專題20正比例函數(shù)(原卷版+解析)

專題20正比例函數(shù)目錄TOC\o"1-1"\h\u必備知識(shí)點(diǎn) 1考點(diǎn)一正比例函數(shù)的定義問題 1考點(diǎn)二正比例函數(shù)的圖像 2考點(diǎn)三正比例函數(shù)的性質(zhì) 3知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)1.正比例函數(shù)的定義一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).例如y=x，y=-3x等都是正比例函數(shù)。2.正比例函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)k的符號(hào)函數(shù)圖像圖像的位置性質(zhì)k>0圖像過第一、三象限y隨x的增大而增大k<0圖像過第二、四象限y隨x的增大而減小1)通常畫正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象時(shí)只需取一點(diǎn)(1，k)，然后過原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫直線.2)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象從左向右呈上升趨勢；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象從左向右呈下降趨勢.3)正比例函數(shù)y=kx中，越大，直線y=kx越靠近軸；越小，直線y=kx越靠近x軸.考點(diǎn)一正比例函數(shù)的定義問題1．若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則這個(gè)圖像必經(jīng)過點(diǎn)(

)A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（

）．A． B． C． D．3．若函數(shù)是正比例函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A． B． C． D．y隨x的增大而增大4．如果是正比例函數(shù)，那么a的值是(

)A．-1 B．0或1 C．-1或1 D．15．已知y與z成正比例函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，z與x成一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式為，且過點(diǎn)，則y是x的___函數(shù)，函數(shù)關(guān)系式為____.6．若一次函數(shù)表示正比例函數(shù)，則m=_____________．7．下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是_____，是正比例函數(shù)的是_____．（填序號(hào)）（1）y＝﹣；（2）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．考點(diǎn)二正比例函數(shù)的圖像8．已知正比例函數(shù)中，y的值隨著x值的增大而減小，則y=kx的大致圖象為（

）A． B． C． D．9．正比例函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．10．如圖，點(diǎn)C、B分別在兩條直線y＝﹣3x和y＝kx上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是正方形，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．11．如圖所示，三個(gè)正比例函數(shù)的圖象分別對(duì)應(yīng)的表達(dá)式：①，②，③.則a，b，c的大小關(guān)系是________.12．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則函數(shù)的圖象經(jīng)過第________象限.13．若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（－5，3），（1）求的值；（2）判斷隨的增大如何變化；（3）如果這條直線上點(diǎn)B的橫坐標(biāo)＝4，那么它的縱坐標(biāo)的值是多少？考點(diǎn)三正比例函數(shù)的性質(zhì)14．正比例函數(shù)的圖像上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（

）.A．1 B．-1 C．±1 D．±215．如果正比例函數(shù)y＝（a﹣1）x（a是常數(shù)）的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)＞116．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)，，，的圖象分別為，，，，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．17．在正比例函數(shù)y＝（2m－1）x中，y隨x增大而減小，則m的取值范圍是_____.18．如圖，10個(gè)邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線l，將這10個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則該直線l的解析式為_______________19．已知y＝（k﹣3）是關(guān)于x的正比例函數(shù)，（1）寫出y與x之間的函數(shù)解析式：（2）求當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y的值．20．如圖，正比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)A在第四象限．過點(diǎn)A做AH⊥x軸，垂足為點(diǎn)H，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3，且△AOH的面積為4.5．（1）求該正比例函數(shù)的解析式；（2）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使△AOP的面積為6？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．專題20正比例函數(shù)目錄TOC\o"1-1"\h\u必備知識(shí)點(diǎn) 1考點(diǎn)一正比例函數(shù)的定義問題 1考點(diǎn)二正比例函數(shù)的圖像 6考點(diǎn)三正比例函數(shù)的性質(zhì) 10知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)1.正比例函數(shù)的定義一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)，叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).例如y=x，y=-3x等都是正比例函數(shù)。2.正比例函數(shù)的圖像特征與性質(zhì)k的符號(hào)函數(shù)圖像圖像的位置性質(zhì)k>0圖像過第一、三象限y隨x的增大而增大k<0圖像過第二、四象限y隨x的增大而減小1)通常畫正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象時(shí)只需取一點(diǎn)(1，k)，然后過原點(diǎn)和這一點(diǎn)畫直線.2)當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象從左向右呈上升趨勢；當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象從左向右呈下降趨勢.3)正比例函數(shù)y=kx中，越大，直線y=kx越靠近軸；越小，直線y=kx越靠近x軸.考點(diǎn)一正比例函數(shù)的定義問題1．若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則這個(gè)圖像必經(jīng)過點(diǎn)(

)A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求出正比例函數(shù)的解析式，然后代入檢驗(yàn)即可．【詳解】解：設(shè)正比例函數(shù)的解析式為y=kx（k≠0），∵y=kx的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，-2），∴k=-2，∴y=-2x，把這四個(gè)選項(xiàng)中的點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入y=-2x中，等號(hào)成立的點(diǎn)就在正比例函數(shù)y=-2x的圖象上，所以這個(gè)圖象必經(jīng)過點(diǎn)（-1，2）．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)一定滿足直線的解析式．解題的關(guān)鍵是正確求出正比例函數(shù)的解析式．2．下列函數(shù)中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義來判斷：一般地，兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)．【詳解】A、該函數(shù)不符合正比例函數(shù)的形式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．B、該函數(shù)是y關(guān)于x的正比例函數(shù)，故本選項(xiàng)正確．C、該函數(shù)是y關(guān)于x的一次函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．D、該函數(shù)是y2關(guān)于x的函數(shù)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．【點(diǎn)睛】主要考查正比例函數(shù)的定義：一般地，兩個(gè)變量x，y之間的關(guān)系式可以表示成形如y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，那么y就叫做x的正比例函數(shù)．3．若函數(shù)是正比例函數(shù)，則下列敘述正確的是（

）A． B． C． D．y隨x的增大而增大【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的概念以及圖象的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵函數(shù)是正比例函數(shù)，∴，解得，m=-2,∴m-2=-4＜0，∴y隨x的增大而減小，所以，選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的概念以及性質(zhì)，要求學(xué)生了解正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?．如果是正比例函數(shù)，那么a的值是(

)A．-1 B．0或1 C．-1或1 D．1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的解析式y(tǒng)=kx，其中k≠0，x的指數(shù)為1求解．【詳解】函數(shù)是正比例函數(shù)，∴a2=1，解得a=1或-1，∵a+1≠0，∴a≠-1，∴a=1．故選D【點(diǎn)睛】解題關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的定義條件：正比例函數(shù)y=kx的定義條件是：k為常數(shù)且k≠0，自變量次數(shù)為1．5．已知y與z成正比例函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，z與x成一次函數(shù)關(guān)系，函數(shù)關(guān)系式為，且過點(diǎn)，則y是x的___函數(shù)，函數(shù)關(guān)系式為____.【答案】

一次，

【解析】【分析】由y與z成正比例函數(shù)，可設(shè)，根據(jù)當(dāng)時(shí)，，可求出k，由，且過點(diǎn)，可求出b，再把z與x的關(guān)系代入到y(tǒng)與z的關(guān)系式中，整理即得結(jié)果.【詳解】解：∵y與z成正比例函數(shù)，∴設(shè)，∵當(dāng)時(shí)，，∴，解得k=4，所以y=4z，∵一次函數(shù)過點(diǎn)（0,2），∴b=2，∴，∴，所以y是x的一次函數(shù)，且函數(shù)關(guān)系式為.【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)的定義和待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是熟知一次函數(shù)的定義，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法.6．若一次函數(shù)表示正比例函數(shù)，則m=_____________．【答案】【解析】【分析】先去括號(hào)，再令常數(shù)項(xiàng)為零即可.【詳解】解：，∵一次函數(shù)為正比例函數(shù)，∴，即.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：正比例函數(shù)的定義，熟練掌握是解題的關(guān)鍵.7．下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是_____，是正比例函數(shù)的是_____．（填序號(hào)）（1）y＝﹣；（2）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．【答案】

（1）（3）（5）（6）（7）

（1）（6）【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)與正比例函數(shù)的定義以及兩者之間的聯(lián)系.【詳解】解:一次函數(shù):（1）y＝﹣；（3）y＝3﹣5x；（5）y＝6x﹣；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x（7）y＝x﹣6．正比例函數(shù):(1)y＝﹣;(6)y＝x（x﹣4）﹣x2=-4x;故答案為:一次函數(shù):(1)(3)(5)(6)(7);正比例函數(shù):(1)(6).【點(diǎn)睛】根據(jù)一次函數(shù)和正比例函數(shù)的定義判斷.符合y=kx(k≠0)的形式的函數(shù)是正比例函數(shù)也是一次函數(shù),符合y=kx+b(k≠0)的形式的函數(shù)是一次函數(shù).考點(diǎn)二正比例函數(shù)的圖像8．已知正比例函數(shù)中，y的值隨著x值的增大而減小，則y=kx的大致圖象為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可知．【詳解】∵是正比例函數(shù)，∴b=0，∴圖象必經(jīng)過原點(diǎn)，∵函數(shù)值隨著x的增大而減小，∴函數(shù)圖象經(jīng)過第二四象限．故選D．【點(diǎn)睛】了解正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線．當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。?．正比例函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用正比例函數(shù)的性質(zhì)：K>0時(shí)，直線經(jīng)過第一、三象限；K<0時(shí)，直線經(jīng)過第二、四象限.分析得出即可．【詳解】解：正比例函數(shù)的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線，且當(dāng)時(shí)，這條直線經(jīng)過第一、三象限．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，正確記憶圖象分布與系數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．如圖，點(diǎn)C、B分別在兩條直線y＝﹣3x和y＝kx上，點(diǎn)A、D是x軸上兩點(diǎn)，若四邊形ABCD是正方形，則k的值為（）A．3 B．2 C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣3m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，﹣3m），根據(jù)正方形的性質(zhì)，即可得出關(guān)于k的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為m，∵點(diǎn)C在直線y=-3x上，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，﹣3m），∵四邊形ABCD為正方形，∴BC∥x軸，BC=AB，又點(diǎn)B在直線y＝kx上，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣，﹣3m），∴﹣﹣m＝﹣3m，解得：k＝，經(jīng)檢驗(yàn)，k＝是原方程的解，且符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及解分式方程等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖所示，三個(gè)正比例函數(shù)的圖象分別對(duì)應(yīng)的表達(dá)式：①，②，③.則a，b，c的大小關(guān)系是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)分析．【詳解】首先根據(jù)圖象經(jīng)過的象限，得a＞0，b＞0，c＜0，再根據(jù)直線越陡，|k|越大，則b＞a＞c．故答案為b＞a＞c．【點(diǎn)睛】了解正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減?。瑫r(shí)注意直線越陡，則|k|越大．12．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、四象限，則函數(shù)的圖象經(jīng)過第________象限.【答案】一、三【解析】【分析】因?yàn)檎壤瘮?shù)y=-kx的圖象經(jīng)過第二、四象限，所以-k<0，得k＞0，從而k+1＞0，故可得答案．【詳解】∵正比例函數(shù)y=-kx的圖象第二、四象限，∴-k＜0，∴k＞0，∴k+1＞0∴函數(shù)y=(k+1)x的圖象經(jīng)過第一、三象限.故答案為一、三．【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)．需注意判斷x的系數(shù)和常數(shù)的符號(hào)．13．若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（－5，3），（1）求的值；（2）判斷隨的增大如何變化；（3）如果這條直線上點(diǎn)B的橫坐標(biāo)＝4，那么它的縱坐標(biāo)的值是多少？【答案】（1）；（2）隨的增大而減小；（3）【解析】【分析】（1）設(shè)這個(gè)正比例函數(shù)的解析式是y=kx，再將A（－5，3）代入求得k即可；（2）判斷k的值，即可得到答案；（3）把點(diǎn)B的橫坐標(biāo)代入解析式，即可求出縱坐標(biāo)的值.【詳解】解：(1)設(shè)正比例函數(shù)的解析式為：y=kx，∵直線經(jīng)過點(diǎn)A（－5，3），∴3＝－5∴＝，∴直線的解析式為.（2）∵＝＜0，∴隨的增大而減小.（3）∵B點(diǎn)在直線上，＝4，∴＝.【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì).考點(diǎn)三正比例函數(shù)的性質(zhì)14．正比例函數(shù)的圖像上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，則（

）.A．1 B．-1 C．±1 D．±2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，正比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（a，a）或（a，-a），然后把它們分別代入y=kx可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的k的值，從而可確定正比例函數(shù)解析式．【詳解】∵正比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離相等，∴正比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為（a，a）或（a，-a），∴k?a=a或k?a=-a∴k=1或-1，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式：設(shè)正比例函數(shù)解析式為y=kx，然后把一組對(duì)應(yīng)值代入求出k，從而得到正比例函數(shù)解析式．15．如果正比例函數(shù)y＝（a﹣1）x（a是常數(shù)）的圖象在第一、三象限，那么a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＜0 B．a(chǎn)＞0 C．a(chǎn)＜1 D．a(chǎn)＞1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)是常數(shù)）的圖象經(jīng)過第一、三象限得出的取值范圍即可．【詳解】解：因?yàn)檎壤瘮?shù)y＝（a﹣1）x（a是常數(shù)）的圖象在第一、三象限，所以a﹣1＞0，解得：a＞1，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與、的關(guān)系．解答本題注意理解：直線所在的位置與、的符號(hào)有直接的關(guān)系．時(shí)，直線必經(jīng)過一、三象限．時(shí)，直線必經(jīng)過二、四象限．時(shí)，直線與軸正半軸相交．時(shí)，直線過原點(diǎn)；時(shí)，直線與軸負(fù)半軸相交．16．如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)，，，的圖象分別為，，，，則下列關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】首先根據(jù)直線經(jīng)過的象限判斷k的符號(hào)，再進(jìn)一步根據(jù)直線的陡峭趨勢（直線越陡越大）判斷k的絕對(duì)值的大小，最后判斷四個(gè)數(shù)的大小.【詳解】解：根據(jù)直線經(jīng)過的象限，知，，，，根據(jù)直線越陡越大，知，，所以．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，直線越陡越大，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．17．在正比例函數(shù)y＝（2m－1）x中，y隨x增大而減小，則m的取值范圍是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象的增減性可求出m的取值范圍．【詳解】解：∵函數(shù)y=（2m-1）x是正比例函數(shù)，且y隨x的增大而減小，∴2m-1＜0，解得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)：它是經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線．當(dāng)k＞0時(shí)，圖象經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k＜0時(shí)，圖象經(jīng)過二、四象限，y隨x的增大而減小．18．如圖，10個(gè)邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線l，將這10個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，則該直線l的解析式為_______________【答案】【解析】【分析】設(shè)直線和十個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過A作AB⊥OB于B，過A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面積公式和已知條件求出A的坐標(biāo)即可得到該直線的解析式．【詳解】解：設(shè)直線l和10個(gè)正方形的最上面交點(diǎn)為A，過A作AB⊥OB于B，過A作AC⊥OC于C，∵正方形的邊長為1,∴OB=3，∵經(jīng)過原點(diǎn)的一條直線將這10個(gè)正方形分成面積相等的兩部分，∴兩邊面積都為分別是5，∴三角形ABO面積是7，∴OB?AB=7，∴AB=，∴OC=AB=，由此可知直線經(jīng)過，設(shè)直線方程為y=kx（k≠0），則3=k，解得k=，∴直線l解析式為．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作AB⊥y軸，作AC⊥x軸