2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：集合（八大題型）講義（原卷版）

第01講集合

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航............................................................2

02知識導(dǎo)圖?思維引航............................................................3

03考點突破?題型探究............................................................4

知識點1：元素與集合...........................................................................4

知識點2:集合間的基本關(guān)系.....................................................................5

知識點3：集合的基本運(yùn)算.......................................................................5

知識點4:集合的運(yùn)算性質(zhì).......................................................................5

解題方法總結(jié)...................................................................................6

題型一：集合的表示：列舉法、描述法............................................................6

題型二：集合元素的三大特征....................................................................7

題型三：元素與集合間的關(guān)系....................................................................7

題型四：集合與集合之間的關(guān)系..................................................................8

題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算..................................................................8

題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合..............................................................9

題型七：容斥原理..............................................................................10

題型八：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算...................................................................11

04真題練習(xí)?命題洞見...........................................................12

05課本典例?高考素材...........................................................13

06易錯分析?答題模板...........................................................14

易錯點：在解含參數(shù)集合問題時忽視空集.........................................................14

答題模板......................................................................................14

考情透視.目標(biāo)導(dǎo)航

考點要求考題統(tǒng)計考情分析

本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，

2023年I卷第1題，5分考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大.重點是

(1)集合的概念與表示2023年n卷第2題，5分集合間的基本運(yùn)算，主要考查集合的交、并、補(bǔ)

(2)集合的基本關(guān)系2022年I卷H卷第1題，5分運(yùn)算，常與一元二次不等式解法、一元一次不等

(3)集合的基本運(yùn)算2021年I卷n卷第1題，5分式解法、分式不等式解法、指數(shù)、對數(shù)不等式解

2020年I卷H卷第1題，5分法結(jié)合.同時適當(dāng)關(guān)注集合與充要條件相結(jié)合的解

題方法.

復(fù)習(xí)目標(biāo)：

1、了解集合的含義，了解全集、空集的含義.

2、理解元素與集合的屬于關(guān)系，理解集合間的包含和相等關(guān)系.

3、會求兩個集合的并集、交集與補(bǔ)集.

4、能用自然語言、圖形語言、集合語言描述不同的具體問題，能使用Venn圖表示集合間的基本關(guān)系和基本

運(yùn)算.

//二知識導(dǎo)圖?思維引航\\

確定性］

元素

互異性

特性

無序慢）

屬于

Y元素與集合的關(guān)系

不屬于

元素與集W）Y列舉法）

T集合的表示方法）--（描述法）

不常見數(shù)斷數(shù)學(xué)相

如果集合Z中任意一個元素都是集合5中的兀素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系,

稱集合N為集合笈的子集，記作ZG5（或574）

如果集合但存在元素x￡氏Fir時,

真子集

我們稱集合力是集合△的真子集，記作力

集合間的基本關(guān)系

集合如果集合力是集合△的子集，且集合△是集合力的子集

我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作0

0是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

交集/（1笈=住比￡4小￡5}

集合的基本運(yùn)算4UB={X|X￡/,X￡5}

I/n(CM)=0，NU(Ci/)=U，CL(CLA)=A.

集合的運(yùn)算性質(zhì)A(JA=A,A(J0-A,A\JB-B\JA.

A[\A-A,/lf|0=0,A(}B-B^\A.

X./

考點突確.題理輝寶

知識固本

知識點1:元素與集合

1、集合的含義與表示

某些指定對象的部分或全體構(gòu)成一個集合.構(gòu)成集合的元素除了常見的數(shù)、點等數(shù)學(xué)對象外，還可以

是其他對象.

2、集合元素的特征

（1）確定性：集合中的元素必須是確定的，任何一個對象都能明確判斷出它是否為該集合中的元素.

（2）互異性：集合中任何兩個元素都是互不相同的，即相同元素在同一個集合中不能重復(fù)出現(xiàn).

（3）無序性：集合與其組成元素的順序無關(guān).

3、元素與集合的關(guān)系

元素與集合之間的關(guān)系包括屬于（記作aeA）和不屬于（記作a箔A）兩種.

4、集合的常用表示法

集合的常用表示法有列舉法、描述法、圖示法（韋恩圖）.

知識點詮釋：

（1）列舉法

把集合的元素一一列舉出來，并用花括號括起來.

（2）描述法

在花括號內(nèi)先寫上表示這個集合元素的一般符號及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合

中元素所具有的共同特征.

5、常用數(shù)集的表示

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集

符號NN*或N.ZQR

【診斷自測】（2024?廣東惠州?一模）設(shè)集合M={xeZ|100<2，<1000}，則”的元素個數(shù)為（）

A.3B.4C.9D.無窮多個

知識點2：集合間的基本關(guān)系

（1）子集：一般地，對于兩個集合A、B'如果集合A中任意一個元素都是集合5中的元素，我們

就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合3的子集，記作4=8（或824），讀作“A包含于3”

（或“臺包含人”）.

（2）真子集：對于兩個集合A與3，若4=8，且存在但6走A，則集合A是集合3的真子

集，記作AU8（或8袁4）.讀作“A真包含于3”或“3真包含A”?

（3）相等：對于兩個集合A與臺，如果A=8，同時8=A，那么集合A與3相等，記作A=3.

（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，記作0；0是任何集合的子集，是任何非空集合的真

子集.

【診斷自測】（2024.高三?四川成都?階段練習(xí)）已知集合A={1,2},2={2,3},則集合

C={z[z=x+y,xwA,ye國的子集個數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

知識點3：集合的基本運(yùn)算

（1）交集：由所有屬于集合A且屬于集合3的元素組成的集合，叫做A與3的交集，記作Ac3,

即Ac2={x|xeAJiLxe2}.

（2）并集：由所有屬于集合A或?qū)儆诩?的元素組成的集合，叫做A與5的并集，記作AuB,

即Au8={x|xeA或xeB}.

（3）補(bǔ)集：對于一個集合A,由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全

集U的補(bǔ)集，簡稱為集合A的補(bǔ)集，記作QA,即C0A={x|xeU,且xeA}.

【診斷自測】（2024?陜西西安?一模）已知全集[/=!<,集合知=口及=的二1}，N={-?,0,1,2,6},

則（）.

A-{-72,0,1}B-{2,73}C.口,2,百}D.{2}

知識點4：集合的運(yùn)算性質(zhì)

⑴Ai|A=4，A0=0，A?B^B|A>AnBcA-AnBcB.

⑵Al.A=A，A0=A>AB=BA>A^AuB>BcAuB.

（3）A?（C^A）=0.A（CuA）=U>CU（CUA）=A-

⑷Ac3=AoAu3=3o4口30贈涔口VA<^>Ao^vB=0

【診斷自測】（2024?江西鷹潭?一模）已知集合4={》|爐-5x<6},集合於{x|x*},若Bq@A）,

則。的取值范圍為（）

A.（6,+oo）B.［6,+oo）C.（-co,-l）D.（-?,1］

解題方法總結(jié)

（1）若有限集A中有〃個元素，則人的子集有2"個，真子集有才一1個，非空子集有2"-1個，非空真

子集有2"一2個.

（2）空集是任何集合A的子集，是任何非空集合3的真子集.

⑶AgBoAB=A<^AB=B<^CUB^CUA.

（4）Cv（AiB）=（CuA）（CuB）,Cu（A3）=（QA）廣（QB）?

題型洞察

題型一：集合的表示：列舉法、描述法

【典例1-1］（2024?廣東江門?一模）己知集合A={-1,0,1},B={m\7rr-l^A,m-1^A\,則集合B中

所有元素之和為（）

A.0B.1C.-1D.72

【典例1-2】已知集合A={-3,—2,0,1,2,3,7},_B={x|xeA,—xmA},則3=（）

A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7）

【方法技巧】

1、列舉法，注意元素互異性和無序性，列舉法的特點是直觀、一目了然.

2、描述法，注意代表元素.

【變式1-1］（2024?新疆?一模）己知集合4=卜11,%€?4,且04444，，則集合A的元素個數(shù)為（）

A.3B.2C.4D.5

【變式1-2］（2024?高三?山東泰安?期中）已知集合4={1,2,3},B={3,5},則

=A,Z?w5}中的元素個數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

題型二：集合元素的三大特征

【典例2-1】設(shè)集合A=12,3,1-3a,a+2+71，B={|a-2|,3）,已知4eA且4盾8,貝/的取值集合

【典例2-2】由a,-a,時，府構(gòu)成的集合中，元素個數(shù)最多是

【方法技巧】

1、研究集合問題，看元素是否滿足集合的特征：確定性、互異性、無序性。

2、研究兩個或者多個集合的關(guān)系時，最重要的技巧是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系。

【變式2-1］（2024?高三.天津河西?期中）含有3個實數(shù)的集合既可表示成，又可表示成

儲°+反0},則齊+產(chǎn)

【變式2-2］（2024?高三.山東濰坊?期中）英語單詞“Mww”所含的字母組成的集合中含有個元素.

【變式2-3］（2024?云南大理?模擬預(yù)測）已知{X62-4》+1=。}=抄},其中a,%eR,貝同=（）

A.0B.—或7?C.■-D.—

4224

題型三：元素與集合間的關(guān)系

【典例3.1】已知集合A={x,=4匕左,B=|x|x=4m+l,mGZ},C=|^|x=4zz+2,neZ|

￡）={x|%=4/+3/wZ},若awB,beC,則下列說法正確的是（）

A.tz+Z?GAB.a+bGBC.a+bGCD.a+bGD

【典例3-2】（2024?高三?山東青島?開學(xué)考試）已知xe{l,2,f},貝ijx的取值為（）

A.1B.1或2C.0或2D.0或1或2

【方法技巧】

1、一定要牢記五個大寫字母所表示的數(shù)集，尤其是N與N*的區(qū)別.

2、當(dāng)集合用描述法給出時，一定要注意描述的是點還是數(shù).

【變式3-1］（2024?全國.模擬預(yù)測）已知集合4={乂工=3左+l,%eZ},則下列表示正確的是（）.

A.-2eAB.2023髭A

C.3左2+1仁AD.—35更A

【變式3-2］（2024?貴州貴陽?模擬預(yù)測）若集合A={x|2如-3>0,加ER},其中2?2且1”,則實

數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

333333

A.B.D.

了54,24,2

【變式3-3]已知4=卜,—奴+1叫，若2e/,且3走A,貝!的取值范圍是()

*出10

A.2'3)B.(2,3C.D.

題型四：集合與集合之間的關(guān)系

【典例4?1】(2024.四川德陽.三模)已知集合4={尤[1<%<2024},B={x\x<a}f若A±B,則實數(shù)

a的取值范圍是()

A.(2024,4w)B.[2024,+oo)C.(—oo,2024]D.(—8,2024)

【典例4?2】(2024.全國.模擬預(yù)測)已知集合{1,0}之8{-1,0,1,2},則滿足條件的集合6的個數(shù)為

()

A.3B.4C.5D.6

【方法技巧】

1、注意子集和真子集的聯(lián)系與區(qū)別.

2、判斷集合之間關(guān)系的兩大技巧：

(1)定義法進(jìn)行判斷

(2)數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行判斷

【變式4-1](2024?河南駐馬店?一模)已知集合

M=卜x=萬+7發(fā)ez},N=1x卜=工+萬,左eZ；,/eM,則5與N的關(guān)系是()

A.x0&NB.XQ^N

C.%CM且X°￡ND.不能確定

【變式4-2】已知集合M,Nu/,若McN=N,貝|()

A.砸3]NB.M7QNC.枷7]ND.M

【變式4-3](2024青海西寧.二模)設(shè)集合4={1,2。+1},3={3,4-1,3所2},若4=3,則。=()

A.-2B.-1C.1D.3

題型五：集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算

【典例5-1】已知集合4={x|(x-2)(x-5)V。},B={x||3-2x|<5},則僅A)I8=()

A.(-1,2)B.[-1,2]C.[-1,2)D.(-1,2]

【典例5-2】(2024?廣東深圳?二模)對于任意集合下列關(guān)系正確的是()

A.M及K=MNB.瘠NWN)=(MNMH&NN)

C.MNN=MND.fW(MN)=(M'M)&M

【方法技巧】

1、注意交集與并集之間的關(guān)系

2、全集和補(bǔ)集是不可分離的兩個概念

【變式5-1】已知集合0=：?,A={y[y=g^+GT},臺二卜卜一/4),則g(AB)=()

A.[0,1)B.(0,1]

C.(-oo,0]u(l,+oo)D.(^o,0)u[l,+co)

【變式5-2](2024?四川德陽?二模)己知集合4=何必一了一22。},5=3y=lnx},貝|(①勾八8=

()

A.{.r|0<x<1}B,{x[0<x<2}

C.{x|-l<x<2}D.{x|x>2}

題型六：集合與排列組合的密切結(jié)合

【典例6-1】(2024?福建廈門?二模)設(shè)集合A={T,0,l},B={(^,x2,x3,x4,x5)|x;eA,?=1,2,3,4,51,那

么集合3中滿足14|玉|+國+國+聞歸3的元素的個數(shù)為()

A.60B.100C.120D.130

【典例6-2】(2024.全國?模擬預(yù)測)已知ABC的三個頂點的橫縱坐標(biāo)均在集合{1,2,3,4}內(nèi)，則這樣

的三角形共有()

A.64個B.125個

C.432個D.516個

【典例6-3】cwd(A)表示集合中元素的個數(shù)，card^B)=card(B\C)=card(CA)=l,且

ABC=0,則稱(4B,C)為N的“有序子集列”.現(xiàn)有N={1,2,3,4,5,6},則N的“有序子集列”的個數(shù)為

()

A.540個B.1280個C.3240個D.7680個

【方法技巧】

利用排列與組合思想解決集合或者集合中元素個數(shù)的問題，需要運(yùn)用分析與轉(zhuǎn)化的思想方法。

【變式6-1】設(shè)集合A={1,2,3,4},8={5,6,7},則從A集合到8集合所有不同映射的個數(shù)是（）

A.81B.64C.12D.以上都不正確

【變式6-2］已知AB=1,2,3,,2022,2023},則由集合A3構(gòu)成的集合{A,8}的個數(shù)為（）

A24（M5_22023B24045—22022

40462022

Q24046_22023￡）2_2

【變式6-3］（2024?高三?四川雅安?開學(xué)考試）已知集合。={%€2|14445},非空集合A三。,且A中

所有元素之和為奇數(shù)，則滿足條件的集合A共有（）

A.12個B.14個C.16個D.18個

【變式6-4］（2024?上海靜安?一模）已知直線依+勿+。=0的斜率大于零，其系數(shù)服b、c是取自集合

{-2,-1,0,1,2}中的3個不同元素，那么這樣的不重合直線的條數(shù)是（）

A.11B.12C.13D.14

題型七：容斥原理

【典例7-1】（2024?高三?北京?強(qiáng)基計劃）一群學(xué)生參加學(xué)科夏令營，每名同學(xué)參加至少一個學(xué)科考

試.已知有100名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)考試，50名學(xué)生參加了物理考試，48名學(xué)生參加了化學(xué)考試，學(xué)生總數(shù)

是只參加一門考試學(xué)生數(shù)的2倍，也是參加三門考試學(xué)生數(shù)的3倍，則學(xué)生總數(shù)為（）

A.108名B.120名C.125名D.前三個答案都不對

【典例7-2】“四書五經(jīng)”是中國傳統(tǒng)文化瑰寶，是儒家思想的核心載體，其中“四書”指《大學(xué)》《中庸》

《論語》《孟子》.某大學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀“四書”的情況，隨機(jī)調(diào)查了200位學(xué)生，其中閱讀過《大學(xué)》

的有60位，閱讀過《論語》的有160位，閱讀過《大學(xué)》或《論語》的有180位，閱讀過《大學(xué)》且閱讀

過《論語》及《中庸》的有20位.則該校閱讀過《大學(xué)》及《論語》但未閱讀過《中庸》的學(xué)生人數(shù)與

該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值是（）

A.0.1B.0.2

C.0.3D.0.4

【方法技巧】

容斥問題本身存在包容與排斥的一種計數(shù)問題，所以我們在處理這一類問題的時候必須要注意扣除掉

重復(fù)的部分，也要保證沒有遺漏，為了使重疊部分不被重復(fù)計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方

法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)

時重復(fù)計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理.

【變式7-1］（2024.高三.湖北.期末）某校高一年級有1200人，現(xiàn)有兩種課外實踐活動供學(xué)生選擇，要

求每個同學(xué)至少選擇一種參加.統(tǒng)計調(diào)查得知，選擇其中一項活動的人數(shù)占總數(shù)的60%到65%,選擇另一項

活動的人數(shù)占50%到55%,則下列說法正確的是（）

A.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有100人

B.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有180人

C.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有260人

D.同時選擇兩項參加的人數(shù)可能有320人

【變式7-2］（2024?高三?福建三明?期中）某班有45名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)、英語興趣小組.已知僅參

加一個興趣小組的同學(xué)有20人，同時參加語文和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)有9人，同時參加數(shù)學(xué)和英語興趣小

組的同學(xué)有15人，同時參加語文和英語興趣小組的同學(xué)有11人，則同時參加這三個興趣小組的同學(xué)有

人.

【變式7-3］（2024?江西?模擬預(yù)測）2021年是中國共產(chǎn)黨成立100周年，電影頻道推出“經(jīng)典頻傳：看

電影，學(xué)黨史”系列短視頻，傳揚(yáng)中國偉大精神，為廣大青年群體帶來精神感召.現(xiàn)有《青春之歌》

《建黨偉業(yè)》《開國大典》三支短視頻，某大學(xué)社團(tuán)有50人，觀看了《青春之歌》的有21人，觀看了《建

黨偉業(yè)》的有23人，觀看了《開國大典》的有26人.其中，只觀看了《青春之歌》和《建黨偉業(yè)》的有4

人，只觀看了《建黨偉業(yè)》和《開國大典》的有7人，只觀看了《青春之歌》和《開國大典》的有6人，

三支短視頻全觀看了的有3人，則沒有觀看任何一支短視頻的人數(shù)為一.

題型八：集合的創(chuàng)新定義運(yùn)算

【典例8-1］（多選題）（2024.山西.一模）群的概念由法國天才數(shù)學(xué)家伽羅瓦（1811-1832）在19世紀(jì)

30年代開創(chuàng)，群論雖起源于對代數(shù)多項式方程的研究，但在量子力學(xué)、晶體結(jié)構(gòu)學(xué)等其他學(xué)科中也有十分

廣泛的應(yīng)用.設(shè)G是一個非空集合，是一個適用于G中元素的運(yùn)算，若同時滿足以下四個條件，則稱G

對“”構(gòu)成一個群：（1）封閉性，即若a,beG,則存在唯一確定的ceG,使得c=ab-（2）結(jié)合律成立,

即對G中任意元素a,b,c都有（ab）c=a（bc）；（3）單位元存在，即存在eeG,對任意aeG,滿足

ae=ea=a,則e稱為單位兀；（4）逆兀存在，即任意aeG,存在bwG,使得。b=ba=e,則稱a

與匕互為逆元，分記作力.一般地，a3可簡記作功,。?？珊営涀餍??？珊営涀魈K，以此類推.正八邊

形ABCDE尸G”的中心為。.以e表示恒等變換，即不對正八邊形作任何變換；以「表示以點。為中心，將

正八邊形逆時針旋轉(zhuǎn);的旋轉(zhuǎn)變換；以加表示以Q4所在直線為軸，將正八邊形進(jìn)行軸對稱變換.定義運(yùn)算

“”表示復(fù)合變換，即/g表示將正八邊形先進(jìn)行g(shù)變換再進(jìn)行/變換的變換.以形如km/pueN,并

規(guī)定八=，"°=e）的變換為元素，可組成集合G,則G對運(yùn)算“”可構(gòu)成群，稱之為“正八邊形的對稱變換

群”，記作2.則以下關(guān)于2及其元素的說法中，正確的有（）

1

A.mr~eZ）8,且mr=r'm

B.Nm與，加互為逆兀

C.2中有無窮多個元素

D.2中至少存在三個不同的元素，它們的逆元都是其本身

【典例8-2】已知全集。且集合A、3是非空集合，定義=且xe用（Ac/?）},已知

A={x|-2cx<5},B=1x|x<3},則A（g）3=___.

【方法技巧】

1、集合的創(chuàng)新定義題核心在于讀懂題意。讀懂里邊的數(shù)學(xué)知識，一般情況下，它所涉及到的知識和

方法并不難，難在轉(zhuǎn)化.

2、集合的創(chuàng)新定義題，主要是在題干中定義“新的概念，新的計算公式，新的運(yùn)算法則，新的定理”,

要根據(jù)這些新定義去解決問題，有時為了有助于理解，還可以用類比的方法進(jìn)行理解。

【變式8-1］定義集合運(yùn)算：A3=卜|2=皿》+丫）,尤€4,”同，集合A={0,l},8={2,3},則集合

N8所有元素之和為一.

【變式8-2］如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集

A，4，,&keN*,左22）,且滿足AUAULUA*=U,那么稱子集組A，4,,4構(gòu)成集合。的一個左劃

分.若集合/中含有4個元素，則集合/的所有劃分的個數(shù)為（）

A.7個B.9個C.10個D.14個

【變式8-3］（2024.上海嘉定.二模）若規(guī)定集合E={0,1,2,，科的子集{%,%,%，，%}為E的第上

個子集，其中左=2q+2%+2%+-+2%，則E的第211個子集是—.

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1.(2023年北京高考數(shù)學(xué)真題)已知集合加={%|%+220},N={x|%-1<0},則McN=()

A.{x|-2<x<l}B.{x|-2<x<l}

C.{x\x>-2}D.{x|x<l}

2.(2023年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè)全集U=Z，集合

M={x|x=3k+l,kZ},N={x\x=3k+2,k^Z]f&j(MoN)=()

A.{x\x=3k,keZ}B.{x\x=3k-l,k^Z}

C.{x|x=3k-2,k^Z}D.0

3.(2023年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)己知等差數(shù)列{%}的公差為高，集合S=tosa“geN*},

若3={〃,。},則出2=()

A.-1B.--C.0D.士

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