2022-2023學年北京市八年級上期末數(shù)學試卷分類匯編：新定義 （含答案解析）

2022-2023學年北京市八年級上期末數(shù)學試卷分類匯編

——新定義

參考答案與試題解析

一.因式分解的應用（共1小題）

1.（2022秋?房山區(qū)期末）將九個0或加排列在一起組成一個數(shù)組，記為A=（h,⑵…，

tn）,其中?!,⑵…，方取?；蚍QA是一個〃元完美數(shù)組（w22且九為整數(shù)）.例

如：（0,我），（企，V2）都是2元完美數(shù)組，（&,0,0,0）,（a，0,0,V2）

都是4元完美數(shù)組.

定義以下兩個新運算：

新運算1：對于x*y=（x+y）-\x-y\f

新運算2：對于任意兩個〃元完美數(shù)組M=（xi,X2,…，xn）和N=（yi,yi,?-?,必）,

〃十（Xi*yi+X2*y2+…+x〃*/）.例如：對于3元完美數(shù)組M=（6，瓜衣）

2

和N=（0,0,加），有M十N=」X（0+0+2&）=72.

2

（1）①在（?,&）,（&,0）,（a,'歷，0）中是2元完美數(shù)組的有（72^

0）；

②設(shè)A=（V2-0,&），B=（a,0,0）,貝

（2）已知完美數(shù)組M=（V2，J5，V2，0）,求出所有4元完美數(shù)組M使得〃十N

=2&;

（3）現(xiàn)有機個不同的2022元完美數(shù)組，機是正整數(shù)，且對于其中任意的兩個完美數(shù)組

C,D滿足C十。=0,則施的最大可能值是2023.

【分析】（1）①根據(jù)定義直接判定即可；

②根據(jù)定義直接計算即可；

（2）由定義可知當x=y時，x*y=2x,當xWy時，x*y=0,當x*y=2x時，x*y=2j^或

0,再由此求解即可；

（3）根據(jù)題意可知C、D中對應的元都不相等，m的最大值為2023.

【解答】解：（1）①：0）都是由0或點組成的，并且是含有2個數(shù)，

；?（加，0）是2元完美數(shù)組，

故答案為：（近，0）；

②(V2>0,揚，B=(V2，0,0),

：.A?B=1.(V2*V2+0*0+72*0)=A(2V2+O+O)=6，

22

故答案為：加；

(2)(%+y)-\x-y\,

;?當％=y時，x*y=2x,當xWy時，x*y=0,

當1*y=2x時，或0,

?；M十N=2近,M=(V2)近,衣，0),

.,.尤i*yi+無2*y2+x3*y3+x4*y4=4，

：.N=(V2,V2-0,V2)或(近,0,&,V2)或(0,瓜V2.V2)或(M，

衣，0,0)或(企，0,加,0)或(0,衣，近,0)；

(3)VC?D=0,

，C、。中對應的元都不相等或C、。中對應的元都相等且為0,

：C、。是不同的兩個完美數(shù)組，

;.c、。中對應的元都不相等，

：.m的最大值為2023.

故答案為：2023.

【點評】本題考查因式分解的應用，理解新定義，熟練掌握絕對值的運算，能夠通過所

給的運算關(guān)系，得到一般規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

二.分式的加減法(共1小題)

2.(2022秋?平谷區(qū)期末)閱讀理解:

限接近于0；當x<0時，隨著x的增大，工的值也隨之減小.

x

材料2：在分子、分母都是整式的情況下，如果分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，稱這樣的分

式為真分式.如果分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)，稱這樣的分式為假分式.任何一

個假分式都可以化為一個整式與一個真分式的和.

例如：2x+l=2x-4+4+l=2(x-2)+5=2(x-2)+55；

x-2x-2x-2x-2x-2x-2

根據(jù)上述材料完成下列問題：

(1)當X>0時，隨著龍的增大，24A的值減小(增大或減小);當x<0時，隨著

X

尤的增大，囪1L的值減小(增大或減小)；

X

(2)當x>-3時，隨著尤的增大，空里的值無限接近一個數(shù)，請求出這個數(shù)；

x+3

(3)當0<尤<1時，直接寫出代數(shù)式3xY值的取值范圍是]<2X_1<2.

x-2x-3

【分析】(1)由工的變化情況，判斷2+工、迎土的變化情況即可；

XXX

(2)由巫里=2+2，即可求解；

x+3x+3

(3)由紅芻=3+2，再結(jié)合x的取值范圍即可求解.

x-2x-2

【解答】解：⑴???當x>0時工隨著x的增大而減小，

X

???隨著X的增大，2+工的值減小，近文=3+工的值減?。?/p>

XXX

故答案為：減小，減小；

(2)：2X+8_=2+.2,

x+3x+3

當尤>-3時，人的值無限接近0,

X-1

空曳的值無限接近2；

x+3

(3)V3XZ4_=3+_2_,

x-2x-2

V0<x<l,

-2<--?-<-1,

x-2

l<3x-4<2.

x-2

故答案為：1〈生工<2.

x-3

【點評】本題考查分式的性質(zhì)，熟練掌握分式的基本性質(zhì)，理解題中的變量分離的方法

是解題的關(guān)鍵.

三.一次函數(shù)綜合題(共1小題)

3.(2022秋?東城區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy中，對于點P和正方形OA8C,給出如下

定義：若點P關(guān)于y軸的對稱點P到正方形043c的邊所在直線的最大距離是最小距離

的左倍，則稱點P是正方形0ABe的隈倍距離點

已知：點A(a,0),B(a,a).

(1)當a=4時，

①點C的坐標是(0,4)；

②在Pi(-1,1),尸2(-2,2),P3(2,2)三個點中，Pi,P3是正方形。42c的

“3倍距離點”；

(2)當a=6時，點尸(-2,n)(其中九>0)是正方形OA8C的“2倍距離點”，求n

的取值范圍；

(3)點〃(-2,2),N(-3,3).當0<a<6時，線段MN.上存在正方形OABC的

“2倍距離點”，直接寫出a的取值范圍.

y八yA

8-8-

7-7-

6-6-

5-5-

4-4-

3-3-

2-2-

1-1-

-3-2-40-12345678%-3-2-40_123456781

-2-2

-3-3

備用圖1備用圖2

【分析】(1)①當a=4時，可得點A(4,0),B(4,4).根據(jù)四邊形OABC是正方形,

可得。。=。4=4,所以點C的坐標是(0,4)；

②根據(jù)點P1(-1,1)關(guān)于y軸的對稱點坐標為(1,1),而點(1,1)到正方形0ABe

的邊所在直線AB的最大距離是4-1=3,至U的最小距離為1,可得點Pi是正方形

OA8C的“3倍距離點”，同理即可解決問題；

(2)當。=6時，點A(6,0),B(6,6).C(0,6),結(jié)合(1)即可解決問題；

(3)根據(jù)點M(-2,2),N(-3,3)關(guān)于y軸的對稱點坐標為“(2,2),，(3,

3),得直線ATN'的解析式為y=尤，設(shè)線段N'上一點尸(m,m),則2W?iW3,

分兩種情況討論：當尸在正方形內(nèi)時，當P在正方形外時，進而可以解決問題.

【解答】解：(1)①當。=4時，如圖1,點A(4,0),B(4,4).

?..四邊形OA8C是正方形，

OC=OA=4,

點C的坐標是(0,4),

故答案為：(0,4)；

圖1

②?.?點Pi(-1,1)關(guān)于y軸的對稱點坐標為(1,1),

而點(1,1)到正方形。ABC的邊所在直線的最大距離是4-1=3,到OA的最小距

離為1,

/.點P1是正方形的“3倍距離點”；

同理可得點P2(-2,2)是正方形0A8C的“1倍距離點”；

同理可得點尸3(2,2)是正方形O42C的“3倍距離點”；

???Pl,P3是正方形OABC的“3倍距離點”，

故答案為：尸1,P3;

(2)當。=6時，如圖2,點A(6,0),B(6,6).C(0,6),

:點尸(-2,/i)關(guān)于y軸的對稱點坐標為(2,"),n>0,

P到BC的距離>2

當0c〃<2時,

P到0A的距離

P到BC的距離=°

當時,

P到0A的距離

P到0A的距離>2

當4<〃<6時,

P到BC的距離

當…SB：?

2,

n-6

.?.71=12,

因為當n大于8最小距離不是P到BC而是P到OC距離為2,

：.n=12,不符合題意舍去，

此時P到正方形邊的最小距離是2,最大距離是12,比值為6,

.??見>6之后都不符合題意，

綜上所述：點尸(-2,w)(其中M>0)是正方形0ABe的“2倍距離點”時，〃的取值

范圍是2W〃W4；

(3):點M(-2,2),N(-3,3)關(guān)于y軸的對稱點坐標為AT(2,2),N'(3,

3),

設(shè)直線N'的解析式為y=fcc+b,

代入AT(2,2),N1(3,3)得，

[2k+b=2,

l3k+b=3，

.fk=l

Tb=0，

直線M'N'的解析式為y=x,

設(shè)線段M'N'上一點P(m,m),

則2WmW3,

當尸在正方形內(nèi)時，

①亙m=2,

m

??a='3m,

.，?6WaW9（舍去）;

②」B-=2,

a-m

?.?_a——3—m,

2

2

當尸在正方形外時，

-J3-=2,

m-a

.1

?.a=—m,

2

此時不存在生旦=2的情況，

m

2

V0<a<6,

線段MN上存在正方形0A2C的“2倍距離點”，a的取值范圍是lqwS或3W°w9.

22

【點評】本題屬于一次函數(shù)的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，平面直角坐標系，“左倍距

離點”的定義等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，學會尋找

特殊位置.

四.線段垂直平分線的性質(zhì)(共1小題)

4.(2022秋?大興區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy中，A,8為不重合的兩個點，若點C到

A,B兩點的距離相等，則稱點C是線段A8的“公正點”.特別地，當60°W/ACBW

180°時，稱點C是線段A8的“近公正點”.

(1)己知A(1,0),B(3,0),在點C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)

中，線段AB的"公正點”為點C(2,0),點￡(止-2.3)；

(2)已知點M(0,3),作NOMN=60°,射線MN交x軸負半軸于點N.

①若點P在y軸上，點P是線段MN的“公正點”，則點P的坐標是(0,-3)；

②若點Q(a,b)是線段MV的“近公正點”，直接寫出b的取值范圍是-3W6W6.

【分析】(1)判斷點C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)在直線x=2上即

可；

(2)①畫出相應的圖形，根據(jù)坐標轉(zhuǎn)化為線段的長，再根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系得出

答案即可；

②得出點Q的兩個“臨界值”，即6的“臨界值”即可.

【解答】解：(1)如圖，A(1,0),B(3,0),線段AB的“公正點”在線段A2的中垂

線上.

即“公正點”在直線尤=2的直線上，

在C(2,0),D(1,2),E(2,-2.3),F(0,4)中只有點C、點E在直線x=2上，

故答案為：點C(2,0),點￡(2,-2.3)；

(2)①如圖，作的中垂線交y軸的負半軸于Pi,

：OM=3,NOMN=60°,

：.MN=2OM=6,ON=M0M=3如,

在RtZXPiQM中，M0=』MN=3,/OMN=60°,

2

：.OP\^P\M-OM=6-3=3,

二點尸1(0,-3),

故答案為：(0,-3)；

②如圖，連接P1N,由對稱性可知△"可△是正三角形，

此時，ZMPiN=60°,

AMNPI是關(guān)于MN的對稱三角形△跖VP2是正三角形，

此時P2點的縱坐標為6,

???點。(a,b)是線段MN的“近公正點”，

.?.60°W/MQNW180。，

即點。在線段P1P2上，

當點。在點尸1時，b=-3,

當點Q在點尸2時，OE=6,即b=6,

：.b的取值范圍為-3W6W6,

故答案為：-3W6W6.

【點評】本題考查線段垂直平分線，坐標與圖形性質(zhì)，掌握線段垂直平分線的定義以及

解直角三角形是正確解答的前提.

五.等腰直角三角形（共1小題）

5.（2022秋?延慶區(qū)期末）在同一平面內(nèi)的兩個圖形M,N,給出如下定義：尸為圖形M上

任意一點，。為圖形N上任意一點，如果P,。兩點間的距離有最大值，那么稱這個最

大值為圖形N間的“最距離”，記作：d（M,N）.

如圖，點B,C在數(shù)軸上表示的數(shù)分別為0,2,于點8,且AB=BC.

（1）若點D在數(shù)軸上表示的數(shù)為5,求d（點Z）,AABC）；

（2）若點E,尸在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是x,x+2,當1（線段EF,△ABC）22泥時，

【分析】（1）由］（點。，AABC）=A。即可得到答案；

（2）分兩種情況討論，由定義“最距離”，即可求出x的取值范圍.

（2）①當點尸在點C右側(cè)時,

d(線段跖，△ABC)=AF=y]AB2+BF2=V22+(x+2)2,

(線段ER△ABC)22返，

?■?V22+(X+2)2^2V5>

...x22.

②當點廠在點8左側(cè)時,

(線段EF,△ABC)22巡，

，2-x》2代，

；.xW2-2巡，

，x的取值范圍是G2或xW2-2灰.

【點評】本題考查新定義“最距離”，關(guān)鍵是理解定義“最距離”.

六.三角形綜合題(共6小題)

6.(2022秋?西城區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy中，對于點P,點M給出如下定義：如

果點P與原點O的距離為。，點M與點P的距離是a的左倍“為整數(shù))，那么稱點M

為點尸的隈倍關(guān)聯(lián)點

(1)當Pi(-1.5,0)時.

①如果點為的2倍關(guān)聯(lián)點M在x軸上，那么點M的坐標為(1.5,0)或(-4.5,0)；

②如果點M(x,y)是點Pi的k倍關(guān)聯(lián)點，且滿足x=-1.5,-30W5,那么整數(shù)k

的最大值為3；

(2)已知在RtAABC中，ZABC=9Q°,ZACB=30°,A(b,0),B(6+1,0).若

P2(-1,0),且在△ABC的邊上存在點尸2的2倍關(guān)聯(lián)點Q,求b的取值范圍.

【分析】(1)①根據(jù)左倍關(guān)聯(lián)點的定義即可求出；

②根據(jù)左倍關(guān)聯(lián)點的定義，以及點M與點P的橫坐標相同，可知y=4.5時，左值最大，

列方程求解即可；

(2)先求出X軸上的點Pi的2倍關(guān)聯(lián)點坐標，根據(jù)k倍關(guān)聯(lián)點的定義，列出不等式，

可求解.

【解答】解：(1)①設(shè)MCm,0),根據(jù)題意可得|m+L5|=2X1.5,

解得m—1.5或m—-4.5,

：.M(1.5,0)或(-4.5,0),

故答案為：(1.5,0)或(-4.5,0)；

②：P1的坐標為(-1.5,0)且M的橫坐標為尤=-1.5,

根據(jù)題意，可知當＞=4.5時，左的值最大，

，4.5=1.5左，

解得k=3,

故答案為：3；

(2)VP2(-1,0),

無軸上的點P2的2倍關(guān)聯(lián)點為(-3,0),(1,0),

:在△A2C的邊上存在點P2的2倍關(guān)聯(lián)點°,A(6,0),BCb+1,0),

.W-3,bWl,

/.-4W6W1.

【點評】本題是三角形綜合題，考查了新定義，理解新定義并靈活運用是解題的關(guān)鍵.

7.(2022秋?密云區(qū)期末)對于平面直角坐標系xOy中的點M和圖形G,給出如下定義：

點N為圖形G上任意一點，當點P是線段的中點時，稱點尸是點M和圖形G的“中

立點

(1)已知點A(4,0),若點P是點A和原點的中立點，則點P的坐標為(2,0)；

(2)已知點B(-2,3),C(1,3),D(-2,0).

①連接BC,求點D和線段BC的中立點E的橫坐標XE的取值范圍；

②點尸為第一、三象限角平分線上的一點，在的邊上存在點尸和△BCD的中立點,

直接寫出點尸的橫坐標XF的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)“中立點”的定義求解即可；

(2)①連接①)，取8。中點由，求出E1的橫坐標，連接C。，取中點及，根據(jù)中

點坐標公式求出瓦的橫坐標，即可得出對答案；

②分。為中立點時和C為中立點時，求出兩個臨界值即可.

【解答】解：(1):點A(4,0),若點尸是點A和原點的中立點，

：.P(2,0),

故答案為：(2,0)；

(2)①連接B。，取8。中點目，如圖，

VB(-2,3),D(-2,0),

二￡1點的橫坐標-2,

連接CZ),取C。中點E2,

■:B(-2,3),C(1,3),

?_-2+1_1

?JJ1;

?--2<XE<-^-

②第一、三象限角平分線所在直線的解析式為〉=北

當。為中立點時，點尸關(guān)于點。的中立點為點Q,

?點Q的縱坐標是3,

點為的縱坐標是-3,代入y=x,得

/.x=-3,即點為的橫坐標是-3.

當C為中立點時，點F關(guān)于點C的中立點為點L

;點乙的橫坐標是-2,C(1,3),

.-2+XF,

XF「4,

-3WwW4.

【點評】本題考查了新定義，中點坐標公式，正比例函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題

的關(guān)鍵.

8.(2022秋?懷柔區(qū)期末)在平面直角坐標系中，已知點M(0,m)，直線/是過點M且垂

直于y軸的直線，點、P(a,b)關(guān)于直線/的軸對稱點。，連接P。，過。作垂直于y軸

的直線與射線交于點P則P稱為P點的M中心對稱點.

(1)如圖1,當m=l,P(2,3)時。點坐標為(2,-1),P點坐標為(-

2,-1)；

(2)若尸點的M中心對稱點為P(-1,3),ZQP'M=45°,則m=2,尸點

的坐標為(1,1)；

(3)在(1)中，在△PQP內(nèi)部(不含邊界)存在點N,使點N到尸。和P'。的距離

相等，則N點橫坐標〃的取值范圍是0<〃<2.

yAy八

5-5-

4-4-

3-?P3-

2-2-

1------------i--------------------

iiiii_______iiiii????iiA

-5-4-3-2-1°12345x12345a

一1一

-4-

一5-一5-

圖1備用圖

【分析】（1）如圖1,設(shè)尸。與直線/交于點A,根據(jù)題意證明AM是。的中位線,

進而可以解決問題;

（2）如圖2,設(shè)尸'。與y軸交于點A,尸0與直線/交于點8,結(jié)合（1）證明4知是4

PP'。的中位線，可得PQ=2AM=2,根據(jù)AP=4。=1,即可解決問題；

（3）在（1）中，如圖1,連接證明△PQP'是等腰直角三角形，由題意可得點M

是PP'的中點，根據(jù)等腰三角形三線合一可得MQ平分/尸。尸'，可得點N在MQ上，

進而可以解決問題.

Vm=l,

???點M(0,1),

VP(2,3),點尸關(guān)于直線I的軸對稱點Q,

點A是尸。的中點，

：.Q(2,-1),

???過。作垂直于y軸的直線與射線PM交于點P,,

J.AM//P'Q,

...點M是PP的中點，

是。的中位線，

：,P'Q=2AM=A,

則尸’(-2,-1),

故答案為：(2,-1),(-2,-1)；

(2)如圖2,設(shè)P。與y軸交于點A,P。與直線/交于點2,

；產(chǎn)點的M中心對稱點為P(-1,3),ZQP'M=45

：.P'A=l,。4=3,

OM^OA-AM=3-1=2,

??m=2,

由(1)知：BM//P'Q,PQ〃y軸，

:點8是尸。的中點，

...點M是PP的中點，

二點A是P。的中點，

是。的中位線，

，PQ=2AM=2,

\"AP'=AQ=1,

二尸點的坐標為（1,1）；

故答案為：2,（1,1）；

（3）在（1）中，如圖1,連接M。，在△PQP內(nèi)部（不含邊界）存在點N,使點N到

由（1）知：P2=4,PQ=4,

.?.△PQP'是等腰直角三角形，

由題意可知：點M是PP'的中點，

...加。平分/尸?！?,

?.?點N到PQ和P'Q的距離相等，

...點N在MQ上，（不含邊界），

：.Q<n<2,

；.N點橫坐標n的取值范圍是0<n<2.

故答案為：0<n<2.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，坐標

與圖形性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運用以上知識.

9.（2022秋?豐臺區(qū)期末）在平面中，對于點N,P,若NMPN=90°,且.PM=PN,

則稱點P是點M和點N的“垂等點

在平面直角坐標系xOy中，

(1)已知點M(-3,2),點N(1,0),則點Pi(0,3),P2(-2,-1),P3(-5,

-2)中是點M和點N的“垂等點”的是Pi,P2；

(2)已知點A(-4,0),B(0,b)(b>0).

①若在第二象限內(nèi)存在點C,使得點8是點A和點C的“垂等點”，寫出點C的坐標(用

含6的式子表示)，并說明理由；

②當6=4時，點。，點E是線段AO,8。上的動點(點。，點E不與點A,B,。重合).若

點廠是點。和點E的“垂等點”，直接寫出點尸的縱坐標f的取值范圍.

yyA

G

rrrrr0rrrrrrrrrrrr

l

rrrrr-rrrrrrrrr-rrrr

lIIIIIIIIIlI

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llIIII

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IIIIlI

rrrrrrrrrrr-rrrr

AIIIIIIA

xT-2-3-4-5-6x

IIIIII

一「-「-「-「-「-I

「-「-「-「

備用圖1備用圖2

【分析】(1)由“垂等點”的定義，通過三角形全等即可解決問題；

(2)①由△C2K四△BA。(A4S)可得CK=80,KB=AO,即可求出點C的坐標；

②，當。，E分別與A,2重合時，點尸是點。和點E的“垂等點”，可求出點尸的坐標,

即可求出/的取值范圍.

【解答】解：(1)由題意得：MH=OPi,/MHPi=NNOPi=90°,

HPi=ON,

：.AMHPimAPiON(SAS),

：.MPi=NPi,ZPiMH=ZNPiO,

；P1MH+/MP1H=9O°,

AZNPiO+ZMPiH=90°,

:.NMPiN=90°,

/.點Pl是點M和點N的“垂等點”，

同理點P2點M和點N的“垂等點”，

故答案為：Pl,P2;

(2)①點C的坐標是(-b,6+4),理由如下：

:在第二象限內(nèi)存在點C,使得點B是點A和點C的“垂等點，

：.BC=AB,ZABC=90°,

VZCBK+ZABO=ZBAO+ZABO=90°,

：.ZCBK^ZBAO,

,：ZCKB=ZBOA=90°,

:.ACBK咨ABAO(AAS),

：.CK=BO,KB=AO,

:點A(-4,0),B(0,b)(6>0),

...點C的坐標是(-b,6+4)；

②當6=4時，當。，E分別與A,8重合時，點F是點。和點E的“垂等點”，點P是

線段43的垂直平分線上的點，F(xiàn)A=FB,ZFAB=9Q°,顯然點尸的縱坐標是。或4,

當點尸是線段A2的垂直平分線上的點，顯然點尸的縱坐標是-2,2.

的取值范圍是

【點評】本題考查定義“垂等點”，關(guān)鍵是理解“垂等點”的定義.

10.(2022秋?海淀區(qū)期末)在平面直角坐標系xOy中，點、P,。分別在線段上.如

果存在點M使得(點M,P,。逆時針排列)，則稱點M是

線段尸。的“關(guān)聯(lián)點”.

如圖1,點M是線段尸。的“關(guān)聯(lián)點

(1)如圖2,已知點A(4,4),B(8,0),點尸與點A重合.

①當點。是線段。2中點時，在“1(4,2),M2(6,2)中，其中是線段P。的“關(guān)聯(lián)

點”的是M2；

②已知點M(8,4)是線段尸。的“關(guān)聯(lián)點”，則點。的坐標是(8,0).

(2)如圖3,已知04=08=4,ZAOB=60°.

①當點尸與點A重合，點Q在線段上運動時(點Q不與點。重合)，若點M是線段

尸。的''關(guān)聯(lián)點”，求證：BM//OA；

②當點P,Q分別在線段OA,OB上運動時，直接寫出線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”M形成的

區(qū)域的周長.

圖1圖2圖3

【分析】(1)①畫出圖形，利用圖象法解決問題；

②畫出圖形發(fā)現(xiàn)點。與點8重合時滿足條件；

(2)①證明△OAQ之(SAS),推出NAO0=NA2M=6O°,可得結(jié)論；

②如圖，當點0與B重合時，得到△ABM',△ABM,是邊長為4的等邊三角形，當點

P,。分別在線段04,上運動時，線段PQ的“關(guān)聯(lián)點”M形成的區(qū)域是菱形。AM'

B.

【解答】解：(1)解：①如圖2中，觀察圖形可知，點區(qū)是線段尸。的“關(guān)聯(lián)點

故答案為：M2;

②AAMB是等腰直角三角形,

ZABM=45°,MA=MB,

???當點。與3重合時，滿足條件，此時。（8,0）.

故答案為：（8,0）；

圖3

'：AO=OB=4,NAOB=60°,

???△A05是等邊三角形，

VMA=A/e，ZAQM=60°,

?**/\AQM是等邊三角形，

：.AO=AB,AQ=AMfZOAB=ZQAM=60°,

：.ZOAQ=ZBAM,

：./\OAQ^/\BAM(SAS),

AZAOQ=ZABM=60°,

：.ZOAB=ZABM=60°,

J.BM//OA；

②解：如圖，當點。與8重合時，得到△ABM',AABM'是邊長為4的等邊三角形,

觀察圖形可知，當點尸，。分別在線段。8上運動時，線段尸。的“關(guān)聯(lián)點”M形

成的區(qū)域是菱形O4M'B,周長為16.

【點評】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定

和性質(zhì)，平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確尋找全等三角形解決問題.

11.（2022秋?昌平區(qū)期末）【閱讀學習】

如果平面內(nèi)一點到三角形的三個頂點的距離中，最長距離的平方等于另兩個距離的平方

和，則稱這個點為該三角形的勾股點，如圖1,平面內(nèi)有一點P到AABC的三個頂點的

距離分別為朋、PB、PC,抬=3,PB=4,PC=5,可知PC2=B42+ps2,所以點尸就是

△ABC的勾股點.

（1）如圖2,在3X3的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1,AABC的頂點在格點（小

正方形的頂點）上，Pl,P2,P3三個點中，尸2,尸3是△ABC的勾股點;

（2）如圖3,△ABC為等邊三角形，過點A作A8的垂線，點。在該垂線上，連接C。,

以C。為邊在其右側(cè)作等邊△（?￡>￡,連接AE,BD.

①求證：△ACEgZXBCQ；

②判斷點A是否為△口）￡的勾股點，并說明理由；

【分析】(1)由題意得：PIA2=1,PIB2=4,PIC2=13,?2A2=1,P2評=2,P2c2=1,

2

尸3A2=5,P3B=4,P3c2=1,進而求解；

(2)①證明/BC￡)=/ACE,即可求解；

②在中，BD2=AB2+AD1=a2+AD1=AC1+AD1,而8￡)=AE,即可求解；

③當點。在點A上方右邊時，30°,求出CH=LC=AH=^-AC=3,

22

得到則08=48-4。=3-5=工，即可求解；當點。在點A上方左邊時，同理可解.

22

【解答】解：(1)由題意得：PIA2=1,PIB2=4,PIC2=13,PIA1=\,P2B2=2,P2C1

=1,P3A2=5,P3B2=4,P3c2=1,

則P2^2=P2A2+p2c2；p3A2=尸3/+尸3c2,

：.P2,P3是勾股點,

故答案為：尸2,P3;

(2)@VZBCD^ZACB+ZACD=6Q°+ZACD^ZDCE+ZACD^ZACE,

又：AB=BC,CD=CE,

：.AAC￡^ABCD(SAS)；

②點A是否為的勾股點，理由：

設(shè)等邊三角形ABC的為。，則4B=BC=AC=a,

在RtAABD中，BD1=AB2+AD2=a2+AD2=AC2+A￡>2,

VAAC￡^ABC￡>(SAS),

：.BD=AE,

即A￡2=AC2+AZ)2；

③由②知，AE2=AB2+AD2,即2=AB2+(A)2,

22

解得：AB=V12=2V3=AC,

當點D在點A上方右邊時，

過點C作CHLAE于H,

VZHAC=30°,

.".CH=AAC=V3-A8=43AC=3,

22

則DH=AH-AD=3-$=1，

22

則C0=JDH2KM=出+(?)2=雪;

:.等邊ACDE的邊長為H_.

2

當點。在點A上方左邊時，

同理可得。=山超，

2

綜上：等邊△(?￡>￡的邊長為運或運2,

22

故答案為：運或匝匝.

22

B，C

BC

【點評】本題是三角形綜合題，主要考查了勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的

直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是對新定義概念的理解，以及用AC的代數(shù)式表

示各線段的長.

七.坐標與圖形變化-對稱(共1小題)

12.(2022秋?朝陽區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標系無Oy中，點A(0,2),過點(-1,0)

作無軸的垂線/,點A關(guān)于直線/的對稱點為艮

(1)點、B的坐標為(-2,2)；

(2)已知點C(-3,-2),點。(1,-2),在圖中描出點3,C,D,順次連接點4,

B,C,D.

①在四邊形A8CD內(nèi)部有一點P,滿足S△出。=S#BC且SAPAB=S^PCD,則此時點P的坐

標為(-1,-』),S△朋B=—;

3——3-

②在四邊形ABCD外部是否存在點Q,滿足SMAD=SMBC且SAQAB=S&QCD,若存在，

直接寫出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

y八

5-

——4一

-5-

【分析】(1)先作軸對稱，再寫坐標;

(2)先描點，再連線;

①根據(jù)三角形的面積公式求解;

②根據(jù)三角形的面積公式求解；

【解答】解：⑴8(-2,2),

故答案為:(-2,2)；

(2)如圖：

①.S/^mD=S/\PBCJELSAB4B=SAPCD,BC=ADtCD=2.AB>

點P在直線l上，且到AB的距離是到CD距離的2倍，

在四邊形ABC。的內(nèi)部，

：.2-2義(2+2)=-2,

33

：.p(-1,-2)；

3

SAMB=AX2X(2+—)=—,

233

故答案為：(-1,-2),

3

S/^PAD^S^PBCS.S/XPAB^S^PCD,BC=AD,CD=2AB,

.:點P在直線/上，且到AB的距離是到CD距離的2倍，

，。在四邊形A8CD的外部，

-2-(2+2)=-6,

.1.0(-1,-6).

【點評】本題考查了坐標與圖形的變化，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

八.作圖-軸對稱變換(共1小題)

13.(2022秋?門頭溝區(qū)期末)我們規(guī)定：在同一平面內(nèi)的點A以直線人為對稱軸進行翻折

后得到點Ai,稱作點A的“一次對稱點”，將一次對稱點A1再以直線h為對稱軸進行翻

折后得到點A2,稱作點A的“二次對稱點”.

(1)如圖1,依題意畫出點A的“二次對稱點”，并說出以A、4、A2為頂點的三角形

的形狀；

(2)如圖2,已知直線/1與直線/2的夾角是45°,點A在直線/2上，依題意畫出點A

的“二次對稱點”，并說出以A、4、42為頂點的三角形的形狀；

(3)如圖3,如果''二次對稱點”落在/1上，且點A在直線/2上，請依題意畫出直線/2,

保留作圖痕跡.

A

'------------------"-%

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)“一次對稱點”，“二次對稱點”的定義作出圖形即可；

(2)根據(jù)題意作出點A的對稱點A1,42即可；

(3)直線faJG==經(jīng)過A42的中點與直線/1的夾角為45°.

【解答】解：(1)如圖1中，點4,42即為所求，△A4M2是直角三角形；

(2)如圖2中，點Ai,A2即為所求，△441A2是等腰直角三角形；

(3)如圖3中，點Ai,A2,直線/2即為所求.

【點評】本題考查作圖-軸對稱變換，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決

問題.

九.幾何變換綜合題(共1小題)

14.(2022秋?北京期末)對于平面直角坐標系xOy中的任意線段MN,給出如下定義：

線段上各點到x軸距離的最大值，叫做線段的“軸距”，記作dMM例如，如圖

1,點M(-2,-3),N(4,1),則線段MN的“軸距”為3,記作d“N=3.將經(jīng)過點

(0,2)且垂直于y軸的直線記為直線y=2.