黑龍江省鶴崗市蘿北縣某中學2025屆高三8月模擬考試數(shù)學試題（含答案解析）

黑龍江省鶴崗市蘿北縣高級中學2025屆高三8月模擬考試數(shù)學

試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合A=｛（x,y）\y=x+l,0<x<l],集合B=｛（尤/）卜=2x,0VxV10｝,則集合AC\B=

A.｛1,2｝B.｛x|0<x<l|C.｛（1,2））D.0

2.下列說法正確的是（）

A.任何三個不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底

B.空間的基底有且僅有一個

C.兩兩垂直的三個非零向量可構(gòu)成空間的一個基底

D.基底｛。，6,以中基向量與基底｛e,/,g｝基向量對應(yīng)相等

3.已知復數(shù)Z]和Z2滿足團=團=2,Z]+z2=G+i,則|z「Z2|=（）

A.1B.2百C.4D.8

4.1g逐+lgj藥的值是

11

A.2B.1C.-D.—

22

5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是定義域內(nèi)的增函數(shù)為（）

A.y=tanxB.y=log2x

23

C.y=—D.y—x3

尤"

6.下列結(jié)論正確的有（）

A.將總體劃分為2層，通過分層隨機抽樣，得到兩層的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為，

X?和s；,S；,若X]=/，則總體方差/+S；）

B.96,90,92,92,93,93,94,95,99,100的第80百分位數(shù)為96

C.若隨機變量X?則D（3X+1）=11

D.若隨機變量J?N（3,b2）,p（^<l）=0.23,則尸（445）=0.77

7.設(shè)十人各拿一只水桶，同到水龍頭前打水，設(shè)水龍頭注滿第源=1,2,…，10）個人的水

試卷第1頁，共4頁

桶需8分鐘，假設(shè)方各不相同，當水龍頭只有一個可用時，應(yīng)如何安排他（她）們的接水次

序，使他（她）們的總的花費時間（包括等待時間和自己接水所花費的時間）最少（）

A.從我中最大的開始，按由大到小的順序排隊

B.從乃中最小的開始，按由小到大的順序排隊

C.從靠近77平均數(shù)的一個開始，依次按取一個小的取一個大的的擺動順序排隊

D.任意順序排隊接水的總時間都不變

1a

8.在給出的①eln3<3；②e21n3<2；③e。?<M3三個不等式中，正確的個數(shù)為（）

2

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)=cos20x+26sin0xcos0x-sin20x(<a>O)的周期為兀，當xe[O,g時，/(x)的

()

A.最小值為-2B.最大值為2C.零點為D.增區(qū)間為0.J

0

10.設(shè)S"是公比為正數(shù)等比數(shù)列｛%｝的前〃項和，若“2=!，。3。5=上，貝（）

264

A.a,=-B.S-,=一C.%,+s“為常數(shù)D.電-2｝為等比數(shù)列

1834

已知函數(shù)〃到=卜工+；龍

11.11121)-下列結(jié)論正確的有（）.

A.>=/(x)是奇函數(shù)B.y=在上單調(diào)遞增

D.y=的最小值為In容

C.y=/(x)無極大值

三、填空題

12.若［子+以］的展開式中所有項的系數(shù)之和為1024,則該展開式中的常數(shù)項

是.

13.過拋物線C：產(chǎn)=敘的焦點廠的動直線交C于4,2兩點，線段N2的中點為N,點尸

（12,4）.當|N4|+|NP|的值最小時，點N的橫坐標為.

14.用1,2,3,…，9這九個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位偶數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)

的共有個.

試卷第2頁，共4頁

四、解答題

15.在VN8C中，8c分別是角C的對邊，且cc，q空Rh

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若a+c=l,求實數(shù)6的取值范圍.

16.已知函數(shù)函x)=(x-左)e"若左=1,求/(x)在x=l處的切線方程.

22

17.已知雙曲線。:1一方=1(°>0,6>0)的左、右焦點分別為片，月，且陽閭=8,尸(4,6)

是C上一點.

(1)求C的方程；

⑵過點的直線與C交于兩點4B,與直線/：y=3x-12交于點N.設(shè)形=彳而,

NB=HBM,求證：2+〃為定值.

18.如圖，在矩形/8CO和A8跖中，

AB=4,AD=AF=3,ADAF=^,DM=ADB,AN=AAE,0<A<1,

i&AB=a,AD=b,AF=c.

⑴當時，求MN與NE夾角的余弦值；

⑵是否存在2使得MV，平面/BCD?若存在，求出4的值，若不存在，請說明理由.

19.已知數(shù)列｛%｝是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列.

(1)若％=2,且%9,%+1成等比數(shù)列，求數(shù)列｛%｝的通項公式。“；

(2)在(1)的條件下，數(shù)列｛6｝的前〃和為S“，設(shè)或=一一+一一+…+，一，若對任意的

?〃+1?〃+2

“eN*,不等式％V上恒成立，求實數(shù)左的最小值；

(3)若數(shù)列｛%｝中有兩項可以表示為某個整數(shù)c(c>D的不同正整數(shù)次塞，求證:數(shù)列｛%｝中

試卷第3頁，共4頁

存在無窮多項構(gòu)成等比數(shù)列.

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案CCBBDDBBBCDCD

題號11

答案BC

1.C

【分析】根據(jù)每個集合中對元素的描述，可得為直線求交點問題，可得答案.

【詳解】由題意可得，集合A表示時線段y=x+l上的點，集合5表示OWxKlO時線

段y=2x上的點，則/C2表示兩條線段的交點坐標，據(jù)此可得：ns={(1,2)).

故選：C.

2.C

【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷選項可解.

【詳解】A項中應(yīng)是不共面的三個向量構(gòu)成空間向量的基底，所以A錯.

3項，空間基底有無數(shù)個，所以3錯.

〃項中因為基底不唯一，所以。錯.

故選C.

【點睛】本題考查空間向量基本定理.

如果三個向量2、標不共面，那么對空間任一向量力，存在有序?qū)崝?shù)組"，"z}使得

p=xa+yb+zc

3.B

【分析】利用復數(shù)的幾何意義結(jié)合向量運算求解.

【詳解】題設(shè)等價為向量/滿足同咽=2,￡+5=(6,1),求它建

因為(a+可+(。-q=2(口+|彳)=16,

又歸++2,所以―語116-4=2瓦

故選：B

4.B

【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，可直接得出結(jié)果.

【詳解】lgV5+lgV20=lgV10()=l.

答案第1頁，共11頁

故選B

【點睛】本題主要考查對數(shù)的運算，熟記運算性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.

5.D

【分析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)及奇函數(shù)的定義結(jié)合反例逐項判斷后可得正確的選項.

【詳解】對于A,y=tanx的定義域為卜XH%"+

,2兀g2rrrr71

而一萬〉一,tan—7i--V3<v3=tan—,

33―33

在定義域上不是增函數(shù)，故A錯誤.

對于B,>=1。8工的定義域為（0,+8）,它不關(guān)于原點對稱，故該函數(shù)不是奇函數(shù)，

故B錯誤.

對于C,因為2>1時，故y=4在定義域上不是增函數(shù)，故C錯誤.

對于D,因為了=/為幕函數(shù)且幕指數(shù)為3,故其定義域為R,且為增函數(shù)，

而（-x）3=-d,故了=d為奇函數(shù)，符合.

故選：D.

6.D

【分析】根據(jù)總體方差公式，即可判斷A,根據(jù)百分位數(shù)公式，即可判斷B,根據(jù)二項分布

的期望公式，即可判斷C,根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，即可判斷D.

【詳解】A.根據(jù)總體方差公式，可知，總體方差與兩層的樣本數(shù)有關(guān)，只有兩層的樣本數(shù)一

樣，總體方差才是s2=，s；+sj,否則不正確，故A錯誤；

B.將數(shù)據(jù)按照由小到大的順序排列90,92,92,93,93,94,95,96,99,100,10x0.8=8,則

生96+產(chǎn)99=97.5,則第80百分位數(shù)位97.5,故B錯誤；

C.若隨機變量X~8（5，B，則0（用=5'j；=?，則。（3X+1）=9XT=10，故C錯誤;

D.若隨機變量J~N（3?2）,p（Jwl）=0.23,利用對稱性，

Pt45）=l-尸（空5）=1-抬<1）=0.77,故D正確.

故選：D

7.B

【分析】表示出拎小桶者先接水時等候的時間，然后加上拎大桶者一共等候者用的時間，用

答案第2頁，共11頁

(2m+2T+t)減去二者的和就是節(jié)省的時間；由此可推廣到一般結(jié)論

【詳解】事實上，只要不按從小到大的順序排隊，就至少有緊挨著的兩個人拎著大桶者排在

拎小桶者之前，仍設(shè)大桶接滿水需要T分鐘，小桶接滿水需要t分鐘，并設(shè)拎大桶者開始接

水時已等候了m分鐘，這樣拎大桶者接滿水一共等候了(m+T)分鐘，拎小桶者一共等候

了(m+T+t)分鐘，兩人一共等候了(2m+2T+t)分鐘，在其他人位置不變的前提下，讓這

兩個人交還位置，即局部調(diào)整這兩個人的位置，同樣介意計算兩個人接滿水共等候了

2m+2t+T2m+2t+T

分鐘，共節(jié)省了TTT-t

分鐘，而其他人等候的時間未變，這說明只要存在有緊挨著的兩個人是拎大桶者在拎小桶者

之前都可以這樣調(diào)整，從而使得總等候時間減少.這樣經(jīng)過一系列調(diào)整后，整個隊伍都是從

小打到排列，就打到最優(yōu)狀態(tài)，總的排隊時間就最短.

故選B.

【點睛】一般的，對某些設(shè)計多個可變對象的數(shù)學問題，先對其少數(shù)對象進行調(diào)整，其他對

象暫時保持不變，從而化難為易，取得問題的局部解決.經(jīng)過若干次這種局部的調(diào)整，不斷

縮小范圍，逐步逼近目標，最終使問題得到解決，這種數(shù)學思想就叫做局部調(diào)整法.

8.B

【分析】構(gòu)造函數(shù)/卜)=乎，根據(jù)導數(shù)判斷單調(diào)性，可判斷①；由￡=，/>3,根據(jù)函

數(shù)/'(x)的單調(diào)性，可得/金)</(3),進而判斷②；由函數(shù)/(X)的單調(diào)性可得：>與，

進而0.4>浮，即1.2>ln3,再構(gòu)造g(x)=e-x-l,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得”>1,2,進

而判斷③.

【詳解】令〃力=?,則小)=子二所以0<x<e時,r(x)>0,即〃x)在(O,e)上

單調(diào)遞增，當X>e時，//(x)<0,即/(尤)在(e,+8)上單調(diào)遞減；可得/(e)>/(3),即

—>—^eln3<3,故①正確；

e3

/3A-3

因為3/=癡___>3,所以/e2—</⑶，即InP粵<Itn惇Q，所以3in3ez<3e"n3,即e-21n3>Q9

J2

<>e2

故②錯誤；

再令g(無)=e*-尤T,則g'(x)=e：_],所以當x>0時，g'(x)>0,即g(x)在(0,+e)上單

答案第3頁，共11頁

調(diào)遞增，所以g(x)>g(O)=O,則g(O.2)=e°2一0.2-1>0,即小>1.2.X0.4>-,e<3,

e

所以/(e)>/(3),即處〉華，即工〉華，所以0.4>華，即1.2>ln3,所以e°2>1.2>ln3,

e3e33

即e°2〉ln3,故③錯誤；

故選：B.

9.BCD

【分析】先對函數(shù)化簡變形，再由周期求出Q的值，從而可求出/(%),然后逐個分析判斷

【詳解】/(x)=cos2cox+2y/3sintaxcostax-sin2cox(co>0)

=5/3sin2cox+cos2cox

=2sinl,

因為〃x)的周期為萬，所以2三7r=%，得0=1,

2a)

所以/(X)=2sin+J

當不￡[0,芻時，2x+—G—<sin|2x+—j<l,所以—1W2sin(2%+工]42,

26662\26)6k676

所以/(x)的最小值為-1,最大值為2,所以A錯誤，B正確,

TT57r

由/(x)=2sin2x+—=0,2x+—e—,——得2x+%*,解得.區(qū),所以小)的

I6)6|_66

零點為5工7r，所以c正確，

咤口+5隹，得。X?所以小)的增區(qū)間為［咱，所以D正確,

故選：BCD

10.CD

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為q(q>0)，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出q,4可判斷A;求出

S—21

等比數(shù)列的通項公式和前〃項和公式可判斷B,C；由7可判斷D.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛〃〃｝的公比為9(9>0),

以/%=%,%.43=a；q4=—4———,貝Iq=—9

又因為。2=%=5%=或，則a1=1，故A錯誤；

答案第4頁，共11頁

2

,故B錯誤;

因為辿」

故電-2｝為等比數(shù)列，故D正確.

故選：CD.

11.BC

【分析】對于A,判斷/(-x)J(x)是否互為相反數(shù)即可;對于B,根據(jù)導函數(shù)在這個區(qū)間的

正負即可;對于C,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷有無極大值即可;對于D,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知,

在x==lng處，取最小值，代入即可.

23

【詳解】對于A,/(-x)=ln(e^+l)+1x

.-./(-x)+/(尤)=歷卜2+1)+：尤+為卜2工+1卜:尤=111(1+尸'+62'+1/0,

A錯誤;

32

對于B,

2-e2x+l

39

當八月;二聲口:。時'+1=?

2x=ln—,x=—In—

323

且e2rl為增函數(shù)，所以在［-8,fn；)上，=T-告^<0"3單調(diào)遞減;

在m，+j上，y，(x)=|一m>0,/(力單調(diào)遞增；

且-故B正確；

223

答案第5頁，共11頁

對于C,由/(x)單調(diào)區(qū)間可知，/(X)無極大值，C正確;

,、(1orin1ii4ii4也

對于D,由單調(diào)區(qū)間可知，=/-In-=Ine3+1--In-=In--In-=In——,

\乙l/r*JDI—/J

故D錯誤；

故選：BC.

12.90.

【分析】利用所有項的系數(shù)和求出〃=5,結(jié)合二項式的展開式的通項公式即可求出結(jié)果.

【詳解】令x=l,的展開式中所有項的系數(shù)之和為二+苗=4",

由題意可得4"=1024,即4"=4$，所以〃=5,

5—15

而的展開式的通項公式為G=G35"'xk,

令"2=0,則廠=3,所以該展開式中的常數(shù)項是屐35-3=10x9=90,

O

故答案為：90.

13.9

【分析】根據(jù)橢圓定義問題可轉(zhuǎn)化為的最小值問題，數(shù)形結(jié)合可得M,N,P三點

共線時有最小值.

【詳解】分別過點aB,N作準線的垂線，垂足為4,Bl,M,如圖所示，

由拋物線的定義知，如/|=|4尸|,北比|=|明,

：.\AB\=\AF\v\BF\=\AAi^t\BBi\^=2\MN\,

\NA|+|^|=^\AB\+\NP\=\MN\+\NP\,

故原問題可轉(zhuǎn)化為|W+|NP|的最小值問題，

當跖N,P三點共線時，|AW|+|NP|取得最小值，此時必=婕=4,

答案第6頁，共11頁

設(shè)/（xi,yi）,B（X2,H）,則;,1,

bf=4X2

y—y44411

兩式相減得，1紅=-----=『==：,即直線N3的斜率為；,

Xjf乂+%262x422

又直線經(jīng)過點尸（1,0）,

直線的方程為y=g（x-1）,

把%=4代入，得4=；（0-1）

解得/=9,

.?.當|附|+|酒|的值最小時，點N的橫坐標為9.

故答案為：9

14.600

【詳解】解析：依題意，要使得各位數(shù)字之和為奇數(shù)，則可能是3個奇數(shù)1個偶數(shù)或3個偶

數(shù)1個奇數(shù)，

若為3個奇數(shù)1個偶數(shù)，則偶數(shù)一定排在個位，從4個偶數(shù)中選一個排在個位，有Cl=4

（種），

再在5個奇數(shù)中選出3個排在其余三個數(shù)位，有Al=60（種）排法，故有C1A1=24O（個）

數(shù)字；

若為3個偶數(shù)1個奇數(shù)，則奇數(shù)不排在個位，從5個奇數(shù)中選一個排在前三位有C|Al=15

（種），

再在4個偶數(shù)中選出3個排在其余三個數(shù)位，有A1=24（種）排法，故有ClA<A]=360（個）

數(shù)字.

綜上，可得一共有240+360=600（個）數(shù)字.

15.（1）—3（2）UJ

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件和正弦定理，結(jié)合三角恒等變換的公式，化簡得到cos8=-；,

即可求解；

（2）由余弦定理得到從=/+,2+℃,結(jié)合基本不等式，即可求解.

【詳解】（1）因為咨

cosC2a+c

答案第7頁，共11頁

ccqRsinR

由正弦定理。=2Ksin46=2Rsin5,c=2RsinC,可得>2二——..—

cosC2sin4+sinC

即2sin4cos3+sinCcosB+cosCsinB=0

即2sinAcosB+sin(3+C)=0,

因為/+3+C=;r,可得sin(5+C)=sin4,

所以2sin/cos5+sinZ=0,即sinA(2cos8+1)=0

因為sinZwO,所以COSB=—L,

2

)

又因為Be(O/),所以8=羊7T.

(2)因為Q+C=l,cosB=--,

2

由余弦定理得〃=tz2+c2-2accosB=a1+c2+ac

={a+c)2-ac=l-ac>1-=j，所以6之日，

又因為6<“+c=l,所以,即6的取值范圍為

2L2)

16.y=ex-e.

【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】???〃x)=(x-l)e"/(1)=0

-：f\x)=x^,加1)=e.

.??/(X)在x=l處的切線方程為：J-O=e(x-D,即歹=夕一0

【點睛】本題主要考查了導數(shù)幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題.

22

17.⑴：哈=1

412

(2)證明見解析

【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義和焦距的概念求出。、c,進而得出結(jié)果；

⑵設(shè)/（國,為），8（%，%），N（m,n）,顯然直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為

y-\=k（x-\）,聯(lián)立雙曲線方程并消去y,利用韋達定理得出王+馬、王龍2表達式；將點N

坐標代入直線方程，結(jié)合福=4而可得4=Y-,同理求得〃一,

1-X]l-x2

答案第8頁，共11頁

進而化簡計算2+〃即可.

【詳解】（1）設(shè)。的焦距為2c,則忸用=2c=8,

即c=4,片（一4,0）,2（4,0）；

由雙曲線的定義，得2a=歸用一「四=J（4+4），62_?-4j+6?=4，即a=2,

__________22

所以Z）=y/c23*-a2=J16-4=26,故C的方程為------=1.

412

（2）設(shè)/（尤”%），8（%,%）,N（m,n）,顯然直線48的斜率存在，

可設(shè)直線AB的方程為了-1=后卜-1）,代入3/-/=12,

得（3—左）x2—2人（1一女）x+2左一13—斤2=o.

由過點M（L1）的直線與C交于兩點4B,得3-后2k0,

2k13k2

由韋達定理，得占+%=也匕J,Xlx2=~；；①

3-k3—k

由N（孫〃）在直線/:>=3x—12上，得〃=3加—12,即12—3冽+〃=0；②

由在直線45上，得〃-1=左（冽-1）.③

由福=4萬7,得（王一冽,必一九）二4（1一再，1一%）,

即再一加=2（1-七）解得X=-j.同理，由NB=/nBM,得〃二-j

X?A-iI人）

(冽+1)(玉+^)-2xyX-2m

結(jié)合①②③，得幾+〃=于心+9?2

］一再l-x2(1-再)(1-%)

2人(1一左)2"13-斤2.

(加+1)3-下"文§一4-2m_2k(m-\)-6m+26

(1-X1)(1-X2)Q-X])^-X2)

2(〃一1)一6加+262(n-3m+l^

=0.故幾+4是定值.

(1-^)(1-^2)(l-^)(l-x2)

3

18.(1)—

v710

,,2

(2)存在；/1■=-

【分析】（1）利用空間向量的數(shù)量積求夾角即可;

（2）利用空間向量證明線面垂直即可.

答案第9頁，共11頁

【詳解】（1）AE=AB+AF=a+c,

在矩形ABEF中,易知囤=5,

MN=AN-AM=AN-^AD+75M^

=2（5+c）-p+A（a-^）］=0_l>+/lc,

9

MNAEJ』

cos（MN.AE}=.r-

\/\MN\AE\

x5ic

3

故MN與/E夾角的余弦值—.

（2）若AW_L平面48cO,

???ABCD,

MN±AB,MN±AD.

貝i］麗.布=［（力_1）彼+同與=（/1_1）1與+/1己3=0,顯然成立，

又麗.75=［（4-1）3+到Z=（2-1）鏟+衣石=0,BP9（A-l）+^=0,

2

解得a=H，滿足題意.

2

故存在4=5，使得跖V_L平面45CD

19.（1）a=2n?（2）—；（3）證明見解析.

n6

【分析】（1）根據(jù)給定條件列式，求出等差數(shù)列｛6｝的公差即可計算作答.

（2）由（1）求出S“，進而求得“，再求出”的最大值即可作答.

（3）用。的兩個不同次幕表示數(shù)列｛。.｝的兩項，由此分析、推理計算｛g｝存在無窮多項是

與某一項的差是公差的正整數(shù)倍作答.

答案第10頁，共11頁

【詳解】(1)因為｛%｝是