人教A版高中數(shù)學(xué)選修4-2-4.2.1-Ana的簡(jiǎn)單表示-課件

Ana的簡(jiǎn)單表示1.一個(gè)矩陣的n次方冪與它的特征向量的積是多少?2.一個(gè)矩陣的n次方冪與任一平面向量的積怎樣計(jì)算?基本步驟是怎樣的?學(xué)習(xí)要點(diǎn)Ana的簡(jiǎn)單表示應(yīng)用特征向量解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),許多問(wèn)題可歸結(jié)為研究二階矩陣的方冪An(nN)乘以一個(gè)平面向量a的形式。那么Ana怎樣用A的特征值l與特征向量x表示呢?下面我們看一個(gè)簡(jiǎn)單例子。例:

A=是反射變換對(duì)應(yīng)的矩陣,其特征值l1=1對(duì)應(yīng)的特征向量是x1=,l2=-1對(duì)應(yīng)的特征向量x2=,

求Anx1和Anx2。100-11001設(shè)對(duì)應(yīng)A的反射變換為s,則=l1nx1=1nx1,=l2nx2=(-1)nx2.由此類(lèi)推到一般:設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,a是它的屬于特征值l的任意一個(gè)特征向量,則Ana=lna(n

N*).(請(qǐng)證明)用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),根據(jù)特征向量的定義,Aa=la成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),Aka=lka成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí),Ak+1a=AkAa=Akla=l(Aka)=l(lka)=lk+1a.即n=k+1時(shí),等式也成立。由(1)(2)知,nN*時(shí),等式都成立。

問(wèn)題1.當(dāng)a是矩陣A的屬于特征值l的特征向量時(shí),有Ana=lna若a是任意平面向量,能否用矩陣A的特征值與特征向量表示Ana呢?設(shè)矩陣A有兩不同的特征值l1,l2,對(duì)應(yīng)的特征向量為x1,x2?！選1,x2不共線,∴任意向量a可表示為a=t1x1+t2x2(t1,t2為實(shí)數(shù)).那么Ana=An(t1x1+t2x2)=t1Anx1+t2Anx2=t1l1nx1+t2l2nx2。(由Ana=lna得)性質(zhì)1:設(shè)l1,l2是二階矩陣A的兩個(gè)不同特征值,x1,x2是矩陣A的分別屬于特征值l1,l2的特征向量,對(duì)于任意的非零平面向量a,設(shè)a=t1x1+t2x2(其中t1,t2為實(shí)數(shù)),則對(duì)任意正整數(shù)n,有

Ana=t1l1nx1+t2l2nx2.也可用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),Aa=A(t1x1+t2x2)=t1Ax1+t2Ax2=t1l11x1+t2l21x2,即n=1時(shí),性質(zhì)1成立。(2)假設(shè)n=k時(shí),Aka=t1l1kx1+t2l2kx2成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí),性質(zhì)1:設(shè)l1,l2是二階矩陣A的兩個(gè)不同特征值,x1,x2是矩陣A的分別屬于特征值l1,l2的特征向量,對(duì)于任意的非零平面向量a,設(shè)a=t1x1+t2x2(其中t1,t2為實(shí)數(shù)),則對(duì)任意正整數(shù)n,有

Ana=t1l1nx1+t2l2nx2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),Aa=A(t1x1+t2x2)=t1Ax1+t2Ax2=t1l11x1+t2l21x2即n=1時(shí),性質(zhì)1成立.(2)假設(shè)n=k時(shí),Aka=t1l1kx1+t2l2kx2成立,那么當(dāng)n=k+1時(shí),Ak+1a=AAka=A(t1l1kx1+t2l2kx2)=t1l1kAx1+t2l2kAx2=t1l1kl1x1+t2l2kl2x2=t1l1k+1x1+t2l2k+1x2即得n=k+1時(shí),等式也成立.由(1)(2)知,對(duì)于任意正整數(shù)n,性質(zhì)1都成立.1.設(shè)矩陣A

=,向量a=,求A5a,A100a.8-56-367解:求得A的特征值與特征向量為l1=2,x1=,56l2=3,x2=.11設(shè)a=t1x1+t2x2,即=t1

+t2,675611解得t1=1,t2=1.∴A5a=t1l15x1+t2l25x2=25

+355611403435=.∴A100a=t1l1100x1+t2l2100x2=2100

+31005611=.52100+310062100+3100

2.設(shè)矩陣P

=,其中p,q均為常數(shù),且滿足0<p,q<1,試證明:(1)矩陣P的特征值為l1=1,l2=1-p-q;

(2)向量x1=,x2=分別為矩陣P的屬于特征值l1,l2的一個(gè)特征向量。1-p

q

p1-qqp1-1證明:(1)P的特征多項(xiàng)式為f(l)=l-(1-p)-q-p

l-(1-q)=l2-(2-p-q)l+1-p-q,解特征方程f(l)=0得l1=1,l2=1-p-q.

2.設(shè)矩陣P

=,其中p,q均為常數(shù),且滿足0<p,q<1,試證明:(1)矩陣P的特征值為l1=1,l2=1-p-q;

(2)向量x1=,x2=分別為矩陣P的屬于特征值l1,l2的一個(gè)特征向量。1-p

q

p1-qqp1-1證明:(2)將l1=1代入方程組得同一個(gè)方程px=qy.令x=q,則y=p.∴屬于特征值l1的特征向量為x1=.qp

2.設(shè)矩陣P

=,其中p,q均為常數(shù),且滿足0<p,q<1,試證明:(1)矩陣P的特征值為l1=1,l2=1-p-q;

(2)向量x1=,x2=分別為矩陣P的屬于特征值l1,l2的一個(gè)特征向量.1-p

q

p1-qqp1-1證明:(2)將l1=1代入方程組得同一個(gè)方程px=qy.令x=q,則y=p.∴屬于特征值l1的特征向量為x1=.qp將l1=1-p-q代入方程組【課時(shí)小結(jié)】1.

矩陣的n次方冪與特征向量的積設(shè)A是一個(gè)二階矩陣,x是它的屬于特征值l的任意一個(gè)特征向量,則Anx=lnx(n

N*).【課時(shí)小結(jié)】2.

矩陣的n次方冪與任一非零平面向量的積設(shè)l1,l2是二階矩陣A的兩個(gè)不同特征值,x1,x2是矩陣A的分別屬于特征值l1,l2的特征向量,對(duì)于任意的非零平面向量a,設(shè)a=t1x1+t2x2(其中t1,t2為實(shí)數(shù)),則對(duì)任意正整數(shù)n,有

Ana=t1l1nx1+t2l2nx2.【課時(shí)小結(jié)】2.

矩陣的n次方冪與任一非零平面向量的積基本步驟:(1)求出矩陣A的特征值l1,l2和特征向量x1和x2(2)任一平面向量a用t1x1+t2x2表示,解出t1,t2(3)計(jì)算Ana=t1l1nx1+t2l2nx2

Ana的實(shí)際問(wèn)題舉例學(xué)習(xí)要點(diǎn)2.特征向量在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用下面我們用Ana解決一類(lèi)實(shí)際問(wèn)題。某國(guó)家連續(xù)幾年對(duì)城鎮(zhèn)與農(nóng)村之間的人口流動(dòng)情況作調(diào)查,發(fā)現(xiàn)有如下穩(wěn)定的流動(dòng)趨勢(shì):(1)每年,約有5%的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn);(2)每年,約有1%的城鎮(zhèn)居民移居農(nóng)村0現(xiàn)在全國(guó)總?cè)丝?城鎮(zhèn)與農(nóng)村人口的總和)中70%住在城鎮(zhèn)。假定全國(guó)總?cè)丝谝恢北３植蛔?并且這種人口流動(dòng)的趨勢(shì)繼續(xù)下去。那么,1年以后住在城鎮(zhèn)的人口占總?cè)丝诘谋壤嵌嗌?2年以后呢?10年以后呢?最終的情況如何?為騰出版面,我們抽出各數(shù)據(jù)農(nóng)村→城鎮(zhèn)5%,城鎮(zhèn)→農(nóng)村1%，現(xiàn)城鎮(zhèn)占70%。設(shè)t0,c0分別表示城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù),tn,cn分別表示n年后城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù)。N為總?cè)丝跀?shù)。1年后的城鎮(zhèn)人口數(shù)t1N=0.99t0N+0.05c0N,1年后的農(nóng)村人口數(shù)c1N=0.01t0N+0.95c0N,于是得用矩陣表示上式為0.990.050.010.95t1c1t0c0=.0.990.050.010.95設(shè)P=,t1c1t0c0即得=P.(請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出2年后,10年后的矩陣表示式。)農(nóng)村→城鎮(zhèn)5%,城鎮(zhèn)→農(nóng)村1%，現(xiàn)城鎮(zhèn)占70%。設(shè)t0,c0分別表示城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù),tn,cn分別表示n年后城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù)。N為總?cè)丝跀?shù)。t2c2t1c1即=Pt0c0=PPt0c0=P2.類(lèi)推得t10c10t0c0=P10.(請(qǐng)同學(xué)們代入t0,c0的值算出1年后,2年后和10年后城鎮(zhèn)、農(nóng)村人口所占比例。)1年后的城鎮(zhèn)人口數(shù)t1N=0.99t0N+0.05c0N,1年后的農(nóng)村人口數(shù)c1N=0.01t0N+0.95c0N,農(nóng)村→城鎮(zhèn)5%，城鎮(zhèn)→農(nóng)村1%，現(xiàn)城鎮(zhèn)占70%。設(shè)t0,c0分別表示城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù),tn,cn分別表示n年后城鎮(zhèn)、農(nóng)村居民占總?cè)丝诘谋壤龜?shù)。N為總?cè)丝跀?shù)。t2c2t1c1=Pt0=0.7,c0=0.3.t1c1t0c0=P0.990.050.010.95=0.70.30.7080.292=.0.990.050.010.95=0.7080.2920.7160.284≈

.如此,10年后的運(yùn)算量就太大了。t10c10t0c0=P10形如Ana的形式,則可用P的特征值與特征向量表示。0.990.050.010.95P=,P的特征多項(xiàng)式為f(l)=l-0.99-0.05-0.01l-0.95=l2-1.94l+0.94,解特征方程f(l)=0得l1=1,l2=0.94.于是求得對(duì)應(yīng)的特征向量為x1=,0.050.01x2=.1-1(求l與x,我們可以引用“習(xí)題4.2”中第2題的結(jié)果)1-p

q

p1-q若P

=,0<p,q<1,則l1=1,l2=1-p-q;qpx1=,1-1x2=.長(zhǎng)風(fēng)破浪會(huì)有時(shí)，直掛云帆濟(jì)滄海。努力，終會(huì)有所收獲，功夫不負(fù)有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進(jìn)的路上，要不斷反思、關(guān)照自己的不足，學(xué)習(xí)更多東西，更進(jìn)一步。窮則獨(dú)善其身，達(dá)則兼濟(jì)天下?，F(xiàn)代社會(huì)，有很多人，鉆進(jìn)錢(qián)眼，不惜違法亂紀(jì)；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅(jiān)忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅(jiān)持下來(lái)。士不可以不弘毅，任重而道遠(yuǎn)。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠(yuǎn)乎?心中有理想，腳下的路再遠(yuǎn)，也不會(huì)迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學(xué)業(yè)的基礎(chǔ)，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂(lè)亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財(cái)富如浮云，生不帶來(lái)，死不帶去，真正留下的，是我們對(duì)這個(gè)世界的貢獻(xiàn)。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機(jī)，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬(wàn)里，體恤弱小，善德加身。老當(dāng)益壯，寧移白首之心；窮且益堅(jiān)，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠(yuǎn)保持豐盛。樂(lè)民之樂(lè)者，民亦樂(lè)其樂(lè)；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領(lǐng)導(dǎo)，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見(jiàn)品質(zhì)。學(xué)而不知道，與不學(xué)同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國(guó)為國(guó)，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強(qiáng)者智不達(dá)，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強(qiáng)，相應(yīng)的，逼迫自己所學(xué)的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習(xí)乎?若人人皆每日反省自身，世間又會(huì)多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營(yíng)私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點(diǎn)寬容，多一份擔(dān)當(dāng)。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學(xué)，為萬(wàn)世開(kāi)太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強(qiáng)不息。地勢(shì)坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當(dāng)靠自己拼搏奮斗。博學(xué)之，審問(wèn)之，慎思之，明辨之，篤行之。進(jìn)學(xué)之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學(xué)須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無(wú)欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼?！闭嬲M(jìn)者，不會(huì)把時(shí)間耗費(fèi)在負(fù)性情緒上。好學(xué)近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識(shí)器做學(xué)問(wèn)和學(xué)技術(shù)，都需要無(wú)數(shù)次的練習(xí)。第一個(gè)青春是上帝給的；第二個(gè)的青春是靠自己努力當(dāng)眼淚流盡的時(shí)候，留下的應(yīng)該是堅(jiān)強(qiáng)。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰(shuí)傷害過(guò)你，誰(shuí)擊潰過(guò)你，都不重要。重要的是誰(shuí)讓你重現(xiàn)笑容。幸運(yùn)并非沒(méi)有恐懼和煩惱；厄運(yùn)并非沒(méi)有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應(yīng)該一直檢討自己才對(duì)。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨(dú)不是長(zhǎng)久的一個(gè)人，而是心里沒(méi)有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個(gè)過(guò)往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個(gè)人的價(jià)值，應(yīng)該看他貢獻(xiàn)什么，而不應(yīng)當(dāng)看他取得什么。做個(gè)明媚的女子。不傾國(guó)，不傾城，只傾其所有過(guò)的生活。生活就是生下來(lái)，活下去。人生最美的是過(guò)程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛(ài)，最后悔的是錯(cuò)過(guò)。兩個(gè)人在一起能過(guò)就好好過(guò)！不能過(guò)就麻利點(diǎn)分開(kāi)。當(dāng)一個(gè)人真正覺(jué)悟的一刻，他放下追尋外在世界的財(cái)富，而開(kāi)始追尋他內(nèi)心世界的真正財(cái)富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉(zhuǎn)牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會(huì)被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個(gè)地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個(gè)世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉(zhuǎn)彎。給我一場(chǎng)車(chē)禍。要么失憶。要么死。有些人說(shuō)：我愛(ài)你、又不是說(shuō)我只愛(ài)你一個(gè)。生命太過(guò)短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關(guān)于你的一切，唯獨(dú)刪不掉關(guān)于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅(jiān)信自己的目標(biāo)，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會(huì)是你的！既然愛(ài)，為什么不說(shuō)出口，有些東西失去了，就在也回不來(lái)了！對(duì)于人