平面向量（六大考點）-2025年高考數(shù)學一輪復習

考點鞏固卷10平面向量(六大考點)

朦考點登亮_______________________________________

平面向量

考點04:平面向量之三角形四心問題

考點05:極化恒等式解決向量數(shù)量積問題

考點06:等和線解決平面向量系數(shù)和問題

朦龍4技巧4濤點利稱

考點01:共線定理

定理1：^PC=XPA+uPB,^2+4/=1,MA,B、。三點共線；反之亦然

若點A、B、C互不重合，P是A、B、。三點所在平面上的任意一點，且滿足A2=xAZ+y而，則

A、B、。三點共線ox+y=l.

證明：(1)由x+y=lnA、B、。三點共線.由x+y=1得

PC=xPA+yPB=xPA+(l-x)PB^PC-PB=x(PA-PB)^BC=xEi.

即前，威共線，故A、B、。三點共線.

A

C

PB

（2）由A、B、。三點共線nx+y=l.

由A、B、。三點共線得8C,8A共線，即存在實數(shù)x使得BC=；IA4.

i&BP+PC=2（fiP+PA）=>PC=2PA+（l-2）PB.4x=2,y=l-2,則有x+y=l.

1.已知”,N,尸,Q是平面內(nèi)四個互不相同的點，色5為不共線向量，麗=2023。+20255,

NP=20245+2024&,PQ=-a+b,貝！］（）

A.M,N,P三點共線B.M,N,Q三點共線

C.三點共線D.N,P,Q三點共線

2.已知向量不共線，且"=W+B，d=a+（2A-l）b,若Z與之同向共線，則實數(shù)2的值為（）

A.1B.--C.1或-工D.-1或

222

3.在“IBC中，。為邊AC上一點且滿足而=1■方心，若尸為邊8￡>上一點，AP=2AB+/JAC,2,

〃為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.以〃的最小值為1B.九月的最大值為」■

12

C.；+；的最大值為12D.；+的最小值為4

4.下列說法中不正確的是（）

A.若麗=①，貝"荏|=|西，且A、B、a。四點構(gòu)成平行四邊形

B.若加為非零實數(shù)，且加萬=/，則五與石共線

/_________、

___AjjAr1

C.在AABC中，若有血=［同+同>那么點。一定在角A的平分線所在直線上

D.若向量則日與萬的方向相同或相反

5.如圖，已知平行四邊形ABC。的對角線相交于點。，過點。的直線與48,AD所在直線分別交于點

N,滿足順=根函7，AN=nAD,（m>0,〃>0）,若〃?〃=；,則"?+”的值為.

6.如圖，已知△ABC為等邊三角形，點G是AABC內(nèi)一點.過點G的直線/與線段交于點。，與線段

AC交于點E.設(shè)茄=2屈，~AE=/2AC,且人0,〃片0.

(2)若點G是AABC的重心，設(shè)AADE的周長為q,AABC的周長為c?.

Ci)求;+'的值；

A〃

(ii)設(shè)，=X〃，記/。)=2一1，求/(r)的值域.

C2

7.設(shè)日，B是不共線的兩個非零向量.

(1)若況=42一2后，OB=6a+2b>OC=2a-6b，求證：A,B,C三點共線；

(2)若Z=(7,2),B=(-3,5),2=(6,7),且R+證)〃求實數(shù)上的值.

8.如圖，在AABC中，已知/匕=2,AC=6近，NBAC=45。,BC邊上的中點為〃，點N是邊AC上的

動點(不含端點)，AM,BN相交于點尸.

(1)求NBAM的正弦值；

(2)當點N為AC中點時，求/MPN的余弦值.

(3)當麗.而取得最小值時，設(shè)而=幾兩，求2的值.

9.設(shè)￡國是不共線的兩個非零向量.

(l^OA=4a-2.b,OB=6a+2b,OC=2.a-6b,求證：A,B,C三點共線;

(2)已知m1=5,|方1=4,1,5的夾角為3，問當％為何值時，向量%-方與扛3方垂直？

—.2—.

10.如圖，在AABC中，AQ為邊BC的中線，AP=jAQ,過點尸作直線分別交邊AB,AC于點M,N,且

AM=AAB,AN=/JAC,其中幾＞0,〃＞0.

(D當麗〃反1時，用畫7，R▽表示雙；

(2)求;+'的值，并求24+〃最小值.

考點02:投影向量的求算

1、投影向量的定義“B

如圖：如果向量荏的起點A和終點3在直線/上的投影分別為A'和8,A/

I

I

I

t

那么向量IT叫做向量方在直線/上的投影向量(簡稱為：投影)；IIi

A'B'

理解：一個向量B在一個非零向量Z的方向的投影，就是向量坂在向量Z的任意一條所在直線上的投影，因

為這些直線都是平行的，所以，向量B在一個非零向量Z的方向的投影是唯一確定的；

特殊地，如圖，若兩個向量共起點。；

即：函=2,歷=B,過點3作直線。1的垂線，垂足為笈，/

o^---------V*

___B'A

則0方就是向量B在向量￡上的投影向量；

2、投影向量的計算公式

以一點。為起點，；

作：OA=a,OB=b,把射線。4、08的夾角稱為向量Z、向量B的夾角，記作：＜G,B〉；

B

<a一,b7>=兀,又稱向量a,B垂直，記作

2

A

當<Z,B〉為銳角（如圖（1））時，。3'與總方向相同，

2=|OBHb|cos<a,b>,所以O(shè)B=\b\cos<a,b>ao=出

\a\

當<Z,B〉為直角（如圖（2））時，2=0,所以礪=6；

當<Z,B〉為鈍角（如圖（3））時，聲與方向相反,

所以4=-1OB\=-\b\cosBOB=-\b\cos（萬一<a,b>）^b\cos<a,b>

r-r-iCR'.7?-7_|b|cos<a,b>一

所以KOB=|b|cos<a,b>ao=-----------------a；

\a\

當<a,B>=0時，2=|S|,所以。=|b|ao=^-a;

\a\

當<￡,B>=萬時，Z=-\b\,所以05=|引cos.Zo=?"/s"

l?l

———/一一一一I［）Icos<cib>一

綜上可知，對于任意的<a,匕>e［0,萬］,都有QB=\b\cos<a,b>a=--------=~-——a；

0\a\

3、數(shù)量投影的定義與求法

R

HAO(/i)

據(jù)圖:如果令7=91"為向量”的單位向量‘那么

|b|cos<a,b>-

向量B在向量”方向上的向量投影為：巧|cos<a,b>a（）-----------------a；

其中，實數(shù)而cos<￡,5>（*）稱為向量B在向量￡方向上的數(shù)量投影;

理解：（1）當<Z,5〉e0,光時；實數(shù)曲cos<Z,B〉（*）大于0；

（2）當<“~，-/??〉=々]L時；實數(shù)-依?cos<-a?,—匕?〉（*）等于0；

2

(3)當<〃,石>￡]9,?時；實數(shù)曲cos<a,B>（*）小于0；

特別的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相應的數(shù)量投影的絕對值是該投影的模，因此,

這個數(shù)量投影等于0；

11.向量n=（l,o）,萬與非零向量B的夾角為60。，則萬在方上的投影數(shù)量為（）

A?—2C.1D.-石

12.若Z=（2,l）④=（<2）]=（2,左），c/小則￡在工方向上的投影向量為（）

636_3636_3

A.B.C.D.

5,55，-55555，-5

13.若向量￡=（2,3）,B=（-1,1）,貝立在Z上的投影向量的坐標是（）

223232

A.B.C.D.

13，-131311313，-13

14.已知向量商=（0cosa,J5sina）,B=（2sin￡,2cos￡），M-M=4,則石在商上的投影向量為（

A.2bB.2dc.jD.—CL

2

15.空間向量2=（1,0,1）在石=（0』,1）上的投影向量為（）

?°4

A.B.C.°41D.

16.下列關(guān)于向量的說法正確的是()

A.若刃區(qū),bile，則商他

B.若單位向量方，5夾角為則向量G在向量5上的投影向量為且B

62

C.若商與5不共線，且貝！Js=/=O

D.若無^=5?^且Ew。，貝()4=石

17.已知向量Z=(-1,5),B=(-3,4),則向量5在[刃方向上的投影向量的坐標為.

18.已知方=(加一1,2),b=(l,m).

⑴若B+H=2且用＜0,求才在5方向上的投影向量；

(2)若日與方的夾角為鈍角，求實數(shù)機的取值范圍.

19.已知向量Z=(l,G),b=m,——m,meR.

I3J

(1)若m=3,求卜+0；

⑵若辦，卜-3修，求5在2上的投影向量(用坐標表示)

20.已知同="網(wǎng)=1,6與B的夾角為45。.

⑴求5在1方向上的投影向量；

⑵求忸+目的值.

考點03:奔馳定理解決三角形面積比問題

奔馳定理…解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點.

已知AABC的頂點4(%，%),Bg，當)，C(F，為)，則△A3C的重心坐標為

133”

注意：(1)在zwe中，若。為重心，貝D+礪+而=6.

(2)三角形的重心分中線兩段線段長度比為2:1,且分的三個三角形面積相等.

重心的向量表示:.

奔馳定理：SA-D5+SB-O耳+Sc-"=0,則"。臺、△AOC、的面積之比等于4：4：4

奔馳定理證明：如圖，令4況=函，^OB=OB[,^OC=OQ,即滿足方i+礪I+配i=o

%A05_]S/\AOC_]S^BOC

9

jjS/XAOB'AASgoc

q故SOC-=4：%：4?

SAAQG44QAB10cl

—?1—.2—?,一

21.點。在"IBC的內(nèi)部，且滿足:AO=-AB+-AC,則AABC的面積與AAO5的面積之比是（

A-iB.3c-iD.2

22.設(shè)點。是"RC所在平面內(nèi)一點，則下列說法錯誤的是（）

A.若西+防+花=0,則。為"RC的重心;

B.^（OA+OB）AB=（^B+OC}BC=Q,則O為△ABC的垂心;

ABAC?）?覺=0,雪?冬==，則AABC為等邊三角形;

C.若（-_____>

\AB\|AC|\BA\\BC\2

D.若3X+2OB+3OC=0，則△BOC與△ABC的面積之比為SABOC:SAABC=1:6.

23.已知。為融。所在平面內(nèi)的一點，且礪=3礪+4元，則下列說法正確的是（）

A.若網(wǎng)=|回=1且防,求，則網(wǎng)=5

—.1―.2—.

B.AO=-AB+-AC

23

C.?03與“止。的面積之比為3:4

D.△403與艱0（7的面積之比為4:3

24.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,其外接圓半徑為R,下列結(jié)論正確的有（

A.若G是AABC的重心，則GX+麗+玄=0

.1—.2>

B.Q是9BC所在平面內(nèi)一點，^AQ=-AB+-AC,則AAS。的面積是AACQ的面積的2倍

sinB2bsinC

C.若一/=后｝，則AABC是等腰三角形

cos——

2

D.若"=27-/,3cos（A-B）cosC=1,貝IJA4BC的外接圓半徑R=（

25.44BC的內(nèi)角4氏。的對邊分別為〃,"c,其外接圓半徑為H,下列結(jié)論正確的有（）

A.若G是AABC的重心，S.aGA+bGB+—cGC=O,則A=30°

3

—.1—.2—?

B.。是AABC所在平面內(nèi)一點，^AQ=-AB+-ACf則△ABQ的面積是△ACQ的面積的2倍

sinB_2Z?sinC

C.若—,則AABC是等腰三角形

cos——

2

Q

D.若。2=27—>2,3COS（A—3）COSC=1,則AABC的外接圓半徑R=j

26.下列說法中正確的是（）

A.在AABC中，AB=c，BC=a>CA=b，若7B>0，則AABC為銳角三角形

B.已知點。是平面上的一個定點，并且A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足

/__、

4D

OP=OA+A口+—（2e（O,+?））,則點尸的軌跡一定通過&4BC的內(nèi)心

IM

C.己知）=（1,2）,B=Z與￡的夾角為銳角，實數(shù)％的取值范圍是1土+，|

3

D.在“ISC中，若2函+3O2+5OC=。，則AAOC與4105的面積之比為《

27.在“LBC中，下列說法正確的是（）

,ABAC.4

A.若（同+國）?BDZC=°,則“1BC是等腰三角形

B.若：=通八/|,（AB-AC）.（AB+AC）=O,則AABC為等邊三角形

___.2—.1―,1

C.若點M是邊5C上的點，S.AM=-AB+-ACf貝以40。的面積是△ABC面積的§

D.若。分別是邊BC中點，點尸是線段AD上的動點，且滿足麗=2麗+〃而，則以“的最大值為:

O

28.對于融。，有如下判斷，其中正確的判斷是（）

,什CAcccn.rb+2c2b+C

A.若a=2,A=30。，則------------=—；-----；—=4A

sinB+2sinC2sinB+sinC

B.若，=8,5=10,5=60。，則符合條件的AABC有兩個

（____\

___,AD——

C.若點尸為AABC所在平面內(nèi)的動點，且"=2———+『——，2e（O,+s）,則點P的軌跡經(jīng)

|AB|COSB|AC|cosC^

過AASC的垂心

D.已知。是AABC內(nèi)一點，若2南+礪+3反=G￡AOC，SAMC分別表示AAOCAABC的面積，貝|

SAAOC，^AABC=1：6

29.若M是AASC內(nèi)一點，且滿足麗+阮=4麗，則AABM■與"CM的面積之比為

30.已知在ULBC中，角A氏C所對的邊分別為dc,若AABC的面積S=奶C,

sin2A+sin2C+sinAsinC=26sinB.

(1)求角8的大??；

⑵若麗?配=-4，S.2OA+OB+2OC=Q>求ACMC的面積.

考點04:平面向量之三角形四心問題

一、四心的概念介紹：

(1)重心：中線的交點，重心將中線長度分成2：1.

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等.

(3)外心：中垂線的交點(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點的距離相等.

(4)垂心：高線的交點，高線與對應邊垂直.

二、三角形四心與推論：

(1)。是AABC的重心：SABOC:S^COA:S^0B=l:l:l^OA+OB+OC=0.

(2)。是△ABC的內(nèi)心：SAB0C:SACOA:=a:b:c<^>aOA+bOB+cOC=0.

(3)。是"BC的外心：

2A:2B:2C2AOA2BOB2COC=

5ZAADBUnCr:SZAACrCrZtA.:54AM.JB=sinsinsinsin+sin+sin0.

(4)O是人鉆。的垂心：

S:S:SAOABOBCOC=

/A\rR>vnLr，ArnAzA\AMn</Rri=tanA:tanB:tanC<^>tan+tan+tan0.

【方法技巧與總結(jié)】

(1)內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量黑+普所在的直線上.

網(wǎng)M

|AB|-PC+|BC|-PC+|C4|-PB=()OP為△ABC的內(nèi)心.

(2)外心：|麗H麗口園=「為△ABC的外心.

(3)垂心：麗?麗=麗?無=P??玄oP為ZWC的垂心.

(4)重心：麗+而+無=6oP為△ABC的重心.

31.已知。為三角形ABC內(nèi)一點，且滿足麗?麗=無.灰^0乙西和旃=2市+30己，則角B為()

32.已知。，A,B,C是平面上的4個定點，A,B,C不共線，若點尸滿足赤=市+〃而+Z?）,其

中2wR,則點尸的軌跡一定經(jīng)過AASC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

33.已知AABC,向量麗，0B，碇滿足條件次+礪+玄=0，|畫|=|礪|=|反則△鉗°是（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.直角三角形

~AR__?DA

34.已知點P在AABC所在平面內(nèi)，若麗一^）=麗--^）=0,則點尸是443。的（）

\AC\\AB\\BC\\BA\

A.外心B.垂心C,重心D.內(nèi)心

35.已知在”IBC中，H為AABC的垂心，。是AABC所在平面內(nèi)一點，SLOA+OB=CH,則以下正確的

是（）

A.點。為AA6C的內(nèi)心B.點。為AABC的外心

C.NAC8=90。D.AABC為等邊三角形

36.設(shè)點。是AABC所在平面內(nèi)任意一點，AABC的內(nèi)角A,3,C的對邊分別為a,6,c,已知點。不在AABC

的邊上，則下列結(jié)論正確的是（）

A.若點。是AABC的重心，則回不+麗=反

B.若點O是44BC的垂心，貝”配+的）?詼=0

C.^^OA+OB）AB=[OB+OC\BC=Q,則點O是AABC的外心

D.若。為AABC的外心，X為"1BC的垂心，則而=示+為+工

37.在AASC中，有如下四個命題，其中正確的是（）

A.若蔗.通＞0,則AABC為銳角三角形

B.AABC內(nèi)一點G滿足宙+而+覺="則G是AAFC的重心

C.若|麗+：^|=|園，則”1BC的形狀為等腰三角形

D.若可.聞=而.汽=卮.可，則P必為AABC的垂心

38.下列說法中，正確的是（）

A.若同=忖，則》或心了

B.在平行四邊形ABCD中，AB-AD=BD

C.在AABC中，若荏.衣＜0,則AABC是鈍角三角形.

D.44BC內(nèi)有一點。，滿足市+赤+元=0,則點。是三角形的重心

39.點。是平面a上一定點，A,B,C是平面a上“1BC的三個頂點，/B,NC分別是邊AC,4B的對角.

有以下四個命題：

①動點P滿足9=況+而+定，則MSC的外心一定在滿足條件的P點集合中；

②動點尸滿足麗=西+彳―+冬?>0)，則AABC的內(nèi)心一定在滿足條件的尸點集合中;

uunuur

③動點尸滿足。尸=Q4+4-tM-------+-?--------(2>0),則AABC的重心一定在滿足條件的尸點集合中;

④動點P滿足歷=函+力+-C(幾>°)，貝壯/WC的垂心一定在滿足條件的P點集合中.

|AB|COSB|AC|COSC

其中正確命題的個數(shù)為.

40.44BC中，角A,B,。對邊分別為〃，b,c,點尸是AABC所在平面內(nèi)的動點，滿足

(_._

DA

OP=OB+A『+尸石(彳>0).射線8P與邊AC交于點。.若/+°2-62=%5。=2,則^ABC面積的最

小值為.

考點05:極化恒等式解決向量數(shù)量積問題

(1)平行四邊形平行四邊形對角線的平方和等于四邊的平方和:

/KX"7B

日+司2+|1斤=2(而+而)

證明：不妨設(shè)AB=a,AO=B,貝!]AC=O+B,DB=a—b

|AC|2=AC2=(a+5)2=|a|2+2a-b+^\①

2222

|^B|2=DB=(a-S)=|a|-2a-b+1&|②

①②兩式相加得：

(2)極化恒等式:

上面兩式相減，得：;[僅一(￡-5)2]----------極化恒等式

①平行四邊形模式：四2]

幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方

差的L

4

②三角形模式：a-b=\AM^為30的中點)

JT

41.在平行四邊形ABCD中，AB=4,AD=2,ABAD=—,點P在CD邊上，麗.項=4,則APBP^()

A.0B.--C.-1D.1

2

42.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，

圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.如圖2,若正八邊形ABCDEEDH的邊長為2,P是正八邊

形ABCDEFGH八條邊上的動點，則通.屈的最大值為()

圖2

B.4+20C.2+V2D.2A/2

43.已知0是平面上一定點，A氏C是平面上不共線的三個點，且(屈-反)?(方+玄-2))=0,當忸C|=8

時，則麗.冠=()

A.64B.32C.24D.8

44.在“IBC中，已知AB=2,AC=近，若點。為“IBC的外心，點V滿足的=2雨的點，則而.汨=

()

jr_

45.已知在邊長為2的菱形ABC。中，=點E滿足前=3配，則衣.亞=.

46.已知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為Z,且滿足|z-2-2i|<2,。為原點，求函.無的取值范

圍.

47.如圖，在梯形ABCD中，.點尸在陰影區(qū)域（含邊界）中運動，則".而的取

值范圍為.

__.2__.

48.如圖所示，在邊長為3的等邊三角形ABC中，AD=-AC,且點尸在以AD的中點。為圓心，Q4為半

徑的半圓上，則而.前的最大值為.

49.如圖，在AABC中，|而+而|=|而-而|,BC=^/2BD，\AD\=2,則衣.布=

50.如圖，已知網(wǎng)格小正方形的邊長為1,點尸是陰影區(qū)域內(nèi)的一個動點（包括邊界），O,A在格點上，則

而?方的取值范圍是.

OA

考點06:等和線解決平面向量系數(shù)和問題

題型一：x+y問題（系數(shù)為1）

題型二：+問題（系數(shù)不為1）

題型三：“IX-利問題

（1）平面向量共線定理

已知厲=2麗+〃反，若4+〃=1,則A3,C三點共線；反之亦然。

（2）等和線

平面內(nèi)一組基底礪，礪及任一向量而，麗=2次+〃礪（4〃eR）,若點P在直線AB上或者在平行

于AB的直線上，則4+〃=左（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和線。

①當?shù)群途€恰為直線AB時，k=l；

②當?shù)群途€在O點和直線至之間時，左€（0,1）；

③當直線互在點。和等和線之間時，/e（l,+oo）;

④當?shù)群途€過O點時，k=0；

⑤若兩等和線關(guān)于。點對稱，則定值%互為相反數(shù)；

3_

51.如圖，在AASC中，若而=3配尸為CD上一點，且滿足Q=+y旗（尤eR）,貝ljx=（）

52.如圖，在正方形ABCD中，CE=2DE,￡B和AC相交于點G,且尸為AG上一點（不包括端點），若

_,.31

BF=XBE+JLIBA,則不+一的最小值為（）

Zu

DEC

A.5+3>/3B.6+26C.8+逐D.15

53.如圖，在AABC中，*=3而,尸是BN上的一點，AP=fm+1JAB+-1AC,則實數(shù)，"的值為（）

54.AABC的重心為0,過點0的直線與AB,BC所在直線交于點E,F,若現(xiàn)=-XAB，BF=yBC(x,y>0),

則孫的最小值為()

224

A.—B.—C.—D.4

399

,2.

55.在AAJ5c中，點。是線段AC上一點，點夕是線段BD上一點，且①=詼，AP=-AB+AACf則4=

()

A.-B.-C.-D.-

8643

56.已知IBC是邊長為1的正三角形，麗=§苑尸是BN上一點且"荏+j而，則方.而=()

212

A.-B.-C.-D.1

993

57.已知口48。。中，點P在對角線AC上(不包括端點A,C),點。在對角線80上(不包括端點8,D),

若記的最小值為機，亍+一的最小值為小貝

AP=4AB+j3C,AQ=A2AB+JU2BC,2"-4U()

1919

A.m=——,n=—B.m=——,n=—

8242

1919

C.m=——,n=—D.m=——,n=—

8444

58.如圖，在三角形。尸。中，M、N分別是邊。尸、。。的中點，點R在直線跖V上，且礪=xOP+y而(尤,

yeR）,則代數(shù)式小/+/一苫一〉+；的最小值為（）

A.也B.比C.也D.也

2642

59.如圖所示，B是AC的中點，麗=2而,P是平行四邊形BCZJE內(nèi)（含邊界）的一點，且

OP=xOA+yOB[x,eR),則當>=2時，尤的范圍是.

60.如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線相交于點0,過點。的直線與AB,A。所在直線分別交于點M,

(m>0,n>0),若m幾=g,則加+〃的值為.

參考答案與試題解析

考點鞏固卷10平面向量（六大考點）

考點01：共線定理

平面向量

考點04:平面向量之三角形四心問題

考點05:極化恒等式解決向量數(shù)量積問題

考點06:等和線解決平面向量系數(shù)和問題

整左端技巧及考點利棟

考點01:共線定理

定理1：+^2+Z7=1,B、。三點共線；反之亦然

若點A、B、C互不重合，P是A、B、。三點所在平面上的任意一點，且滿足A2=xAX+y而，則

A、B、C三點共線ox+y=L

證明：(1)由％+y=lnA、B、。三點共線.由x+y=1得

PC=xPA+yPB=xPA+(1—x)PBnPC—PB=x(PA-PB)n5。=xBA.

(2)由A、B、C三點共線=>%+丁=1.

由A、B、。三點共線得BC,54共線，即存在實數(shù)x使得BC=；IA4.

故麗+正=2麻+同n正=4匹+（1—X）麗.令x=2,y=l—X,則有尤+y=l.

1.已知M,N,P,0是平面內(nèi)四個互不相同的點，4,5為不共線向量，MN=20235+2025b，

NP=2024a+2024&,PQ=-a+b,貝!|（）

A.M,N,P三點共線B.M,M。三點共線

C.三點共線D.N,尸，。三點共線

【答案】B

【分析】利用向量共線充要條件求出結(jié)果.

【詳解】NQ=NP+PQ=-a+b+2024a+2024b=20231+20255,

所以麗=而，所以",N,。三點共線，即B對.

同理，其它各項對應三點均不共線.

故選：B.

2.已知向量不共線，且"=筋+人3=a+（22-l）5,若Z與之同向共線，則實數(shù)2的值為（）

A.1B.--C.1或一工D.-1或

222

【答案】A

【分析】由共線定理可知存在，（4>0）使得*=〃2，然后由平面向量基本定理可得.

【詳解】因為2與Z同向共線，所以存在〃（4>。）使得己=〃，

即彳4+3=〃［汗+（2彳-1）石］=〃萬+〃（22-1）5,

［Z=LL1

又向量不共線，所以解得4=一5（舍去）或％=L

故選：A

3.在AABC中，。為邊AC上一點且滿足礪=：方心，若尸為邊50上一點，且滿足而=4宿+〃/，4,

〃為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.%的最小值為1B.的最大值為:

C.7+丁的最大值為12D.了+丁的最小值為4

【答案】BD

【分析】根據(jù)反。,P三點公式求得4+3〃=1,結(jié)合基本不等式判斷即可.

【詳解】因為">=”C,所以羽=3昉

5LAP=AAB+juAC=A,AB+3^AD,

因為尸、B、。三點共線，所以幾+3必=1,

又X,〃為正實數(shù)，所以==:

當且僅當彳=3〃，即2=（,〃=!時取等號，故A錯誤，B正確;

2o

111-L(4+3〃)=2+當+>2+2欄小

—+——+=4,

43〃23〃23/1V43〃

當且僅當￥=金即"=：時取等號，故c錯誤，口正確.

故選：BD

4.下列說法中不正確的是（）

A.若麗=①，貝ij|荏|=|也|,且A、B、C、。四點構(gòu)成平行四邊形

B.若加為非零實數(shù)，且加萬=/，則值與石共線

/__k、

C.在AASC中，若有〃禺+答，那么點。一定在角A的平分線所在直線上

\AB\AC

D.若向量萬〃則G與方的方向相同或相反

【答案】AC

【分析】根據(jù)四點共線即可判斷A,根據(jù)共線定理即可求解B,根據(jù)單位向量的定義以及向量加法的運算法

則，即可由角平分線求解C,根據(jù)零向量即可求解D.

【詳解】對于A,線段AD上，8,C為線段AD的三等分點，滿足福=麗，且|荏|=|歷

但四點不能構(gòu)成平行四邊形，A錯誤；

對于B,因為機為非零實數(shù)，S.ma=nb，所以訝=二n6—,所以值與6共線，B正確;

m

通衣

對于因為分別表示向量9、恁方向上的單位向量，所以第+總的方向與/54C的

C,雨、而

ABAC

角平分線重合，又芯=/-雨--------1--聞--------,可得向量N萬所在直線與-54C的角平分線重合，所以點。一定在

角A的平分線所在直線上，C正確;

對于D,若向量4〃5,則萬與B的方向相同或相反，或4與5中至少有一個為零向量，D錯誤.

故選：AC

5.如圖，己知平行四邊形ABCD的對角線相交于點0,過點。的直線與A3,A。所在直線分別交于點

N,滿足旃=〃?W，AN=nAD,(m>0,n>0),mn=1,則〃?+”的值為

【分析】用向量說，而表示前，再利用點M,O,N共線列式計算作答.

__1_.I__.

【詳解】因平行四邊形ABCD的對角線相交于點0,貝U40=3^+54。，

而漏=加說,就=必切,（加＞0,力＞0）,于是得％5='麗7+-1-加，

22n

又點M,0,N共線，

]