專題1.5有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用（六大題型）

專題1.5有理數(shù)中規(guī)律和新定義綜合應(yīng)用（六大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1數(shù)列型規(guī)律】【題型2裂差型規(guī)律】【題型3新定義型規(guī)律】【題型4含型規(guī)律】【題型5定義兩個數(shù)的運(yùn)算】【題型6定義多個數(shù)的運(yùn)算】滿分必練【題型1數(shù)列型規(guī)律】【典例1】動腦筋、找規(guī)律，李老師給小明出了下面的一道題，請根據(jù)數(shù)字排列的規(guī)律，探索下列問題：（1）在A處的數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)；（2）負(fù)數(shù)排在A，B，C，D中的位置？（3）第2017個數(shù)是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，排在對應(yīng)于A，B，C，D中的位置？【答案】（1）正數(shù)（2）B，D（3）負(fù)數(shù)；B【解答】解：（1）A是向上箭頭的上方對應(yīng)的數(shù)，與4的符號相同，在A處的數(shù)是正數(shù)；故答案是：正數(shù)；（2）觀察不難發(fā)現(xiàn)，向下箭頭的上邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，下方是正數(shù)，向上箭頭的下方是負(fù)數(shù)，上方是正數(shù)，所以，B和D的位置是負(fù)數(shù)，故答案是：B，D；（3）∵2017÷4=504…1，∴第2017個數(shù)排在B的位置，是負(fù)數(shù)，故答案是：負(fù)數(shù)，B．【變式11】從圖①中找出規(guī)律，并按規(guī)律從圖②中找出a，b，c的值，計算a+b?c的值是．【答案】14【解答】解：由題意得：a=?4+11=7，c=?15+11=?4，∴b=a+c=7+(?4)=3，∴a+b?c=7+3?(?4)=14，故答案為：14．【變式12】找出下列各圖形中數(shù)的規(guī)律，依此規(guī)律，那么a的值是.【答案】226【解答】解：∵0×1+2=2，2×3+4=10，4×5+6=26，6×7+8=50，…，∴a=14×15+16=226.故答案為：226.

【典例2】觀察下列各數(shù)的個位數(shù)字的變化規(guī)律：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，……通過觀察，你認(rèn)為22021的個位數(shù)字應(yīng)該是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，∴以2為底的冪的末位數(shù)字是2，4，8，6…依次循環(huán)的，2021÷4=505…1，∴22021的個位數(shù)字是2.故答案為：A.【變式21】觀察下列算式：31=332=933=2734=8135=24336=729…通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出32016的末位數(shù)是（）A．1 B．3 C．7 D．9【答案】A【解答】解：因為31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，所以3n的個位數(shù)字分別為3、9、7、1，每4個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán)，因為2016÷4=504，所以32016的個位數(shù)字與循環(huán)組的第4個數(shù)的個位數(shù)字相同，是1.故答案為：A.【變式22】觀察下列等式:21=2,2A．6 B．4 C．2 D．0【答案】D【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32；26=64，∴個位數(shù)的規(guī)律是2,4,8,6循環(huán)∴2020÷4=505，∴505×（2+4+8+6）=10100，∴21+22+23+24+25+……+22020的末尾數(shù)字為0，故答案為：D.【變式23】小明在計算有規(guī)律的算式1﹣2+3﹣4+5?+19﹣20時，不小心把一個運(yùn)算符號寫錯了（“+”錯寫成“﹣”或“﹣”錯寫成“+”），結(jié)果算成了﹣36，則原式從左到右數(shù)，寫錯的運(yùn)算符號是（）A．第5個 B．第8個 C．第10個 D．第12個【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：1﹣2+3﹣4+5?+19﹣20＝（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+?+（19﹣20）＝﹣1×10＝﹣10，∵運(yùn)算結(jié)果﹣36比﹣10小，∴“+”錯寫成“﹣”，設(shè)寫錯符號的數(shù)是a，∴﹣1×9﹣a﹣（a+1）＝﹣36，解得a＝13，∴寫錯的運(yùn)算符號是第12個，故選：D．【變式24】已知1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此規(guī)律，1+3+5+…+19＝100．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由1+3＝22，從1開始連續(xù)2個奇數(shù)相加；1+3+5＝32，從1開始連續(xù)3個奇數(shù)相加；1+3+5+7＝42，從1開始連續(xù)4個奇數(shù)相加；…所以可以推出：從1開始連續(xù)10個奇數(shù)相加的和等于102，即：1+3+5+7+…+19＝102＝100．故答案為：100．【典例3】已知＝3×2＝6，＝5×4×3＝60，＝5×4×3×2＝120，＝6×5×4×3＝360，依此規(guī)律的值為（）A．820 B．830 C．840 D．850【答案】C【解答】解：根據(jù)規(guī)律可得：＝7×6×5×4＝840．故選：C．【變式31】已知＝，＝，＝，…觀察以上計算過程，尋找規(guī)律計算＝120．【答案】120．【解答】解：＝＝120，故答案為：120．【題型2裂差型規(guī)律】【典例4】觀察下列計算：11×2=1?12,12×3（1）1（2）1【解答】解：1=1=1?=1?=99100②1解：1=1=1=1=1=1=1=50101（1）解：1=1=1?=1?=99100（2）1=1=1=1=1=1=1=50101【變式41】觀察下面算式的演算過程：1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝；1＝＝＝．…（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：＝；＝；1＝．（n為正整數(shù)）（2）根據(jù)規(guī)律計算：（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）．【答案】（1），，；（2）．【解答】解：（1）1+＝＝＝，1+＝＝＝，1+＝＝，故答案為：，，；（2）（1+）×（1+）×（1+）×（1+）×…×（1+）×（1+）＝××××…××＝＝＝．【變式42】+＝＝+＝＝+＝＝．（1）請在理解上面計算方法的基礎(chǔ)上，把下面兩個數(shù)表示成兩個分?jǐn)?shù)的和的形式（分別寫出表示的過程和結(jié)果）＝＝+；＝＝+；（2）利用以上所得的規(guī)律進(jìn)行計算：+．【答案】（1），+；，+；（2）．【解答】解：（1）＝＝+；＝＝+．故答案為：，+；，+；（2）+＝1+﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣＝1﹣＝．【變式43】探索發(fā)現(xiàn)：＝1﹣；＝﹣；＝﹣…根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝﹣，＝；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：+++…+．【答案】（1）﹣，；（2）．【解答】解：（1）＝﹣，＝，故答案為：﹣，；（2）+++…+＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝＝．【變式44】找到規(guī)律是解題最重要的步驟！先觀察下面的式子：＝＝，＝，＝，…你發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？下一個式子應(yīng)該是：＝＝﹣．利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算：．【答案】＝＝﹣；．【解答】解：∵式子：＝＝，＝，＝，…，∴第四個式子是＝＝﹣，故答案為：＝＝﹣；+++…+＝+…+＝＝＝．【變式45】（1）計算下列各式，并尋找規(guī)律：①＝（1+）（1﹣）＝×；②＝（1+）（1﹣）＝×；（2）運(yùn)用（1）中所發(fā)現(xiàn)的規(guī)，計算：；（3）猜想的結(jié)果，并寫出過程．【答案】（1）①1，，1，，×；②1，，1，，×；（2）；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝，理由見解答．【解答】解：（1）①1﹣＝（1+）×（1﹣）＝×；②1﹣＝（1+）×（1﹣）＝×；故答案為：①1，，1，，×；②1，，1，，×；（2）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）（1﹣）＝×××××××＝；（3）猜想：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）＝，理由為：左邊＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）（1﹣）…（1﹣）（1+）＝×××××××…××＝×＝．【變式46】探索發(fā)現(xiàn)：；；根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）＝﹣，＝﹣；（2）利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：；（3）計算：．【答案】（1）﹣，﹣；（2）；（3）1．【解答】解：（1）＝﹣，＝﹣；故答案為：﹣，﹣；（2）原式＝1﹣+﹣+﹣+???+﹣＝1﹣＝；（3）原式＝．＝1+﹣3++3+﹣5++5+﹣7++7+﹣9++9+＝1+（++++++++）＝1+1﹣+﹣+﹣+???+﹣＝1+1﹣＝1．【變式47】觀察下面的變形規(guī)律：；；．解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，請你猜想＝．（2）計算：＝．（3）計算：．【答案】（1）；（2）；（3）．【解答】解：（1）∵；；，∴猜想，故答案為：；（2）＝1﹣＝1﹣＝；故答案為：；（3）＝1﹣+…+＝1﹣＝．【題型3新定義型規(guī)律】【典例5】定義一種新運(yùn)算，規(guī)律如下：2?3＝2×5﹣3＝7；3?（﹣1）＝3×5+1＝16；（﹣4）?（﹣3）＝（﹣4）×5+3＝﹣17．（1）請你想一想：a?b＝5a﹣b．（2）請計算：（﹣2）?8＝﹣18．（3）試說明：當(dāng)x＝y(tǒng)時，x?y＝y(tǒng)?x．【答案】（1）5a﹣b；（2）﹣18；（3）驗證見解答．【解答】解：（1）根據(jù)題中的新定義得：a?b＝5a﹣b；故答案為：5a﹣b；（2）根據(jù)題中的新定義得：（﹣2）?8＝5×（﹣2）﹣8＝﹣10﹣8＝﹣18；故答案為：﹣18；（3）根據(jù)題中的新定義得：當(dāng)x＝y(tǒng)時，x?y＝5x﹣y＝5x﹣x＝4x，y?x＝5y﹣x＝5x﹣x＝4x，此時x?y＝y(tǒng)?x．【變式51】若“☆”表示一種新的運(yùn)算符號，且有如下運(yùn)算規(guī)律．已知2☆3＝2+3+4，7☆2＝7+8，3☆5＝3+4+5+6+7，9☆4＝9+10+11+12…按此規(guī)律，如果n☆3＝33，求n的值．【答案】10．【解答】解：由題意得：n+（n+1）+（n+2）＝33，解得：n＝10．【變式52】定義新運(yùn)算“?”，規(guī)定：a?b＝a2﹣|b|，則（﹣2）?（﹣1）的運(yùn)算結(jié)果為（）A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3【答案】D【解答】解：由題意可得：（﹣2）?（﹣1）＝（﹣2）2﹣|﹣1|＝4﹣1＝3．故選：D．【變式53】現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“*”，規(guī)定a*b＝b2﹣a，如3*1＝12﹣3＝﹣2，則（﹣2）*（﹣3）等于（）A．11 B．﹣11 C．7 D．﹣7【答案】A【解答】解：∵a*b＝b2﹣a，∴（﹣2）*（﹣3）＝（﹣3）2﹣（﹣2）＝9+2＝11，故選：A．【變式54】符號“f”表示一種運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；（2）f（）＝2，f（）＝3，f（）＝4…．利用以上規(guī)律計算：f（2022）﹣f（）等于（）A．2021 B．2022 C． D．【答案】B【解答】解：由（1）知f（2022）＝2022×2＝4044，由（2）知f（）＝2022，∴f（2022）﹣f（）＝4044﹣2022＝2022，故選：B．【變式55】日常生活中我們使用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，數(shù)的進(jìn)位方法是“逢十進(jìn)一”．而計算機(jī)使用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，即數(shù)的進(jìn)位方法是“逢二進(jìn)一”．二進(jìn)制數(shù)只使用數(shù)字0、1，如二進(jìn)制數(shù)1101記為1101（2），1101（2）通過式子1×23+1×22+0×2+1可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)13．仿照上面的轉(zhuǎn)換方法，將二進(jìn)制數(shù)11101（2）轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)是（）A．15 B．29 C．30 D．33【答案】B【解答】解：由題意可得，11101（2）＝1×24+1×23+1×22+0×2+1＝29．故選：B．【變式56】我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算，得出了一種新的運(yùn)算，如表是兩種運(yùn)算對應(yīng)關(guān)系的一組實例：指數(shù)運(yùn)算21＝222＝423＝8…31＝332＝933＝27…新運(yùn)算log22＝1log24＝2log28＝3…log33＝1log39＝2log327＝3…根據(jù)上表規(guī)律，某同學(xué)寫出了三個式子：①log216＝4，②log525＝5，③．其中正確的是①③．【答案】①③．【解答】解：根據(jù)題意得：①log216＝log224＝4，原計算正確，②log525＝log552＝2，原計算錯誤，③＝log22﹣1＝﹣1，原計算正確．故答案為：①③．【題型4含型規(guī)律】【典例6】某種細(xì)胞開始有1個，1小時后分裂成2個，2小時分裂成4個，3小時后分裂成8個，按此規(guī)律，n小時后細(xì)胞的個數(shù)超過1000個，n的最小值是（）A．9 B．10 C．500 D．501【答案】B【解答】由題意得，2n∵29=512，∴n的最小值是：10，故答案為：B．【變式61】某種細(xì)胞開始有2個，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，…，按此規(guī)律，5小時后，細(xì)胞存活的個數(shù)是（）A．31 B．33 C．35 D．37【答案】B【解答】根據(jù)題意可知，1小時后分裂成4個并死去1個，剩3個，3=2+1；2小時后分裂成6個并死去1個，剩5個，5=22+1；3小時后分裂成10個并死去1個，剩9個，9=23+1；…故5小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是25+1=33個．故答案為：B【變式62】某種細(xì)胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10并死去一個，按此規(guī)律，10小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是（）A．1023 B．1024 C．1025 D．1026【答案】C【解答】1小時后存活的個數(shù)是3=2+1，2小時后存活的個數(shù)是：5=22+1【變式63】某種細(xì)胞開始分裂時有兩個，1小時后分裂成4個并死去一個，2小時后分裂成6個并死去一個，3小時后分裂成10個并死去一個，按此規(guī)律，8小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是（）A．253 B．255 C．257 D．259【答案】C【解答】解：根據(jù)題意，1小時后分裂成4個并死去1個，剩3個，3＝2+1；2小時后分裂成6個并死去1個，剩5個，5＝22+1；3小時后分裂成10個并死去一個，剩9個，9＝23+1；……n個小時后細(xì)胞存活的個數(shù)是2n+1，當(dāng)n＝8時，存活個數(shù)是28+1＝257．故選：C【題型5定義兩個數(shù)的運(yùn)算】【典例7】現(xiàn)定義一種新運(yùn)算“*”，規(guī)定a?b=b2?aA．11 B．－11 C．7 D．－7【答案】A【解答】∵a?∴(?2)?故答案為：A．【變式71】定義一種新運(yùn)算：a⊕b=b2?2ab.如1⊕3=3【答案】8【解答】解：?1⊕2=22?2?1×2=4+4=8.

故