2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：空間角的計(jì)算

6.3.3空間角的計(jì)算

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.會用向量法求線線角、線面角、二面角2能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、

線面角的關(guān)系3能正確區(qū)分平面法向量所成的角與二面角的平面角的關(guān)系.

【導(dǎo)語】

地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道平面稱為“黃道面”，黃道面與地球赤道面交角（二面角的平面角）為

23。26'.黃道面與地球相交的大圓為“黃道”.黃道及其附近的南北寬9。以內(nèi)的區(qū)域稱為黃

道帶，太陽及大多數(shù)行星在天球上的位置常在黃道帶內(nèi).黃道帶內(nèi)有十二個星座，稱為“黃

道十二宮”.從春分（節(jié)氣）點(diǎn)起，每30。便是一宮，并冠以星座名，如白羊座、獅子座、雙子

座等等，這便是星座的由來.

春至日（3月21日前后）

（6月22日前后）

冬至日

（12月22H前后）

哈日（9月23日前后）

過匕極星

一、兩條異面直線所成的角

佚口識梳理】

⑴設(shè)兩條異面直線所成的角為0,它們的方向向量為a,b,則cos0=|cos〈a,方〉尸蹩

（2）兩條異面直線所成角的范圍是I'2」.

注意點(diǎn)：

f0E

兩條異面直線所成角的范圍是〔’2」，兩條異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或

互補(bǔ)的關(guān)系.

例1如圖所示，在三棱柱/8C—481cl中，底面/8C,AB=BC=AA\,ZABC=90°,

點(diǎn)￡,尸分別是棱的中點(diǎn)，試求直線昉和3G所成的角.

B

解分別以直線24,BC,BBi為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

,0,

設(shè)/2=1,貝I2(0,0,0),

/8a3,*0,1,1),

所以礪」—5'0,2),

比1=(0,1,1).

--1

于是cos(BC1,EF)=B：f=1—=1,

g|即迫x/2

所以直線即和BCi所成角的大小為60°.

反思感悟運(yùn)用向量法常有兩種途徑

(1)基底法：在一些不適合建立坐標(biāo)系的題型中，經(jīng)常采用取定基底的方法，在由公式cos〈a,

b)=""求向量a,8的夾角時，關(guān)鍵是求出“山及同與步一般是把a(bǔ),8用基向量表示出

同向

來，再求有關(guān)的量.

(2)坐標(biāo)法：根據(jù)題目條件建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法求

線線角，避免了傳統(tǒng)找角或作角的步驟，使過程變得簡單.

跟蹤訓(xùn)練1已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形且側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是的的

中點(diǎn)，則SO所成的角的余弦值為()

也貴

A.-B.C.D

333t

答案C

解連接NC,8。交于點(diǎn)。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以08,OC,OS所在直線為x軸，y

軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)四棱錐S—N5co的棱長為/，則N(0,-1,0),

5(1,0,0),5(0,0,1),￡>(-1,0,0),點(diǎn)的坐標(biāo)為

蕉1=(?L力，50=(-1,0,-1),

一一成前-1電

cos〈AE,SD)==°二=—,

通的偵3

故異面直線/￡,SD所成角的余弦值為g.

二、直線與平面所成的角

問題直線的方向向量與平面的法向量所成的角是否是直線與平面所成的角？

提示不是.

【知識梳理】

設(shè)直線AB與平面Q所成的角為仇

A

g/fn

/azBijCy/

直線45的方向向量為e,平面a的法向量為小則sin6=|cos〈e,n)|=也川.

同同

注意點(diǎn)：

⑴直線與平面所成的角，可以轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.

(2)線面角的范圍為“，

(3)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角.

例2如圖所示，在三棱錐尸一/8C中，B4_L平面NBC,ABLAC,PA=AC=~AB,N為AB

2

上一點(diǎn)，AB=4AN,M,S分別為尸2,3c的中點(diǎn).

(1)證明：CMLSN-,

⑵求SN與平面CW所成角的大小.

⑴證明設(shè)刃=1,以N為原點(diǎn)，射線N5,AC,/尸分別為x軸，f軸，z軸正方向建立空

間直角坐標(biāo)系(如圖).

則尸(0,0,1),C(0,l,0),5(2,0,0),

又AN=UB,M,S分別為PB,3c的中點(diǎn),

4

.??出0‘01m°,3人?q,

CM=

所前1f034°]=0,

ACM.LSN,：.CMLSN.

⑵解由⑴知，成;」一a,1,°],

一口，-1，。〕

SN=l22J,

設(shè)〃=(x,J,z)為平面CA/N的一個法向量,

CMa=0,NC〃=0.

,1

%—j+-z=0A,

hc=2y,

則1,

—^>c+y=OA.-2y.

取y=l,得@=(2,1,—2).

設(shè)SN與平面CMN所成的角為仇

一\a-SN\I2lS

Vsin6?=|cos〈4,SN〉1==1T=—

同的3d2

"N與平面CW所成角的大小為:.

反思感悟若直線/與平面a的夾角為仇利用法向量計(jì)算。的步驟如下:

跟蹤訓(xùn)練2如圖，在直三棱柱48C—N山Ci中，AB=AC=AAi=2,ZBAC=90°,E,尸依

次為GC,的中點(diǎn).求48與平面所成角的正弦值.

解以N為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則4(0,0,0),4(0,0,2),5(2,0,0),￡(0,2,1),尸(1,1,0),

所以府=(2,0,-2),

崩=(0,2,1),崩=(1,1,0).

設(shè)平面AEF的一個法向量為

〃=(q,b,C)9

nAE=0,

由.f

nAF=0,

[2b+c=09

得.

a+b=0,

令。=1可得〃=(1,-1,2).

設(shè)與平面/斯所成的角為仇

所以sind=|cos(n,A]B)尸

|?||ZS|6

即48與平面N￡F所成角的正弦值為也.

6

三、二面角

【知識梳理】

將二面角轉(zhuǎn)化為二面角的兩個面的法向量的夾角，如圖，向量m_La,"2_L￡,則二面角a一/

一￡的大小為〈"1,“2〉或兀一〈"1,"2〉，若二面角a—/一/的大小為O(OWOWTI),貝！J|COS例=!"：叫.

注意點(diǎn)：

(1)求二面角問題轉(zhuǎn)化為兩個平面法向量的夾角問題.

(2)二面角的范圍是［0,兀］.

例3如圖，四棱柱的所有棱長都相等，ACDBD=O,AiCiHBiDi=Oi,

四邊形ACCiAi和四邊形BDDiBi均為矩形.

(1)證明：OiO_L平面/BCD；

(2)若NC8/=60。，求二面角G—O81一。的余弦值.

⑴證明因?yàn)樗倪呅?CCM1和四邊形均為矩形，所以CC1_L4C,DDiLBD,

又CCi〃DDi〃OOi,所以O(shè)Oi_L4C,OOi±BD,

因?yàn)?CAAD=。，AC,ADU平面4BCD,

所以O(shè)iO_L平面/BCD

(2)解因?yàn)樗睦庵乃欣忾L都相等，所以四邊形/2C。為菱形，ACLBD,又。1。,平面

ABCD,所以03,OC,。。1兩兩垂直.

如圖，以。為原點(diǎn)，OB,OC,05所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)棱長為2,因?yàn)镹CA4=60。，所以05=3,OC=1,

所以0(0,0,0),B花,0,2),C1(O,1,2),

平面BDDiBi的一個法向量為“=(0,1,0),

設(shè)平面0C151的法向量為膽=(x,y,z),

由桃_LO5i,m.LOC\,得3%+2z=0,y+2z=0,

取z=一3，則x=2,j=2^3,所以膽=(2,2^3,—3),

所以cos(m,n)

Mil川V1919.

因?yàn)槎娼荂i—。囪一。為銳二面角，

所以二面角CT—OBI—D的余弦值為“歷.

19

反思感悟利用向量法求二面角的步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量.

(3)求兩個法向量的夾角.

(4)判斷所求二面角的平面角是銳角還是鈍角.

(5)確定二面角的大小.

跟蹤訓(xùn)練3如圖，在四棱錐尸一/3。中，AB//CD,且尸=90。.

(1)證明：平面刃3_L平面出D；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°,求二面角N一尸3—C的余弦值.

(1)證明由已知/B/P=/CDP=90°,

ABLAP,CDLPD.因?yàn)锳B〃CD,所以

又APCPD=P,AP,PDU平面EID,

所以N5_L平面為D

因?yàn)?BU平面243,所以平面B1B_L平面F4D

(2)解在平面為。內(nèi)作PF±AD,垂足為點(diǎn)F.

由(1)可知，4B_L平面EID,PFU平面B4D,

故ABLPF,

又4DC4B=4,AD,A8U平面N3CD,

可得尸尸，平面/BCD

以尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，蕩的方向?yàn)閤軸正方向,

|而|為單位長度建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F—xyz.

由⑴及已知可得總°,°,Fl晝L。),

；1，0

,所以尸c=

佻0

CB=(^2,0,0),PA=V2''2J,壽=(0,1,0).

設(shè)九=(%1,y\,zi)是平面尸C5的一個法向量,

72.72_八

n-PC=0,x\-ry\-----zi=0,

則，一即,22

nd=0,一.

所以可取〃=(0,—1,一啦).

設(shè)桃=(X2,y2,Z2)是平面的一個法向量,

7272_八

mPA=0,X2Z2—0,

則，_即,22

mAB=0,

所以可取膽=(1,0,1),

因?yàn)槎娼?一尸5—C為鈍二面角，

所以二面角z一四一c的余弦值為一處.

3

■課堂小結(jié)

1.知識清單：

(1)異面直線所成的角.

⑵直線與平面所成的角.

(3)二面角.

2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.

3.常見誤區(qū)：混淆兩個向量的夾角和空間角的關(guān)系，不能正確理解空間角的概念，把握空間

角的范圍.

N隨堂演練

1.已知向量帆，〃分別是直線/的方向向量和平面。的法向量，若cos〈m,n)貝！j/

2

與。所成的角為()

A.30°B.60°C.120°D.150°

答案A

解析設(shè)/與Q所成的角為。且0。忘。忘90。，貝U

sin(9=|cos{m,n)|=K.*.<9=30°.

2

2.(多選)已知二面角a—/一￡的兩個半平面a與6的法向量分別為a,b,若〈mb)=:,則二

面角。一/一夕的大小可能為()

A兀T_42兀兀c5兀

A-B.——C-D.——

3366

答案AB

解析由于二面角的范圍是［0,兀］,而二面角的兩個半平面a與￡的法向量都有兩個方向，因

此二面角a—/—/的大小為;或g,故選AB.

3.已知在棱長為2的正方體/BCD—//iGA中，E是。。的中點(diǎn)，建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，則與Ed所成角的余弦值為()

答案A

解析因?yàn)?(2,2,0),51(2,0,2),￡(0,1,0),

。1(0,2,2),

所以石1=(0,—2,2),由尸(0,1,2),

所以|成1|=2也,扇尸弱,

旃?歷=0—2+4=2,

——AB\-ED\2\F\C\

所以cos(ABi,EDi)二f一=「「="

\AB^EDi\2也XA/510

所以Na與EDi所成角的余弦值為巫.

10

4.在一個二面角的兩個面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0,-1,3).(2,2,4),則

這個二面角的余弦值為_______.

答案I

6

解析設(shè)〃=(0,T,3),b=(2,2,4),

而/L\a.b10V15

則cos\a,b)-------j=-.......,

\a\\b\A/IOXA/246

又因?yàn)閮上蛄康膴A角與二面角相等或互補(bǔ),

所以這個二面角的余弦值為士up.

6

課時對點(diǎn)練

L基礎(chǔ)鞏固

I.若異面直線/1的方向向量與/2的方向向量的夾角為150。，則/1與/2所成的角為（）

A兀C5兀

A-B.——

66

C.匹或池D.以上均不對

66

答案A

f0三

解析/i與/2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補(bǔ)，且異面直線所成角的范圍為I'2」,

故選A.

2.若二面角a—/一￡的大小為120°,則平面a與平面”的法向量的夾角為（）

A.120°B.60°

C.120?；?0°D.30°或150°

答案C

解析二面角為120。時，其法向量的夾角可能是60。，也可能是120。.

3.如圖，在三棱柱/2C—43cl中，C4=CG=2C2,則直線3cl與直線/歷夾角的余弦值

為（）

A.—B.—

53

答案A

解析不妨設(shè)C4=CG=2CB=2,

則獲1=(—2,2,1),05=(0,-2,1),

所以cos

血||麗

=(-2)X0+2X(—2)+lXl=

\{9X\l55'

因?yàn)橹本€3cl與直線NA的夾角為銳角,

所以所求角的余弦值為1.

4.在正四棱柱/2。一/131GA中，&B=2,BBi=4,則2囪與平面/CA所成角的正弦值

為()

答案A

解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系.

則￡>(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2,0),A(0,0,4),5(2,2,0),5(2,2,4),病=(—2,2,0),石尸(一2,0,4),

麗=(0,0,4).

設(shè)平面4cz的法向量為“=(%,y,z),

nAC=0,

則._

nAD\=09

一2x+2y=0,

解得

.—2x+4z=0,

取尸(2,2,1),

設(shè)BBi與平面ACD、所成的角為仇

|力5砌41

則sin9=|cos〈n,BB、)1\n\\BBi\3X43

5.在正方體/2。一/山CiDi中，M,N分別為/￡>,QA的中點(diǎn)，。為側(cè)面BCGS的中

心，則異面直線MN與0A所成角的余弦值為()

A-6B-z

C-4D--4

答案A

解析如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DC,所在直線為x,y,z軸建立空間直角

坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為2,則地1,0,0),N(0,l,2),0(1,2,1),A(0,0,2),

4

A

z

.\7W=(-1,1,2),曲=(一1,-2,1).

一MN-ODi11

則cos〈MN,OD[)==1一『=工

\MN]\ODi\6

...異面直線VN與。。所成角的余弦值為1,故選A.

6

6.正三棱柱HBC—AiBiCi的所有棱長都相等，則ACy與平面BBCC所成角的余弦值為()

答案A

解析設(shè)三棱柱的棱長為1,以8為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則

則就1=匕一‘2'J易知平面881cle的一個法向量”=(1,0,0),設(shè)/G與平面881cle所

成的角為。,

—>.1"*\/A

貝Usin9=|cos(n,ACi)==—,

\AC^n\4

所以cos9=AJ1—sin20=

7.在正四棱柱/BCD—/?Cid中，AAi=2AB,則直線C￡＞與平面BOG所成角的正弦值等

于.

答案I

3

解析以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.設(shè)441=2/8=2,

則。(0,0,0),C(0,l,0),

5(1,1,0),G(0,l,2),

則比=(0,1,0),55=(1,1,0),虎1=(0,1,2).設(shè)平面3OG的法向量為"=(X,y,z),

貝In±DB,n±DCi,

所以產(chǎn)“

y+2z—0,

令y=-2,得平面的一個法向量為〃=(2,-2,1).

設(shè)直線CD與平面BOG所成的角為仇

一|力。。|2

則sin9=|cos〈n,DC〉1=_=一

\n\\DC\3

8.如圖所示，在直三棱柱A8C—4SCi中，4A尸BC=AB=2,ABLBC,則二面角氏一4C

-Ci的大小為.

答案：

解析如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,

z，

Cy

則由題意可知3(0,0,0),C(0,2,0),

4(2,0,2),5i(0,0,2),

設(shè)/C的中點(diǎn)為連接的S,

貝11BMLAC,

又由題意知的W_LCG,

X^cncci=c,

所以平面4GC,

即由/=(1,1,0)是平面AiCiC的一個法向量.

設(shè)平面4B1C的法向量是〃=(x,y,z).

AiC=(—2,2,—2),4_Bi=(—2,0,0),

nAiBi=-2x=0,

所以,_

n-A\C——2x+2y—2z—0,

令z=l,可得“=(0,1,1).

設(shè)法向量〃與的夾角為9，二面角囪一〃C—Ci的大小為。，顯然。為銳角.

所以cosd=|cos"尸一==解得。=四，

\n\\BM\23

所以二面角B\—A\C-C\的大小為三.

3

9.如圖，直四棱柱的底面/BCD為平行四邊形，其中48=也，BD=BC

=1,44i=2,￡為DC的中點(diǎn)，尸是棱。A上的動點(diǎn).

(1)求異面直線4D1與BE所成角的正切值；

⑵當(dāng)。尸為何值時，斯與3G所成的角為90。？

解由可知8￡(_L8C,分別以5C,BD,8S所在直線為x軸、y軸、z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則8(0,0,0),^(-1,1,0),7)(0,1,0),Di(0,1,2),C(1,0,0),Ci(l,0,2),

Rr°].

n1

⑴因?yàn)镹Di=(l,0,2),BE=t2'2

|皿||即/義迫

所以sin(疝i,港)3A/10^

10

所以tan(ADi,BE)=3,

即ADy與BE所成角的正切值為3.

⑵設(shè)尸(0,1,q),則而」一5'?J.

又病1=(1,0,2),

L一f-111

由2ci=l2jX]+0X|+^-2=0,

得"=1，即。尸=1時，EFLBCx.

44

10.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形/BCD(及其內(nèi)部)以48邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋

轉(zhuǎn)120。得到的，G是。尸的中點(diǎn).

⑴設(shè)尸是CE上的一點(diǎn)，5.APLBE,求NCAP的大?。?/p>

(2)當(dāng)/2=3,40=2時，求二面角Ei/G—C的大小.

解(1)因?yàn)?P_LBE,ABLBE,AB,4PU平面4BP,ABC4P=4,所以5￡_L平面48P.又

3PU平面4RP,所以3￡_LAP,即NEAP=90°,又NEBC=120°,

所以/CAP=30°.

(2)以8為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BE,BP,8/所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系.

由題意得4(0,0,3),￡(2,0,0),6(1,^3,3),C(—1,3,0),

故荔=(2,0,-3),就=(1,加，0),CG=(2,0,3).

設(shè)相=(X1,yi,Z1)是平面/EG的一個法向量，

—?

,m-AE=0,[2xi-3zi=0,

由‘可得?「

mAG^O,Ui+Wi=0.

取zi=2,可得平面/EG的一個法向量膽=(3,一3，2).

設(shè)"=(X2,>2,Z2)是平面/CG的一個法向量，

n-AG=0,^+^2=0,

由,可得,_

nCG=0,l2x2+3z2=0.

取Z2=-2,

可得平面ZCG的一個法向量〃=(3,—/，-2).

所以cos(m,n)=mn--

\m\\n\2

因?yàn)槎娼荅—AG—C為銳二面角，

故所求二面角E-AG-C的大小為60°.

L綜合運(yùn)用

11.如圖所示，已知兩個正四棱錐尸一48CD與。一/BCD的高分別為1和2,AB=4,則異面

直線/。與所成角的余弦值為()

答案C

解析由題設(shè)知，四邊形ABCD是正方形，連接NC,BD,交于點(diǎn)。，則/CL3D連接P。,

則尸。過點(diǎn)O.

由正四棱錐的性質(zhì)知，尸。，平面A8CD,故以。為原點(diǎn)，以C4,DB,0尸所在直線分別為

x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則尸(0,0,1),4(2/,0,0),2(0,0,-2),3(0,2也0),

.?.而=(-2也0,-2),兩=(0,2也，-1).

,，一一通而電

則cos〈AQ,PB)==1,

~命I兩9

異面直線AQ與PB所成角的余弦值為

12.(多選)將正方形沿對角線3。折成直二面角，下列結(jié)論正確的是()

A.ACLBD

B.AB,CD所成角為匹

3

C.△/DC為等邊三角形

D.N3與平面BCD所成角為60°

答案ABC

解析如圖，取8。的中點(diǎn)O,連接NO,CO,

易知8￡>_L平面/OC,故

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形邊長為°,

由兩向量夾角公式得cos(CD,AB)=—1,

2

故兩異面直線所成的角”

在RtZ\/OC中，由/O=CO="aAOLCO,

2

所以故△4DC為等邊三角形.

易知NABO即為直線AB與平面BCD所成的角,

可求得//80=45。，故D錯.

13.如圖，正三角形/2C與正三角形BCD所在的平面互相垂直，則直線CD與平面48。所成

角的正弦值為.

A

D

套案

口5

解析如圖，取8C的中點(diǎn)。，連接/O,DO,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)3c=1,則小"T],

JVq,a%。1

°?°],

所以茂?f],防=停

:°)

設(shè)平面45。的一個法向量為〃=(x,y9z),

2=。,

"BA=O,2

則‘一所以

nBD=O,烏+多=0.

取X=l,則＞=一加，Z=l,所以〃=(1,—3,1),

所以cos(n,CD)=亞^,

因此直線CD與平面所成角的正弦值為學(xué).

14.如圖所示，在菱形4BCD中，ZABC^—,線段4D,3。的中點(diǎn)分別為E,F.現(xiàn)將△/AD

3

沿對角線AD翻折，當(dāng)二面角N—5D—C的余弦值為1時，異面直線與CF所成角的正弦

3

值是.

解析如圖所示，過點(diǎn)￡作交BD于H點(diǎn)、,設(shè)異面直線BE與CF所成的角為仇

則。G

E

記二面角A—BD—C的大小為明

CF-B