平行四邊形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（華東師大版）（原卷版） 八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

專題18.5平行四邊形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1添加條件使成為平行四邊形】 1【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解】 2【題型3平行四邊形的證明】 3【題型4根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)】 4【題型5根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】 5【題型6根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】 6【題型7尺規(guī)作圖與平行四邊形的綜合運(yùn)用】 7【題型8坐標(biāo)系中的平行四邊形問題】 10【題型1添加條件使成為平行四邊形】【例1】（2024八年級(jí)下·山東臨沂·期中）如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BE交CD于點(diǎn)F，連接CE，BD．添加下列一個(gè)條件后，仍不能判定四邊形BCED為平行四邊形的是（

）A．∠ABD=∠DCE B．∠AEC=∠CBD C．EF=BF D．∠AEB=∠BCD【變式1-1】（2024八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，E，F(xiàn)是□ABCD對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件：，使四邊形AECF是平行四邊形．

【變式1-2】（2024八年級(jí)下·山東青島·期中）下列條件中，不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的條件是（

）A．AB∥CD，AB=CD B．AB∥CD，AD∥BCC．AB=AD，BC=CD D．AB=CD，AD=BC【變式1-3】（2024八年級(jí)下·廣東珠海·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上兩個(gè)不同點(diǎn)．連接AE，AF，CE，CF，添加一個(gè)條件使得四邊形AFCE是平行四邊形．

(1)請(qǐng)?jiān)谝韵逻x項(xiàng)中選擇所有符合條件的選項(xiàng)，將其序號(hào)填寫在下方橫線上．①AE⊥BD，CF⊥BD，E、F為垂足；②BE=DF；③AE=CF；④AE∥(2)選擇其中一個(gè)條件，寫出證明過程：我選擇________，證明過程如下：【題型2根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解】【例2】（2024八年級(jí)下·河北滄州·期中）如圖，E為平行四邊形ABCD邊BC上一點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為DE，AE的中點(diǎn)，若△DCE與△ABE的面積之和為6，則四邊形DAGF的面積是．【變式2-1】（2024八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將△ECD沿直線ED翻折至平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)，得到△EC′D，連結(jié)DC′，并延長(zhǎng)DC′，BA交于點(diǎn)F，若CD=【變式2-2】（2024八年級(jí)下·浙江湖州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=2，D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，設(shè)此平行四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)為O，則BO的長(zhǎng)為【變式2-3】（2024八年級(jí)下·重慶北碚·開學(xué)考試）在平行四邊形ABCD中，∠A的角平分線把邊BC分成長(zhǎng)度為4和5的兩條線段，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．13或14 B．26或28 C．13 D．無(wú)法確定【答案】B【題型3平行四邊形的證明】【例3】（2024八年級(jí)下·寧夏石嘴山·期中）在△ABC中，AC=BC，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，點(diǎn)D恰好落在BC邊的延長(zhǎng)線上．(1)求證：AE∥(2)連接CE，判斷四邊形ABCE的形狀，并說明理由．【變式3-1】（2024八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，且AO=CO，點(diǎn)E在BD上，滿足∠DAO=∠ECO．

(1)求證：四邊形AECD是平行四邊形；(2)若AB=BC，若CD=10，AC=16，則DE=______．【變式3-2】（2024八年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線交AD,BC于P,Q兩點(diǎn)，交BA，DC的延長(zhǎng)線于M,N兩點(diǎn)．

(1)求證：AP=CQ；(2)連接DM,BN，求證：四邊形BNDM是平行四邊形．【變式3-3】（2024八年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG∥AB交的EF延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，且FG=EF．

圖1

圖2(1)如圖1，求證：四邊形BDGE是平行四邊形；(2)如圖2，連接BF，若AC=BF，AD=BD，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中長(zhǎng)度與AF長(zhǎng)度相等的所有線段（不包括線段AF）．【題型4根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求線段長(zhǎng)】【例4】（2024八年級(jí)下·新疆喀什·期中）如圖，AD∥BC，∠B=60°，BA=AD=DC=1，則BC的長(zhǎng)為（

A．1 B．2 C．3 D．4【變式4-1】（2024八年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，已知四邊形ABCD和四邊形BCEF均為平行四邊形，∠D＝60°，連接AF，并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)P，若AP⊥BE，AB＝3，BC＝2，AF＝1，則BE的長(zhǎng)為（）A．5 B．26 C．25 D．32【變式4-2】（2024八年級(jí)下·河北廊坊·期中）如圖，在?ABCD中，AB=2AD，∠A=60°，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，EF=1cm，那么對(duì)角線BDA．1cm B．2cm C．23【變式4-3】（2024八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，在?ABCD中，AB=13，AD=5，AC⊥BC，則BD的長(zhǎng)為（

）A．6 B．61 C．12 D．2【題型5根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求角度】【例5】（2024八年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，在△ABC中，∠A＝70°，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△A′BC′，點(diǎn)A′恰好落在AC上，連接A．110° B．100° C．90° D．70°【變式5-1】（2024八年級(jí)下·北京東城·期中）在?ABCD中，BC=2AB，若E為BC的中點(diǎn)，則∠AED=．【變式5-2】（2024八年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，△ABC中，AB=AC，∠ABC=68°，△DBE由△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)所得，若點(diǎn)C在DE上，連接AE，則∠EAC=°．【變式5-3】（2024八年級(jí)下·河北唐山·期中）已知如圖，直線CB∥OA，∠C=∠OAB=120°，E、F在CB上，且滿足∠FOB=∠AOB，OE平分（1）若平行移動(dòng)AB，那么∠OBC:∠OFC的值是；（2）在平行移動(dòng)AB的過程中，當(dāng)∠COE=（度）時(shí)，∠OEC=∠OBA．【題型6根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)求面積】【例6】（2024八年級(jí)下·海南儋州·期中）如圖，四邊形ABCD中，AG⊥BC交BC于點(diǎn)G，AB=CD=5，AG=4，CG=2BG，點(diǎn)P在AC上，E、F分別在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，AB∥CD，連接

A．24 B．20 C．18 D．16【變式6-1】（2024八年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，且AM=6，BD=12，AD=45，則該平行四邊形的面積為

【變式6-2】（2024八年級(jí)下·山東濟(jì)南·期中）如圖，△ABC的面積為5，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△EBF，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△DFC，連接EA，DA，當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，四邊形ADFE的面積為．

【變式6-3】（2024八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）如圖①，P為△ABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不在直線AC上)，∠ABC=90°，AC=2BC=4，D為AC邊中點(diǎn)，操作：以PA、PB為鄰邊作?PAMB，連接PD并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，使PD=DE，連接CE、ME．

(1)探究：判斷ME與BC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；(2)應(yīng)用：如圖②，當(dāng)點(diǎn)P，M，E在同一條直線上，且M為PD中點(diǎn)時(shí)，平行四邊形PAMB的面積為_________．【題型7尺規(guī)作圖與平行四邊形的綜合運(yùn)用】【例7】（2024八年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上，小谷想在平行四邊形ABCD里面再剪出一個(gè)以AE為邊的平行四邊形，小谷的思路是：在BC的左側(cè)作∠BCF=∠DAE，將其轉(zhuǎn)化為證明三角形全等，通過一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形使問題得到解決，請(qǐng)根據(jù)小谷的思路完成下面的作圖與填空．

(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：在BC左側(cè)作∠BCF，使∠BCF=∠DAE，CF與對(duì)角線BD交于點(diǎn)F，連接AF，(2)根據(jù)（1）中作圖，求證：四邊形AECF為平行四邊形．證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，①∴②．在△AED與△CFB中，∵∠DAE=∠BCFAD=BC∴△AED≌△CFBASA∴AE=CF，③．∴180°?∠AED=180°?∠CFB，即∠AEF=∠CFE，∴④．∴四邊形AECF為平行四邊形．【變式7-1】（2024八年級(jí)下·北京懷柔·期中）在數(shù)學(xué)課上，老師布置任務(wù)：利用尺規(guī)“作以三點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的平行四邊形”．

小懷的作法如下：①分別連接線段AB，②以點(diǎn)A為圓心，BC長(zhǎng)為半徑，在BC上方作弧，以點(diǎn)C為圓心，AB長(zhǎng)為半徑，在AB右側(cè)作弧，兩弧交于點(diǎn)D；③分別連接線段CD，DA．所以四邊形根據(jù)小懷的作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：∵AB=_________，BC=__________，∴四邊形ABCD是平行四邊形（________________________）（填推理的依據(jù)）．【變式7-2】（2024八年級(jí)下·重慶·期中）如圖，在?ABCD中，AB>BC，點(diǎn)E為?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且△ADE為等邊三角形．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：以BC為邊在?ABCD內(nèi)作等邊△BCF．（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)在（1）所作圖形中，連接CE、AF，猜想四邊形AFCE的形狀，并證明你的猜想．【變式7-3】（2024八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：無(wú)刻度直尺作圖：“無(wú)刻度直尺”是尺規(guī)作圖的工具之一，它的作用在于連接任意兩點(diǎn)、作任意直線、延長(zhǎng)任意線段．結(jié)合圖形的性質(zhì)，只利用無(wú)刻度直尺也可以解決一些幾何作圖問題．如圖1，已知點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，分別以PA、PB為邊在AB的同側(cè)作△PAC與△PBD，其中CA=CP，DP=DB，∠ACP=∠PDB．求作：線段PC的中點(diǎn)E．按照常規(guī)思路，用尺規(guī)作線段PC的垂直平分線，垂足即為PC的中點(diǎn)．仔細(xì)分析圖形，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，只用無(wú)刻度的直尺連接線段AD，AD與CP交點(diǎn)E即為PC的中點(diǎn)（如圖2）．證明：連接CD．∵CA=CP，∴∠CAP=∠CPA（依據(jù)1），∵∠CAP+∠CPA+∠ACP=180∴∠CAP=180°?∠ACP……(1)【任務(wù)1】寫出上述證明過程中依據(jù)1的內(nèi)容：________．(2)【任務(wù)2】請(qǐng)補(bǔ)全證明過程．(3)【任務(wù)3】如圖，在平行四邊ABCD中，點(diǎn)E是CD邊的中點(diǎn)．求作：△ABQ，使△ABQ的面積與平行四邊ABCD的面積相等．（要求：利用無(wú)刻度直尺作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法．）【題型8坐標(biāo)系中的平行四邊形問題】【例8】（2024八年級(jí)下·天津西青·期中）如圖，在平面坐標(biāo)系中，直線l:y=kx+b分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A?32(1)求直線l的解析式；(2)若點(diǎn)C是y軸上一點(diǎn)，且△ABC的面積是154，求點(diǎn)C(3)在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸時(shí)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式8-1】（2024八年級(jí)下·廣東佛山·期中）如圖1，在ΔCEF中，CE=CF，∠ECF=90°，點(diǎn)A是∠ECF的平分線上一點(diǎn)，AG⊥CE于G，交FE的延長(zhǎng)線于B，AD⊥AE交CF的延長(zhǎng)線于D，連接BC．（1）直接寫出∠ABF的大小；（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（3）建立如圖2所示的坐標(biāo)系，若BG=2，BC=29，直線AD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到直線l，求直線l【變式8-2】（2024八年級(jí)下·重慶江北·期中）如圖，平面直角坐標(biāo)系中有△ABC．(1)求出AC所在直線的解析式．(2)已知一條與AC平行的直線y=kx+bk≠0在坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)，且與△ABC有交