數(shù)學互動課堂學案：向量的概念及表示

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導引導1.位移的概念在物理學中,研究物體在平面內的位置和運動規(guī)律時，一般忽略它的大小，把它看作是一個質點，用點表示它在平面的位置.一個質點從點A運動到A′,如果我們不考慮它的運動路線，只考慮點A′相對A的“方向”和“直線”距離，我們說質點在平面上作了一次位移，因此位移被“方向”與“距離"唯一確定，位移只表示位置的變化,起、終點間的位置關系,而與質點實際運動的路線無關。特別提示：從兩個不同點出發(fā)的位移，只要方向相同，距離相等，我們可將它們看成是相同的位移或相等的位移。2.向量的概念及表示（1）向量的概念在高中階段，我們暫且把具有大小和方向的量叫做向量，更具體一些，向量可以理解為“一個位移"或表達“一個點相對于另一點的位置”的量.有些向量不僅有大小和方向，而且還有作用點.例如，力就是既有大小，又有方向，并且還有作用點的向量.有些向量只有大小與方向；而無特定的位置.例如，位移、速度等。通常將后一種向量叫做自由向量。以后無特殊說明，我們所提到的向量,都是自由向量,即我們高中階段所研究的向量只有大小、方向兩個要素，如果兩個向量的大小、方向都相同，則說這兩個向量相等。疑難疏引由于向量是具有大小和方向的量，所以向量不能比較大小。這是向量與數(shù)量的不同之處.（2)向量的表示方法①用有向線段來表示的幾何表示法。從點A位移到點B,用線段AB的長度表示位移的距離，在B處畫上箭頭表示位移的方向，此時線段AB具有從A到B的方向。具有方向和長度的線段，叫做有向線段。點A叫做始點，點B叫做終點，記作,應注意始點一定要寫在終點的前面。的長度（或模)記作｜｜。如果有向線段表示一個向量，通常我們就說向量。用有向線段表示向量，顯示了圖形的直觀性，是向量的直觀形象。有向線段的方向表示向量的方向，線段的長度即是位移的距離，位移的距離叫做向量的長度，盡管可以用有向線段來表示向量,但不是說向量就是有向線段.②用字母表示向量向量除了用上面的符號表示外，通常在印刷時用小寫黑體字母a、b、c…來表示向量,手寫時，可寫成帶箭頭的小寫字母、、…以后隨著學習的深入，在建立坐標系后，向量也可用坐標來表示,使向量真正成為數(shù)形結合的載體.3.向量的相關概念（1）向量的模如果=a，那么的長度|｜就表示向量a的大小，也叫做a的長（或模）記作|a｜。疑難疏引向量不同于數(shù)量，數(shù)量之間可以比較大小,而向量由大小和方向兩個要素所確定,由于方向不能比較大小,因此，“大于"“小于"對向量來說是沒有意義的.向量無大小之分,卻有相等這一概念，向量的模（正數(shù)或零）可以比較大小.（2）零向量長度等于零的向量叫做零向量，記作0,零向量的方向不確定，是任意的。（3）相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若a與b相等，記作a=b。任意兩個相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關。（4）向量的共線（平行)通過有向線段的直線,叫做向量的基線(如右圖)。如果向量的基線平行或重合,則稱這些向量共線或平行.共線非零向量方向相同或相反.向量a平行于b，記作a∥b.規(guī)律總結（1）向量的平行與共線是一個意思，這與平面幾何中的平行與共線的概念不同.相等的向量一定是平行（共線）向量，而平行（共線)的向量卻不一定相等。(2）零向量是一個比較特殊的向量，我們規(guī)定零向量與零向量相等,且零向量與任意向量都平行.4.用向量表示點的位置給定一定點O及向量a，如左下圖.過點O作有向線段=a，則點A相對于點O的位置被向量a所唯一確定,此向量是，又叫做點A相對于點O的位置向量.例如，在談到天津相對于北京的位置時（如右上圖)，我們說，“天津位于北京東偏南50°，114km?！痹趫D中，我們用O表示北京的位置,點A表示天津的位置,那么向量=“東偏南50°，114km"就表示了天津相對于北京的位置.活學巧用【例1】一人從點A出發(fā),向東行走500m到達B點，接著又南行走500m到達C點，則該人行走的路程是_____________m，位移是__________________________。解析：“路程”與“位移”是兩個不同的概念。在本題中,這個人所行走的路程是1000m，而想要描述位移，則要說明由A到C的方向及AC的直線距離。即位移被“方向”與“距離”唯一確定.A為起點,C為終點，顯然,C在A的東南方向m處，故這個人的位移是“東南方向,m"。答案：1000東南方向，m【例2】有下列物理量,其中不是向量的有（)①質量②速度③位移④力⑤加速度⑥路程⑦密度⑧功A。1個B.2個C.3個D。4個解析：本題主要考查向量的概念，確定一個量是不是向量,就是看它是否同時具備大小與方向兩個要素，由物理知識可知，速度、位移、力、加速度都是由大小和方向確定的.所以是向量，而質量、路程、密度、功只有大小而沒有方向，不是向量.答案:D【例3】如圖，在菱形ABCD，可以用同一條有向線段表示的向量是（）A.與B.與C。與D.與解析：本題即判斷選項中的兩個向量是否相等。由相等向量的概念知，只要兩向量的大小、方向都相同，即可說明兩向量相等.A中的與大小雖相同，但方向不一致,故A錯；B中的與大小、方向都相同，故是相等向量;C中的與向量方向不相同；D中的與方向也不相同，故C、D皆錯.答案:B【例4】長度為1的向量叫做單位向量，對于下列各種情況,各平面向量的終點的集合分別構成什么圖形?（1）把所有單位向量的起點平行移動到同一點P；（2）把平行于直線l的所有單位向量的起點平移到直線l上的P；(3）把平行于直線l的所有向量的起點平移到直線l上的點P.解析：本題可通過畫出圖形,幫助思考，從而解決問題。（1)向量的終點構成的圖形是以P為圓心，以1為半徑的圓;（2)向量的終點構成的圖形是直線l上與點P距離為1個單位長的兩個點；（3）圖形是直線l.點評：（2)與（3）的區(qū)別是：（2）中的向量是單位向量，（3）中的向量是任意長度的向量，再一個是（2)中向量終點的集合是兩個點，不是一個點.【例5】設O為△ABC的外心，則、、是（）A。相等向量B.平行向量C。模相等的向量D.起點相同的向量解析：△ABC的外心，即△ABC的外接圓的圓心，它到A、B、C三點的距離相等，即有｜｜=｜｜=|｜.答案：C【例6】關于零向量，下列說法正確的個數(shù)是（）①零向量是沒有方向的②零向量的長度為0③零向量與任一向量平行④零向量的方向是任意的A。0個B.1個C。2個D.3個解析：零向量的方向是任意的，并不是沒有方向，故④正確，由零向量的概念及規(guī)定，②③也是正確的,故正確的個數(shù)為3個。答案：D【例7】如右圖，△ABC的三邊均不相等,E、F、D分別是AC、AB、BC的中點.(1）寫出與共線的向量;（2）寫出與的模大小相等的向量;（3)寫出與相等的向量.分析:先利用三角形中位線的性質解決線段的平行和相等關系,然后再轉化為向量的共線與平行、相等問題。解決本題應充分理解向量的平行(共線）、相等向量、模相等的向量等概念。解：（1)∵E、F分別是AC、AB的中點，∴EFBC.又D是的中點?！嗯c共線的向量有、、、、、、.(2）與模相等的向量有、、、、