向量綜合歸類(lèi)-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（解析版）

專(zhuān)題4向量綜合歸類(lèi)

目錄

講商考....................................................................................1

題型全歸納...............................................................................4

【題型一】向量夾角...............................................................4

【題型二】線性運(yùn)算1：基底型基礎(chǔ)..................................................7

【題型三】線性運(yùn)算2：雙線交點(diǎn)型..................................................9

【題型四】線性運(yùn)算3：“趙爽弦圖”模型.............................................13

【題型五】向量基底“象限坐標(biāo)軸”................................................16

【題型七】向量最值..............................................................19

【題型八】數(shù)量積................................................................23

【題型九】模及其應(yīng)用............................................................25

【題型十】投影..................................................................27

【答案】-1..............................................................................................................................................27

【題型十一】面積與奔馳定理......................................................28

專(zhuān)題訓(xùn)練........................................................................32

講高考

1.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知向量￡石滿(mǎn)足|大=1,向=退,值-2加=3,則￡%=（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

【詳解】解：'：\a-2b|2=|3|2-45-6+4^|2,

X\a\=\,\b|=V3,\a-2b|=3,；.9=1-4晨1+4*3=13-4晨彼，a-b-1故選：C.

2.（福建?高考真題）已知|次|=1,|礪卜百，火.方=0,點(diǎn)C在/內(nèi)，且N/OC=30。.

-------?----m

設(shè)OC=mOA+nOB（m、〃￡R）,則一等于（）

n

A.1B.3CgD.V3

【答案】B

【分析】由題意可得方，無(wú),建立坐標(biāo)系，由已知條件可得詼=（m,6"）,進(jìn)而可得

an300=—=—，即可得答案.

tm3

【詳解】解：因?yàn)镮厲1=1,1礪1=6,少?麗=0，

所以近，礪，又因?yàn)辄c(diǎn)C在2493內(nèi)，且//OC=30。，建立如圖所示的坐標(biāo)系：

所以竺=3.故選：B.

n

3.（山東?高考真題）在直角。3C中CD是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（）

A.［珂=就.焉B.\CB^BA-BC

,i—I?（AC-AB）-（BA-BC）

c.［AB^12AC-CDD.\CD\=A——JA——）

11\AB\

【答案】c

【分析】根據(jù)向量模、數(shù)量積的運(yùn)算對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，-|3c|-|Z5|?cosA=^4c\-\AC\=|^c|2,A選項(xiàng)正確.

B選項(xiàng)，A4-5C=|5c|■|-cos5=|5C|-|5C|=|5c|2-|c^|2-B選項(xiàng)正確.

c選項(xiàng)，IZC-C5=（28+5C）CZ）=Z8C5+SC-C5

=|西阿.（-cos4。）=-函，網(wǎng)2,C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

D選項(xiàng)，根據(jù)三角形的面積公式可知：

；網(wǎng)西昌國(guó)?同阿.|可=阿.函;

結(jié)合AB選項(xiàng)的分析可知：

—H2

CD\,D選項(xiàng)正確.故選：C

2

畫(huà)14

C

4.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）在中，點(diǎn)。在邊45上，BD=2DA.記聲=麗麗=元,

則屈=（）

A.3玩一2五B.-2m+3nC.3玩+2元D.2玩+3元

【答案】B

【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運(yùn)算即可解出.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在邊上，BD=2DA,所以麗=2萬(wàn)3，即CD-C3=2（C4-CD）,

所以赤=3比一2Z=3l-2碗=-2玩+3萬(wàn).

故選：B.

5.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)拋物線C:必=2.（°>0）焦點(diǎn)廠的

直線與C交于48兩點(diǎn)，其中N在第一象限，點(diǎn)M（〃0）,若貝!］（）

A.直線的斜率為2面B.|O5|=|OF|

C.|>4|OF|D.Z0AM+Z0BM<ISO0

【答案】ACD

【分析】由=及拋物線方程求得/（￥，孚），再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表

示出直線Z8的方程，聯(lián)立拋物線求得3（5,_孚），即可求出|。邳判斷B選項(xiàng)；由拋物線

的定義求出|四=當(dāng)即可判斷C選項(xiàng)；由次.礪＜0,疝.礪＜0求得NAMB為

鈍角即可判斷D選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,易得尸（5,0）,由|/尸|=H"|可得點(diǎn)A在的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫

P

坐標(biāo)為2+2二32,

2一彳

代入拋物線可得好=2小/=|/,則/（學(xué),殍），則直線的斜率為藥、=2&,

T-i

A正確；

L1D

對(duì)于B,由斜率為可得直線N3的方程為x=1府了+冷，聯(lián)立拋物線方程得

/_e加一,2=0,

設(shè)8（國(guó),乂），則41?+必=逅2，則必=一也，代入拋物線得

263

%",則%，-孚），

則阿=:―+F孚j=辛刈明=mB錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由拋物線定義知：\AB\=^-+^+p=^＞2p=4\OF\,C正確；

對(duì)于D,無(wú)麗=（孝坐嗚，一字）/卜孚］一半卜一號(hào)＜0,則405為

鈍角，

乂加而=（號(hào)孚）.（T，-孚）=/卜曰+*1-孚｝-平＜0,則

為鈍角，

又ZAOB+AAMB+NOAM+ZOBM=360°,則ZOAM+ZOBM＜180°,D正確.

6.（全國(guó)?高考真題）向量汰3滿(mǎn)足（力＞3+辦=-4,且⑷=2,向=4,則萬(wàn)與不夾角的

余弦值等于.

【答案】-^##-0.5

【分析】禾！］用向量數(shù)量積公式得至IJ（3-袱）?（23+司=2）2-戶(hù)一3%=8-16-8cos6=-4,解

出即可.

【詳解】0-3＞（24+3）=2東-后一色石

:=2|殲-向2-|萬(wàn)防|cosd

=2-22-42-2-4-COS6（

=8-16-8cos。

=-4

解得cos6=-1.

2

故答案為：

2

7.（2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題）設(shè)向量刃的夾角的余弦值為:，且同=1,問(wèn)=3,則

（2a+b）-b=.

【答案】11

【分析】設(shè)￡與書(shū)的夾角為0,依題意可得cosO=；,再根據(jù)數(shù)量積的定義求出最后

根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得.

【詳解】解：設(shè)￡與］的夾角為。，因?yàn)椤昱c］的夾角的余弦值為:，即cos8=g,

又.|=1,利=3,所以a4=".Wcos0=lx3xg=l,

所以（2￡+可%=2￡%+7=2々%+|邛=2x1+3?=11.

故答案為：11.

題型全歸納

【題型一】向量夾角

【講題型】

例題L己知平面向量￡、5、"滿(mǎn)足上"-@=F-2可=1,貝1工-45與125所成夾角的最大值

是（）

.兀c乃c2九「5〃

A.-B.一C.—~D.--

6336

【答案】A

【分析】

設(shè)￡-2"與夾角為a，￡-4坂與"-2族所成夾角為尸，利用平面向量的數(shù)量積可得出

cos￡＞0,并可得出COS2￡=（2+C°SC）=三+5+4cosa——利用基本不等式可

5+4cosa81616（5+4cosa）

求得cos￡的最小值，可得出〃的取值范圍，即可得解.

【詳解】

設(shè)Z-2"與"-2%夾角為a，Z-4B與工-2族所成夾角為尸,

a-4刃=（a-2c）+2（c-2否），

所以，|a-4S|=|o-2c|+4k-2@+4|a-2c|jc-2/j|cosa=5+4cosa,①

僅一44伍一2%[(120+2僅一2訓(xùn).僅一2?=(12?&2?+2p_2邛

=2+cosi>0,②

又.=L-4^1-1c-2^1cos0=L-4^1cos/?>0=>cos/?>0,③

②與③聯(lián)立可得卜一倒cos'=2+cosa=>卜一4@?cos2y0=(2+coscr)2,④

???①④聯(lián)立可得

(2+cos<7)2COS26Z-1.16cos2a-25+935+4cosa9

cos2/?1------------=1+-------------=1+---------------------=一+-------+----------

5+4cosa5+4cosa16(5+4cosa)81616(5+4cosa)

、3_(5+4cosa93

8V1616(5+4cosa)4

當(dāng)且僅當(dāng)cose=-；時(shí)，取等號(hào)，cos2/7>|^cos^>^,?”?()/],則匹0,今

故￡一痛與25所成夾角的最大值是￡，故選：A.

O

例題2.已知單位向量b,己滿(mǎn)足@-3B=2缶，則B與1+揚(yáng)夾角的余弦值為（）

A.--B.--C.--D.--

3223

【答案】A

【分析】_

根據(jù)萬(wàn)，b，己為單位向量，變形后平方可得：a-b=\,b-c=-^,a-c=0,利用夾角

_33

公式求出彼與3+8/夾角的余弦值.

【詳解】

a,b，3為單位向量.

對(duì)4-3石=2岳兩邊平方，即片-6展5+/=2后2,可得：a-b=1；

由=可得：a=2A/2C+3b>兩邊平方，可得：b-c=-----;

3

由3-35=27^可得：a-242c=3b,兩邊平方，可得：a-c=0,所以

\a+V2c|=Va2+2>/2a-c+2c2=6.

。（3+后）

cos(b,a+42c)=故選:A

酢+母

【講技巧】

求平面向量夾角的方法：

一7a?b一一

（1）定義法：利用向量數(shù)量積的定義得cos<a,6>=H^,其中兩向量<°力>的取值

范圍是［0,司；

(2)坐標(biāo)法：若非零向量。=(%%)、6=(孫%)，貝心0S<%6>=&+；2點(diǎn)+,.

兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有a力>0,反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有。力

反之不成立

【練題型】

1.已知。=(cosa,-l,sina),B=(sina,-l,cosa),則向量Z+B與Z—石的夾角為()

A.90°B.60°C.30°D.0°

【答案】A

【分析】

結(jié)合空間向量的夾角坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換化簡(jiǎn)求出夾角的余弦值，進(jìn)而可得到結(jié)

果.

【詳解】

因?yàn)椤?(cos%-1,sina),b=sincr,-l,coscr),

所以a+B=(cosa+sina,-2,sina+cosa),a-b=(cosa-sina,0,sina-cosa),

設(shè)向量Z+B與Z-B的夾角為夕，則

cosa+sina)x(cosa-sina)+(-2b0+gina+cosa)^ina-cosa)

cos0=

cos6Z+sin6Z)2+(-2)2+gina+cosajxa-sma)+02+iina-cosa

cos2a—sin2a+0+sin2a-cos2a

=0,

V6+2sinlaxj2-2sin2a

2.已知向量刃滿(mǎn)足忖=2,6=(1,1),a-b=-2>設(shè)￡與￡+5的夾角為。，則cos(9=

1「V2V2

A，—2B.——V/?----D.

22~2

【答案】c

【分析】

由已知條件,求出卜+@及q.(a+B),然后利用向量的夾角公式即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)椴?=2,h=(l,l),=-2，所以.==后,

=，

3.已知兩個(gè)單位向量3的夾角為三，則之與的夾角為(

“兀《_271

A.—BCD.——

3-T3

【答案】A

【分析】

先由數(shù)量積的定義及運(yùn)算律求出［伍-5)弧/，再由夾角公式求解即可.

【詳解】

f/ff2ff11TT12

a'\a-b^=a-a-b=l-lxlx—=—\a-b—2a,b+b-1,

設(shè)￡與的夾角為氏則COS*"：（"』=2=L又6?0，句，則之與的夾角為R

忖卡-@1x123

故選：A.

【題型二】線性運(yùn)算1：基底型基礎(chǔ)

【講題型】一一一

例題1.在中，BD=DC，AP=PD^且麗=2益+〃％,貝!M+M=（）

11

A.1B.—C.-----D.-1

22

【答案】c

【分析】

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得而=-^益，再結(jié)合而=2萬(wàn)+〃k,求

得以九〃的值，即可求解.

【詳解】

由題意在ANBC中，BD=DC,AP=PD^

—?1—■1—■1—■1—-

根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：BP=-BA+-BD=-BA+-BC

2224

1—?1/—?—?\3—?1—?

二——AB+-\AC-AB\^——AB+-AC,

24、744

—?—?—?31311

又由RP=+〃幺C,所以2=-^，〃=^，所以2+〃=-^+^=-5,故選：,

例題2.設(shè)。為AZBC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，BD=2DC,M為AD的中點(diǎn)，則而=（）

5—■1--1—■5—■

A.-AB——ACB.-AB——AC

6336

5—■1—.1—-5—■

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

6336

【答案】A

【分析】

畫(huà)出圖形，由平面向量的線性運(yùn)算法則結(jié)合圖形即可得解.

【詳解】

由題意畫(huà)出圖形，如圖，

因?yàn)榘偃f(wàn)=2萬(wàn)3，M為40的中點(diǎn),

—?2—■—■1—.

所以5。=—8C,MA=——AD,

32

所以=+二——4D+4B=——（AB+BD+Z5=-AB--x-BC

22、>223

「方」阮-益）=?方-匕花.故選：A.

23、>63

【講技巧】

用已知向量表示某一向量的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

（1）用已知向量來(lái)表示某一向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.

（2）要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，如首尾相接的若干向量之和，等

于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.

【練題型】

1.設(shè)M是AA8C邊BC上任意一點(diǎn)，N為AM的中點(diǎn)，若福=2萬(wàn)+〃％,則2+〃的值

為（）

,111

A.1B.—C.—D?一

234

【答案】B

【分析】

_____1_______1-/——t___

設(shè)BM=tBC，通過(guò)ZN=—ZM，再利用向量的加減運(yùn)算可得ZN=——AB+-AC,

222

結(jié)合條件即可得解.

【詳解】

設(shè)兩=辰，

則有

AN=-AM=-（AB+BM}=-AB+-tBC=^AB+-（AC-AB）=1-2^AB+-AC

22、'2222、'22

又款=2萬(wàn)+，

2=—

所以<，有2+〃=-----1—=-.故選B.

t222

______.—.1—.

2.已知在△NBC中，點(diǎn)M在邊8C上，且萬(wàn)心=一2而，點(diǎn)E在邊NC上，且AE=—EC,

2

則向量萬(wàn)面=()

1—-1—.1—-1—.

A.-AC+-ABB.-AC+-AB

2362

1—■1—■1—■3—?

C.-AC+-ABD.-AC+-AB

2662

【答案】B

【分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算得前=反+屈，由此可求出答案.

解：5C=-2CM>~AE=^EC,：.CM=EC=^AC,

：.EM=EC+CM=]-AC+-AB,故選：B.

62

3.已知在平行四邊形48CZ）中，點(diǎn)M、N分別是BC、C￡＞的中點(diǎn)，如果標(biāo)=￡,疝5=B，

那么向量麗=()

1-171-17一]7

A.—a——bB.——a+—oC.aH—bD.--a--b

2222222

【答案】B

【分析】

作出圖形，利用平面向量加法法則可求得結(jié)果.

【詳解】如下圖所示：/

3--------------?

???點(diǎn)M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，

:.MN=MC+CN=-BC+i-CD=]-AD-]-AB=-]-a+與.故選：B.

222222

【題型三】線性運(yùn)算2：雙線交點(diǎn)型

【講題型】

例題L如圖，A45C中，AD=DB,AE=EC,CD與BE交于F,設(shè)/1=1，AC=b

)

C.Ki

【分析】

延長(zhǎng)4F交3C于點(diǎn)由于4D=DB,AE=EC,CD與BE交于F,可知：點(diǎn)尸是

AA8C的重心，利用三角形重心的性質(zhì)和向量的平行四邊形法則即可得到答案.

【詳解】

延長(zhǎng)4F交8C于點(diǎn)M；?/AD=DB,AE=EC,CD與BE交于

R

F,

—2——1——

...點(diǎn)/是A45C的重心，AAF=-AM,AM=-{AB+AC),

f2f2

/.AF=-AM=-x-(^+AC)=-(AB+AC)=-a+-b又?:AF=xa+yb

332333J

1

x二一

］，貝I」(x,y)為；故答案選A

y=-

-3

例題2.在AZBC中，~AD=2DB，BE=2EC＞直線CD與NE交于點(diǎn)P,若

AP=mAB+nAC?貝!!(叫〃)=()

Ac仁』D仁朗

〔7司B〔7旬〔7旬〔7另

【答案】D

【分析】

由向量三點(diǎn)共線，以及由基底的不同表示，由此能求出加，n.

因?yàn)槎?2反，所以

2—■2—?

=-AC--AB

33

—*—*—*—*2—*2—*2—-1—*—?—?2s--s--

AE=AB+BE=AB+-AC--AB=-AC+-AB。設(shè)/尸=s/E='/C+士AS

333333

所以。「=/尸一/。=[§-5卜3+3/。，DC=AC-AD=一一AB+AC?由。、P、。共

線，所以麗//皮

s__22

￡一￡T56——?2——?4——?74

/.=—:.s=-：.AP=-AB+-AC：.m=~,n=—.故選：D.

_2177777

-3

【講技巧】

向量共線定理(兩個(gè)向量之間的關(guān)系)：向量刃與非零向量Z共線的充要條件是有且只有一

個(gè)實(shí)數(shù)2,使得7筋.

變形形式：已知直線/上三點(diǎn)A、B、P,O為直線/外任一點(diǎn)，有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,

使得：OP=(1-A)-OA+A-OB.

特別提醒：共線向量定理應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn)：向量共線的充要條件中要注意“￡工臚，否

則2可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè).證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線來(lái)解決，但應(yīng)注意

向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線；

另外，利用向量平行證明向量所在直線平行，必須說(shuō)明這兩條直線不重合.

【練題型】

I.AABC中，M、N分別是8C、ZC上的點(diǎn)，且8河=2MC,AN=2NC,AM與BN

交于點(diǎn)P,則下列式子正確的是（）

人那+?就

A.Jp=-AB+-ACB.

42

11-1—?1—?

C.-AB+-ACD.AP-=-AB+-AC

2442

【答案】D

【分析】

MP1—■3——?

作出圖形，連接MN,利用相似三角形計(jì)算得出一=一，進(jìn)而可得出=結(jié)

AP34

合平面向量的基本定理可得解.

【詳解】

如下圖所示：

、-g,NCMC1PMMN_]

連接JW,n則——=——=—,，MN//AB，?:AAPMNs&AAB,

ANBM2~AP~BC~3

因此,

石4?。西+嬴）4方+泊卜

3—?1/--—■\1—?1—■

=-AB+-(AC-AB]=-AB+-AC.

42、'42

故選：D.

，一-1一->1

2.如圖，在AZBC中，AD=-AB,AE=-ACBE和CD相交于點(diǎn)尸，則向量弱等

49

于（）

].3f

B.-AB+-AC

77

].2f].3f

C.—AB+—ACD.—AB+—AC

14141414

【答案】B

【分析】過(guò)點(diǎn)E分別作N7/N3交NC于點(diǎn)作FN//AC交.AB于氤N,由平行線

―>i—>―>1―>―>3->

得出三角形相似，得出線段成比例，結(jié)合2。=—4B,AE=-AC,證出ZM=—Z。和

427

—>1->

AN=-AB,最后由平面向量基本定理和向量的加法法則，即可得薪和N"表示XF-

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)廠分別作EM//48交ZC于點(diǎn)M,作下N///C交48于點(diǎn)N,

f16f1f

已知AD=-AB,AE=-AC,-：FNI/AC,則AMFE?AABE和AMCF-AACD,

42

MC

MFMEcMFMCMF2ME-——

——=——且——=——，即an：——=----且rl1~AC所以

ABAEADACABAC-AB

4

MF2ME^MC,

AB—AC-AC

3-3―

則：MC=8ME,所以/M=—ZC,解得：AM=-AC,

77

NFNBNFND

同理FM//AB,叢NBF~dABE和叢ANFD~AACD，則：--------且----=----，

AEABACAD

NFNBNFND1

-------------------------——NR

即：1“28且ZC14R，所以NF24ND,

24ACABAB

則：NB=8ND,即ZB—ZN=8（AD—ZN）,

所以/B-/N=81；A8-NN],即ZB—NN=2Z5—8ZN,得：AN=；AB,

f1f.

解得：AN=-AB,?.?四邊形ZMF"是平行四邊形，

7

—>i3f

..?由向量加法法則，得辦=/+向，所以ZEu'/B+'ZC.

故選：B.

—?1—?—?2—?—>

3.在AZBC中，BE=iBA,AD=m4C,BD,CE交于息F,則8歹=()

2—?1——>1--?—?

A.一BA.~\—BCB?—BAT—BC

3363

1—2—1—1一

C.-BA+-BCD.-BA+-BC

4363

【答案】D

【分析】B,F,D三點(diǎn)、共線,~BF=^BD-進(jìn)而將於用前1c表示，同理利用CRE三

點(diǎn)共線，又將礪用詼，能表示，根據(jù)向量基本定理建立等量關(guān)系，即可求解.

—?——?—?——?2—?——?2——?——?1——?2——-

【詳解】由題意可知++=BA+-(BC-BA)=-BA+-BC

3333

__.24______________?____

；民乙。三點(diǎn)共線，.?.而=2而=3目+3-反"C,F,E三點(diǎn)、共線，：.而=而，

----?----?----?----?----?----?----?1—II---------?----------?

BF-BE=〃(BC-BE),BF=〃BC+(1-〃)BE=^-BA+〃BC,

【題型四】線性運(yùn)算3：“趙爽弦圖”模型

【講題型】

例題L如圖所示,在中，設(shè)/=①/=6,4P的中點(diǎn)為。，8。的中點(diǎn)為R,

C7?的中點(diǎn)恰為P,則/=O

24-42-

A.-aH—bB.-a+-bC.-a+-bD.-a+-b

22337777

【答案】C

【分析】

由向量的三角形法則以及向量中點(diǎn)關(guān)系結(jié)合向量的基本定理可表示出AP-

【詳解】如圖，連接8尸，則/=衣+麗=3+麗＞?AP=AB+BP=a+RP-RB.②

①+②，得2衣=5+3-前.③

又而=；誣=；(/—0)=3|^_3衣］,@

—■_:1——24-

將④代入③，得2Ap=a+b—a---AP,解得/尸=——6.故選C.

212)17

例題2.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，

后人稱(chēng)其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方

形，如圖所示.在“趙爽弦圖”中，若病二，易=],康=3層，則族=（）

C.-ci-\—b

【答案】B

【分析】利用平面向量的加法法則和數(shù)乘向量求解.

【詳解】由題得

->->->—3ff3(―->3,3f

BF=BC+CF=BC+-EA=BC+—EB+BA=BC+---BF+BA

4J414J

f-3，3f，16t12—?16f12-

即5E=8C+———BF+BA,解得BF=—BC+—B4,^BF=—a+—b,

4(4)25252525

故選：B

【練題型】

L如圖是由等邊和等邊AKGC構(gòu)成的六角星，圖中的5,D,F,H,J,L均

____177

為三等分點(diǎn)，兩個(gè)等邊三角形的中心均為。.若刀=后元+〃如，貝!J—=()

【答案】B

【分析】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，C%為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為

2囪，得出點(diǎn)4CJ的坐標(biāo)，由向量的運(yùn)算可求得加，〃的值，可得答案.

【詳解】

由平行四邊形法則，OA=2OB+~dj=2(dC+W)+OJ=2dC+3dj，所以機(jī)=2,

11=3,所以2=2

n3

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。為工軸，。/為V軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為2省.則等邊三角形的高為

由3,D,F,H,J,L均為三等分點(diǎn),貝“。4|=gx3=2,|O/=gxG所以

/(0,2),J-------,0,Cy/3,1j

、3J

a4=(o,2),oc=(V3,i),a7=|-^,o|

6加-2拒"=0=3m2

所以3，解得°所以一=—故選：B.

m=2n3

m=2

2.如圖，在AA8C中，設(shè)荏=萬(wàn)，衣=5,4P的中點(diǎn)為。，3。的中點(diǎn)為R,CR的中

點(diǎn)為P,若N=〃夜+"5，貝!)"，+〃=()

6

C.D.1

7

【答案】C

1—.—.

【分析】根據(jù)平面向量基本定理及其幾何意義，結(jié)合條件可得值=萬(wàn)20+2QR及

3——一--——24-

-AP-QR=b,解方程可求得/0=+,即可得到m,n的值，所以得到

結(jié)果.___________________

【詳解】解：由題意可得用=2/，函=2函，

-.-AB=a=AQ+QB=^AP+2QR,①

__,__________________1____3_____

AC=AP+PC=AP+RP=AP+QP-QRAP+-AP-QR=-AP-QR=b,②

一24-

由①②解方程求得NP=—萬(wàn)+—b.

77

246

—._m=—，n=—，m+n=一

再由4P=加萬(wàn)+應(yīng)）可得777.

【題型五】向量基底“象限坐標(biāo)軸”

【講題型】

例題L如圖，OM//AB,點(diǎn)尸由射線、線段0B及AB的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不

含邊界）.S.OP=xOA+yOB，則實(shí)數(shù)對(duì)（x，N）可以是（）

【答案】A

【分析】

本題可利用平面向量基本定理和平行四邊形法則將四個(gè)答案一一代入,然后判斷點(diǎn)尸的位置,

排除錯(cuò)誤答案，即可得出結(jié)果.

【詳解】

根據(jù)平面向量基本定理和平行四邊形法則可知：

<_13、,則無(wú)=一!就+士礪=前+少赤，點(diǎn)尸在陰影區(qū)域內(nèi)，正確；

若取2_A

<4'幻4444

,則歷=一工科+工赤=正+:礪，點(diǎn)在直線的上方，錯(cuò)誤;

若取1P48B

155；5555

口_r,則無(wú)=工況—麗=上況+百點(diǎn)尸在直線的下方，錯(cuò)誤;

若取LL5,/oc

142,4242

,則無(wú)=—就+礪前+乙礪，點(diǎn)尸在射線上，錯(cuò)誤，

若取22=20MD

133J3333

故選：A.

例題2.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)向量萬(wàn)，OB=b>其中1=（3,

1）,b=（1，3）.若玩=入。+環(huán)，且?guī)Z吆狂1,那么C點(diǎn)所有可能的位置區(qū)域用陰

影表示正確的是（）

【答案】D

【分析】可以使用特殊點(diǎn)代入排除法，即取值，然后計(jì)算滿(mǎn)足條件點(diǎn)的位置，然后排除到一

定錯(cuò)誤的答案.

【詳解】當(dāng)入=口=1時(shí)，OC=Aa+/j.b=a+b=（4,4）,故可以排除C答案

當(dāng)入=尸0時(shí)，OC=^a