2025屆吉林省長春市九臺(tái)區(qū)第四中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題含解析

2025屆吉林省長春市九臺(tái)區(qū)第四中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末監(jiān)測試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則2．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.3．圓與直線的位置關(guān)系是（）A.相交 B.相切C.相離 D.不能確定4．下列命題是真命題的個(gè)數(shù)為（）①不等式的解集為②不等式的解集為R③設(shè)，則④命題“若，則或”為真命題A1 B.2C.3 D.45．三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，則圓錐曲線的離心率為（）A. B.C.或 D.或6．橢圓＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為F，過原點(diǎn)O作直線（不經(jīng)過焦點(diǎn)F）與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF的面積是20，則直線AB的斜率為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個(gè)充分條件是（）A. B.C. D.9．過點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為（）A. B.C.或 D.或10．已知，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，分別是直線，的方向向量，則直線，所成的角的余弦值是B.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是C.若，分別是平面，的法向量，則平面，所成的角的余弦值是D.若，分別是直線l的方向向量與平面的法向量，則直線l與平面所成的角的正弦值是11．已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的極值情況為（）A.2個(gè)極大值，1個(gè)極小值 B.1個(gè)極大值，1個(gè)極小值C.1個(gè)極大值，2個(gè)極小值 D.1個(gè)極大值，無極小值12．如圖，樣本和分別取自兩個(gè)不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標(biāo)準(zhǔn)差分別為和，則（）AB.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則________；數(shù)列的通項(xiàng)公式________14．過圓內(nèi)的點(diǎn)作一條直線，使它被該圓截得的線段最短，則直線的方程是______15．如圖，將一個(gè)正方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截出一個(gè)棱錐，若該棱錐的體積為，則該正方體的邊長為___________.16．盒子中放有大小和質(zhì)地相同的2個(gè)白球、1個(gè)黑球，從中隨機(jī)摸取2個(gè)球，恰好都是白球的概率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：函數(shù)有零點(diǎn)；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時(shí)的燃料費(fèi)與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當(dāng)時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？（3）當(dāng)（x為大于8的常數(shù)）時(shí)，為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？20．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足：，，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3）若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的左，右焦點(diǎn)分別為F1（﹣，0），F(xiàn)2（，0），且橢圓C過點(diǎn)（﹣）.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求直線l的方程.22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為滿足（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)線線，線面，面面位置關(guān)系的判定方法即可逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯(cuò)誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯(cuò)誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.2、A【解析】根據(jù)原函數(shù)圖象判斷出函數(shù)單調(diào)性，由此判斷導(dǎo)函數(shù)的圖象.【詳解】原函數(shù)在上從左向右有增、減、增，個(gè)單調(diào)區(qū)間；在上遞減.所以導(dǎo)函數(shù)在上從左向右應(yīng)為：正、負(fù)、正；在上應(yīng)為負(fù).所以A選項(xiàng)符合.故選：A3、B【解析】用圓心到直線的距離與半徑的大小判斷【詳解】解：圓的圓心到直線的距離，等于圓的半徑，所以圓與直線相切，故選：B4、B【解析】舉反例判斷A，解一元二次不等式確定B，由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求導(dǎo)判斷C，利用逆否命題判斷D【詳解】顯然不是的解，A錯(cuò)；，B正確；，，C錯(cuò)；命題“若，則或”的逆否命題是：若且，則，是真命題，原命題也是真命題，D正確真命題個(gè)數(shù)2.故選：B5、D【解析】根據(jù)三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，解得，然后分，討論求解.【詳解】因?yàn)槿齻€(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以，解得，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，所以，所以，當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，所以，所以，故選：D6、A【解析】分情況討論當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，可求面積，檢驗(yàn)是否滿足條件，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線AB的方程y＝kx，聯(lián)立橢圓方程，可求△ABF2的面積為S＝2代入可求k【詳解】由橢圓＝1，則焦點(diǎn)分別為F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，不妨取F(5,0)①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x＝0，此時(shí)AB＝4，＝AB?5＝×5＝10，不符合題意；②可設(shè)直線AB的方程y＝kx，由，可得(4+9k2)x2＝180，∴xA＝6，yA＝，∴△ABF2的面積為S＝2＝2××5×＝20，∴k＝±故選：A7、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C8、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進(jìn)行和兩項(xiàng)關(guān)系的比較，從而確定和的大小關(guān)系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為，.故選：D.9、C【解析】設(shè)切線的方程為，然后利用圓心到直線的距離等于半徑建立方程求解即可.【詳解】圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為1，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，即直線的方程為，不與圓相切，當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即所以，解得或所以切線的方程為或故選：C10、D【解析】利用空間角的意義結(jié)合空間向量求空間角的方法逐一分析各選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A，因分別是直線的方向向量，且，直線所成的角為，則，A正確；對(duì)于B，D，因分別是直線l的方向向量與平面的法向量，且，直線l與平面所成的角為，則有，B正確，D錯(cuò)誤；對(duì)于C，因分別是平面的法向量，且，平面所成的角為，則不大于，，C正確.故選：D11、B【解析】根據(jù)圖象判斷的正負(fù)，再根據(jù)極值的定義分析判斷即可【詳解】由，得，令，由圖可知的三個(gè)根即為與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以為的極大值點(diǎn)，為的極大值，當(dāng)時(shí)，，即，所以為的極小值點(diǎn)，為的極小值，故選：B12、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動(dòng)大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】當(dāng)時(shí)，，推導(dǎo)出，從而數(shù)列是從第二項(xiàng)起，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而能求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求得答案.【詳解】為數(shù)列的前項(xiàng)和，①時(shí)，②①②，得：，，，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.故答案為：；.14、【解析】由已知得圓的圓心為，所以當(dāng)直線時(shí)，被該圓截得的線段最短，可求得直線的方程.【詳解】解：由得，所以圓的圓心為，所以當(dāng)直線時(shí)，被該圓截得的線段最短，所以，解得，所以直線l的方程為，即，故答案為：.15、2【解析】根據(jù)體積公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)正方體邊長為，則，解得.故答案為：16、【解析】根據(jù)題意得到，計(jì)算得到答案.【詳解】根據(jù)題意：.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求p為真時(shí)a的取值范圍，根據(jù)的性質(zhì)判斷與有交點(diǎn)求q為真時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而求p，q均為真時(shí)a的取值范圍.（2）根據(jù)復(fù)合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】若p為真，，解得或，所以若q為真，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以，故，所以若p，q均為真命題，a的取值范圍為【小問2詳解】由題設(shè)，易知：p，q兩命題一真一假當(dāng)p真q假時(shí)，p為真，則或，q為假，則或，此時(shí)a的取值范圍為；當(dāng)p假q真時(shí)，p為假，則，q為真，則，此時(shí)a的取值范圍為綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫，作差即可得到的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列加上一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項(xiàng)和【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，化簡得，∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】由（1）得，∴，∴，∴19、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元即可求解;（2）列出燃料費(fèi)的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問1詳解】設(shè)每小時(shí)的燃料費(fèi)為，則當(dāng)v＝12km/h，每小時(shí)的燃料費(fèi)為720元，代入得.【小問2詳解】由（1）得.設(shè)全程燃料費(fèi)為y，則（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值，故為了使全程燃料費(fèi)最省，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為8km/h【小問3詳解】由（2）得，若時(shí)，則y在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)v＝x時(shí)，y取得最小值；若時(shí)，則y區(qū)間（8，16）上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)v＝16時(shí)，y取得最小值；綜上，當(dāng)時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度為8km/h，全程燃料費(fèi)最??；當(dāng)時(shí)，船的實(shí)際前進(jìn)速度應(yīng)為（x－8）km/h，全程燃料費(fèi)最省20、（1），；（2）；（3）.【解析】(1)由可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得，由得數(shù)列是等差數(shù)列，即可求得.(2)由(1)可得，再利用錯(cuò)位相減法求和即得.(3)將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，構(gòu)造數(shù)列并判斷其單調(diào)性，即可求解作答.【小問1詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，當(dāng)時(shí)，，則，而當(dāng)時(shí)，，即得，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則，數(shù)列中，，，則數(shù)列是等差數(shù)列，而，，即有公差，則，所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別是：，.【小問2詳解】由(1)知，，則，則有，兩式相減得：，從而得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.【小問3詳解】由(1)知，，依題意得對(duì)任意恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，為單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)，，為單調(diào)遞增數(shù)列，顯然有，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，即最大值是，因此，，所以實(shí)數(shù)k取值范圍是.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解21、（1）（2）或.【解析】（1）設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程代入點(diǎn)的坐標(biāo)，解方程組得解.（2）設(shè)直線方程代入橢圓方程消元，韋達(dá)定理整體思想，可得直線斜率得解.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓C的焦點(diǎn)為，可設(shè)橢圓C的方程為，又點(diǎn)在橢圓C上，所以，解得，因此，橢圓C的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所以，①?lián)立方程，消去得，則，代入①，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)直線與橢圓相交，所以直線l的方程是或