廣東省汕頭市2024年高考二模數(shù)學試卷

廣東省汕頭市2024年高考二模數(shù)學試卷

1.拋物線/=—16y的準線方程是（）

A.y=8B.y=4C.y――8D.y=-4

2.（3+2%產(chǎn)展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則〃的值為（）

A.8B.7C.6D.5

3.設％CR,則“%<0”是“l(fā)n（%+1）<0"的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若實數(shù)a,b滿足0<a<b,且a+b=l.則下列四個數(shù)中最大的是（）

A.④B.a2+b2C.2abD.a

5.袋子中有紅、黃、黑、白共四個小球，有放回地從中任取一個小球，直到紅、黃兩個小球都取到

才停止，用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率用1,2,3,4分別代表紅、黃、黑、白四

個小球，利用電腦隨機產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，以每三個隨機數(shù)為一組，表示取球三次的

結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下18組隨機數(shù)：

341332341144221132243331112

342241244342142431233214344

由此可以估計，恰好抽取三次就停止的概率為（）

A1R1「2n5

A-69L-9U-18

6.已知兩個等差數(shù)列2,6,10,…,202及2,8,14,200,將這兩個等差數(shù)列的公共項按從小

到大的順序組成一個新數(shù)列，則這個新數(shù)列的各項之和為（）

A.1678B.1666C.1472D.1460

7.已知三棱錐P—4BC的四個頂點都在球。的表面上，P41平面48C,AB1BC,且24=8,AC=6,

則球O的表面積為（）

A.10TTB.257TC.507rD.IOOTT

8.已知函數(shù)/（%）=aex-In%在區(qū)間（1,3）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的最大值為（）

1111

e3e3e3e6

9.某校高三年級選考生物科的學生共1000名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等

級分X的分數(shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為[30,100],若等級分X?N（80,25）,貝1）（）

1/9

參考數(shù)據(jù)：-0-<X</z+0-)=0.6827；P(〃-2(r<XW〃+2c)=0.9545；PQi-3ff<X<

〃+3cr)=0.9973

A.這次考試等級分的標準差為25

B.這次考試等級分超過80分的約有450人

C.這次考試等級分在［65,95］內(nèi)的人數(shù)約為997

D.P(70<X<75)=0.1359

10.如圖，函數(shù)/(%)=Btan(2久+0)(囪<*)的部分圖象與坐標軸分別交于點。、E、F,且△DEF

的面積為辛貝1)()

1點的縱坐標為

A.D1

B.-工)在(一看，看)上單調(diào)遞增

C.點(普,0)是/(%)圖象的一個對稱中心

D.f(x)的圖象可由y=V^tanx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼摹?縱坐標不變)，再將圖象向左

平移看個單位得到

11.用一個不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當圓錐的軸與截面所成的角不同時，可以得到不同的截

口曲線，也即圓錐曲線.探究發(fā)現(xiàn)：當圓錐軸截面的頂角為2a時，若截面與軸所成的角為9則截口曲

線的離心率e=迎,例如，當a=6時，e=l,由此知截口曲線是拋物線.如圖，圓錐SO中，M、N

cosa

分別為s。、S。的中點，AB、CD為底面的兩條直徑，且ABLCD、AB=4,SO=2,現(xiàn)用平面y截該

圓錐，貝1)()

A.若MNuy,則截口曲線為圓

2/9

B.若y與SO所成的角為60。，則截口曲線為橢圓或橢圓的一部分

C.若M、4、BGy,則截口曲線為拋物線的一部分

D.若截口曲線是離心率為迎的雙曲線的一部分，則。任y

12.寫出一個滿足(1+i)R,且|z|>2的復數(shù)z,z=.

13.已知直線久+y=a與圓/+y2=4交于/、3兩點，^-\0A+0B\=\0A-0B\>其中O為坐標

原點，則實數(shù)a的值為.

14.已知數(shù)列Ci：0,2,0,2,0,現(xiàn)按規(guī)則力每個0都變?yōu)椤?,0,2”,每個2都變?yōu)椤?,2,0”對

該數(shù)列進行變換，得到一個新數(shù)列，記數(shù)列九+1=/(0)，keN*,則數(shù)列。的項數(shù)為,設

Q的所有項的和為立,則s2n=.

15.△4BC中，內(nèi)角4、B、C的對邊分別為a、b、c.

(1)若sin/sinB+sinBsinC+cos2B=1,C=竽，求g的值；

(2)求證：=sin("B)

c2sinC

16.設/是由滿足下列條件的函數(shù)/(久)構(gòu)成的集合：①方程/(久)-*=0有實根；②/(久)在定義域

區(qū)間D上可導，且「。)滿足o</'(X)<1.

(1)判斷g(x)=/—粵+3,X6(1,+8)是否是集合〃中的元素，并說明理由；

(2)設函數(shù)/(久)為集合/中的任意一個元素，證明：對其定義域區(qū)間D中的任意a、￡,都有|/(a)-

?9)1W|a-你

17.2023年，我國新能源汽車產(chǎn)銷量占全球比重超過60%,中國成為世界第一大汽車出口國.某汽車

城統(tǒng)計新能源汽車從某天開始連續(xù)的營業(yè)天數(shù)X與銷售總量y(單位：輛)，采集了一組共20對數(shù)據(jù)，

并計算得到回歸方程y=0.67%+54.90,且這組數(shù)據(jù)中，連續(xù)的營業(yè)天數(shù)X的方差*=200,銷售總

量y的方差sj=90.

(1)求樣本相關系數(shù)外，并刻畫y與x的相關程度；

(2)在這組數(shù)據(jù)中，若連續(xù)的營業(yè)天數(shù)x滿足￡*好=2.2x104,試推算銷售總量了的平均數(shù)歹.

附：經(jīng)驗回歸方程;_取+出其中6=鼻空生之，a-y-bx

y-UKici/i](%._X)，a-yu入.

￡上l（x「x）（y「y）

樣本相關系數(shù)V5x2.236.

r=J端1（々-9?=1（%-3）2

18.如圖，矩形/BCD中，|AB|=4,\BC\=2.4、B】、①、B2分別是矩形四條邊的中點，設麗=2碼,

布=(1-4)砧(0<A<1).

3/9

(1)證明：直線BiR與B27的交點M在橢圓K：子+產(chǎn)=1上；

(2)已知尸0為過橢圓K的右焦點廠的弦，直線X。與橢圓K的另一交點為N,若MN〃PQ,試

判斷|PQ|、|MN|、|4〃21是否成等比數(shù)列，請說明理由.

19.日常生活中，較多產(chǎn)品的包裝盒呈正四棱柱狀，比如月餅盒.烘焙店在售賣月餅時，為美觀起見，

通常會用彩繩對月餅盒做一個捆扎，常見的捆扎方式有兩種，如圖(4)、(B)所示，并配上花結(jié).

(A)(B)

圖(4)中，正四棱柱4BCD—4/也1%的底面48co是正方形，且4B=3,AA1=1.

(1)若AH=4E=BiEi=B/i=CF=CG==D1H1=1,記點H關于平面F/GGi的對稱

點為Pi，點〃關于直線FiGi的對稱點為P2.

(i)求線段HPi的長；

(ii)求直線P1P2與平面ABCD所成角的正弦值.

(2)據(jù)烘焙店的店員說，圖(4)這樣的捆扎不僅漂亮，而且比圖(B)的十字捆扎更節(jié)省彩繩.你同意

這種說法嗎？請給出你的理由.(注意，此時/〃、AE、BiEi、BE、CF、CG、D0、。用1這8條線

段可能長短不一)

4/9

答案解析部分

L【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】B

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】C,D

10.【答案】A,B,C

U.【答案】B,C,D

12.【答案】3-3?

13.【答案】±2

14.【答案】5-3f5-3271T+1

15.【答案】(1)解：因為sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1,

所以sin/sinB+sinBsinf=1—cos2B=2sin2B,

由正弦定理知，ab+be=2b2,

即a+c—2b,

由余弦定理知,c2=a2+b2-2abcosC,

所以(2b—a)2=a2+b2-2abe0S7-,

整理得3b=(4+V2)a,

所以@_3_3(4")

所以廠4+g—14-

(2)證明.sin(<—8)_sinAcosB—cosZsinB

?sinC-sinf

由正弦定理矢口sinlcosB—cos/sinB_acosB—bcosZ

‘sinC-c

2+2_A2A2+2_2

ac7Ca22

由余弦定理知，acosB-bcosA_①2QC一、2bc_2a2-2板_a-b,

c-E-2c2--p-

所-sin(4—8)

m入.2-sinC,

16.【答案】(1)解：g(%)=*—粵+3,%￡(1,+8)是集合乂中的元素，

5/9

理由如下：

易知g，。)=號—(0])C(0,1),滿足條件②；

令F(x)—g(久)—x——冷--^―+3(久>1),

貝(]F(e)=一^|■+趣>0,F(e2)=—^-+2<0?

又F(x)在區(qū)間[e,e2]上連續(xù),所以FQ)在[e,e?]上存在零點久o,

即方程g(x)-x=0有實數(shù)根與G[e,e2],故g(%)滿足條件①，

綜上可知，g(x)eM.

(2)證明：不妨設aW/?,,；r(X)>0,f(x)單調(diào)遞增,

-??f(?)<即/⑹-fa)20,

令h(x)=f(x)-x,則"(x)=f'(x)-1<0,故/i(x)是單調(diào)遞減函數(shù),

/(a)-a,即/(6)—/(a)46—a,???0Wf⑹-f(a)W，-a,則有|/(a)—/⑹|<

17.【答案】(1)解：因為r=。廠元)(%一9)力211。1無)2,

心圖(々一元*2-1(%-9)2月幽(久「為(y「力2

.Z-=i3—%)2『R

J》=i(yi-y)2\sy

12000.67x2店ccccr

=0M.67x-7^-=---5—0.9987，

\903

可以推斷連續(xù)的營業(yè)天數(shù)%與銷售總量y這兩個變量正線性相關，且相關程度很強.

2

⑵解：???s]=W&(3_*)2=42魯-2xxt+%)

1

=20x22000-%2=1100-%2=200,

A%=30（負值已舍去），

而G=y—bx9從而歹=bx+a=0.67x30+54.90=75.

18.【答案】（1）證明：以公企所在直線為X軸，所在的直線為y軸，建立如圖所示的直線平面

坐標系：

6/9

依題意,R(22,0),7(2,1—4)Bi(0,-l),

則直線B]R的方程為y+1=古%，①

直線B2T的方程為y—1=—彳%,②

由①X②得：y2-1=-^x2,

即竽+y2=

故直線/A與B2T的交點M在橢圓K：竽+丫2=1上；

(2)解：|PQ|、|MN|、MM2I成等比數(shù)列，理由如下:

依題意，直線PQ、M0的斜率均不為零，

故設直線PQ的方程為久=my+V3,直線M0的方程為％=my,

（且+丫2=1

由，4,得（TH?+4）y2+2b771y—1=0,

%=my+V3

所以月+丫2=一簫,加2=一春，

所以|PQ|=2m2-|yi-y2|=4+加.J（一^^y—4.（一^；）=駕祟，

由忖7/得廠±3，

所以|MN|=J1+*.|y1—y2|=呼+1,

Vmz+4

又Hi&l=4,

所以|MN『=|PQ|.MM2I，

即|PQ|、|MN|、MM2I成等比數(shù)歹U?

19.【答案】⑴解:①如圖,以。1原點,直線DMi，DiQ,DiD別為x、v、z軸，建立空間直角坐

標系，

7/9

A

y

X

則Gi(O」O),%(230)G(021),

???布=(—2,2,0),序=(0」l),砧7=(220)，

設平面％FGGi的法向量為前={x,y,z）,

則有(&J=y+z=o,

iGi%?遠=2%+2y=0

?。?1,得適=(1,-1,1),

???點H到平面F/GGi的距離d=耳犁=4=W3；