專題28不等式（組）應(yīng)用之幾何問題

專題27不等式（組）應(yīng)用之幾何問題【例題講解】如圖，在平面直角坐標系中，軸，軸，且，動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿路線向點運動；動點從點出發(fā)，以每秒的速度，沿路線向點運動．若兩點同時出發(fā)，其中一點到達終點時，運動停止．（Ⅰ）直接寫出三個點的坐標；（Ⅱ）設(shè)兩點運動的時間為秒，用含的式子表示運動過程中三角形的面積；（Ⅲ）當三角形的面積的范圍小于16時，求運動的時間的范圍．【詳解】解：（Ⅰ）軸，，，軸，，；（Ⅱ）∵點運動的路徑長為，所用時間為7秒；點運動的路徑長為，所用時間為秒，∴根據(jù)其中一點到達終點時運動停止可知，運動時間的取值范圍為，點運動到點所用時間為4秒，點運動到點所用時間為，因此，分以下兩種情況：①如圖，當時，，則三角形的面積為；②當時，如圖，過點作，交延長線于點，，，則三角形的面積為，，，綜上，當時，三角形的面積為；當時，三角形的面積為；（Ⅲ）①當時，則，解得，則此時的取值范圍為；②當時，則，解得，則此時的取值范圍為，綜上，當三角形的面積的范圍小于16時，或．【綜合解答】1．小明同學在計算一個多邊形（每個內(nèi)角小于）的內(nèi)角和時，由于粗心少算了一個內(nèi)角，結(jié)果得到的總和是，則少算了這個內(nèi)角的度數(shù)為________．【答案】##度【分析】n邊形的內(nèi)角和是，少計算了一個內(nèi)角，結(jié)果得，則內(nèi)角和是與的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程，多邊形的邊數(shù)n一定是最小的整數(shù)值，從而求出多邊形的邊數(shù)，內(nèi)角和，進而求出少計算的內(nèi)角．【詳解】解：設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，依題意有，解得：，則多邊形的邊數(shù)n＝14；多邊形的內(nèi)角和是；則未計算的內(nèi)角的大小為．故答案為．【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．在實數(shù)范圍內(nèi)規(guī)定新運算“△”，其規(guī)則是：a△b＝2a﹣b，已知不等式x△k≥2的解集在數(shù)軸上如圖表示，則k的值是_____．【答案】4【分析】根據(jù)新運算法則得到不等式2x﹣k≥2，通過解不等式即可求k的取值范圍，結(jié)合圖象可以求得k的值．【詳解】解：根據(jù)圖示知，已知不等式的解集是x≥﹣1．則2x﹣1≥﹣3∵x△k＝2x﹣k≥2，∴2x﹣1≥k+1且2x﹣1≥﹣3，∴k＝﹣4．故答案填：﹣4．【點睛】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．3．將長為4，寬為（大于2且小于4）的長方形紙片按如圖①所示的方式折疊并壓平，剪上一個邊長等于長方形寬的正方形，稱為第一次操作；再把剩下的長方形按如圖②所示的方式折疊并壓平，剪下邊長等于此時長方形寬的正方形，稱為第二次操作；如此反復(fù)操作下去…，若在第次操作后，剩下的長方形恰為正方形，則操作終止．當時，的值為___________．【答案】3或【分析】根據(jù)題意，第一次和第二次操作后，通過列不等式并求解，即可得到的取值范圍；第三次操作后，通過列一元一次方程并求解，即可得到答案．【詳解】根據(jù)題意，第一次操作，當剩下的長方形寬為：，長為：時，得：∴當剩下的長方形寬為：，長為：時，得：∴∵∴第一次操作，當剩下的長方形寬為：，長為：；第二次操作，當剩下的長方形寬為：，長為：時，得：解得：∴當剩下的長方形寬為：，長為：時，得：解得：∴∵在第次操作后，剩下的長方形恰為正方形，且∴第三次操作后，當剩下的正方形邊長為：時，得：解得：∵∴符合題意；當剩下的正方形邊長為：時，得：解得：∵∴符合題意；∴的值為：3或故答案為：3或．【點睛】本題考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性質(zhì)，從而完成求解．4．如圖，長方形ABCD中，AB=4，AD=2．點Q與點P同時從點A出發(fā)，點Q以每秒1個單位的速度沿A→D→C→B的方向運動，點P以每秒3個單位的速度沿A→B→C→D的方向運動，當P，Q兩點相遇時，它們同時停止運動．設(shè)Q點運動的時間為（秒），在整個運動過程中，當△APQ為直角三角形時，則相應(yīng)的的值或取值范圍是_________．【答案】0＜≤或x=2．【分析】由題意可得當0＜x≤△AQM是直角三角形，當

＜x＜2時△AQM是銳角三角形，當x=2時，△AQM是直角三角形，當2＜x＜3時△AQM是鈍角三角形．【詳解】解：當點P在AB上時，點Q在AD上時，此時△APQ為直角三角形，則0＜x≤；當點P在BC上時，點Q在AD上時，此時△APQ為銳角三角形，則＜x＜2；當點P在C處，此時點Q在D處，此時△APQ為直角三角形，則x=2時；當點P在CD上時，點Q在DC上時，此時△APQ為鈍角三角形，則2＜x＜3．故答案是：0＜x≤或x=2．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)和列代數(shù)式的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)，還要熟練掌握三角形形狀的判斷，此題難度一般．二、解答題(共0分)5．平面直角坐標系中，點A坐標為（2m－3，3m＋2）．(1)若點A在坐標軸上，求m的值：(2)若點A在第二象限內(nèi)，求m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點在x軸上縱坐標為0求解；（2）根據(jù)點在第二象限橫坐標小于0，縱坐標大于0求解．(1)解：∵點A在x軸上，∴，解得：．(2)∵點A在第二象限內(nèi)，，解得，．【點睛】此題考查了點與坐標的對應(yīng)關(guān)系，坐標軸上的點的特征，各個象限的點的特征，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．6．如圖，“開心”農(nóng)場準備用的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設(shè)矩形花園的長為，寬為．(1)當時，求的值；(2)受場地條件的限制，的取值范圍為，求的取值范圍．【答案】(1)10；(2)．【分析】（1）根據(jù)等量關(guān)系“圍欄的長度為50”可以列出代數(shù)式，再將a=30代入所列式子中求出b的值；（2）由（1）可得a，b之間的關(guān)系式，用含有b的式子表示a，再結(jié)合，列出關(guān)于b的不等式組，解不等式組即可求出b的取值范圍．（1）解：由題意，得，當時，．解得．（2）解：∵，∴，，∴解這個不等式組，得．答：矩形花園寬的取值范圍為．【點睛】此題主要考查了列代數(shù)式及不等式組的應(yīng)用，正確理解題意得出關(guān)系式及不等式組是解題關(guān)鍵．7．在平面直角坐標系中，點，，的坐標分別為，，，且，滿足方程為二元一次方程．（1）求，的坐標．（2）若點為軸正半軸上的一個動點．①如圖1，當時，與的平分線交于點，求的度數(shù)；②如圖2，連接，交軸于點．若成立．設(shè)動點的坐標為，求的取值范圍．【答案】（1）點的坐標為，點的坐標為；（2）①45°；②【分析】（1）根據(jù)可得，，，，即可求得a、c的值，坐標可求；2）①作PH∥AD，根據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)計算，得到答案；②連接AB，交y軸于F，根據(jù)點的坐標特征分別求出S△ABC、S△ABD，根據(jù)題意列出不等式，解不等式即可．【詳解】解：（1）由題意得，，，，解得，，，則點的坐標為，點的坐標為；（2）①如圖1，作，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵與的平分線交于點，∴，，∴，∵，，∴，，∴；②連接，交軸于，∵，∴，即，∵，，，∴，過作軸的平行線，作、垂直，交于點、，，，由題意得，，解得，，∵點為軸正半軸上的一個動點，∴．【點睛】本題考查的是二元一次方程的定義、平行線的性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)、三角形的面積計算，一元一次不等式，掌握平行線的性質(zhì)、三角形面積公式是解題的關(guān)鍵．8．△ABC在平面直角坐標系內(nèi)如圖1擺放，A、C兩點的橫坐標都是5，BC∥x軸．已知B點坐標為(－3，m)，AB交y軸于點D，且AC＝BC．

(1)填空：BC＝_____；△ABC的面積為______；用m表示點A的坐標為______.(2)射線BO交直線AC于點Q，若△ABQ的面積為16，試求m的值(3)如圖2，點D在y軸負半軸上，∠BAC的三等分線AP與∠BOD的角平分線OP交于點P，其中∠BAC＝3∠BAP＝45°．若∠P＞2∠B，試求∠BOD的取值范圍.【答案】（1）8，32，(5,m+8)；（2）m=或m=（3）40°<∠BOD<45°.【分析】（1）根據(jù)A、C點橫坐標為5，說明AC⊥x軸，根據(jù)與x軸，y軸平行的直線上點坐標特征確定點A坐標，再根據(jù)面積公式求解；（2）通過證明三角形相似，利用其性質(zhì)表示出Q點的坐標，再根據(jù)面積公式列方程求解；（3）設(shè)∠BOP=∠POD=α，利用外角等于不相鄰兩個內(nèi)角和及已知角的關(guān)系將∠P和∠B用α表示，根據(jù)題意列不等式求α的解集，再結(jié)合外角大于任何一個不相鄰的內(nèi)角確定∠BOD的范圍.【詳解】解：（1）∵A、C點橫坐標為5，B點坐標為(－3，m),∴BC=5(3)=8,∵BC∥x軸,∴∠ACB=90°∵AC＝BC∴S△ABC=∵B(－3，m),BC=AC=8,∴A(5,m+8)；（2）如圖，過B作BH⊥x軸，垂足為H,AC與x軸交于點G,∴∠BHO=∠QGO=90°,∠HOB=∠GOQ,∴△HOB∽△GOQ,∴,∴,∴QG=,∴Q的坐標為，∴AQ的長度為，∵△ABQ的面積為16,∴，解得：m=或m=.（3）如圖，AP與y軸交于點N,點M在y軸上，∵OP是∠BOD的角平分線，∴∠BOP=∠POD，∵∠ACB=90°，AC=BC,∴∠BAC=∠ABC=45°,∵∠BAC＝3∠BAP＝45°∴∠BAP=15°,∠CAP=30°,∵OM∥AC,∴BDM=∠BAC=45°,∠PNM=∠PAC=30°,設(shè)∠BOP=∠POD=α,∵∠BDM=∠B+∠BOD,∴∠B=∠BDM∠BOD=45°2α,∵∠PNM=∠POM+∠P,∴∠P=∠PNM∠POM=30°α,∵∠P>2∠B,∴30°α>2(45°2α)解得，α>20°∴∠BOD>40°∵∠BDM>∠BOD,∴∠BOD<45°∴40°<∠BOD<45°.【點睛】本題考查平面直角坐標系坐標與圖形，理解點坐標的意義，將坐標轉(zhuǎn)化線段長是解答此類問題的關(guān)鍵；同時利用外角定理表示角之間的關(guān)系，也是解答此題的關(guān)鍵之處.9．如圖，長方形AOCB的頂點A(m，n)和C(p，q)在坐標軸上，已知和都是方程的解，點B在第一象限內(nèi)．（1）求點B的坐標（2）將線段AB沿著y軸負半軸方向向下平移6個單位長度到線段EF，點P從點O出發(fā)以每秒1個單位長度沿的路線做勻速運動，同時點Q也從點O出發(fā)以每秒2個單位長度沿的路線做勻速運動．當點Q運動到點C時，兩動點均停止運動，設(shè)運動的時間為秒，四邊形OPCQ的面積為S．①當時，求的值；②若時，求的取值范圍．【答案】（1）B（2，3）；（2）①5；②或3＜t≤4.【分析】（1）根據(jù)坐標軸上的點得出m=q=0，再根據(jù)二元一次方程的解分別求出n和p，得到A和C的坐標，從而得到點B坐標；（2）①當t=2時，得到OP和OQ的坐標，再計算結(jié)果；②根據(jù)運動過程分當t≤3時，當3＜t≤4時，當4＜t≤5時和當t＞5時，四種情況分別求解.【詳解】解：（1）∵A(m，n)和C(p，q)在坐標軸上，∴m=0，q=0，代入中，可得：n=3，p=2，∴A（0，3），C（2，0），∵點B在第一象限，∴B（2，3）；（2）①當t=2時，點P在OA邊上，點Q在EF邊上，OP=2，OQ=4，∴EQ=1∴S四邊形OPCQ=S△POC+S△QOC=；②由運動過程可知：當t≤1.5時，點P在OA上，點Q在OE上，OP=t，OQ=2t，此時若要，則，解得：，∴此時t的取值范圍是；當1.5＜t≤2.5時，點Q在EF上，點P在OA上，此時S四邊形OPCQ=S△POC+S△QOC=，解得t＜2，∴此時t的取值范圍是當2.5＜t≤3時，點Q在CF上，點P在OA上，此時S四邊形OPCQ=S△POC+S△QOC=，解得，∴此種情況，不存在；當3＜t≤4時，點P在AB上，點Q在CF上，S四邊形OPCQ=S△POC+S△QOC=解得：t＞，∴t的取值范圍是：3＜t≤4，綜上：當時，t的取值范圍是：或3＜t≤4．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、坐標與圖形、一元一次不等式、平移的性質(zhì)、多邊形的面積，本題綜合性強，理解題意，弄清運動情形是解題的關(guān)鍵.10．如圖，正方形ABCD的邊長是2厘米，E為CD的中點，Q為正方形ABCD邊上的一個動點，動點Q以每秒1厘米的速度從A出發(fā)沿運動，最終到達點D，若點Q運動時間為秒．（1）當時，平方厘米；當時，平方厘米；（2）在點Q的運動路線上，當點Q與點E相距的路程不超過厘米時，求的取值范圍；（3）若的面積為平方厘米，直接寫出值．【答案】（1）1；

（2）

（3）【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)題意列出不等式組故可求解；（3）分Q點在AB上、BC上和CD上分別列出方程即可求解．【詳解】（1）當時，=1平方厘米；當時，=平方厘米；故答案為；；（2）解：根據(jù)題意，得解得，故的取值范圍為；（3）當Q點在AB上時，依題意可得解得；當Q點在BC上時，依題意可得解得＞6，不符合題意；當Q點在AB上時，依題意可得或解得或；∴值為．【點睛】此題主要考查不等式組與一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得到方程或不等式組進行求解．11．如圖，某農(nóng)場準備用80米的護欄圍成一塊靠墻的矩形花園，設(shè)矩形花園的長為x米，寬為y米．（1）當y＝22時，求x的值；（2）由于受場地條件的限制，y的取值范圍為16≤y≤26，求x的取值范圍．【答案】（1）x＝29；（2）27≤x≤32【分析】（1）由題意得2x+y＝80，再將y＝22代入即可求x；（2）由題意可得1