數(shù)學(xué)互動課堂總體特征數(shù)的估計

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.平均數(shù)及其估計（1）平均數(shù)定義若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2，…,xn，則稱=xi(i=1,2，3,…，n）為這組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn的平均數(shù)(或均值）。通常用樣本平均數(shù)來估計總體平均數(shù).當(dāng)所給數(shù)據(jù)中沒有重復(fù)數(shù)據(jù)時，我們一般用此公式來求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).這里xi=（x1+x2+……xn）.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，我們常用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)來衡量這組數(shù)據(jù)的水平。當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的重復(fù)數(shù)據(jù)過多時，若用上面公式求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，其過程就會顯得比較復(fù)雜和冗長,為了簡化計算過程,我們引入下面這種計算平均數(shù)的方法:一般地，若取值為x1,x2，…，xn的頻率分別為p1,p2，…，pn，則其平均數(shù)為x1p1+x2p2+…+xnpn。這一公式實質(zhì)上就是公式的一個變形,它主要用于含有重復(fù)數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)組求平均數(shù).除此之外,當(dāng)所給數(shù)據(jù)在某一常數(shù)a的上下波動時,我們也可利用公式：=+a,其中=（x1′+x2′+…+xn′）,x1′=x1—a，x2′=x2-a,x3′=x3-a，…,xn′=xn-a；常數(shù)a通常取接近于這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)較“整"的數(shù).例如:求數(shù)據(jù)70，71,72，73的平均數(shù)時，我們可以先求出0,1，2,3的平均數(shù)，然后將此平均數(shù)加上70即得該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。（2)平均數(shù)的性質(zhì)①若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2,…,xn的平均數(shù)為,則ax1，ax2，…,axn的平均數(shù)為a；②若給定一組數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn的平均數(shù)為，則ax1+b，ax2+b，…,axn+b的平均數(shù)為a+b；（3）用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)從一個總體中隨機抽取一個容量一定的包含大量數(shù)據(jù)的樣本，利用樣本平均數(shù)的計算公式求出樣本平均數(shù),由此得出的總體平均數(shù)就是所求樣本平均數(shù)。在這里兩次從總體中抽取容量相等的樣本，分別求出樣本平均數(shù)，兩個樣本平均數(shù)會不相同,所以用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)時,樣本平均數(shù)只是總體平均數(shù)的近似值.案例1下面是某一個工廠所有工作人員在某個月的工資,總經(jīng)理6000元，技術(shù)工人甲900元,技術(shù)工作人員乙800元,雜工640元，服務(wù)員甲700元，服務(wù)員乙640元，會計820元.(1）計算所有工作人員的平均工資.(2）去掉總經(jīng)理后,再計算平均工資。（3）在(1)和(2)中兩種平均工資哪一種能代表一般工人的收入水平,為什么?【探究】計算平均工資是用工資總數(shù)除以領(lǐng)工資的人數(shù)即可?！窘馕觥?1)所有工作人員平均工資為=（6000+900+800+640+700+640+820)=1500(元）.(2)去掉總經(jīng)理后平均工資為=(900+800+640+700+640+820)=750（元）.（3)能代表一般工人的收入水平的是去掉總經(jīng)理后的平均工資750元。因為除去總經(jīng)理之外，工作人員的工資均在900元以下,因此不能以1500元來代表職工的平均工資水平。規(guī)律總結(jié)一般地,在一組數(shù)據(jù)中，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)能夠反映該組數(shù)據(jù)的集中趨勢和平均水平,但有時需要去掉極端值(極大值或極小值）,這樣計算平均數(shù)則更能反映平均水平，這就是有些比賽活動中往往會去掉一個最大值和一個最小值再去計算平均成績的原因。2。方差與標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1,x2，…，xn，其平均數(shù)為，則稱s2=(xi—）2為這個樣本的方差,其算術(shù)平方根s=為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差,分別簡稱樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差。疑難疏引（1）為了更好地比較兩組數(shù)據(jù)的集中程度，我們可以利用這兩組數(shù)據(jù)的方差對兩組數(shù)據(jù)進行比較.方差較大的數(shù)據(jù)波動較大；方差較小的數(shù)據(jù)波動較小.當(dāng)所給的數(shù)據(jù)有單位時,所求得的平均數(shù)與原數(shù)據(jù)的單位相同，不要漏寫單位.方差的單位為所給數(shù)據(jù)單位的平方,方差的算術(shù)平方根稱作標(biāo)準(zhǔn)差，它與原數(shù)據(jù)單位相同,因而能更好地刻畫數(shù)據(jù)的離散程度。（2）方差的性質(zhì)①若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn，方差為s2，則ax1,ax2，…,axn的方差為a2s2；②若給定一組數(shù)據(jù)x1,x2，…,xn，方差為s2，則ax1+b，ax2+b，…,axn+b的方差為a2s2，特別地,當(dāng)a=1時，則有x1+b,x2+b，…，xn+b的方差為s2，這說明將一組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)據(jù)都減去相同的一個常數(shù)，其方差是不變的,即不影響這組數(shù)據(jù)的波動性;③方差刻畫了數(shù)據(jù)相對于均值的平均偏離程度.對于不同的數(shù)據(jù)集,當(dāng)離散程度越大時,方差越大；④方差的單位是原始測量數(shù)據(jù)單位的平方,對數(shù)據(jù)中的極值較為敏感。（3）我們可以通過計算樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差對總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差進行估計,也可以通過對兩個總體的樣本方差的大小差異情況,對兩個總體的波動情況進行推斷和比較，當(dāng)=,＜時,甲為優(yōu)秀。（4）樣本方差。標(biāo)準(zhǔn)差計算的簡化。方差的計算公式s2可簡化為:（Ⅰ）s2=［++…+］—nx2,或?qū)懗蓅2=（++…)—x2。即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方.（Ⅱ）s2=［（++…+）—n］.當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)較大時，直接計算它們的方差則比較麻煩，如果數(shù)據(jù)相互比較接近,為了減少參與計算的數(shù)據(jù)，可仿照簡化平均數(shù)的計算方法,將每個數(shù)據(jù)同時減去一個與它們的平均數(shù)接近的常數(shù)a，得到一組新數(shù)據(jù)x1′=x1—a，x2′=x2—a,…，xn′=xn—a，那么，s2=［（++…+)—n］也可寫成s2=（++…+）—。即方差等于新數(shù)據(jù)的平方的平均數(shù)減去新數(shù)據(jù)平均數(shù)的平方。原數(shù)據(jù)x1，x2,…，xn的方差與新數(shù)據(jù)x′1=x1-a，x′2=x2-a，…，x′n=xn—a的方差相等，即x′1，x′2…,x′n的方差s′2=·［(x′1-)2+(x′2—)2+…+(x′n-)2］等于原數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的方差s2.案例2某班40人隨機平均分成兩組，兩組學(xué)生一次考試的成績情況如下表：組別統(tǒng)計量平均標(biāo)準(zhǔn)差第一組906第二組804求全班平均成績和標(biāo)準(zhǔn)差.【探究】設(shè)第一組20名學(xué)生的成績?yōu)閤i（i=1,2…，20），第二組20名學(xué)生的成績?yōu)閥i=（i=1,2，…，20)，依題意有：90=（x1+x2+…+x20)，80=（y1+y2+…+y20）,故全班平均成績?yōu)椋海▁1+x2+…+x20+y1+y2+…+y20)=（90×20+80×20)=85;又設(shè)第一組學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為s1,第二組學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為s2,則=(++…+-202），=(y12+y22+…+—20y2）(此處，=90,=80）又設(shè)全班40名學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)差為s，平均成績?yōu)椋?85），故有s2=(++…++y12+y22+…+—402)=（20+202+20+202-40z2）=(62+42+902+802—2×852)=51。s=.規(guī)律總結(jié)平均數(shù)與方差，都是重要的數(shù)字特征數(shù),是對總體的一種簡明的描述,它們所反映的情況有著重要的實際意義，所以,不僅需要掌握其計算公式和方法，還要學(xué)會通過這些數(shù)據(jù)分析其含義,從而為正確決策提供依據(jù)。案例3某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對甲、乙兩名跳高運動員進行了8次選拔比賽,他們的成績（單位：m)如下:甲：1.70，1。65,1.68,1.69，1.72，1.73，1.68,1.67;乙:1。60，1.73，1。72,1。61,1。62，1。71,1.70，1。75.經(jīng)預(yù)測,跳高1。65m就很可能獲得冠軍。該校為了獲取冠軍，可能選哪位選手參賽？若預(yù)測跳高1。70m方可獲得冠軍呢？【探究】參加比賽的選手的成績得突出,且成績穩(wěn)定,這就需要比較這兩名選手的平均成績和成績的方差。甲的平均成績和方差如下：=(1.70+1.65+1.68+1.69+1.72+1.73+1。68+1。67)=1。69,=［(1.70-1.69）2+（1。65-1。69）2+…+(1.67-1。69)2]=0。0006。乙的平均成績和方差如下：=（1。60+1。73+1。72+1。61+1.62+1.71+1。70+1.75)=1。68，=［（1.60-1.68）2+(1。73-1.68)2+…+（1。75-1.68)2]=0。00315.顯然，甲的平均成績好于乙的平均成績,而且甲的方差小于乙的方差,說明甲的成績比乙穩(wěn)定。由于甲的平均成績高于乙，且成績穩(wěn)定,所以若跳高1。65m就很可能獲得冠軍,應(yīng)派甲參賽。在這8次選拔賽中乙有5次成績在1.70m以上，雖然乙的平均成績不如甲，成績的穩(wěn)定性也不如甲,若跳高1.70m方可獲得冠軍時,應(yīng)派乙參加比賽.規(guī)律總結(jié)在實際問題中,僅靠平均數(shù)不能完全反映問題,還要研究其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差）。方差（標(biāo)準(zhǔn)差）大,說明取值分散性大，方差（標(biāo)準(zhǔn)差)小,說明取值分散性小或說取值比較集中、穩(wěn)定?；顚W(xué)巧用1。(2004北京春季高考，理10文10)期中考試以后，班長算出了全班40個人數(shù)學(xué)成績的平均分為M。如果把M當(dāng)成一個同學(xué)的分?jǐn)?shù)，與原來的40個分?jǐn)?shù)一起，算出這41個分?jǐn)?shù)的平均值為N,那么M∶N為（)A。B.1C。D.2解析:考查閱讀理解能力,分析問題、解決問題的能力及統(tǒng)計初步知識。設(shè)40位同學(xué)的成績?yōu)閤i（i=1，2,…,40)，則M=,N=故M∶N=1。答案：B2.某工人在30天中加工一種零件的日產(chǎn)量有2天是51件,3天是52件，6天是53件，8天是54件,7天是55件，3天是56件，1天是57件。計算該工人30天的平均日產(chǎn)量。解：在上面30個數(shù)據(jù)中,51出現(xiàn)2次，52出現(xiàn)3次，53出現(xiàn)6次,54出現(xiàn)8次，55出現(xiàn)7次，56出現(xiàn)3次，57出現(xiàn)1次.由于這組數(shù)據(jù)都比50稍大一點,故將數(shù)據(jù)51,52，53，54,55,56，57同時減去50，得到1,2,3，4，5，6,7。它們出現(xiàn)的次數(shù)依次是2,3，6，8，7，3,1。那么，這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是=≈4,∴=+a≈54（件），即這個工人30天的平均日產(chǎn)量為54件.點評：“同時減去50”改為“同時減去53”更方便。3。某餐廳共有8名員工，某月工資如下圖所示，則下列說法中不正確的是（）A.該餐廳員工工資的一般水平不是1125元,盡管平均數(shù)是1125B.因為眾數(shù)為320元,所以該餐廳員工工資的一般水平是320元C。因為中位數(shù)為410元，所以該餐廳員工工資的一般水平是410元D.去掉一個最大數(shù)6000元，去掉一個最小數(shù)320元，剩下6個數(shù)的平均數(shù)為447元，該餐廳員工工資的一般水平一定是477元答案：D4。某班一次數(shù)學(xué)測驗的成績?nèi)缦?得100分的6人，得90分的15人,得80分的18人，得70分的6人，得60分的3人，得50分的2人,試計算這次測驗全班的平均成績.解法一：=（6×100+15×90+18×80+6×70+3×60+2×50)=81。8（分).解法二:取a=80，將原數(shù)據(jù)都減去80得新數(shù)據(jù)及出現(xiàn)次數(shù)為新數(shù)據(jù)20100-10—20—30出現(xiàn)次數(shù)61518632∴=[6×20+15×10+18×0+6×（—10）+3×(—20）+2×(-30）]=1.8?！?+a=1。8+80=81.8（分）,即這次測驗全班的平均成績?yōu)?1。8分。5.計算下面數(shù)據(jù)的方差（結(jié)果保留到小數(shù)點后第1位）：3,-1,2,1,-3,3。解析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)不是整數(shù)，選用公式s2=[(++…+）—n2］比較方便.s2=[32+（-1）2+22+12+(-3）2+32—6×（)2］=［9+1+4+1+9+9-6×()2]=×33—≈5。5—0。7=4.8。6.在去年的足球甲A聯(lián)賽上，一隊每場比賽平均失球數(shù)是1。5，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1。1；二隊每場比賽平均失球數(shù)為2.1，全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.4。你認(rèn)為下列說法中哪一種是正確的？（1)平均說來一隊比二隊技術(shù)好;（2)二隊比一隊技術(shù)水平更穩(wěn)定；（3)一隊有時表現(xiàn)很差，有時表現(xiàn)又非常好；(4）二隊很少不失球.解：本題主要考查對平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的概念的理解.平均數(shù)反映了一組數(shù)據(jù)的平均水平，而方差則反映了一組數(shù)據(jù)的波動性的大小.一隊每場比賽平均失球數(shù)比二隊每場比賽平均失球數(shù)少,說明一隊的技術(shù)比二隊的技術(shù)好；一隊全年的比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差較大,說明一隊的表現(xiàn)時好時壞，起伏較大;二隊的平均失球數(shù)多,全年比賽失球個數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差很小，說明二隊的表現(xiàn)較穩(wěn)定，經(jīng)常失球.答案：（1)（2）（3)（4）都正確7.(2005山東青島第二次質(zhì)量檢測)對于一組數(shù)據(jù)xi(i=1,2，3…，n）,如果將它們改變?yōu)閤i—c(i=1,2，3，…，n)，其中c≠0，則下面結(jié)論中正確的是（）A。平均數(shù)與方差均不變B.平均數(shù)變了，而方差保持不變C。平均數(shù)不變，而方差變了D。平均數(shù)與方差數(shù)均發(fā)生了變化解析:=xi，=(xi-c)=xi—·nc=—c,而s2=（x—xi）2，s′2=[-（xi-c）]2=［—c—(xi—c）］2=(-xi）2=s2,所以其平均數(shù)變了,而方差保持不變。故選B.答案:B8。(2005江蘇南通調(diào)研考試）一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都減去80,得一組新數(shù)據(jù),若這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1。2，方差是4。4,則原來一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(）A.81.2，4.4B.78。8，4。4C。81。2，84。4解析:由平均數(shù)與方差公式：=，s2=知，在每一個數(shù)都減去80后，平均數(shù)也減去80，而方差不變,所以選A。答案：A9.某班有48名學(xué)生,在一次考試中統(tǒng)計出平均分為70分，方差為75,后來發(fā)現(xiàn)有2名同學(xué)的成績有誤，甲實得80分卻記為50分,乙實得70分卻記為100分，更正后平均分和方差分別是（)A.70,25B.70，50C.70,1.04解析：易得沒有改變，=70，而s2=1［]48［（++…+502+1002+…+)-482］=75，s′2=［(++…+802+702+…+)-482］=［（75×48+48x2—12500