.若_/W(c)<0,則令a=c(此時零點je(c,6)).
④判斷是否達(dá)到精確度£,即:若|。-同<£,則得到零點近似值a(或b);否則重復(fù)
②③④.
【方法技巧與總結(jié)】
1、若連續(xù)不斷的函數(shù)/(X)在定義域上是單調(diào)函數(shù),則/(X)至多有一個零點.
2、連續(xù)不斷的函數(shù)/(無),其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.
3、連續(xù)不斷的函數(shù)/(尤)通過零點時,函數(shù)值不一定變號.
4、連續(xù)不斷的函數(shù)/(元)在閉區(qū)間團,切上有零點,不一定能推出了(。"(6)<0.
【典例例題】
命題方向一:求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間
l,x>0
例1.(2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考三模)定義符號函數(shù)sgnx=<O,x=O,則方程Ysgn^=5x-6
-1,x<0
的解是()
A.2或一6B.3或一6C.2或3D.2或3或一6
【答案】D
【解析】依題意,當(dāng)%>0時,方程x2sgnx=5x—6為:x2=5x-6,解得%=2或x=3,因止匕
%=2或%=3,
當(dāng)%=0時,方程x2sgm:=5x-6為:0=5x-6,解得x=|",于是無解,
當(dāng)%v0時,方程x2sgiix=5x-6為:一%2=5%—6,解得x=-6或%=1,因止匕x=-6,
所以方程x2sgnx=5x—6的解是九=2或x=3或x=-6.
故選:D
例2.(2023?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)函數(shù)〃x)=x-1的零點是()
A.12B.-1C.1D.2
【答案】C
【解析】令〃X)=X—1=0,貝壯=1
故選:C.
例3.(2。23?全國?高三專題練習(xí))已知%是函數(shù)f(x)=2,占的一個零點’若
方41,與),馬€伉+00),則()
A./(網(wǎng))<0,/(x2)<0B./(為)<0,/(x2)>0
C./(^)>0,/(%2)<0D.”占)>0,/(%2)>0
【答案】B
【解析】因為%是函數(shù)/(》)=2'+3的一個零點,則不是函數(shù)y=2”與y=工的交點的
1-xx-\
橫坐標(biāo),畫出函數(shù)圖像,如圖所示,
則當(dāng)%時,>=2<在了=<下方,即〃為)<0;
當(dāng)馬時,
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