湖南省G10教育聯(lián)盟2025屆高一數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題含解析

湖南省G10教育聯(lián)盟2025屆高一數(shù)學第一學期期末檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．正割及余割這兩個概念是由伊朗數(shù)學家阿布爾威發(fā)首先引入的．定義正割，余割．已知為正實數(shù)，且對任意的實數(shù)均成立，則的最小值為（）A. B.C. D.2．下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A. B.C D.3．學校為了調(diào)查學生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的同學有30人，則的值為A.300 B.200C.150 D.1004．已知角的終邊與單位圓相交于點，則=（）A. B.C. D.5．將函數(shù)y＝cosx＋sinx(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是（）A. B.C. D.6．已知角的頂點在原點，始邊與軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B.C. D.7．已知，都是正數(shù)，則下列命題為真命題的是（）A.如果積等于定值，那么當時，和有最大值B.如果和等于定值，那么當時，積有最小值C.如果積等于定值，那么當時，和有最小值D.如果和等于定值，那么當時，積有最大值8．已知a，b，，那么下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，且，則 D.若，且，則9．已知扇形的圓心角為，半徑為10，則扇形的弧長為（）A. B.1C.2 D.410．下列關于集合的關系式正確的是A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)，則下列說法正確的有________.①的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到②在上單調(diào)遞增③在內(nèi)有2個零點④在上的最大值為12．對于定義在區(qū)間上的兩個函數(shù)和，如果對任意的，均有不等式成立，則稱函數(shù)與在上是“友好”的，否則稱為“不友好”的（1）若，，則與在區(qū)間上是否“友好”；（2）現(xiàn)在有兩個函數(shù)與，給定區(qū)間①若與在區(qū)間上都有意義，求的取值范圍；②討論函數(shù)與與在區(qū)間上是否“友好”13．用半徑為的半圓形紙片卷成一個圓錐，則這個圓錐的高為__________14．設，則________15．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是________.16．已知函數(shù).（1）當函數(shù)取得最大值時，求自變量x的集合；（2）完成下表，并在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)在的圖象.x0y三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（為常數(shù)）是奇函數(shù).（1）求的值與函數(shù)的定義域.（2）若當時，恒成立.求實數(shù)的取值范圍.18．“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚技術具有養(yǎng)殖密度高、經(jīng)濟效益好的特點，研究表明：“活水圍網(wǎng)”養(yǎng)魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度（單位：千克/年）是養(yǎng)殖密度（單位：尾/立方米）的函數(shù).當不超過4尾/立方米時，的值為2千克/年：當時，是的一次函數(shù)，當達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，的值為0千克/年.（1）當時，求關于的函數(shù)解析式；（2）當養(yǎng)殖密度為多大時，魚的年生長量（單位：千克/立方米）可以達到最大？并求出最大值.19．已知函數(shù)，當點在的圖像上移動時，點在函數(shù)的圖像上移動，（1）若點的坐標為，點也在圖像上，求的值（2）求函數(shù)的解析式（3）當，令，求在上的最值20．設為定義在R上的偶函數(shù)，當時，；當時，，直線與拋物線的一個交點為，如圖所示.（1）補全的圖像，寫出的遞增區(qū)間（不需要證明）；（2）根據(jù)圖象寫出不等式的解集21．已知.（1）若，，求x的值；（2）若，求的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】由參變量分離法可得出，利用基本不等式可求得取值范圍，即可得解.【詳解】由已知可得，可得，因為，則，因為，當且僅當時，等號成立，故.故選：D.2、A【解析】求得每個選項中函數(shù)的定義域，結合對應關系是否相等，即可容易判斷.【詳解】對于A：，，定義域均為，兩個函數(shù)的定義域和對應關系都相同，表示同一函數(shù)；對于B：的定義域為R，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于：的定義域為，的定義域為，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù)；對于D：的定義域為，的定義域為或，兩個函數(shù)的定義域不同，不是同一函數(shù).故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)相等的判斷，屬簡單題；注意函數(shù)定義域的求解.3、D【解析】根據(jù)頻率分布直方圖的面積和1,可得的頻率為P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.選D.4、C【解析】先利用三角函數(shù)的定義求角的正、余弦，再利用二倍角公式計算即可.【詳解】角的終邊與單位圓相交于點，故，所以，故.故選：C.5、A【解析】由題意結合輔助角公式可得，進而可得g(x)＝2sin，由三角函數(shù)的性質(zhì)可得，化簡即可得解.【詳解】設f(x)＝cosx＋sinx＝2sin，向左平移m個單位長度得g(x)＝2sin，∵g(x)的圖象關于y軸對稱，∴，∴m＝,由m>0可得m的最小值為.故選：A.【點睛】本題考查了輔助角公式及三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的應用，考查了運算求解能力，屬于基礎題.6、D【解析】先利用三角函數(shù)的恒等變換確定點P的坐標，再根據(jù)三角函數(shù)的定義求得答案.【詳解】,,即，則，故選：D.7、D【解析】根據(jù)基本不等式計算求出和的最小值與積的最大值，進而依次判斷選項即可.【詳解】由題意知，，A：，則，當且僅當時取到等號，所以有最小值，故A錯誤；B：，則，當且僅當時取到等號，所以有最大值，故B錯誤；C：，則，當且僅當時取到等號，所以有最小值，故C錯誤；D：，則，有，當且僅當時取到等號，所以有最大值，故D正確；故選：D8、A【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷【詳解】若，顯然有，所以，A正確；若，當時，，B錯；若，則，當時，，，C錯；若，且，也滿足已知，此時，D錯；故選：A9、D【解析】由扇形的弧長公式運算可得解.【詳解】解：因為扇形的圓心角為，半徑為10，所以由弧長公式得：扇形的弧長為故選：D10、A【解析】因為{0}是含有一個元素的集合，所以{0}≠，故B不正確；元素與集合間不能劃等號，故C不正確；顯然相等，故D不正確.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②③【解析】化簡函數(shù)，結合三角函數(shù)的圖象變換，可判定①不正確；根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)的方法，可判定②正確；令，求得，可判定③正確；由，得到，結合三角函數(shù)的性質(zhì)，可判定④正確.【詳解】由函數(shù)，對于①中，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到，所以①不正確；對于②中，令，解得，當時，可得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以②正確；對于③中，令，可得，解得，當時，可得；當時，可得，所以內(nèi)有2個零點，所以③正確；對于④中，由，可得，當時，即時，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以④不正確.故答案為：②③.12、（1）是；（2）①；②見解析【解析】（1）按照定義，只需判斷在區(qū)間上是否恒成立；（2）①由題意解不等式組即可；②假設存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，即，即，只需求出函數(shù)在區(qū)間上的最值，解不等式組即可.【詳解】（1）由已知，，因為時，，所以恒成立，故與在區(qū)間上是“友好”的.（2）①與在區(qū)間上都有意義，則必須滿足，解得，又且，所以的取值范圍為.②假設存在實數(shù)，使得與與在區(qū)間上是“友好”的，則，即，因為，則，，所以在的右側(cè)，又復合函數(shù)的單調(diào)性可得在區(qū)間上為減函數(shù)，從而，，所以，解得，所以當時，與與在區(qū)間上是“友好”的；當時，與與在區(qū)間上是“不友好”的.【點睛】本題考查函數(shù)的新定義問題，主要涉及到不等式恒成立的問題，考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)學運算求解能力，是一道有一定難度的題.13、【解析】根據(jù)圓錐的底面周長等于半圓形紙片的弧長建立等式,再根據(jù)半圓形紙片的半徑為圓錐的母線長求解即可.【詳解】由題得,半圓形紙片弧長為,設圓錐的底面半徑為,則,故圓錐的高為.故答案為：【點睛】本題主要考查了圓錐展開圖中的運算,重點是根據(jù)圓錐底面的周長等于展開后扇形的弧長,屬于基礎題.14、【解析】根據(jù)自變量取值判斷使用哪一段解析式求解，分別代入求解即可【詳解】解：因為，所以，所以故答案為：115、【解析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式得出函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個零點，然后根據(jù)在區(qū)間上有兩個零點得出，最后根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點解得，即可得出結果.【詳解】當時，令，得，即，該方程至多兩個根；當時，令，得，該方程至多兩個根，因為函數(shù)恰有4個不同的零點，所以函數(shù)在區(qū)間和上均有兩個零點，函數(shù)在區(qū)間上有兩個零點，即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個交點，當時，；當時，，此時函數(shù)的值域為，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個零點，令，解得，，則，解得，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)零點數(shù)目求參數(shù)的取值范圍，可將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點數(shù)目進行求解，考查函數(shù)最值的應用，考查推理能力與計算能力，考查分類討論思想，是難題.16、（1）（2）答案見解析【解析】(1)由三角恒等變換求出解析式，再求得最大值時的x的集合,(2)由五點法作圖,列出表格,并畫圖即可.【小問1詳解】令，函數(shù)取得最大值，解得，所以此時x的集合為.【小問2詳解】表格如下：x0y11作圖如下，三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），定義域為或；（2）.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，得到，求出，再解不等式，即可求出定義域；（2）先由題意，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出的最小值，即可得出結果.【詳解】（1）因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以，即，所以，令，解得或，所以函數(shù)的定義域為或；（2），當時，所以，所以.因為，恒成立，所以，所以的取值范圍是.【點睛】本題主要考查由函數(shù)奇偶性求參數(shù)，考查求具體函數(shù)的定義域，考查含對數(shù)不等式，屬于?？碱}型.18、（1）；（2）當養(yǎng)殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大為千克/立方米.【解析】（1）由題意：當時，．當時，設，在，是減函數(shù)，由已知得，能求出函數(shù)（2）依題意并由（1），，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)求出各段的最大值，再取兩者中較大的即可，由此能求出結果【詳解】解：（1）由題意：當時，當時，設，顯然在，減函數(shù)，由已知得，解得，，故函數(shù)（2）依題意并由（1）得，當時，為增函數(shù)，且當時，，所以，當時，的最大值為12.5當養(yǎng)殖密度為10尾立方米時，魚年生長量可以達到最大，最大值約為12.5千克立方米【點睛】(1)很多實際問題中，變量間關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數(shù)模型.(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值19、（1）；（2）；(3)見解析【解析】（1）首先可通過點坐標得出點的坐標，然后通過點也在圖像上即可得出的值；（2）首先可以設出點的坐標為，然后得到與、與的關系，最后通過在的圖像上以及與、與的關系即可得到函數(shù)的解析式；（3）首先可通過三個函數(shù)的解析式得出函數(shù)的解析式，再通過函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可計算出函數(shù)的最值【詳解】（1）當點的坐標為，點的坐標為，因為點也在圖像上，所以，即；（2）設函數(shù)上，則有，即，而在的圖像上，所以，代入得；（3）因為、、，所以，，令函數(shù)，因為當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)單調(diào)遞增，，，綜上所述，最小值為，最大值為【點睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的相關性質(zhì)，考查了對數(shù)的運算、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及最值，考查函數(shù)方程思想以及化歸與轉(zhuǎn)化思想，體現(xiàn)了基礎性與綜合性，提高了學生的邏輯推理能力20、（1）圖像見解析，單調(diào)增區(qū)間，（2）【解析】（1）由偶函數(shù)的圖象關于軸對稱可補全