新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)與方程（原卷版+解析）

專(zhuān)題12函數(shù)與方程

【命題方向目錄】

命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

命題方向二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

命題方向三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題

命題方向四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

命題方向五：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

命題方向六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型

命題方向七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題

命題方向八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

命題方向九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題

命題方向十：等高線(xiàn)問(wèn)題

命題方向H^一：二分法

【2024年高考預(yù)測(cè)】

2024年高考仍將方程解得個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式整數(shù)解的問(wèn)題、不等式恒成立與能成立為載體

考查函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想.

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

（1）函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于一般函數(shù)y=F（x）,我們把使=0的實(shí)數(shù)尤叫做函數(shù)y="X）的零點(diǎn).

（2）函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程=0有實(shí)數(shù)解=函數(shù)y=/（x）有零點(diǎn)Q函數(shù)y=〃力的圖象與x軸有公共點(diǎn)?

（3）函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=在區(qū)間團(tuán)，切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且有/'（alAbkO,那么，函數(shù)

y=在區(qū)間（a,b）內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce3力），使得〃c）=0,這個(gè)c也就是方程/（可=0的解.

2、二分法

（1）對(duì)于在區(qū)間團(tuán)，切上連續(xù)不斷且/（砂/（加＜0的函數(shù)y=f（x）,通過(guò)不斷把函數(shù)的零點(diǎn)所在

的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

（2）對(duì)于給定精確度￡,利用二分法求函數(shù)/（X）零點(diǎn)近似值的步驟如下：

①確定區(qū)間［。，句，驗(yàn)證/（a）/S）＜0,給定精確度￡;

②求區(qū)間3,6）的中點(diǎn)c;

③計(jì)算/（c）;

a.若f（c）=O,貝Uc就是函數(shù)的零點(diǎn)；

b.若/（a）/（c）＜0,則令6=c（此時(shí)零點(diǎn)尤°e（a,c））；

c.若f（6）f（c）＜0,則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)七e（c,力）.

④判斷是否達(dá)到精確度￡,即：若則得到零點(diǎn)近似值a（或6）；否則重復(fù)②③④.

【方法技巧與總結(jié)】

1、若連續(xù)不斷的函數(shù)/'（X）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/（X）至多有一個(gè)零點(diǎn).

2、連續(xù)不斷的函數(shù)/（%）,其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).

3、連續(xù)不斷的函數(shù)/（X）通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).

4、連續(xù)不斷的函數(shù)〃幻在閉區(qū)間［a,句上有零點(diǎn)，不一定能推出/■（a）/S）＜0.

【典例例題】

命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

l,x＞0

例1.（2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考三模）定義符號(hào)函數(shù)sgm=，0,x=。,則方程dsgru=5x-6的解是（）

-1,x＜0

A.2或—6B.3或—6C.2或3D.2或3或—6

例2.（2023?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)/（無(wú)）=x-l的零點(diǎn)是（）

A.-2B.-1C.1D.2

例3.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知看是函數(shù)/口）=2￡+二匚的一個(gè)零點(diǎn)，若不€（1,毛）,々武飛+8）,則

（）

A./（毛）＜0,/（x2）＜0B./區(qū)）＜0,/（x2）＞0

C.〃占）＞0,/（x2）＜0D./（^）＞0,/（%2）＞0

變式1.（2023?全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)〃x）=e，-卜-4，奴兒則（）

A.若〃x）在區(qū)間（-2,-1）和（-1,0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0,1）也有零點(diǎn)

B.若/（X）在區(qū)間（-2,-1）和（-1,0）都有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0,1）沒(méi)有零點(diǎn)

C.若“X）在區(qū)間（-2,-1）和（-1,0）都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間（0,1）有零點(diǎn)

D.若/(尤)在區(qū)間(-2,-1)和(-1,0)都沒(méi)有零點(diǎn)，則在區(qū)間(0,1)也沒(méi)有零點(diǎn)

變式2.(2023?甘肅金昌?永昌縣第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知為是函數(shù)〃尤)=\；-尤+4的一個(gè)零點(diǎn),

若X]€(2,%),%?%+00),則()

A.%?2,4)B./(^)>/(x2)

C./(-^)<0,/(x2)<0D./(Xj)>0,/(x2)>0

變式3.(2023?北京?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)〃同=)「5"：一2若方程〃x)=l的實(shí)根在區(qū)間

[xlg(x+2),x>-2

氏后+l)#eZ上，則上的最大值是()

A.-3B.-2C.1D.2

變式4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(x)=4+x-3的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【方法技巧與總結(jié)】

求函數(shù)/(X)零點(diǎn)的方法：

(1)代數(shù)法，即求方程/(X)=0的實(shí)根,適合于宜因式分解的多項(xiàng)式；(2)幾何法，即利用函數(shù)y=/(x)

的圖像和性質(zhì)找出零點(diǎn)，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).

命題方向二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

例4.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(司=/一依+。_1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是()

A.a=3B.〃=2C.a=lD.a=0

例5.(2023?遼寧大連?大連二十四中校考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)x若函數(shù)

[-2x,x<0

gG)=〃x)-忖2—甸,(人R)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則上的取值范圍()

A.(-8,-1)°(2石,+8)B.卜8,-75)U(O,2)

C.(-00,0)(0,2+272)D.(-00,0)(2+2君,+可

lnx+x,x>l

例6.(2023?黑龍江?高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)〃》)=<m，若g(x)=f(x)-L有三個(gè)

2,x2-mx-\——,x<\

2

零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.（1,：B.（1,2]C.D.[1,3]

變式5.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若方程--1|=加有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

A.（0,+e）B.（0,1]C.（0,1）D.（1,+s）

/、of+lax+1,x<0

變式6.（2023.全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/x=、八恰有2個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范

ln（x+l）+6r,x>0

圍為（）

A.（-00,0）0（1,+oo）B.（0,1）C.（-oo,l）D.（0,+oo）

變式7.（2023.陜西商洛?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)g（x）=2x-21nx,若函數(shù)/（x）=g（犬）-2加+3有2個(gè)零點(diǎn)，則

實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）

a-H'Hb-[r+c°）

C.（LD.

變式8.（2023?陜西漢中?統(tǒng)考一模）若函數(shù)〃司=|現(xiàn)2乂-3T的兩個(gè)零點(diǎn)是〃/，貝|（）

A.mn=lB.m-n>\

C.0<m-n<lD.無(wú)法判斷

【通性通解總結(jié)】

本類(lèi)問(wèn)題應(yīng)細(xì)致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點(diǎn)及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不

等式，解不等式，從而獲解.

命題方向三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題

例7.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（尤）滿(mǎn)足（x+=/（工一"|）?當(dāng)時(shí)，/（x）=2x3-llx2+14%,

則外力在[-120,120]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________

例8.（2023?浙江?二模）己知函數(shù)/（力=及-乖\，則F（/（x））=。至多有______個(gè)實(shí)數(shù)解.

例9.（2023?四川?四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）函數(shù)/（x）=sinx-log2尤的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)________.

變式9.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)〃x）一："：：：",。，當(dāng)了>0時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是—.

變式10.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知〃x）=[吧:>°；八則函數(shù)y=4[〃x）于-8〃尤）+3的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

\—x—2x+1,xW0,

是.

變式IL（2023?北京大興?高三?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

2H,X<0

變式12.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=<，則函數(shù)g（x）=5（x）-3〃x）+2零點(diǎn)的

|hix|,x>0

個(gè)數(shù)是__________

【通性通解總結(jié)】

方程的根或函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題，可以依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù)來(lái)確定，但是要確定函數(shù)零點(diǎn)

的個(gè)數(shù)還需要進(jìn)一步研究函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個(gè)零點(diǎn)；如果

不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類(lèi)似做出判斷.

命題方向四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

例10.（2023?江蘇?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義在卡上的函數(shù)/（幻=1％-1|，若關(guān)于％的方程產(chǎn)（x）+"（x）+c=0

1,%=1.

有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解石,馬，工3，則%+々+%3=.

例1L（2023?江西贛州?高三校聯(lián)考）已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí)，

_2-|__10<x<2

/?=2'一一，若關(guān)于X的方程”"（必2+止/。）+1=0恰好有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，那么

log4x,x>2

m-n的值為.

5k一"_山x>0

例12.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/（x）=",若關(guān)于無(wú)的方程

x2+4x+4?x<0

f2(x)-(2m+l)f(x)+m2=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則m=

e**x-x〉0

變式13.(2023?四川成都?高三石室中學(xué)?？?已知函數(shù)〃尤)=_一"，若關(guān)于龍的方程

產(chǎn)(x)=2研〃尤)-2］有8個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則整數(shù)機(jī)的值為.(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

變式14.(2023?江蘇揚(yáng)州?高三揚(yáng)州中學(xué)校考)已知函數(shù)/■(x)=gg2|x-1］,若關(guān)于x的方程

"(x)f+a-/(x)+b=0有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且最小實(shí)數(shù)解為-3,則a+b的值為.

川，若關(guān)于x的方程

變式15.(2023?山東棗莊?高三階段練習(xí))設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/(》)=

2r(x)-(2a+3)/(x)+3a=0有五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是.

4sinTLX0<xK1

{e'1一，若關(guān)于X的方

程(2-m)/(x)+l-力2=0恰有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)小的取值集合為.

【通性通解總結(jié)】

1、涉及幾個(gè)根的取值范圍問(wèn)題，需要構(gòu)造新的函數(shù)來(lái)確定取值范圍.

2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過(guò)參變分離減少運(yùn)算，但是前提就是函數(shù)的基本功要扎實(shí).

命題方向五：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

例13.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若不同兩點(diǎn)尸、。均在函數(shù)y=/(x)的圖象上，且點(diǎn)尸、。關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱(chēng)，則稱(chēng)(AQ)是函數(shù)y=的一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)’(點(diǎn)對(duì)(P,Q)與X=o視為同一個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì))已知

__Y〉C)

〃X)=e，’一恰有兩個(gè)“匹配點(diǎn)對(duì)”，則。的取值范圍是()

2ax2,x<0

例14.(2023?黑龍江哈爾濱?高一哈爾濱三中?？计谥?若函數(shù)>=/(%)圖象上存在不同的兩點(diǎn)A,3關(guān)于>

軸對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)［A司是函數(shù)>=/(%)的一對(duì)“黃金點(diǎn)對(duì)”(注：點(diǎn)對(duì)［A為與［此為可看作同一對(duì)“黃金點(diǎn)

3。x<0

對(duì)”).已知函數(shù)/(%)=-V+4x,0JW4,則此函數(shù)的“黃金點(diǎn)對(duì)”有()

x2-10%+24,x>4

A.0對(duì)B.1對(duì)C.2對(duì)D.3對(duì)

例15.（2023?山東德州?高一德州市第一中學(xué)校考期末）若函數(shù)"X）圖象上不同兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),

則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)是函數(shù)f（x）的一對(duì)“姊妹點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)與看作同一對(duì)“姊妹點(diǎn)對(duì)"），已知函數(shù)

ex—l,x<0

/(%)=則此函數(shù)的“姊妹點(diǎn)對(duì)”有（)

x2—2x,x>0

A.0對(duì)B.1對(duì)C.2對(duì)D.3對(duì)

變式17.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）若M,N為函數(shù)/（x）圖象上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，且N兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)

對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)點(diǎn)對(duì)（M,N）為函數(shù)FOO的一個(gè)“配合點(diǎn)對(duì)”（點(diǎn)對(duì)（M,N）與點(diǎn)對(duì)（N,M）為同一“配合點(diǎn)對(duì)”）.現(xiàn)

x~+2ex+zn-1,x,,0

給定函數(shù)/（x）=2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)Ax）的圖象上恰有兩個(gè)“配合點(diǎn)對(duì)”，

XH--e--,X＞0

.尤

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

A.nz.e+1B.m＜（e-l）2C.m,,e2D.m..e2+1

變式18.（2023?陜西西安?西安中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)“X）=/-辦為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

e

與g（x）="的圖象上存在關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.l,e+-B.

e

變式19.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)g（x）=a-x3&WxWe],e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）與/z（x）=31nx

的圖象上存在關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.1,-+3B.[1,/—3]C.—+3,e3—3D.[/—3,+co）

【通性通解總結(jié)】

轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問(wèn)題

命題方向六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型

例16.（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)/。）=01-丁田+湛11我（xeR,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，。＞0）存

在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

例17.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=xe*-a（x+lnx）（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）有兩個(gè)不同零點(diǎn),

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

例18.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=4elnx--匚+〃式存在4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)優(yōu)的取值范

x-dnx

圍是?

變式20.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃力=三—2或+虛—inx,記8⑺;勺，若函數(shù)g（x）至少存

在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.

命題方向七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題

例19.（2023?江西?校聯(lián)考二模）已知函數(shù)g（x）,網(wǎng)力分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

g（%）+h{x）=2023^+log2023（x+A/177）,若函數(shù)/（均=2023+"網(wǎng)一通漢一2023）-23有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)幾

的值為（）

A.-1或;B.一1或一二C.-1D.；

222

例20.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/'（x）=k+2|+eA2+e-2T+a有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”=（）

A.1B.-1C.2D.-2

例21.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)〃%）=廠(chǎng)彳+jT-a（siiu+cosx）有唯一零點(diǎn)，貝U”（）

<兀c4兀-LC

A.—B.—C.y/2,D.1

ee

變式21.（2023?四川瀘州?高三四川省瀘縣第四中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于尤的函數(shù)

/（%）=法2一次+,_1|+62+6—4有唯一零點(diǎn)x=a,貝?。輆+/?=（）

A.-1B.3C.-1或3D.4

變式22.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（幻=--2工+。（01+/加）+<：05（天-1）-1有唯一零點(diǎn)，貝此=

（）

A.1B.—C.—D.—

332

變式23.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)g（x）,Mx）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且

x

g(x)+h(x)=e+sinx-x,若函數(shù)/(尤)=3g2網(wǎng)一彳8(；1—2020)—2下有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)4的值為

B.1或二

A.-1或;C.一1或2D.-2或1

2

變式24.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃切=242-：4(21+227)一“2有唯一零點(diǎn)，則負(fù)實(shí)數(shù)〃=

1

A.-2B.C.—1D.—或—1

2

【通性通解總結(jié)】

利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：

U)利用零點(diǎn)存在性定理構(gòu)建不等式求解.

(2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解.

(3)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.

命題方向八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

\x-c,x>0,

例22.(2023?北京?高三專(zhuān)題練習(xí))設(shè)ceR,函數(shù)〃幻="。八若〃月恰有一個(gè)零點(diǎn)，貝|c的取值

[2-2c,x<0.

范圍是()

A.(0,1)B.{0}U[l,+8)

C.(0i)D.{0}U[g,+8)

2-x,x<0

例23.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃x)=1,g(x)=/(x)-x-a.若g(x)有2個(gè)零點(diǎn),

In—,x>0

則實(shí)數(shù)。的最小值是()

A.2B.0C.-1D.1

0,x<0

例24.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(無(wú))=.八，則使函數(shù)g(x)=/(x)+x-w有零點(diǎn)的實(shí)數(shù)機(jī)

[e",尤>0

的取值范圍是()

A.[0,1)B.(-*1)

C.(-02,0],(l,+oo)D.(f,l]U(2,y)

廿-3x+2|,xe(0,+8)

1V

變式25.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)〃尤)=?q,有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。

-ex+0]

的取值范圍是（）

A.a<QB.或Q>1C.Q<a<lD.或a>l

九2I無(wú)_2X<0

,‘一’一的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

（-1+Inx,x>0

A.3B.2C.1D.0

【通性通解總結(jié)】

已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖

象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

命題方向九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題

例25.（2023?河北滄州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)=+S-2）j+2-a有三個(gè)不同的零點(diǎn)

々，/，其中玉＜%＜三，貝.一々]的值為.

例26.（2023?江西宜春?高三江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=（a+2）e"-（a+l）xe工+/有三

個(gè)不同的零點(diǎn)為，%,%，且芯＜%＜三，貝,1一^][1一白][1一々]的值為

例27.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）己知函數(shù)，（%）=2（4+2）/-（4+1）祀*+尤2有三個(gè)不同的零點(diǎn)占,尤2，%,

且&＜0＜/＜￡，則（2—（2—91[2-烹）的值為.

變式27.（2023?河南信陽(yáng)?高三信陽(yáng)高中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)f{x）=x（x-ex）+（^x+me、（x-）有三個(gè)

零點(diǎn)七，巧，馬，且再＜0＜%＜尤③，其中機(jī)eR,e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則加一（宗一1：（^一1）（宗一“

的范圍為.

變式28.（2023?江蘇蘇州?高二江蘇省震澤中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)/W=（ax+ln尤）（x-lnx）--有四個(gè)

不同的零點(diǎn)％1，和叼％4，且四個(gè)零點(diǎn)全部大于1，則-生玉）（1-也*"）（1-電么）的值為

*^2*^3*^4

變式29.（2023?江蘇蘇州?高二常熟中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)/⑴=（ln尤）2+（4+〃）jdnx+（2a+8）f存在三個(gè)

零點(diǎn)4、巧、工3，且滿(mǎn)足陽(yáng)＜%2＜%3，則—^-+2^，+2+的值為_(kāi)_________.

x

IX]jyx2）\3）

【通性通解總結(jié)】

解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

命題方向十：等高線(xiàn)問(wèn)題

無(wú)2+4Y+2

例28.（2023?湖北武漢?高一期末）己知函數(shù)/（x）=}og@_,尤；；，若關(guān)于彳的方程“可,有四個(gè)不

X

同的實(shí)數(shù)解毛，巧，鼻，4＞且為＜尤3＜匕，則（退+%）（括一%）+2無(wú)3+；無(wú)4的最小值為（）

7Q?

A.-B.8C.-D.J

222

|log2(x+l)|,-l<x<3

例29.（2023?河南鄭州?高一新密市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（"=＜

-X2-5X+—,X>3

22

若關(guān)于X的方程f（X）=m有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解百，々,三，匕，且滿(mǎn)足見(jiàn)＜%＜尤3＜Z,則下列結(jié)論正確的是（）

A.Xtx2=-1B.毛工4目21,25]

111

C.x3+x4=22D.一+—=T

+x＜0

例30.（2023?江西上饒?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)〃x）=:,若方程/（x）=a有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)

Jog2Mx＞0

解為，巧，七，&且玉＜工2＜兀3〈工4，則刀工3（工1+%）的取值范圍是（）

%3%

A.（4,5）B.（4,5]C.（4,+oo）D.[4,+oo）

變式30.（2023?全國(guó)?高三校聯(lián)考專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=|x+L|+|a-x+—L|-6有五個(gè)不同的零點(diǎn)，且所

xa—x

有零點(diǎn)之和為3,則實(shí)數(shù)匕的值為（）

A.1B.3C.5D.7

【通性通解總結(jié)】

數(shù)形結(jié)合

命題方向H"一：二分法

例31.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))用二分法求函數(shù)〃x)=ln(x+l)+尤-1在區(qū)間［0,1］上的零點(diǎn)，要求精確度

為0.01時(shí)，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為()

A.6B.7C.8D.9

例32.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=ln(x+2)+2x-〃z(weR)的一個(gè)零點(diǎn)附近的函數(shù)值的參考數(shù)

據(jù)如下表：

X00.50.531250.56250.6250.751

於)-1.307-0.084-0.0090.0660.2150.5121.099

由二分法，方程ln(x+D+2x-根=。的近似解(精確度0.05)可能是()

A.0.625B.-0.009C.0.5625D.0.066

例33.(2023?陜西西安?西安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))某同學(xué)用二分法求函數(shù)/(x)=2'+3x-7的零點(diǎn)時(shí)，計(jì)算出

如下結(jié)果：/(1.5)=0.33,/(1.25)=-0.87,

/(1.375)=-0.26,/(1.4375)=0.02,/(1.4065)=-0.13,/(1.422)=-0.05,下列說(shuō)法正確的有()

A.1.4065是滿(mǎn)足精度為0.01的近似值.

B.1.375是滿(mǎn)足精度為0.1的近似值

C.1.4375是滿(mǎn)足精度為0.01的近似值

D.1.25是滿(mǎn)足精度為0.1的近似值

變式31.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))用二分法研究函數(shù)/(x)=V+2x-l的零點(diǎn)時(shí)，第一次計(jì)算，得“0)<0,

/(0.5)>0,第二次應(yīng)計(jì)算/&),則々等于()

A.1B.-IC.0.25D.0.75

變式32.(2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí))若函數(shù)在區(qū)間口，1.5］內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)附近函數(shù)值用二分

法逐次計(jì)算，列表如下：

X11.51.251.3751.3125

了（無(wú)）-10.875-0.29690.2246-0.05151

那么方程式_彳_1=0的一個(gè)近似根（精確度為0.1）可以為（）

A.1.3B.1.32C.1.4375D.1.25

變式33.（2023?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（尤）=苫--*的部分函數(shù)值如下表所示:

X10.50.750.6250.5625

fM0.6321-0.10650.27760.0897-0.007

那么函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)近似值（精確度為0.1）為（）

A.0.45B.0.57C.0.78D.0.89

【通性通解總結(jié)】

對(duì)于在區(qū)間［a,b］上連續(xù)不斷且<0的函數(shù)y=/（x）,通過(guò)不斷把函數(shù)/（%）的零點(diǎn)所在的區(qū)間

一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

1.（2023?江西萍鄉(xiāng)?統(tǒng)考二模）已知函數(shù)〃x）='無(wú)；0,則y=/（x）-（的所有零點(diǎn)之和為（）

|x+l|,x<02

A.B.C.2D.0

22

2.（2023?陜西西安?西安市第三十八中學(xué)?？家荒＃┖瘮?shù)/5）=1。82x-1。84（尤+20）的零點(diǎn)為（）

A.4B.4或5C.5D.T或5

34

fr丫2023、

3.（2023?四川德陽(yáng)?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)/（司=1+工-5+r事一亍++餐,xeR,則f（x）在R上的零點(diǎn)個(gè)

數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.2023

4.（2023?四川成都通都市第二十中學(xué)校?？家荒＃┮阎瘮?shù)/（元）=1中2_2耳，函數(shù)8（制=尸（司+/（力-1,

則函數(shù)g（元）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

5.（2023?湖南.模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)〃x）=（lnx）2-ln1在（0,8）內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍為（）

A.（T?,21n2）B.S，O）|J（O,21n2）C.（ro,31n2）D.（ro,0）_（0,31n2）

］2,叫x<2

6.（2023?四川瀘州?統(tǒng)考一模）已知函數(shù)〃x）=心，若方程/（X）-a=0恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

一,x22

則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,2)C.(0,3)D.(1,3)

2

7.(2023?吉林長(zhǎng)春?長(zhǎng)春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级?函數(shù)y=lnx—-的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是()

x

A.(-,1)B.(1,2)

e

C.(2,e)D.(e,+oo)

8.(2023?四川巴中?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足〃x+l)=2〃尤)，當(dāng)x?0,l]時(shí)，

=若對(duì)任意xe(T?,m],都有/(x)2-咚，則機(jī)的取值范圍是()

B.

D.(一吟

二、多選題

9.(2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點(diǎn)的是()

A.y=cosxB.y=^+sinxC.J=ln|x|D.y=x2+l

10.(2023?吉林長(zhǎng)春?長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè))關(guān)于函數(shù)〃x)=|ln|2-x||,下列描述正確的有

()

A.Ax)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增B.>=/(尤)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x=2對(duì)稱(chēng)

C.若占#々，/(匕)=/(々)，則4+巧=4D.f(x)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)

11.(2023?福建福州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽J(x-1)為奇函數(shù)，/(x+1)為偶函數(shù)，當(dāng)

xe(-L,l)時(shí)，/(x)=-x2+l,則下列結(jié)論正確的是()

A.f=—|B./(x+7)為奇函數(shù)

C.〃尤)在(6,8)上為減函數(shù)D.方程〃力+班=。僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解

12.(2023?全國(guó)?深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(力=3卜1+2,對(duì)于任意的。，b,ceR,關(guān)于x的

方程a[y(x)了+紗(x)+c=0的解集可能的是()

A.{0,4}B.{0,2}C.{1,2,3}D.{-1,0,2,3}

三、填空題

13.(2023?河南南陽(yáng)?南陽(yáng)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(x)=2(a+2)e"-(4+1)超+/有三個(gè)不同的零點(diǎn)

Xt,x2,x3,且當(dāng)<0<苫2<%，貝[2—2j[2—飛][2—的值為.

14.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）已知〃x）=^/^的反函數(shù)y=尸（x）的零點(diǎn)為2,則實(shí)數(shù)。的值為

15.（2023?安徽合肥?合肥市第八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知定義在（0,+8）上的函數(shù)/（x）滿(mǎn)足：

fxlnx,0<x<l.1、

〃X）=，，若方程“zX=依-;在（0,2］上恰有三個(gè)根，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是，

16.（2023?四川樂(lè)山?統(tǒng)考一模）函數(shù)/（對(duì)=向-1-cos口卜1,3］上所有零點(diǎn)之和為.

專(zhuān)題12函數(shù)與方程

【命題方向目錄】

命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

命題方向二：利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)的取值范圍

命題方向三：方程根的個(gè)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)的存在性問(wèn)題

命題方向四：嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

命題方向五：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

命題方向六：函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題之分段分析法模型

命題方向七：唯一零點(diǎn)求值問(wèn)題

命題方向八：分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題

命題方向九：零點(diǎn)嵌套問(wèn)題

命題方向十：等高線(xiàn)問(wèn)題

命題方向十一：二分法

［2024年高考預(yù)測(cè)】

2024年高考仍將方程解得個(gè)數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)、不等式整數(shù)解的問(wèn)題、不等式恒成立

與能成立為載體考查函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化與化歸思想.

【知識(shí)點(diǎn)總結(jié)】

1、函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念

對(duì)于一般函數(shù)y=/(%),我們把使/(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程/(x)=0有實(shí)數(shù)解=函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn)o函數(shù)y=的圖象與x軸有公共點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=在區(qū)間伍，切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，且有

那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在ce(“,6),使得〃c)=0,這

個(gè)c也就是方程/(力=0的解.

2、二分法

(1)對(duì)于在區(qū)間［a,6］上連續(xù)不斷且/(a)/S)<0的函數(shù)y=/(x),通過(guò)不斷把函數(shù)

/（尤）的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值

的方法叫做二分法.

（2）對(duì)于給定精確度￡,利用二分法求函數(shù)/（尤）零點(diǎn)近似值的步驟如下：

①確定區(qū)間[a,6],驗(yàn)證/1（a）/（6）<0,給定精確度￡;

②求區(qū)間（“，3的中點(diǎn)c;

③計(jì)算/（c）;

a.若/（c）=0,則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；

b.若/（a）/（c）<0,則令6=c（此時(shí)零點(diǎn)與e（a,c））；

c.若_/W（c）<0,則令a=c（此時(shí)零點(diǎn)je（c,6））.

④判斷是否達(dá)到精確度￡,即：若|。-同<￡,則得到零點(diǎn)近似值a（或b）；否則重復(fù)

②③④.

【方法技巧與總結(jié)】

1、若連續(xù)不斷的函數(shù)/（X）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則/（X）至多有一個(gè)零點(diǎn).

2、連續(xù)不斷的函數(shù)/（無(wú)），其相鄰的兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值同號(hào).

3、連續(xù)不斷的函數(shù)/（尤）通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值不一定變號(hào).

4、連續(xù)不斷的函數(shù)/（元）在閉區(qū)間團(tuán)，切上有零點(diǎn)，不一定能推出了（。"（6）<0.

【典例例題】

命題方向一：求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)所在區(qū)間

l,x>0

例1.（2023?新疆烏魯木齊?統(tǒng)考三模）定義符號(hào)函數(shù)sgnx=<O,x=O,則方程Ysgn^=5x-6

-1,x<0

的解是（）

A.2或一6B.3或一6C.2或3D.2或3或一6

【答案】D

【解析】依題意，當(dāng)％>0時(shí)，方程x2sgnx=5x—6為：x2=5x-6,解得％=2或x=3,因止匕

%=2或％=3,

當(dāng)％=0時(shí)，方程x2sgm:=5x-6為：0=5x-6,解得x=|",于是無(wú)解，

當(dāng)％v0時(shí)，方程x2sgiix=5x-6為：一%2=5%—6,解得x=-6或％=1,因止匕x=-6,

所以方程x2sgnx=5x—6的解是九=2或x=3或x=-6.

故選：D

例2.（2023?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）函數(shù)〃x）=x-1的零點(diǎn)是（）

A.12B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】令〃X）=X—1=0,貝壯=1

故選：C.

例3.（2。23?全國(guó)?高三專(zhuān)題練習(xí)）已知％是函數(shù)f（x）=2，占的一個(gè)零點(diǎn)’若

方41,與）,馬€伉+00）,則（）

A./(網(wǎng))<0,/(x2)<0B./(為)<0,/(x2)>0

C./(^)>0,/(%2)<0D.”占)>0,/(%2)>0

【答案】B

【解析】因?yàn)椋ナ呛瘮?shù)/（》）=2'+3的一個(gè)零點(diǎn)，則不是函數(shù)y=2”與y=工的交點(diǎn)的

1-xx-\

橫坐標(biāo)，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示，

則當(dāng)％時(shí)，＞=2＜在了=＜下方，即〃為）＜0；

當(dāng)馬時(shí)，