北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章特殊平行四邊形》單元測(cè)試卷及答案

第第頁答案第=page1212頁，共=sectionpages2020頁北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章特殊平行四邊形》單元測(cè)試卷及答案一、菱形1．如圖，平行四邊形的對(duì)角線，相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①；②；③四邊形是菱形；④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．12．如圖，兩張寬為3的長(zhǎng)方形紙條疊放在一起，已知，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．3．下列命題中正確的是（

）A．對(duì)角線相等的四邊形是矩形B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形D．一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形4．下列說法：①一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形；②一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；③三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半；④兩條對(duì)角線相等的四邊形是矩形；正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．菱形的邊長(zhǎng)為2點(diǎn)、分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，的最小值為．6．如圖，在四邊形中，AB//CD，過點(diǎn)D作的角平分線交于點(diǎn)E，連接交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，的周長(zhǎng)為36，求菱形的面積．7．已知，如圖，在中是的中線，F(xiàn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)到E，使，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若求菱形的面積．8．如圖，在中，是邊上的中線，E是的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，平行線與間的距離為，求菱形的面積．9．如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF（1）求證：?ABCD是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．二、矩形10．如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．111．如圖，在矩形中，E為邊上一點(diǎn)，把沿翻折，使點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處．若，AD=6，P，Q分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值（

）A． B． C． D．12．如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，連接，若，則的長(zhǎng)為．13．如圖，將一張矩形紙片沿著對(duì)角線BD向上折疊，頂點(diǎn)落到點(diǎn)處，交AD于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連結(jié)交BD于點(diǎn)．①求證：四邊形是菱形；②若AB=3，AD=4，求的長(zhǎng)．14．如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接、DN．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，MD=5，求的長(zhǎng)．15．在矩形中，AB=6，BC=8，E、F是對(duì)角線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別從A、C同時(shí)出發(fā)相向而行，速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，其中．(1)若G，H分別是AD，中點(diǎn)，則四邊形一定是怎樣的四邊形（E、F相遇時(shí)除外）？______（不用說明理由）(2)在（1）條件下，若四邊形為矩形，求t的值；(3)在（1）條件下，若G向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，H向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，且與點(diǎn)E，F(xiàn)以相同的速度同時(shí)出發(fā)，若四邊形為菱形，求t的值．三、正方形16．下列命題是真命題的是（

）A．對(duì)角線相等的平行四邊形是菱形B．有一角為直角的四邊形是矩形C．對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形D．矩形的對(duì)角線互相垂直平分且相等17．順次連接菱形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是（

）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能確定18．如圖，在中，分別在AB、BC、AC上求作一點(diǎn)D、E、F，使得連接和后，四邊形是正方形．（要求用尺規(guī)作圖法完成，保留作圖痕跡，不寫作法）19．如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為12，BE=EC，將正方形邊沿折疊到，延長(zhǎng)交于，連接，現(xiàn)在有如下4個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．在以上4個(gè)結(jié)論中，正確的有（填序號(hào)）20．如圖，直角梯形中，AD//BC，AD=8，BC=6，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)______，______（用含的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求的值；(3)如圖，將沿AD翻折，得，是否存在某時(shí)刻①使四邊形為為菱形，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；②使四邊形為正方形，則______．參考答案：題號(hào)123410111617答案ADCBBCCB1．A【分析】通過判定為等邊三角形求得，利用等腰三角形的性質(zhì)求得，從而判斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含直角三角形的性質(zhì)判斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④．【詳解】解：點(diǎn)為的中點(diǎn)又是等邊三角形即，故①正確；在平行四邊形中在和中四邊形是平行四邊形又，點(diǎn)為的中點(diǎn)平行四邊形是菱形，故③正確；在中，故②正確；在平行四邊形中又點(diǎn)為的中點(diǎn)故④正確；綜上所述：正確的結(jié)論有4個(gè)故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵．2．D【分析】首先過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)，由題意可得四邊形是平行四邊形，繼而求得的長(zhǎng)，判定四邊形是菱形，則可求得答案．【詳解】過點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)

根據(jù)題意得：∴四邊形是平行四邊形∵∴∴∵∴同理：∴∴四邊形是菱形∴∴．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵在于掌握菱形判定定理和作輔助線．3．C【分析】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．根據(jù)矩形、菱形、平行四邊形的判定定理判斷即可．【詳解】解：A、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故此選項(xiàng)正確，符合題意；D、一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形不一定是平行四邊形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．4．B【分析】本題考查平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形的中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．根據(jù)平行四邊形的判定，矩形的判定，三角形的中位線定理即可一一判斷；【詳解】若四邊形中如圖四邊形是平行四邊形所以一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，①正確；一組對(duì)邊相等且平行，并有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形，②錯(cuò)誤；三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半，③正確；兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形，④錯(cuò)誤．故選B．5．【分析】過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，交BD于G，根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題以及垂線段最短可知CE為FG+CG的最小值，當(dāng)P與點(diǎn)F重合，Q與G重合時(shí)，PQ+QC最小菱形的邊長(zhǎng)為2中PQ+QC的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)求線段和的最小值是解題的關(guān)鍵．6．(1)見解析(2)96【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義證得，再利用等腰三角形的等角對(duì)等邊得到，進(jìn)而利用菱形的判定定理即可證得結(jié)論；（2）先根據(jù)菱形的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)求得，進(jìn)而利用勾股定理求得即可求解．【詳解】（1）證明：∵∴四邊形是平行四邊形∵平分∴∴∴∴四邊形是菱形；（2）解：∵四邊形是菱形∴∵，的周長(zhǎng)為36∴，則在中∴∴菱形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．7．(1)證明見解析(2)24【分析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟悉掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形中線性質(zhì)可得，再由已知條件可證得；根據(jù)直角三角形斜邊中線性質(zhì)得，可證，進(jìn)而可求解；（2）通過證明四邊形是平行四邊形，求得，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，再利用菱形的面積公式即可求解．【詳解】（1）證明：∵是的中點(diǎn)∴∵∴∵是中線∴∵∴∴∵∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是菱形；（2）解：連接∴四邊形是平行四邊形是中線∵四邊形是菱形∴菱形的面積=．8．(1)見解析(2)菱形的面積是32【分析】（1）用一組對(duì)邊平行且相等來得出四邊形為平行四邊形，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可證明四邊形是菱形；（2）作于點(diǎn)G，則，證明是等邊三角形可得，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而可求出菱形的面積.【詳解】（1）∵是的中點(diǎn)∴．∵∴在和中∴∴．∵是邊中線∴∴．∵∴四邊形是平行四邊形∵∴四邊形是菱形．（2）作于點(diǎn)G，則∵∴是等邊三角形∴∵∴∴∴∴菱形的面積是．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，菱形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．9．（1）證明見解析；（2）S平行四邊形ABCD=24【分析】（1）利用全等三角形的性質(zhì)證明AB=AD即可解決問題；（2）連接BD交AC于O，利用勾股定理求出對(duì)角線的長(zhǎng)即可解決問題.【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠B=∠D∵AE⊥BC，AF⊥CD∴∠AEB=∠AFD=90°∵BE=DF∴△AEB≌△AFD∴AB=AD∴四邊形ABCD是菱形；（2）連接BD交AC于O∵四邊形ABCD是菱形，AC=6∴AC⊥BDAO=OC=AC=×6=3∵AB=5，AO=3∴BO===4∴BD=2BO=8∴S平行四邊形ABCD=×AC×BD=24．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.10．B【分析】根據(jù)作圖可得，且平分，設(shè)與的交點(diǎn)為，證明四邊形為菱形，即可判斷①，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角即可判斷②，根據(jù)菱形的性質(zhì)求面積即可求解．判斷③，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為根據(jù)作圖可得，且平分四邊形是矩形又四邊形是平行四邊形垂直平分四邊形是菱形，故①正確；②∠AFB＝2∠ACB；故②正確；③由菱形的面積可得AC?EF＝CF?CD；故③不正確④四邊形是矩形若AF平分∠BAC則CF＝2BF．故④正確；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．11．C【分析】作于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，連接，交于點(diǎn)，連接、DP，由“垂線段最短”可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)的值最小，則的值最小，證出四邊形是矩形，則可得出答案．本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，中垂線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作于點(diǎn)交于點(diǎn)，連接，連接，交于點(diǎn)，連接、DP由翻折得，垂直平分由“兩點(diǎn)之間，線段最短”可知，線段的長(zhǎng)即表示的最小值由“垂線段最短”可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)的值最小，則的值最小四邊形是矩形的最小值是．故選：C．12．2【分析】本題主要考查菱形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上中線是斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的面積公式求出對(duì)角線的長(zhǎng)度，再利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)，即可得到答案．【詳解】解：故答案為：．13．(1)見解析(2)①見解析；②【分析】(1)根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；(2)①根據(jù)矩形性質(zhì)及第一問證得鄰邊相等進(jìn)行證明；②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】（1）證明：如圖，根據(jù)折疊又；（2）①證明：四邊形是矩形又四邊形是平行四邊形四邊形是菱形；解：．．設(shè)．在直角中，即解得即．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考査了結(jié)合矩形的性質(zhì)、等角對(duì)等邊及平行線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．14．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意，證明，得出，根據(jù)對(duì)角線互相平分證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線互相垂直，即可證明四邊形是菱形；（2）設(shè)，在和中根據(jù)勾股定理列出方程，即可求解．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，垂直平分在和中又四邊形是平行四邊形垂直平分，即平行四邊形是菱形；（2）解：四邊形是菱形設(shè)，則在和中解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形是菱形是解題的關(guān)鍵．15．(1)四邊形是平行四邊形(2)四邊形為矩形時(shí)或(3)當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形【分析】（1）利用三角形全等可得則即可證明；（2）分為兩種情況，一種是四邊形為矩形，另一種是為矩形，利用即可求解；（3）根據(jù)菱形對(duì)角線平分且垂直可證明四邊形為菱形，再利用勾股定理即可求解.【詳解】（1）解：四邊形是平行四邊形，理由如下：由題意得：∵四邊形是矩形∵分別是中點(diǎn)∴四邊形是平行四邊形；（2）如圖1，連接由（1）得∴四邊形是矩形∴①如圖1，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)∴∵∴∴；②如圖2，當(dāng)四邊形是矩形時(shí)∵∴∴；綜上，四邊形為矩形時(shí)或；（3）如圖3，M和N分別是AD和的中點(diǎn)，連接AH，CG，GH，Ac與交于O∵四邊形為菱形∴∴∴四邊形為菱形∴設(shè)，則由勾股定理可得：即：解得：∴，即∴當(dāng)時(shí)，四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟記特殊四邊形的判定與性質(zhì)，在解題中靈活運(yùn)用.16．C【分析】本題考查菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性質(zhì)，根據(jù)菱形，矩形，正方形的判定以及矩形的性質(zhì)分別判斷即可．掌握基本判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、有一角為直角的平行四邊形是矩形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確，符合題意；D、矩形的對(duì)角線互相平分且相等，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．17．B【分析】本題主要考查了矩形的判定定理，正確理解菱形的性質(zhì)以及三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形的中位線定理可得進(jìn)而得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明，進(jìn)而得到答案．【詳解】如圖：四邊形是菱形，點(diǎn)EFGH分別是的中點(diǎn)，順次連接E、F、G、H∵E，H是中點(diǎn)∴同理，∴則四邊形是平行四邊形又∵∴∵∴∴平行四邊形是矩形．故選：B．18．圖見解析．【分析】本題考查了作圖-基本作圖，正方形的判定與性質(zhì)，作的角平分線交于點(diǎn)，再作的垂直平分線，分別交、于點(diǎn)，F(xiàn)，連接，即可，掌握基本的作圖方法是解題的