小船渡河問題與關聯(lián)速度問題-高一物理復習講義與訓練（新教材人教版必修第二冊）

專題強化二：小船渡河問題與關聯(lián)速度問題

一、單選題

1.如圖所示，船從4處開出后沿直線A6到達對岸，若與河岸成37。角，水流速度為4m/s,則船在

靜水中的最小速度為（)

A.2m/sB.2.4m/sC.3m/sD.3.5m/s

2.如圖所示，小船沿直線AB過河，船頭始終垂直于河岸。若水流速度減小，為保持航線不變，下列措施

與結論正確的是（）

B

A

A.減小船速，過河時間變長B.減小船速，過河時間不變

C.增大船速，過河時間不變D.增大船速，過河時間縮短

3.如圖所示，AB桿以恒定角速度繞A點轉動，并帶動套在水平桿0C上的質量為M的小環(huán)運動，運動開

始時，AB桿在豎直位置。則小環(huán)加的速度將（）

A.逐漸增大B.先減小后增大

C.先增大后減小D.逐漸減小

4.如圖所示，物塊甲和乙用一不可伸長的輕繩通過兩光滑輕質定滑輪連接，乙套在水平固定的光滑直桿上。

現(xiàn)將甲、乙從圖示位置由靜止同時釋放，釋放時輕繩與水平桿之間的夾角。=30°,空氣阻力不計，貝晨）

A.剛開始釋放時，甲處于超重狀態(tài)

B.當夕=60°時，甲、乙的速度大小之比是百：2

C.當6=90°時，乙的速度最大

D.當。由30。向90。增大的過程中輕繩對甲的拉力始終小于其重力

5.船在靜水中的速度與時間的關系如圖甲所示，河水的流速與船離河岸的距離的變化關系如圖乙所示，河

寬為300m,則當船沿渡河時間最短的路徑渡河時（）

A.船渡河的最短時間是60s

B.要使船以最短時間渡河，船在行駛過程中，船頭必須始終與河岸垂直

C.船在河水中航行的軌跡是一條直線

D.船在河水中的最大速度是7m/s

6.如圖所示，小船以大小為四=5m/s、方向與上游河岸成6=60。角的速度（在靜水中的速度）從A處過河,

經過一段時間正好到達正對岸的B處。已知河寬d=180m,則下列說法中正確的是（）o

--------------S-----------------

）流

上游二二好［工二二二二:

玉，

A.河中水流速度為2.5括m/s

B.小船以最短位移渡河的時間為24s

C.小船渡河的最短時間為24班s

D.小船最短的時間內渡河的位移是90百m

7.如圖所示，在水平力尸作用下，物體B沿水平面向右運動，物體A恰勻速上升，那么以下說法正確的

是)

///////

A.物體B正向右做勻減速運動

B.物體B正向右做加速運動

C.物體B正向右做勻速運動

D.斜繩與水平成30°時，VA：VB=y/3：2

8.質量為優(yōu)的物體P置于傾角為仇的固定光滑斜面上，輕細繩跨過光滑定滑輪分別連接著P與小車，P

與滑輪的細繩平行于斜面，小車以速率v水平向右做勻速直線運動。當小車與滑輪間的細繩和水平方向成

夾角仇時（如圖），下列判斷正確的是（）

A.P的速率為vsinOiB.P的速率為vsin仇

C.繩的拉力大于wigsinOiD.繩的拉力小于sgsinOi

9.如圖所示，有一條兩岸平直、河水均勻流動的河，甲、乙兩只小船以相同的速度渡河，乙船運動軌跡為

圖中A2,而甲船船頭始終指向對岸，已知AB連線與河岸垂直，河水流速恒為V,甲、乙渡河所用時間的比

值為七則小船在靜水中的速度大小為（）

B

水流方向

vkvkv一v

B,D

A.°-7FTT

10.如圖所示，正方形木塊放在光滑的實驗桌面上，桌子邊緣有一定滑輪，一輕繩上端系在木塊上，下端

連接砂桶，將砂桶由靜止釋放，正方形木塊沿水平桌面滑動。若某一瞬間，砂桶的速度大小為V時，上端

繩與水平桌面的夾角為仇則此時正方形木塊的速度大小為（）o

砂桶

v

A.vcos0B.cUiD.vsin0

cos6

二、多選題

11.如圖所示，輕質不可伸長的細繩繞過光滑定滑輪C與質量為，”的物體A連接，A放在傾角為。的光滑

固定的斜面上，繩的另一端和套在固定豎直桿上的物體8連接?，F(xiàn)連線恰沿水平方向，從當前位置開始

8以速度vo勻速下滑。設繩子的張力為無，在此后的運動過程中，下列說法正確的是（）

C.無可能小于機？sin，

D.尸r一定大于mgsin0

12.如圖，汽車向右沿水平面運動，通過繩子提升重物若不計繩子質量和繩子與滑輪間的摩擦，則在

重物勻速上升的過程中，有（）

A.汽車做加速運動

B.汽車做減速運動

C.地面對汽車的支持力增大

D.繩子張力不變

13.如圖所示，河道寬L=200m,越到河中央河水的流速越大，且流速大小滿足"=0.2x（尤是離河岸的距離,

0<x<-）o一小船在靜水中的速度尸10m/s,自A處出發(fā)，船頭垂直河岸方向渡河到達對岸8處。設船的運

2

動方向與水流方向夾角為仇下列說法正確的是（）

A.小船渡河時間大于20sB.A、8兩點間距離為200

C.到達河中央前小船加速度大小為0.2m/s2D.在河中央時。最小，且tan0=0.5

14.如圖所示，若小船渡河時船頭指向③方向，則所用時間為100s。已知小船在靜水中的速度為2m/s,②

方向與河岸成30。角，河水的流速為1.5m/s,貝ij（）。

水流方向

A.河的寬度為200m

B.在小船渡河過程中船頭指向③方向時，小船到達對岸的位置與出發(fā)點間的距離為200m

C.在小船渡河過程中船頭指向④方向時，船的實際速度可以達到3.5m/s

D.在小船渡河過程中船頭指向②方向時，渡河的時間為200s

15.某次抗洪搶險中，連接某條河兩岸的大橋被洪水沖垮抗洪隊伍只有利用快艇到河對岸村莊進行救援。

已知河的寬度為96m,快艇在靜水中速度-時間圖像如圖甲所示，河流中各處水的位移一時間圖像如圖乙所

示。欲使快艇在最短的時間內渡河，則（）

A.快艇最短的渡河時間為10s

B.快艇到達河正對岸下游108m處

C.快艇到達河對岸時速度大小為15m/s

D.快艇在河流中的運動軌跡始終為直線

16.有甲、乙兩船橫渡同一條河，設河水流速恒定，河兩岸平行。甲船航行時船身與河岸垂直，乙船航行

路線與河岸垂直，且兩船過河時間相等。則下列判斷正確的是（）

A.甲船在靜水中的速度一定小于乙船在靜水中的速度

B.甲船的航程一定大于乙船的航程

C.如果甲船改變航向也一定能垂直過河

D.甲船過河的最短時間一定大于乙船過河的最短時間

17.如圖所示，人在岸上拉船，已知船的質量為相，水的阻力恒為力當輕繩與水面的夾角為。時，船的速

度為v,人的拉力大小為E則此時()

A.人拉繩行走的速度為vcos。B.人拉繩行走的速度為一-

cos，

c.船的加速度為.cose-/D.船的加速度為3

mm

18.如圖所示，一根長為乙的輕桿，。端用錢鏈固定，另一端固定著一個小球A,輕桿靠在一個高為〃的

物塊上。若物塊與地面摩擦不計，則當輕桿以不變的角速度①順時針轉動至輕桿與水平方向夾角為。時，

物塊與輕桿的接觸點為8,下列說法正確的是()

A.小球A的線速度大小為「；

sin，

B.A點與B點角速度相同

C.物塊向右運動的速度v=—"

sin0

D.隨著輕桿與水平方向夾角的減小，物塊速度先增大后減小

三、解答題

19.已知某船在靜水中的速率為vi=4m/s,現(xiàn)讓船渡過某條河，假設這條河的兩岸是理想的平行線，河寬

為d=100m,河水的流動速度為V2=3m/s,方向與河岸平行。試分析：

(1)欲使船以最短時間渡過河去，船的航向怎樣？最短時間是多少？到達對岸的位置怎樣？船發(fā)生的位移是

多大？

(2)欲使船渡河過程中的航行距離最短，船的航向又應怎樣？渡河所用時間是多少？

20.如圖所示，一條河寬為60加，水流速度恒為5M/S,現(xiàn)要將小船上的貨物由此岸的A處沿直線送達正對

岸下游45m處的B處.已知小船的速度最大可達5m/s,取sin37°=0.6,cos37°=0.8,g=10m/s2.

/下解

A

(1)如果小船以最小速度航行，求船速VI的大小和方向;

(2)如果要使小船在最短時間內抵達8處，求船速也的取值和方向;

(3)求小船運動的最短時間to.

21.一條河寬為d=60m,河水流速度％=5m/s,小船的速度%最大可達5m/s。求:

(1)小船渡河的最短時間；

(2)如圖所示，現(xiàn)要將小船上的貨物由此岸的A處，沿直線送達正對岸2下游45m處的C位置。小船運

動速度丫2的最小值和方向。

BC

22.一小船渡河，河寬d=180m,水流速度vi=2.5m/s.

(1)若船在靜水中的速度為也=5向$,欲使船在最短的時間內渡河，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移

是多少？

(2)若船在靜水中的速度為V2=5m/s,欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是多

少？

(3)若船在靜水中的速度為V2=L5m/s,欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？位移是

多少？

參考答案

1.B

A

如圖船速與直線AB垂直時，船在靜水中的最小速度為

v船="水sin37°=2.4m/s

2.A

船頭始終垂直于河岸，河寬一定，當水流速度減小，為保持航線不變，根據(jù)運動的合成，船的速度必須減

小，再根據(jù)

d

t=—

v船

所以渡河的時間變長。

故選Ao

3.A

設經過時間ZOAB=cot,則AM的長度為

1=工

coscot

則AB桿上小環(huán)M繞A點的線速度

h

V=CD-------

COSCOt

將小環(huán)M的速度沿AB桿方向和垂直于AB桿方向分解，垂直于AB桿上分速度等于小環(huán)M繞A點的線速

度v,則小環(huán)M的速度

va>h

M=---=--—

cosa)tcos-cot

隨著時間的延長，根據(jù)余弦函數(shù)特點，可知速度的變化率增大。

4.C

A.當夕=30°時，由題意知甲向下加速運動，處于失重狀態(tài)，故選項A錯誤；

B.甲、乙用同一根輕繩連接，則乙沿輕繩方向的速度與甲的速度大小相等，則當夕=60°時，乙的速度

v乙cos60°=丫甲

解得

v乙=2V甲

故選項B錯誤；

C.當。=90°時，即乙到達右側滑輪正下方，垂直乙運動方向上的分速度為0,即與=0,此時乙的速度

最大，故選項C正確；

D.當。由30。向90。增大的過程中甲先加速后減速，輕繩對甲的拉力先小于重力后大于重力，故D錯誤。

5.B

AB.河寬d=300m,由題圖甲知船在靜水中的速度恒為匕=3m/s,要想渡河時間最短，船頭方向必須與河

岸垂直，最短時間

t=—=100s

匕

A錯誤，B正確；

C.船參與了兩種運動，沿垂直河岸方向的勻速運動，沿水流方向的變速運動，合運動是曲線運動，C錯誤;

D.由題圖乙知河中心的水流速最大，且為匕=4m/s,船的最大速度應為

=5m/s

D錯誤。

6.D

甲乙

A.由題意可知，船垂直河岸渡河，其渡河航程最短，船頭應朝上游，與垂直河岸方向成某一夾角a,如圖

甲所示，則a=30。。有

visina=V2

解得

也=2.5m/s

A項錯誤；

B.小船以最短位移渡河的時間

x'=d=180m

d

=2473s

VjCOsSO0

B項錯誤；

C.欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向。當船頭垂直河岸時，如圖乙所示，合速度為斜向下

游方向，垂直分速度也=5m/s,渡河時間

d180

s=36s

匕5

C項錯誤；

D.小船最短的時間內渡河的位移

x-vt-9Qyf5m

D項正確；

7.D

ABC.將B的運動分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向上的分速度等于A的速度，如圖

根據(jù)平行四邊形定則有

vBcostz=vA

所以

物體B沿水平面向右運動時，a減小，所以B的速度減小，但不是勻減速運動，故AB錯誤;

D.根據(jù)

vBcostz=vA

斜繩與水平成30。時

vA:vB=V3:2

故D正確。

故選D。

8.C

AB.將小車的速度v進行分解如圖所示

則有

vp=VCOS%

故AB錯誤；

CD.小車向右運動，仇減小，v不變，則為逐漸增大，說明物體P沿斜面向上做加速運動,由牛頓第二定

律

T-mgsinq=ma

可知繩子對P的拉力

T>mgsin81

故C正確，D錯誤。

9.A

設河的寬度為d,小船在靜水中的速度為w,則甲船渡河所用時間

d

4=一

%

乙船渡河所用時間

d

由題知

聯(lián)立以上各式得

V

故選Ao

10.B

【詳解】

。點的運動可分解為沿著繩子方向的運動與垂直于繩子方向的運動，如圖所示

根據(jù)平行四邊形定則及三角形知識，則有

v

vr=-------

cos。

故選B。

11.AD

由題意可知，將B的實際運動分解成兩個分運動，如圖所示

根據(jù)平行四邊形定則，有

V繩=vBsin?

因為B以速度鈍勻速下滑，a增大，所以繩子速度在增大，則A處于加速運動，根據(jù)受力分析，結合牛頓

第二定律，有

片>mgsin0

12.BCD

AB.繩子與水平方向的夾角為a,將小車的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，沿繩子方向的速度

等于”的速度，根據(jù)平行四邊形定則得，VM=vcosa,M在向上勻速的運動過程中，繩子與水平方向的夾角

a減小，所以汽車的速度減小，故A錯誤，B正確；

CD.M在勻速向上運動過程中，繩子對汽車的拉力大小不變，依據(jù)力的分解法則，拉力在豎直方向的分力

減小，則地面對汽車的支持力會增大，故CD正確。

13.BD

A.選當船頭垂直河岸方向渡河時，渡河的時間有最小值為

L200

t=—=---s=20s

v10

選項A錯誤；

B.因為水的流速大小滿足〃=0.2r（x是離河岸的距離，0<x<-）,易得水流速的平均速度等于自處的水流

24

速，則有

L

w=0.2x—=10m/s

4

所以沿河岸方向上的位移為

x=ut=200m

所以A、B兩點間距離為

s=72002+2002m=2OoV2m

選項B正確；

C.船在靜水中速度是不變的，而水流速度滿足"=0.2x（x是離河岸的距離，OSxW—）,因x=M其中v=10m/s,

2

那么

u=2t

2

因此到達河中央前小船加速度大小為2m/so

選項C錯誤；

D.當?shù)竭_中央時，水流速度為

w=0.2x=0.2x100m/s=20m/s

此時〃最大，。最小，由三角形知識，得

tan0=-=—=0.5

u20

選項D正確。

14.AD

A.當小船在靜水中的速度方向與河岸垂直時，小船渡河時間最短

d

t二一

匕

那么河寬

<j?=vf?=2xl00m=200m

A項正確；

B.當小船以最短時間渡河時，小船沿著水流方向的距離

5x100m-150m

那么到達對岸的位置與出發(fā)點間的距離

x=6+儲=250m

B項錯誤；

C.船在靜水中的速度為2m/s,河水的流速為1.5m/s,那么當小船船頭方向與河岸成某一角度進行渡河時,

船的實際速度最大值不大于3.5m/s,C項錯誤；

D.當船以船頭方向與河岸成30。角渡河時，船渡河的時間

,200

d----

t'-:~~~~~-1s=200s

vcsin302x—

D項正確；

故選AD。

15.BC

A.快艇在最短的時間內渡河，就要快艇頭與河岸垂直渡河，由于分運動的獨立性，水的流速不影響快艇過

河的時間，由甲圖可知，前8s內快艇做初速度為零的勻加速運動，其位移為

12x8,0

x=------m=48m

12

則快艇勻速運動的位移

%2=%一石=96m-48m=48m

則勻速運動的時間

所以快艇最短的渡河時間為

t—tx+t2—8s+4s=12s

故A錯誤；

B.由乙圖可知，水速為

v'=-=-^-m/s=9m/s

所以快艇到達河正對岸下游

x=v7=9xl2m=108m

故B正確；

C.快艇到達河對岸的速度為

v合=Vv2+v'2=V122+92m/s=15m/s

故C正確；

D.前8s內快艇的運動由初速度為零的勻加速直線運動和勻速直線運動合成，軌跡為曲線，8s后軌跡為直

線，故D錯誤。

故選BC。

16.ABD

A.兩船的速度分析如圖

因為

廂=壇

所以

V甲=Jv乙2_V水2<V乙

A正確；

B.根據(jù)所示，甲船的航程尤i大于乙船的航程X2,B正確；

C.當唯＜丫水時，如圖

無論怎么改變方向，合速度永遠無法與河岸垂直，C錯誤；

D.當船航行時船身與河岸垂直時，渡河時間最短，即

d

t=—

V

因為

叫＜V乙

所以

/甲＞t乙

即甲船過河的最短時間一定大于乙船過河的最短時間，D正確。

故選ABDo

17.AC

AB.船的運動產生了兩個效果：一是使滑輪與船間的繩縮短，二是使繩繞滑輪順時針轉動，因此將船的速

度按如圖所示進行分解，人拉繩行走的速度

==

v人^y〃vcos^

故A正確，B錯誤；

CD.繩對船的拉力等于人拉繩的力，即繩的拉力大小為死與水平方向成夕角，根據(jù)牛頓第二定律

Fcos9—f=ma

解得

_FcosO-f

m

故C正確，D錯誤。

故選ACo

18.BC

A.當輕桿以不變的角速度。順時針轉動時，根據(jù)尸3可知小球A的線速度大小為①L選項A錯誤；

B.A點與5點同軸轉動，則角速度相同，選項B正確；

C.如圖所示

VI

根據(jù)運動的合成與分解可知，接觸點B的實際運動為合運動，可將B點運動的速度VB=V沿垂直于桿和沿桿

的方向分解成也和電，其中

V2=VBsin0=vsinO

為B點做圓周運動的線速度。

當桿與水平方向夾角為。時

0B=-^—

sin6^

3點的線速度為

a)h

v=OB-co=

2sin。

coh

v=

sin6sin26

選項C正確;

D.根據(jù)v=—可知，隨著輕桿與水平方向夾角的減小，物塊速度逐漸變大，選項D錯誤。

sin0

19.

⑴若以渡河時間最短的方式渡河，則船頭始終指向正對岸，但船實際的航向斜向下游，如圖甲所示。

渡河的最短時間

d100

tmm=-=----S=25S

匕4

船的位移為

/=M+vffmin="2+32x25m=125m

船渡過河時已在正對岸的下游A處，其順水漂流的位移為

x=v2fmin=3x25m=75m

(2)由于也＞V2,故船的合速度與河岸垂直時，船的航行距離最短。設此時船速VI的方向(船頭的指向)斜向

上游，且與河岸成。角，如圖乙所示

乙

則

“上=3

匕4

船的實際速度為

Va=_說=^42-32ni/s=77m/s

故渡河時間

_KK)_100A/7

t————/—S——------S

V合近7

20.(1)如果小船以最小速度航行，船速vi的大小為4m/s和方向與河岸夾角為37。指向上游；(2)如果要

使小船在最短時間內抵達8處，船速也的取值為5m/s和方向指向上游，與河岸成74。；(3)小船運動的最

短時間是12.5s.

(1)為使小船抵達8處，小船的實際航線須沿題目圖中的方向，即合速度方向沿方向，設A8與河

岸的夾角為0,由三角形法則可得：

vi=v水sin0

方向與河岸夾角為37°指向上游;

由幾何關系得：AB=75m,有：sin0=O.8

解得：

vi=4m/s

(2)為使小船能在最短時間內抵達8處，小船應該以最大速度航行，即也=5%/s,并使合速度的方向仍沿

A2方向；由于船速和水速大小相等，所以的方向是在兩個速度的角平分線上，也的方向與河岸成20角,

由幾何關系得20=106。，即船速指向上游，與河岸成74。.

(3)小船運動的合速度為：

v=2v2cos0=2><5XO.6m/s=6m/s

所以小船運動的最短時間為：

AB