線性代數(shù) 課件 趙建紅第11-13章 投影變換、切變變換、特征值與特征向量

第十一章投影變換

第十一章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容投影變換

投影變換通常是指將一個高維空間中的對象投影到一個低維空間中的過程.

在投影變換中，高維空間中的每個點都被映射到低維空間中的某個點上，通常是通過將高維空間中的每個點投影到低維空間的一個子空間或平面上來實現(xiàn)的.日晷是一種利用太陽投影的裝置，用于測量時間，見圖11-1.當(dāng)太陽光線投射到日晷上時，將三維空間中的指針變成日晷面（二維空間）上的影子，太陽的位置和時間會通過投影的影子來表示，從而實現(xiàn)了時間的測量和記錄.月食和日食是地球、月球和太陽之間的投影現(xiàn)象.當(dāng)月球或地球經(jīng)過太陽光線的投影區(qū)域時，就會出現(xiàn)月球或地球的投影遮擋了太陽光線，從而形成了月食或日食的現(xiàn)象。當(dāng)陽光透過樹葉時，樹葉的輪廓和紋理會投影到地面上，形成美麗的樹影.這種投影現(xiàn)象不僅在自然界中常見，也常常被人們用來欣賞和拍攝.本章主要介紹投影變換及其在幾何學(xué)和線性代數(shù)中的應(yīng)用.投影變換是一種幾何變換，用于將一個對象或空間中的點映射到另一個對象或平面上，以產(chǎn)生投影的效果.投影變換是一種幾何變換，它將一個對象或空間中的點映射到另一個對象或平面上，以產(chǎn)生投影的效果.在投影變換中，原始空間中的點被投影到目標(biāo)平面上，從而形成了投影圖像.這種變換常常涉及到點、直線和平面之間的關(guān)系，是在日常生活和工程應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一種現(xiàn)象.第一節(jié)投影變換及其矩陣表示比如，在建筑設(shè)計中，投影變換被廣泛用于繪制建筑的立面、平面圖和透視圖.建筑師可以通過投影變換將三維建筑模型投影到二維平面上，以便進行設(shè)計、規(guī)劃和施工.在工程繪圖中，投影變換被用于繪制工程零件、機械圖和裝配圖.工程師可以通過投影變換將三維工程模型投影到二維圖紙上，以便進行設(shè)計和制造.在攝影和攝像中，投影變換被用于捕捉和顯示物體的影像.攝影師可以通過攝像機的投影變換將三維場景投影到二維照片或視頻中，從而記錄和展示物體的形象.通過投影變換，可以實現(xiàn)物體的投影顯示、時間的測量和天文現(xiàn)象的觀測，為人們的生活和工作提供了重要的幫助和支持第一節(jié)投影變換及其矩陣表示投影變換將一個對象或者空間中的點映射到另一個平面或者曲面上，形成投影，見圖11-2.在投影變換中，原始空間中的點被映射到一個投影平面上，通常通過直線或射線的方式，保持了原始空間中的點與其投影之間的位置關(guān)系.投影點（像）的位置取決于原像相對于投影平面的位置和投影的方法.常見的投影方式包括平行投影和透視投影。第一節(jié)投影變換及其矩陣表示圖11-2投影的“正過程”在平行投影中，所有的投影線都是平行的.物體在投影平面上的大小不會隨著物體與投影平面之間的距離而變化，但是不同深度的物體大小關(guān)系可能會改變，產(chǎn)生近大遠(yuǎn)小的效果.平行投影常見于地圖制作、工程圖、建筑設(shè)計等領(lǐng)域.透視投影是一種模擬人眼看到物體的投影方式，投影線不是平行的，而是會匯聚到一個視點.隨著物體與觀察者之間距離的增加，物體在投影上的大小會逐漸減小，產(chǎn)生了近大遠(yuǎn)小的透視效果.透視投影常見于繪畫、攝影、電影制作和3D圖形學(xué)中，用于產(chǎn)生更加逼真的圖像效果，增強空間感和深度感.第一節(jié)投影變換及其矩陣表示在平行投影中，投影線與投影平面不一定垂直，若投影線與投影平面垂直時，對應(yīng)的是一種特殊的投影變換，正交投影.因為投影線與投影平面垂直，投影不會因為物體與投影平面之間的距離而發(fā)生變化，所以所有的平行線在投影上仍然是平行的，因此不會發(fā)生透視效果.正交投影保持了物體在不同深度上的大小關(guān)系，沒有近大遠(yuǎn)小的效果.在圖形學(xué)中，常用于技術(shù)繪圖、工程圖和CAD軟件等領(lǐng)域.第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示圖11-3關(guān)于直線的投影

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示

第一節(jié)投影變換及其矩陣表示投影變換及其矩陣表示回顧與小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第一題的1、3、6。作業(yè)題：課后習(xí)題A第2題。復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第十二章切變變換

第十一章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容切變變換

本章主要介紹了線性變換和線性方程組之間的對應(yīng)關(guān)系以及引入了切變變換的概念，討論了其在實際應(yīng)用中的作用：在坐標(biāo)變換和數(shù)學(xué)物理中的應(yīng)用.

說明了線性變換的矩陣表示和基底變換之間的關(guān)系，以及可逆線性變換的性質(zhì).在9-11章中，討論了一些特殊的線性變換，它們的幾何性質(zhì)各不相同，但都可以由矩陣表示.有的保持圖形的形狀和大小不變，變換前后的圖形全等，如旋轉(zhuǎn)、對稱和反射.有的雖然改變圖形的大小，但保持形狀不變，變換前后的圖形相似，如位似變換.

伸縮變換改變了圖形的形狀，將圓變?yōu)闄E圓，但仍將直線變?yōu)橹本€.投影變換將整個平面變成一條直線上，將某些直線變成一個點.

第一節(jié)切變變換對于給定矩陣與它對應(yīng)的變換具有什么性質(zhì)？通過前面的學(xué)習(xí)說明線性變換既可以改變物體的形狀，也可以改變物體的大小，那么線性變換可以保持物體的哪些性質(zhì)呢？下面的一些例子，通過作圖來觀察線性變換的幾何性質(zhì)，討論分析，看看所有的線性變換是否有一些共同的性質(zhì).第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

圖12-1常見的水平剪切和垂直剪切

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換圖12-2剪切變換的效果并不是由直線旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)

第一節(jié)切變變換從上面的論述中的可以總結(jié)得到：切變變換是一種線性變換，通過這種變換，對象在平面上沿著某個方向進行平移，同時沿著垂直方向進行拉伸或壓縮，從而改變了對象的形狀和大小，但保持了對象的面積不變.在切變變換中，對象的形狀會被扭曲，但平行線仍然保持平行，這保持了對象的平行性質(zhì).第一節(jié)切變變換特別在二維平面上對圖形進行切變變換的特點是圖形在水平或垂直方向上被拉伸或壓縮，分別被稱為水平切變（使圖形在水平方向上被拉伸或壓縮）和垂直切變（使圖形在垂直方向上被拉伸或壓縮）.除此之外當(dāng)在各個方向上均進行動作時所得的切變變換稱為傾斜切變（使圖形在水平和垂直方向上同時被拉伸或壓縮）.第一節(jié)切變變換切變變換的概念并不僅僅停留在理論框架中，它融入了現(xiàn)實世界的種種應(yīng)用場景，為解決實際問題提供了強有力的工具.切變變換改變了對象的形狀和大小的同時保持了對象的面積不變。雖然對象的形狀被扭曲，但平行線仍然保持平行.第一節(jié)切變變換切變變換在實際應(yīng)用中常用于調(diào)整圖像的形狀和大小.例如，可以使用切變變換來拉伸或壓縮圖像的某個區(qū)域，以修正圖像中的畸變或改變圖像的透視效果.在工程設(shè)計中，切變變換常用于調(diào)整構(gòu)件的形狀和尺寸.例如，在建筑設(shè)計中，可以使用切變變換來調(diào)整建筑結(jié)構(gòu)中的梁或柱的形狀，以適應(yīng)不同的建筑需求.在地質(zhì)學(xué)中，切變變換被用來描述地球表面的形變和地殼運動.地球表面的地震活動和地質(zhì)構(gòu)造會導(dǎo)致地層發(fā)生切變變換，形成斷層和地裂縫等地質(zhì)現(xiàn)象，引發(fā)地質(zhì)災(zāi)害和自然災(zāi)害.冰川流動是另一個自然界中發(fā)生切變變換的例子.冰川內(nèi)部的冰層會隨著冰川的運動而發(fā)生切變變換，形成冰川的流動和形態(tài)的改變，影響著地形的演變和生態(tài)系統(tǒng)的變化第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換在數(shù)學(xué)中可以考慮更一般地坐標(biāo)變換，見圖12-3.第一節(jié)切變變換圖12-3剪切變換用于坐標(biāo)變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

第一節(jié)切變變換

在討論線性變換性質(zhì)的時候，我們知道所有線性變換將原點保持不動.除了原點之外，是否還有其他的點在變換下保持不動？恒等變換可以保持所有的點不動.旋轉(zhuǎn)變換和伸縮變換除了原點之外所有的點都會被移動.反射變換和對稱變換保持對稱軸上的點不動.除此之外在前面的學(xué)習(xí)中還知道，一般的線性變換僅能保持線性相關(guān)性，但是可逆的線性變換可以保持所有的線性關(guān)系.在生活中我們十分關(guān)心對于給定線性變換，是否有某條直線不受變換的影響，變換前后均保持一致？這就是接下來我們要繼續(xù)的主題：特征值與特征向量——線性變換下的不變量.第一節(jié)切變變換切變變換回顧與小結(jié)思考題：課后習(xí)題A第2題。作業(yè)題：課后習(xí)題A第3、7題復(fù)習(xí)思考題或作業(yè)題第十三章特征值與特征向量第十三章

主要學(xué)習(xí)內(nèi)容方陣的特征值與特征向量相似矩陣及其性質(zhì)矩陣的特征值與特征向量是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分.數(shù)學(xué)中的矩陣對角化、微分方程的求解、動力系統(tǒng)問題及工程技術(shù)中的震動問題、圖像處理、穩(wěn)定性問題等都可以歸結(jié)為方陣的特征值與特征向量問題.本章主要討論矩陣的特征向量、特征值和及特征值和特征向量的應(yīng)用.

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量圖13-1向量的位置變換

對于空間中向量的同一個位置變換，在不同的基底下，用于表示的矩陣也是不相同的.這些表示位置變換的矩陣之間如何進行相互轉(zhuǎn)化？如何在這些矩陣中獲取表示空間轉(zhuǎn)換的最佳矩陣？解決這些問題的落腳點就是特征值與特征向量.第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量特征值與特征向量其幾何意義如圖13-2所示：第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

圖13-2矩陣描述的線性變換

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定義13.1.1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量圖13-3所有的特征向量和零向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量特征方程第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量特征值與特征向量的性質(zhì)

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量推論13.1.1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.2三角矩陣的主對角線的元素是其特征值.

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.3

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.4

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量該定理的證明可以用數(shù)學(xué)歸納法，在此不予證明.第一節(jié)方陣的特征值與特征向量定理13.1.5

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量推論8.1.5-1

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量

第一節(jié)方陣的特征值與特征向量對于空間中向量的同一個位置變換，在不同的基底下，用于表示的矩陣也是不相同的，而這些不同的矩陣，彼此之間就是相似矩陣.相信讀者都聽過一句詩:“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同”.站在不同的角度去看廬山，人們看到的景象是不同的.那么，對于一個表示向量空間變換的矩陣而言，是否應(yīng)該選擇一個合適的基底，使我們可以用一個最佳矩陣來表示某一個向量空間變換呢？這個最佳的矩陣就是本節(jié)要討論的對角矩陣.第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

相似矩陣的概念及性質(zhì)第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)圖13-4用不同的基描述同一個向量圖13-5不同基底描述下的線性變換通過引例可知，對于同一個線性變換，由于我們選擇的基底不同，因此表征其線性變換的矩陣就不同.為了更好地說明不同基底下表征線性變換的矩陣之間的關(guān)系，我們引入如下定義：第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

定義13.2.1

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)上述過程如圖13-6所示：第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)圖13-6相似矩陣間的轉(zhuǎn)換關(guān)系

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定理13.2.1

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定理13.2.2

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)定理13.2.3

若n階矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，從而A與B的特征值也相同.

第二節(jié)相似矩陣及其性質(zhì)推論