數(shù)學互動課堂反證法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1.反證法證明數(shù)學問題的理解（1）反證法的理論依據(jù)是邏輯規(guī)律中的排除律:一個事物或者是A或是，二者必居其一,反證法即證明結(jié)論的反面錯誤。從而結(jié)論正確.(2）反證法可以證明的命題的范圍相當廣泛。一般常見的如:惟一性問題，無限性問題，肯定性問題，否定性問題，存在性問題,不等式問題，等式問題，函數(shù)問題，整除問題，幾何問題等.（3)反證法中的“反設(shè)”,這是應用反證法的第一步。也是關(guān)鍵一步?！胺丛O(shè)”的結(jié)論將是下一步“歸謬”的一個已知條件.“反設(shè)"是否正確、全面,直接影響下一步的證明.做好“反設(shè)"應明確①正確分清題設(shè)和結(jié)論;②對結(jié)論實施正確否定;③對結(jié)論否定后，找出其所有情況。例如A：大于，：不大于;不大于即小于或等于，對這兩種情況在下一步的“歸謬”中應一一證明不成立.（4）反證法的“歸謬”。它是反證法的核心.其含義是：從命題結(jié)論的假設(shè)(即把“反設(shè)"作為一個新的已知條件）及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進行正確推理，推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果。2.反證法證明問題的基本思路用反證法證明結(jié)論是B的命題，其思路是：假定B不成立,則B的反面成立，然后從B的反面成立的假定出發(fā)，利用一些公理、定理、定義等作出一系列正確的推理,最后推出矛盾的結(jié)果，若同時承認這個結(jié)果與題設(shè)條件,則與學過的公理、定理或定義矛盾，這矛盾只能來自“B的反面成立"這個假設(shè)，因此B必定成立?？梢姺醋C法的步驟是：否定結(jié)論→推出矛盾→否定假設(shè)→肯定結(jié)論,其中推出矛盾是證明的關(guān)鍵.3。反證法所能證明的問題類型數(shù)學中的一些基礎(chǔ)命題都是數(shù)學中我們經(jīng)常運用的明顯事實,它們的判定方法極少，宜用反證法證明。正難則反這是應用反證法的原則,即一個命題的結(jié)論如果難于直接證明時,可考慮用反證法。另外,宜用反證法證明的題型還有：(1）一些基本命題、基本定理；(2）易導出與已知矛盾的命題；（3)“否定性”命題;（4）“唯一性”命題；(5）“必然性”命題;（6)“至多”“至少”類的命題;（7）涉及“無限"結(jié)論的命題等等.4。應用反證法證明問題時應注意的問題（1）要想得到原命題相反的判斷，必先弄清原命題的含義,即原命題包含哪幾個結(jié)論(不能縮小也不能擴大）,然后避開問題給的條件考慮可能得到的各種結(jié)論，從這些結(jié)論中把原命題所含的結(jié)論剔除,就得到原命題的相反判斷,如“是"的反面是“不是”,“有”的反面是“沒有”,“等”的反面是“不等”,“成立”的反面是“不成立”,“有限”的反面是“無限”，以上這些都是相互否定的字眼，較為易找，應注意以下的否定:“都是”的反面為“不都是”，即“至少有一個不是”（不是“都不是"）；“都有”的反面為“不都有”，即“至少一個沒有”(不是“都沒有”)；“都不是"的反面為“部分是或全部是”,即“至少有一個是”（不是“都是”）;“都沒有”的反面為“部分有或全部有”，即“至少一個有”（不是“都有”）.(2)間接論證的應用有一定困難,因為在間接證明過程中,不得不暫時離開所討論的論題,引進許多補充的材料(如結(jié)論的反面等）,致使全部考查過程復雜化。但這種方法我們務必學會.因為在實際生活以及數(shù)學和其他科學中,時常會遇到這樣的命題，當時并無直接證明它的論據(jù)，必須用間接法來證明它的真實性。（3)用反證法證明命題“若p則q"，它的全部過程和邏輯根據(jù)可以表示如下:肯定條件p“既p又q”為假“若p則q”為真.（4)應用反證法證明數(shù)學問題,一般有下面幾個步驟：第一步：分清命題“p→q”的條件和結(jié)論；第二步:作出與命題結(jié)論q相矛盾的假定q；第三步：由p和q出發(fā)，應用正確的推理方法，推出矛盾結(jié)果;第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因，在于開始所作的假定q不真,于是原結(jié)論q成立,從而間接地證明了命題p→q為真.(5）第三步所說的矛盾結(jié)果，通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定理或已知條件矛盾，與臨時假定矛盾以及自相矛盾等各種情況.活學巧用例1求證：質(zhì)數(shù)有無窮多.證明:如果質(zhì)數(shù)的個數(shù)有限，那么我們可以將全體質(zhì)數(shù)列舉如下：p1，p2,…，pk，命q=p1p2…pk+1。q總是有質(zhì)因數(shù)的,但我們可證明任何一個pi（1≤i≤k）都除不盡q.假若不然,由pi除盡q，及pi除盡p1p2…pk可得到pi除盡(q-p1p2…pk）,即pi除盡1,這是不可能的.故任何一個pi都除不盡q。這說明q有不同于p1、p2,…,pk的質(zhì)因數(shù)。這與只有p1,p2,…,pk是全體質(zhì)數(shù)的假定相矛盾。所以質(zhì)數(shù)有無窮多.點評：本題是利用反證法證明數(shù)學中的一個基礎(chǔ)命題，本命題若用直接方法來證明非常困難，因此宜用反證法。例2如圖,設(shè)SA、SB是圓錐SO的兩條母線,O是底面圓心,C是SB上一點，求證：AC與平面SOB不垂直.證明:假設(shè)AC⊥平鍿OB，∵直線SO在平面SOB內(nèi),∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圓O,∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圓O.這顯然出現(xiàn)矛盾,∴假設(shè)不成立，即AC與平面SOB不垂直。點評：否定性地問題常用反證法。例如證明異面直線,可以假設(shè)共面，再把假設(shè)作為已知條件推導出矛盾.例3證明方程2x=3有且只有一個根。證明：∵2x=3,∴x=log23.這說明方程有一個根。下面用反證法證明方程2x=3的根是唯一的.假設(shè)方程2x=3有兩個根b1、b2(b1≠b2),則=3,=3。兩式相除，得=1。如果b1-b2＞0,則＞1，這與=1相矛盾；如果b1-b2＜0，則＜1，這也與=1相矛盾。因此b1—b2=0，則b1=b2。這就同b1≠b2相矛盾.如果方程的根多于兩個，同樣可推出矛盾。故2x=3有且只有一個根。點評:“有且只有”表示“存在且唯一”.因此，在證明此類問題時要分別從存在性和唯一性兩方面來考慮,而證明唯一性時,通常使用反證法.例4設(shè)｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，Sn是它的前n項和.（Ⅰ）求證：數(shù)列{Sn｝不是等比數(shù)列;（Ⅱ）數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎？為什么？證明：（Ⅰ）法1(反證法）若{Sn}是等比數(shù)列,則=S1S2，即(1+q)2=a1·a1(1+q+q2）∵a1≠0,∴（1+q）2=1+q+q2,即q=0與q≠0矛盾，故｛Sn}不是等比數(shù)列。法2只需證明SnSn+2≠∵Sn+1=a1+qSn，Sn+2=a1+qSn+1∴SnSn+2—=Sn（a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn-Sn+1）=—a1an+1)≠0。(Ⅱ)當q=1時，｛Sn}是等差數(shù)列.當q≠1時，｛Sn}不是等差數(shù)列，否則S1,S2,S3成等差數(shù)列.即2S2=S1+S3∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2)。由于a1≠0，∴2(1+q）=2+q+q2,q=q2，∵q≠1,∴q=0與q≠0矛盾。點評:本題的解答依賴于等差和等比數(shù)列的概念和性質(zhì),體現(xiàn)了特