專題8填空題壓軸題之動點(diǎn)問題

專題8填空題壓軸題之動點(diǎn)問題（解析版）模塊一2022中考真題訓(xùn)練類型一用函數(shù)觀點(diǎn)描述幾何圖形1．（2022?煙臺）如圖1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC邊上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），DE∥AB，交AC于點(diǎn)E，EF∥BC，交AB于點(diǎn)F．設(shè)BD的長為x，四邊形BDEF的面積為y，y與x的函數(shù)圖象是如圖2所示的一段拋物線，其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），則AB的長為．思路引領(lǐng)：根據(jù)拋物線的對稱性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，則此時(shí)BF=3，AB＝2BF解：∵拋物線的頂點(diǎn)為（2，3），過點(diǎn)（0，0），∴x＝4時(shí)，y＝0，∴BC＝4，作FH⊥BC于H，當(dāng)BD＝2時(shí)，?BDEF的面積為3，∵3＝2FH，∴FH=3∵∠ABC＝60°，∴BF=3∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝23，故答案為：23．總結(jié)提升：本題主要考查了動點(diǎn)的函數(shù)圖象問題，拋物線的對稱性，平行四邊形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值等知識，求出BC＝4是解題的關(guān)鍵．2．（2022?營口）如圖1，在四邊形ABCD中，BC∥AD，∠D＝90°，∠A＝45°，動點(diǎn)P，Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動（運(yùn)動到B點(diǎn)即停止），點(diǎn)Q以2cm/s的速度沿折線AD→DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動時(shí)間為x（s），△APQ的面積為y（cm2），若y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖2所示，當(dāng)x=72（s）時(shí)，則y＝354思路引領(lǐng)：根據(jù)題意以及函數(shù)圖像可得出△AED∽△APQ，則點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動時(shí)，△APQ為等腰直角三角形，然后根據(jù)三角形面積公式得出當(dāng)面積最大為9時(shí)，此時(shí)x＝3，則AD＝2x＝6cm，當(dāng)3＜x≤4時(shí)，過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，結(jié)合面積公式，分別表示出相關(guān)線段可得y與x之間的函數(shù)解析式，最后代入求解即可．解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，在Rt△ADE中，∵∠AED＝90°，∠EAD＝45°，∴AEAD∵點(diǎn)P的速度為2cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，∴AP=2x，AQ＝2x∴APAQ在△APQ和△AED中，AEAD=AP∴△AED∽△APQ，∴點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動時(shí)，△APQ為等腰直角三角形，∴AP＝PQ=2x∴當(dāng)點(diǎn)Q在AD上運(yùn)動時(shí)，y=12AP?AQ=12×2x由圖像可知，當(dāng)y＝9此時(shí)面積最大，x＝3或﹣3（負(fù)值舍去），∴AD＝2x＝6cm，當(dāng)3＜x≤4時(shí)，過點(diǎn)P作PF⊥AD于點(diǎn)F，如圖：此時(shí)S△APQ＝S△APF+S四邊形PQDF﹣S△ADQ，在Rt△APF中，AP=2x，∠PAF∴AF＝PF＝x，F(xiàn)D＝6﹣x，QD＝2x﹣6，∴S△APQ=12x2+12（x+2x﹣6）?（6﹣x）即y＝﹣x2+6x，當(dāng)x=72時(shí)，y＝﹣（72）2故答案為：354總結(jié)提升：本題考查了動點(diǎn)問題的函數(shù)圖像，注意分類討論，求出各段函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022?湖北）如圖1，在△ABC中，∠B＝36°，動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線A→B→C勻速運(yùn)動至點(diǎn)C停止．若點(diǎn)P的運(yùn)動速度為1cm/s，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t（s），AP的長度為y（cm），y與t的函數(shù)圖象如圖2所示．當(dāng)AP恰好平分∠BAC時(shí)t的值為25+2思路引領(lǐng)：由圖象可得AB＝BC＝4cm，通過證明△APC∽△BAC，可求AP的長，即可求解．解：如圖，連接AP，由圖2可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴APAB∴AP2＝AB?PC＝4（4﹣AP），∴AP＝25?2＝BP∴t=4+25?2故答案為：25+總結(jié)提升：本題是動點(diǎn)問題的函數(shù)圖象，考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形相似是解題的關(guān)鍵．類型二三角形、多邊形上的動點(diǎn)問題4．（2022?遵義）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為BC，AC上的動點(diǎn)，且AN＝CM，AB=2．當(dāng)AM+BN的值最小時(shí)，CM的長為2?2思路引領(lǐng)：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)AN＝CM＝x．AM+BN=12+(1?x)2+(2)2+x2，欲求AM+BN的最小值，相當(dāng)于在x軸上尋找一點(diǎn)P（x，0），到E（1，1），F(xiàn)（0，2）的距離和的最小值，如圖1中，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′，當(dāng)E，P，F(xiàn)′共線時(shí)，PE+解：過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)AN＝CM＝x．∵AB＝AC=2，∠BAC∴BC=(∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM+BN=1欲求AM+BN的最小值，相當(dāng)于在x軸上尋找一點(diǎn)P（x，0），到E（1，1），F(xiàn)（0，2）的距離和的最小值，如圖1中，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)F′，當(dāng)E，P，F(xiàn)′共線時(shí)，PE+PF的值最小，此時(shí)直線EF′的解析式為y＝（2+1）x?當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2?2∴AM+BN的值最小時(shí)，CM的值為2?2解法二：過點(diǎn)C作CE⊥CB，使得CE＝AC，連接EM，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB＝AC＝CE，∠BAN＝∠ECM＝90°，AN＝CM，∴△BAN≌△ECM（SAS），∴BN＝EM，∴AM+BN＝AM+ME，∴當(dāng)A，M，E共線時(shí)，AM+BN的值最小，∵AD∥EC，∴CMDM∴CM=21+2故答案為：2?2總結(jié)提升：本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，軸對稱最短問題，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．5．（2022?黃石）如圖，等邊△ABC中，AB＝10，點(diǎn)E為高AD上的一動點(diǎn)，以BE為邊作等邊△BEF，連接DF，CF，則∠BCF＝30°，F(xiàn)B+FD的最小值為53．思路引領(lǐng)：首先證明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，AD⊥CB，∴∠BAE=12∠∵△BEF是等邊三角形，∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，∴∠ABE＝∠CBF，在△BAE和△BCF中，BA=BC∠ABE=∠CBF∴△BAE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠BCF＝30°，作點(diǎn)D關(guān)于CF的對稱點(diǎn)G，連接CG，DG，BG，BG交CF的延長線于點(diǎn)F′，連接DF′，此時(shí)BF′+DF′的值最小，最小值＝線段BG的長．∵∠DCF＝∠FCG＝30°，∴∠DCG＝60°，∵CD＝CG＝5，∴△CDG是等邊三角形，∴DB＝DC＝DG，∴∠CGB＝90°，∴BG=BC2∴BF+DF的最小值為53，故答案為：30°，53．總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2022?廣州）如圖，在矩形ABCD中，BC＝2AB，點(diǎn)P為邊AD上的一個(gè)動點(diǎn)，線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BP′，連接PP′，CP′．當(dāng)點(diǎn)P′落在邊BC上時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為120°；當(dāng)線段CP′的長度最小時(shí)，∠PP′C的度數(shù)為75°．思路引領(lǐng)：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．利用全等三角形的性質(zhì)證明∠BEP′＝90°，推出點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，再證明△BEO是等腰直角三角形，可得結(jié)論．解：如圖，以AB為邊向右作等邊△ABE，連接EP′．∵△BPP′是等邊三角形，∴∠ABE＝∠PBP′＝60°，BP＝BP′，BA＝BE，∴∠ABP＝∠EBP′，在△ABP和△EBP′中，BA=BE∠ABP=∠EBP′∴△ABP≌△EBP′（SAS），∴∠BAP＝∠BEP′＝90°，∴點(diǎn)P′在射線EP′上運(yùn)動，如圖1中，設(shè)EP′交BC于點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)P′落在BC上時(shí)，點(diǎn)P′與O重合，此時(shí)∠PP′C＝180°﹣60°＝120°，當(dāng)CP′⊥EP′時(shí)，CP′的長最小，此時(shí)∠EBO＝∠OCP′＝30°，∴EO=12OB，OP′=∴EP′＝EO+OP′=12OB+12∵BC＝2AB，∴EP′＝AB＝EB，∴∠EBP′＝∠EP′B＝45°，∴∠BP′C＝45°+90°＝135°，∴∠PP′C＝∠BP′C﹣∠BP′P＝135°﹣60°＝75°．故答案為：120°，75°．總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題．7．（2022?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長的最小值為25?2思路引領(lǐng)：連接DG，將DG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，利用SAS證明△EDG≌△DFM，得MF＝EG＝2，再說明△DGC≌△DMH（AAS），得CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，求出CM的長，再利用三角形三邊關(guān)系可得答案．解：連接DG，將DG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM=42+∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值為25?故答案為：25?總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形三邊關(guān)系等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．8．（2022?遼寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，點(diǎn)P為斜邊AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E，連接DE，PC交于點(diǎn)Q，連接AQ，當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，AP的長是3或23．思路引領(lǐng)：由已知求出AB＝4，AC＝23，再分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°兩種情況進(jìn)行討論，即可求出答案．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC=AB2當(dāng)∠APQ＝90°時(shí)，如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4，∴AC=AB2∵∠APQ＝∠ACB＝90°，∠CAP＝∠BAC，∴△CAP∽△BAC，∴CAAP=AB∴AP＝3，當(dāng)∠AQP＝90°時(shí)，如圖2，∵PD⊥AC，PE⊥BC，∠ACB＝90°，∴四邊形DPEC是矩形，∴CQ＝QP，∵∠AQP＝90°，∴AQ垂直平分CP，∴AP＝AC＝23，綜上所述，當(dāng)△APQ為直角三角形時(shí)，AP的長是3或23，故答案為：3或23．總結(jié)提升：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決問題的關(guān)鍵．9．（2022?陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分別是邊AD、BC上的動點(diǎn)，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分別為E、F，則ME+NF的值為152思路引領(lǐng)：連接AC交BD于O，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到BD⊥AC，OB＝OD=72，OA＝OC，根據(jù)勾股定理求出OA，證明△DEM∽△DOA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，用含AM的代數(shù)式表示ME、解：連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD為菱形，∴BD⊥AC，OB＝OD=72，OA＝由勾股定理得：OA=A∵M(jìn)E⊥BD，AO⊥BD，∴ME∥AO，∴△DEM∽△DOA，∴MEOA=DM解得：ME=4同理可得：NF=15∴ME+NF=15故答案為：152總結(jié)提升：本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022?盤龍區(qū)二模）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B運(yùn)動，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為913或3或54或154cm/s時(shí)，能夠使△BPE思路引領(lǐng)：設(shè)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動的時(shí)間為ts，分兩種情況討論，①點(diǎn)P由B向C運(yùn)動時(shí)，△BPE≌△CQP②△BPE≌△CPQ，③點(diǎn)P由C向B運(yùn)動時(shí)，△BPE≌△CQP，④△BPE≌△CPQ，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等列方程解出即可．解：設(shè)點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動的時(shí)間為ts，①點(diǎn)P由B向C運(yùn)動時(shí)，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為3÷1＝3（cm/s）；②點(diǎn)P由B向C運(yùn)動時(shí)，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP，∴3t＝8﹣3t，t=4此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為：5÷43=154③點(diǎn)P由C向B運(yùn)動時(shí)，CP＝3t﹣8，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝3t﹣8，解得t=13∴BP＝CQ＝3，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為3÷133=913④點(diǎn)P由C向B運(yùn)動時(shí)，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝4，3t﹣8＝4，t＝4，∵BE＝CQ＝5，此時(shí)，點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為5÷4=54（cm/綜上所述：點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為913cm/s或3cm/s或54cm/s或154cm故答案為：913或3或54或總結(jié)提升：本題考查三角形全等的判定，掌握動點(diǎn)問題在解決全等三角形時(shí)邊長的表示及分情況討論，它們也是解決問題的關(guān)鍵．類型三有關(guān)圓的動點(diǎn)問題11．（2022?寧波）如圖，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，點(diǎn)O在BC上，以O(shè)B為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)A．D是BC邊上的動點(diǎn)，當(dāng)△ACD為直角三角形時(shí)，AD的長為32或65思路引領(lǐng)：根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可．解：連接OA，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，∵圓與AC相切于點(diǎn)A．∴OA⊥AC，由題意可知：D點(diǎn)位置分為兩種情況，①當(dāng)∠CAD為90°時(shí)，此時(shí)D點(diǎn)與O點(diǎn)重合，設(shè)圓的半徑＝r，∴OA＝r，OC＝4﹣r，∵AC＝2，在Rt△AOC中，根據(jù)勾股定理可得：r2+4＝（4﹣r）2，解得：r=3即AD＝AO=3②當(dāng)∠ADC＝90°時(shí)，AD=AO?AC∵AO=32，AC＝2，OC＝4﹣r∴AD=6綜上所述，AD的長為32或6故答案為：32或6總結(jié)提升：本題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵．12．（2022?東城區(qū)校級模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0）與（7，0）．對于坐標(biāo)平面內(nèi)的一動點(diǎn)P，給出如下定義：若∠APB＝45°，則稱點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”．①若點(diǎn)P為線段AB在第一象限的“等角點(diǎn)”，且在直線x＝4上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，32+3）②若點(diǎn)P為線段AB的“等角點(diǎn)”，并且在y軸正半軸上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3±2）或（0，﹣3±2）．思路引領(lǐng)：①根據(jù)P在直線x＝4上畫圖1，作△APB的外接圓C，連接AC，BC，可知AB＝6，OC的半徑為32，最后計(jì)算PD的長可得點(diǎn)P的坐標(biāo)；②同理根據(jù)作輔助線，計(jì)算OP和OP1的長，可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，注意不要丟解．解：①如圖1，作△APB的外接圓，設(shè)圓心為C，連接AC，BC，∵點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是（1，0）與（7，0），∴AB＝7﹣1＝6，∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝32，∴PC＝32，∵點(diǎn)P在直線x＝4上，∴AD＝4﹣1＝3，∴AD＝BD，∵CD⊥AB，∴CD＝AD＝3，∴P（4，32+故答案為：（4，32+②如圖2所示，同理作△APB的外接圓，設(shè)圓心為C，過C作CD⊥x軸于D，作CE⊥OP于E，連接PC，P1C，在y軸上存在∠APB＝∠AP1B＝45°，則①知：CD＝OE＝3，OD＝CE＝4，PC＝32，由勾股定理得：PE=(3∴PO＝3+2同理得：OP1＝3?2∴P（0，3±2），綜上分析，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3±2）．故答案為：（0，3±2）．總結(jié)提升：本題主要考查了坐標(biāo)和圖形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理等知識，解題關(guān)鍵是作△APB的外接圓．模塊二2023中考押題預(yù)測13．（2022?駐馬店二模）如圖，四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AD＝BC＝CD＝4，點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一個(gè)動點(diǎn)，滿足∠AMD＝90°，則點(diǎn)M到直線BC的距離的最小值為33?2思路引領(lǐng)：取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于E，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．求出OM，OF即可解決問題．解：取AD的中點(diǎn)O，連接OM，過點(diǎn)M作ME⊥BC交BC的延長線于E，過點(diǎn)O作OF⊥BC于F，交CD于G，則OM+ME≥OF．∵∠AMD＝90°，AD＝4，OA＝OD，∴OM=12∵AB∥CD，∴∠GCF＝∠B＝60°，∴∠DGO＝∠CGF＝30°，∵AD＝BC，∴∠DAB＝∠B＝60°，∴∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠DOG＝30°＝∠DGO，∴DG＝DO＝2，∵CD＝4，∴CG＝2，∴OG＝2OD?cos30°＝23，GF=3，OF＝33∴ME≥OF﹣OM＝33?∴當(dāng)O，M，E共線時(shí)，ME的值最小，最小值為33?總結(jié)提升：本題考查解直角三角形，垂線段最短，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．14．（2022?普定縣模擬）如圖，點(diǎn)M是∠AOB平分線上一點(diǎn)，∠AOB＝60°，ME⊥OA于E，OE=5，如果P是OB上一動點(diǎn)，則線段MP的取值范圍是MP≥15思路引領(lǐng)：過M點(diǎn)作MF⊥OB于F，如圖，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到ME＝MF，∠AOM＝30°，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系得到ME=153，所以MF=15解：過M點(diǎn)作MF⊥OB于F，如圖，∵OM平分∠AOB，ME⊥OA，MF⊥OB，∴ME＝MF，∠AOM=12∠AOB在Rt△OME中，∵∠MOE＝30°，∴ME=33OE∴MF=15∵P是OB上一動點(diǎn)，∴MP≥MF，即線段MP的取值范圍為MP≥15故答案為：MP≥15總結(jié)提升：本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了垂線段最短．15．（2022?徐州二模）如圖，在等邊三角形ABC中，AB＝2，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AB，AC邊上的動點(diǎn)，則△DEF周長的最小值為3．思路引領(lǐng)：作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)H，連接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，過點(diǎn)A作AI⊥BC于I，過點(diǎn)A作AJ⊥GH于J．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間，線段最短確定△DEF周長的最小值是GH，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系確定GH＝AD，再根據(jù)垂線段最短確定當(dāng)AD⊥BC時(shí)，△DEF周長取得最小值為AI，最后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系即可求解．解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對稱點(diǎn)G，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)H，連接GH，GA，GE，GB，HA，HF，HC，過點(diǎn)A作AI⊥BC于I，過點(diǎn)A作AJ⊥GH于J．∴GE＝DE，HF＝DF，AG＝AD，AH＝AD，∠GAB＝∠DAB，∠HAC＝∠DAC，∴AG＝AH，C△DEF＝DE+DF+EF＝GE+HF+EF，∴∠GAJ＝∠HAJ=12∠GAH，△DEF周長的最小值是∵三角形ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°∴∠DAB+∠DAC＝60°，∴∠GAB+∠HAC＝60°，∴∠GAH＝∠GAB+∠DAB+∠DAC+∠HAC＝120°，∴∠GAJ＝∠HAJ＝60°，∴GJ＝AG×sin∠GAJ=32AG=32AD，J＝AH×sin∠HAJ=∴GH＝GJ+HJ=3AD∴當(dāng)AD取得最小值時(shí)，GH取得最小值，即△DEF周長取得最小值．∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，即點(diǎn)D與點(diǎn)Ⅰ重合時(shí)，ADEF周長取得最小值為3AI，∵AB＝2，∴AI＝AB×sin∠ABC=3∴3AI＝3．∴△DEF周長的最小值是3．故答案為：3．總結(jié)提升：本題主要考查的是軸對稱路徑最短問題，作出點(diǎn)D關(guān)于AC、BC的對稱點(diǎn)，將△DEF的周長轉(zhuǎn)化為MN的長是解題的關(guān)鍵．16．（2022?仁懷市模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝8，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊AC上的動點(diǎn)，則PB+PD的最小值為43思路引領(lǐng)：先作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接AE，PE，DE，則AE＝AD，PE＝PD，當(dāng)B，P，E在同一直線上時(shí)，BP+PD＝BP+PE＝BE，再判定△ADE是等邊三角形，求得Rt△ABE中，BE=43，即可得到PB+PD的最小值為4解：如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)E，連接AE，PE，DE，則AE＝AD，PE＝PD，∴BP+PD＝BP+PE，∴當(dāng)B，P，E在同一直線上時(shí)，BP+PD＝BP+PE＝BE，∵∠BAC＝30°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°，又∵D為AB上的中點(diǎn)，∴DE＝AD＝DB，∴∠DEB=12∠ADE＝30°＝∠∴∠AEB＝90°，∵AB＝8，∴AE＝4，∴Rt△ABE中，BE=43即PB+PD的最小值為43故答案為：43總結(jié)提升：本題主要考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理等，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，利用軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．17．（2022?亭湖區(qū)校級三模）在平面直角坐標(biāo)系中，A（3，3），B（6，0），點(diǎn)D、E是OB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，若只存在唯一一個(gè)點(diǎn)P使得PD+PE＝a，則a需滿足的條件是：a=25或6＜a≤210思路引領(lǐng)：根據(jù)題意若只存在唯一一個(gè)點(diǎn)P使得PD+PE＝a，則PD+PE取得最小值或最大值，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)E'，連接DE'交AB于點(diǎn)P，則PD+PE＝PD+PE'＝DE'＝a即可．解：若只存在唯一一個(gè)點(diǎn)P使得PD+PE＝a，則PD+PE取得最小值，作點(diǎn)E關(guān)于AB的對稱點(diǎn)E'，連接DE'交AB于點(diǎn)P，則PD+PE＝PD+PE'＝DE'，∵A（3，3），B（6，0），∴OA＝AB=32∴（32）2+（32）2＝62，∴△AOB為等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵點(diǎn)D、E是OB的三等分點(diǎn)，∴OD＝DE＝EB＝2，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，∠ABE＝∠ABE'＝45°，EB＝E'B＝2，∴∠EBE'＝90°，∴PD+PE=PD+PE′=DE′=4即a=25時(shí)，只存在唯一一個(gè)點(diǎn)P使得PD+PE＝a當(dāng)P在A點(diǎn)時(shí)，PD+PE＝210，P在B點(diǎn)時(shí)PD+PE＝6，∴PD+PE的最大值為210，最小值為25，∴a=25或6＜a≤210總結(jié)提升：本題考查了坐標(biāo)與圖形，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，讀懂題意得出若只存在唯一一個(gè)點(diǎn)P使得PD+PE＝a，則PD+PE取得最小值或最大值是解本題的關(guān)鍵．18．（2022?夏邑縣校級模擬）如圖，在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一個(gè)動點(diǎn)，連接DE，點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，分別連接DF，EF，當(dāng)EF⊥AC時(shí)，AE的長為33或3思路引領(lǐng)：當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí)，如圖1，如圖2，根據(jù)對稱的性質(zhì)得到和等腰三角形的判定和性質(zhì)定理以及直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．解：∵AC＝BC＝2，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∴AD=12①當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí)，如圖1，∵點(diǎn)A關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)為點(diǎn)F，∴∠F＝∠A＝30°，∠AED＝∠FED，∵∠AGE＝90°，∴∠AEG＝60°，∴∠AED＝∠FED＝30°，∴AD＝DE＝1，過D作DM⊥AE與M∴AE＝2AM＝2×32×②當(dāng)直線EF與直線AC垂直時(shí)，如圖2，∵將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，∴∠F＝∠A＝30°，∠ADE＝∠FDE，∵∠AGE＝∠FGD＝90°，∴∠FDG＝60°，∴∠ADE＝∠FDE＝30°，∴∠A＝∠ADE，∴AE＝DE，∴AG=12AD∴AE=3故答案為：33或3總結(jié)提升：本題考查了翻折變換（折疊問題）等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．19．（2022?新昌縣模擬）在△ABC中，∠A＝60°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別是邊AC和BC上的兩個(gè)動點(diǎn)，分別連結(jié)BP和PQ．把△ABC分割成三個(gè)三角形．若分割成的這三個(gè)三角形都是等腰三角形，則∠ABC的度數(shù)可以是80°．思路引領(lǐng)：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．解：∵∠A＝60°，BP和PQ把△ABC分割成三個(gè)三角形都是等腰三角形，∴△ABP是等邊三角形，∴∠ABP＝∠A＝60°，①如圖1，當(dāng)BP＝BQ，PQ＝CQ時(shí)，則∠C＝∠CPQ，∠BPQ＝∠BQP，∴∠C+∠CBP＝∠APB＝60°，∴∠CBP＝60°﹣∠C，∵∠BQP＝∠C+∠CPQ＝2∠C，∴2∠C+2∠C+60°﹣∠C＝180°，∴∠C＝40°，∴∠ABC＝80°；②如圖2，當(dāng)BQ＝PQ＝PC時(shí)，則∠PBQ＝∠BPQ，∠C＝∠CQP，∵∠PQB＝180°﹣∠CQP＝180°﹣∠C，∴∠QBP+∠BPQ+∠BQP＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣∠C＝∠PBQ+∠PBQ+180°﹣（60°﹣∠PBQ）＝180°，∴∠PBQ＝20°，∴∠ABC＝80°，綜上所述，∠ABC的度數(shù)可以是80°，故答案為：80°．總結(jié)提升：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．20．（2022?新化縣一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，AB＝5．點(diǎn)E為邊AC上的動點(diǎn)，點(diǎn)F為邊AB上的動點(diǎn)，則線段FE+EB的最小值是52思路引領(lǐng)：作F關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F'，延長AF'、BC交于點(diǎn)B'，當(dāng)B、E、F'共線且與AB'垂直時(shí)，求BD的長即可．解：作F關(guān)于AC的對稱點(diǎn)F'，延長AF'、BC交于點(diǎn)B'，作BD⊥AB'于D，∴∠BAB'＝30°，EF＝EF'，∴FE+EB＝BE+EF'，∴當(dāng)B、E、F'共線且與AB'垂直時(shí)，BE+EF'長度最小，即求BD的長，在△ABD中，BD=12AB故答案為：52總結(jié)提升：本題主要考查軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，將BE+EF轉(zhuǎn)化為求線段BD是解題的關(guān)鍵．21．（2022?順城區(qū)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，點(diǎn)M是射線AC上的一個(gè)動點(diǎn)，MC＝1，連接BM，以AB為邊在AB的上方作∠ABE＝∠AMB，直線BE交AC的延長線于點(diǎn)F，則CF＝67或185思路引領(lǐng)：分兩種情況根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．解：如圖，過點(diǎn)F作FH⊥BM于點(diǎn)H，∴∠BHF＝90°，∵∠ABE+∠ABF＝180°，∠AMB+∠BMF＝180°，∠ABE＝∠AMB，∴∠ABF＝∠BMF，∵∠ABF+∠A+∠AFB＝180°，∠BMF+∠MBF+∠AFB＝180°，∴∠A＝∠MBF，∵∠A＝30°，∴∠MBF＝∠A＝30°，∴HF=12設(shè)CF＝x，∵M(jìn)C＝1，∴MF＝MC+CF＝x+1，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝90°，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝6，∴BC＝AC?tan30°＝6×33=∴BM=BC2+C∴HF=12BF∵12MF?BC=12BM∴12（x+1）×23∴x=67或x如圖，過點(diǎn)F作FH⊥BM，交BM的延長線于點(diǎn)H，∴∠BHF＝90°，設(shè)CF＝x，∵M(jìn)C＝1，∴MF＝CF﹣MC＝x﹣1，同理，BM=13，BF=12+x2，HF∵12MF?BC=12BM∴12（x﹣1）×23∴x=185或x綜上，CF=67或故答案為：67或18總結(jié)提升：此題考查了含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟記含30°角的直角三角形的性質(zhì)并分情況討論是解題的關(guān)鍵．22．（2022?肇州縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC=23，Q為AC上的動點(diǎn)，P為Rt△ABC內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足∠APB＝120°，若D為BC的中點(diǎn)，則PQ+DQ的最小值是43?思路引領(lǐng)：如圖以AB為邊，向左邊作等邊△ABE，作△ABE的外接圓⊙O，連接OB，則點(diǎn)P在⊙O上．作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，則PQ+QD＝PQ+QD′＝PD′，根據(jù)PD′≥OD′﹣OP，求出OP，OD′即可解決問題．解：如圖以AB為邊，向左邊作等邊△ABE，作△ABE的外接圓⊙O，連接OB，則點(diǎn)P在⊙O上．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝23，∴AB＝43，則易知OB＝4，OB⊥BC，作點(diǎn)D關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D′，連接OD′，OP，PD′，PD′交AC于Q，則PQ+QD＝PQ+QD′≥PD′，∵PD′≥OD′﹣OP，OP＝OB＝4，OD′=4∴PD′≥43∴PQ+DQ的最小值為43?總結(jié)提升：本題考查軸對稱﹣?zhàn)疃虇栴}，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用軸對稱解決最短問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．23．（2022?碧江區(qū)一模）如圖，在△ABC中，AB＝6，BC＝7，AC＝4，直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，P是直線m上的一動點(diǎn)，則△APC的周長的最小值為10．思路引領(lǐng)：當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，△ACP的周長最小，最小值為AB+AC的長．解：∵直線m是△ABC中BC邊的垂直平分線，∴BP＝CP，∴△ACP的周長＝AP+PC+AC＝BP+AP+AC≥AB+AC，∴當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，△ACP的周長最小，∵AB＝6，BC＝7，AC＝4，∴△ACP的周長6+4＝10，∴△ACP的周長最小值為10，故答案為10．總結(jié)提升：本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法是解題的關(guān)鍵．24．（2022?撫順縣二模）如圖，在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），點(diǎn)C在邊AB上，且ACCB=13，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OA上的動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在OA上移動時(shí)，使四邊形PDBC周長最小的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（8思路引領(lǐng)：根據(jù)已知條件得到AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，求得BC＝3，OD＝BD＝2，得到D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，連接EC交OA于P，則此時(shí)，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），求得直線EC的解析式為y=14解：∵在Rt△ABO中，∠OBA＝90°，A（4，4），∴AB＝OB＝4，∠AOB＝45°，∵ACCB=13，點(diǎn)∴BC＝3，OD＝BD＝2，∴D（2，0），C（4，3），作D關(guān)于直線OA的對稱點(diǎn)E，連接EC交OA于P，則此時(shí)，四邊形PDBC周長最小，E（0，2），∵直線OA的解析式為y＝x，設(shè)直線EC的解析式為y＝kx+b，∴b=24k+b=3解得：k=1∴直線EC的解析式為y=14解y=xy=14∴P（83，8故答案為：（83，8總結(jié)提升：本題考查了軸對稱﹣?zhàn)疃搪肪€問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的找到P點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．25．（2022?德?？h二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB是邊長為4的等邊三角形，OD是AB邊上的高，點(diǎn)P是OD上的一個(gè)動點(diǎn)，若點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，?3），則PA+PC的最小值是31思路引領(lǐng)：過B作BE⊥y軸于E，連接BP，依據(jù)OD垂直平分AB，可得AP＝BP，PA+PC＝BP+PC，當(dāng)C，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的最小值等于BC的長，在Rt△BCE中利用勾股定理即可得到BC的長，進(jìn)而得出PA+PC的最小值是31．解：如圖，過B作BE⊥y軸于E，連接BP，∵△OAB是邊長為4的等邊三角形，OD是AB邊上的高，∴OD是中線，∴OD垂直平分AB，∴AP＝BP，∴PA+PC＝BP+PC，當(dāng)C，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PC的最小值等于BC的長，∵∠BOE＝90°﹣60°＝30°，OB＝4，∴BE＝2，OE＝23，又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，?3∴OC=3，CE=3∴Rt△BCE中，BC=B即PA+PC的最小值是31，故答案為：31．總結(jié)提升：本題考查了軸對稱確定最短路線問題，熟練掌握最短路徑的確定方法找出點(diǎn)P的位置以及表示PA+PC的最小值的線段是解題的關(guān)鍵．凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)．26．（2022?元寶區(qū)校級一模）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿B→A勻速運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以同樣的速度沿A→C→B勻速運(yùn)動．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P、Q同時(shí)停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t為5011或7或11213時(shí)，以B、P、思路引領(lǐng)：分情況討論：①當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖1，證明△ADQ∽△ACB，利用相似三角形的性質(zhì)，列方程可得t的值；②當(dāng)BP＝BQ時(shí)，如圖2，根據(jù)BP＝BQ列方程可得t的值；③當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，如圖3，同①證明三角形相似可得t的值．解：①當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖1，由題意得：BP＝PQ＝AQ＝t，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∴AB=6∴AP＝10﹣t，過Q作QD⊥AB于D，∴AD=1∵∠A＝∠A，∠ADQ＝∠ACB＝90°，∴△ADQ∽△ACB，∴ADAQ=ACAB，即AC×AQ＝∴6t=10×10?t∴t=50②當(dāng)BP＝BQ時(shí)，如圖2，由題意得：BP＝AC+CQ＝t，∴BQ＝6+8﹣t＝14﹣t，∴14﹣t＝t，∴t＝7；③當(dāng)BQ＝PQ時(shí)，如圖3，過Q作QD⊥AB于D，∴BD=12BP=12∵∠B＝∠B，∠BDQ＝∠ACB＝90°，∴△BDQ∽△BCA，∴BDBQ=BCAB，即BD×AB＝∴12∴t=112綜上所述，t的值是5011或7或112故答案為：5011或7或112總結(jié)提升：本題是幾何動點(diǎn)問題，考查了等腰三角形的判定、三角形相似的性質(zhì)和判定．分類討論的數(shù)學(xué)思想是本題考查的重點(diǎn)，并與方程相結(jié)合解決問題．27．（2022?大理州二模）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以2cm/s的速度運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為ts，當(dāng)△APB為等腰三角形時(shí)，t的值為132或12或16948思路引領(lǐng)：當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時(shí)；②當(dāng)AB＝AP時(shí)；③當(dāng)BP＝AP時(shí)，分別求出BP的長度，繼而可求得t值．解：∵∠C＝90°，AB＝13cm，AC＝5cm，∴BC＝12cm．①當(dāng)BP＝BA＝13時(shí)，t=13②當(dāng)AB＝AP時(shí)，BP＝2BC＝24cm，t＝12；③當(dāng)PB＝PA時(shí)，PB＝PA＝2tcm，CP＝（12﹣2t）cm，AC＝5cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，即（2t）2＝52+（12﹣2t）2，解得t=169綜上，當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí)，t=132或12或故答案為：132或12或169總結(jié)提升：本題考查勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．28．（2022?錫山區(qū)校級模擬）如圖，△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠ABC的平分線與線段AC交于點(diǎn)D，且有AD＝BD，點(diǎn)E是線段AB上的動點(diǎn)（與A、B不重合），連結(jié)DE，當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，則AE的長為12﹣43或8．思路引領(lǐng)：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義得到∠A＝∠DBA＝∠CBD，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠A作DF⊥AB于F，根據(jù)勾股定理求出DF，分BE＝BD、BE＝DE兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可．解：∵AD＝BD，∴∠A＝∠DBA，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠CBD＝∠DBA，∴∠A＝∠DBA＝∠CBD，∵∠C＝90°，∴∠A＝30°，如圖，作DF⊥AB于F，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∵DA＝DB，DF⊥AB，∴AF=12在Rt△AFD中，∠A＝30°，∴DF=33AF＝2在Rt△AFD中，∠A＝30°，DF＝23，∴AD＝BD＝43，當(dāng)BE＝BD＝43時(shí)，AE＝12﹣43；當(dāng)BE＝DE時(shí)，12﹣AE=(6?AE解得AE＝8，∵點(diǎn)E與A、B不重合，∴DB≠DE，綜上所述：當(dāng)△BDE是等腰三角形時(shí)，AE的長為12﹣43或8，故答案為：12﹣43或8．總結(jié)提升：本題考查的是勾股定理，直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．29．（2022?衡南縣校級二模）等腰△ABC的底邊BC＝8cm，腰長AB＝5cm，一動點(diǎn)P在底邊上從點(diǎn)B開始向點(diǎn)C以0.25cm/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到PA與腰垂直的位置時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間應(yīng)為7或25秒．思路引領(lǐng)：根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)可得到BD的長，由勾股定理可求得AD的長，再分兩種情況進(jìn)行分析：①PA⊥AC②PA⊥AB，從而可得到運(yùn)動的時(shí)間．解：如圖，作AD⊥BC，交BC于點(diǎn)D，∵BC＝8cm，∴BD＝CD=12BC＝4∴AD=AB分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動t秒后有PA⊥AC時(shí)，∵AP2＝PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+AD2＝PC2﹣AC2，∴PD2+32＝（PD+4）2﹣52∴PD＝2.25，∴BP＝4﹣2.25＝1.75＝0.25t，∴t＝7秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動t秒后有PA⊥AB時(shí)，同理可證得PD＝2.25，∴BP＝4+2.25＝6.25＝0.25t，∴t＝25秒，∴點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間為7秒或25秒．總結(jié)提升：本題利用了等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求解．30．（2022?大冶市校級模擬）如圖，已知四邊形ABCD是正方形AB=22，點(diǎn)E為對角線AC上一動點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE，交射線BC于點(diǎn)F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連CG（1）CE+CG＝4；（2）若四邊形DEFG面積為5時(shí)，則CG＝3或1．思路引領(lǐng)：（1）作出輔助線，得到EN＝EM，然后判斷∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，則有DE＝EF，得矩形DEFG是正方形，證明△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝4；（2）過點(diǎn)E作EQ⊥AD于點(diǎn)Q，得△AEQ是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出AQ，進(jìn)而可以解決問題．解：（1）如圖，作EM⊥BC，EN⊥CD于點(diǎn)M，N，∴∠MEN＝90°，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對角線上的點(diǎn)，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FMEEN=EM∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四邊形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG．∴CE+CG＝CE+AE＝AC=2AB=2×故答案為：4；（2）如圖，過點(diǎn)E作EQ⊥AD于點(diǎn)Q，∵點(diǎn)E是正方形ABCD對角線上的點(diǎn)，∴∠EAQ＝45°，∴AQ＝EQ，∴DQ＝AD﹣AQ＝22?AQ∵正方形DEFG面積為5，∴DE=5在Rt△DQE中，根據(jù)勾股定理得：DQ2+EQ2＝DE2，∴（22?AQ）2+AQ2∴AQ=322∴AE=2AQ∴CG＝AE＝3或1．故答案為：3或1．總結(jié)提升：此題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的全等的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，判斷三角形全等．31．（2022?玉樹市校級一模）如圖，菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝4，P是AB邊一個(gè)動點(diǎn)，E、F分別是DP、BP的中點(diǎn)，則線段EF的長為2．思路引領(lǐng)：連接BD．首先證明△ADB是等邊三角形，可得BD＝4，再根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．解：如圖連結(jié)BD，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝4，∵∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD＝AD＝4，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DP，BP的中點(diǎn)，∴EF為△PBD的中位線，∴EF=12故答案為：2．總結(jié)提升：本題考查菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，本題的突破點(diǎn)是證明△ADB是等邊三角形．32．（2022?浉河區(qū)校級模擬）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝4，AD＝5，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AD上一動點(diǎn)，作△AEF關(guān)于直線EF的對稱圖形，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，作△A′EF關(guān)于直線A′E的對稱圖形，點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為F'．當(dāng)點(diǎn)F'落在矩形ABCD的邊上時(shí)，AE的長為23或233思路引領(lǐng)：根據(jù)題意可得點(diǎn)F、A'、F'三點(diǎn)共線，再根據(jù)含30°角的直角三角形三邊關(guān)系計(jì)算，具體分（1）當(dāng)點(diǎn)F'落在邊AD上，（2）當(dāng)點(diǎn)F'落在邊BC上兩種情況計(jì)算即可解答．解：由題意得：∠A＝∠FA'E＝∠EA'F'＝90°，∴∠FA'F'＝180°，即點(diǎn)F、A'、F'三點(diǎn)共線，分以下兩種情況討論：（1）當(dāng)點(diǎn)F'落在邊AD上時(shí)，如圖：∵△AEF、△A'EF關(guān)于直線EF對稱，△A′EF、ΔA'EF'關(guān)于直線EA'對稱，∴∠AFE＝∠A'FE＝∠A'F'E，∵∠A＝90°，∴∠AFE+∠A'FE+∠A'F'E＝90°，∴∠AFE＝∠A'FE＝∠A'F'E＝30°，∵AF=12∴FF'＝2AF＝4，AF'＝23，EF＝2AE＝EF'，∴AE=13AF'（2）當(dāng)點(diǎn)F'落在邊BC上時(shí)，如圖：∵△AEF、△A'EF關(guān)于直線EF對稱，△A′EF、ΔA'EF'關(guān)于直線EA'對稱，∴AF＝FA'＝A'F'＝2＝FB，即FF'＝2FB，∴∠BF'F＝30°，∠BFF'＝60°，∴∠AFF'＝180°﹣60°＝120°，∴∠FAE=12∠∴AE=3AF＝23故AE的長為：233或2總結(jié)提升：本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．33．（2022?嵩縣模擬）如圖，四邊形ABCD和AEFG都是正方形，點(diǎn)E是AB邊上一個(gè)動點(diǎn)，點(diǎn)G在AD邊上，AB=2cm，連接BF，CF，若△BCF恰為等腰三角形，則AE的長為22或（2?思路引領(lǐng)：延長EF與CD交于點(diǎn)H，用x表示BF與CF，再分情況列出方程求解便可．解：延長EF與CD交于點(diǎn)H，∵AB=2cm，四邊形ABCD∴AB＝BC＝CD＝AD=2cm設(shè)AE＝xcm，則EF＝xcm，BE＝CH＝CH＝（2?x）cm∴BFCF當(dāng)BF＝CF時(shí)，有2x解得x=22，即AE=當(dāng)BF＝BC時(shí)，有2x解得x＝0（舍）或x=2當(dāng)CF＝BC時(shí)，有2x解得x=2?1或x∴AE=2?1（綜上，AE=22cm或（2?1故答案為：22或（2總結(jié)提升：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)題意列出方程．34．（2022?贛州模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AB邊上運(yùn)動，點(diǎn)F為DP的中點(diǎn)；當(dāng)△DEF為等腰三角形時(shí)，則AP的長為3或42或6﹣42．思路引領(lǐng)：分三種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解．解：∵點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F為DP的中點(diǎn)∴DE＝3，DF＝PF，如圖，當(dāng)DF＝EF時(shí)，連接EP，∴DF＝EF＝PF，∴△DEP是直角三角形，∴∠DEP＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠ADC＝90°，∴四邊形ADEP是矩形，∴DE＝AP＝3，當(dāng)DF＝DE＝3時(shí)，∴DP＝6，∴AP=DP2?A當(dāng)DE＝EF＝3時(shí)，如圖，連接CF，CP，∴DE＝EC＝EF，∴△DFC是直角三角形，∴∠DFC＝90°，∵DF＝FP，∴DC＝CP＝6，∴BP=CP2?BC∴AP＝6﹣42，綜上所述：AP的長為3或42或6﹣42，故答案為：3或42或6﹣42．總結(jié)提升：本題考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，利用分類討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵．35．（2022?華龍區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E為對角線AC上的動點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)H是CD上一點(diǎn)，且DH=23CD，連接GH，則GH的最小值為2思路引領(lǐng)：現(xiàn)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ADE≌△CDG（SAS），得出∠DCG＝∠DAE＝45°，從而得到點(diǎn)G的軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)GH⊥CG時(shí)，GH的值最小，然后計(jì)算即可．解：∵四邊形ABCD是正方形，四邊形DEFC是正方形，∴DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°，∴∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠DCG＝∠DAE＝45°，∴點(diǎn)G的軌跡是射線CG，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)GH⊥CG時(shí)，GH的值最小，∵DH=23CD∴CH＝CD﹣DH＝6﹣4＝2，∴GH最小＝CH?sin45°＝2×2故答案為：2．總結(jié)提升：此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)正方形的性質(zhì)和垂線段最短解答．36．（2022?柘城縣校級二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，BC=2，點(diǎn)E為射線AD上的動點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合），點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為A'，連接A'B，A'D，A'C，當(dāng)△A'BC是以BC為底邊的等腰三角形時(shí)，AE的長為2+1或2思路引領(lǐng)：根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC=2，如圖，過A′作A′H⊥BC于H，反向延長A′H交AD于G，得到四邊形ABHG是矩形，推出AG＝BH，GH＝AB＝1，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到A′B＝AB＝1，∠BA′E＝∠BAE＝90°，AE＝A′E，根據(jù)勾股定理得到A′H=解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC=2如圖1，過A′作A′H⊥BC于H，反向延長A′H交AD于G，∴GH⊥AD，∴四邊形ABHG是矩形，∴AG＝BH，GH＝AB＝1，∵點(diǎn)A關(guān)于直線BE的對稱點(diǎn)為A'，∴A′B＝AB＝1，∠BA′E＝∠BAE＝90°，AE＝A′E，∵A′B＝A′C，∴BH＝CH=2∴AG=2∴A′H=A′∵∠EGA′＝∠BA′E＝∠A′HB＝90°，∴∠A′EG+∠EA′G＝∠EA′G+∠BA′H＝90°，∴∠GEA′＝∠BA′H，∴△EA′G∽△A′BH∴EGA′H∴22∴AE＝AG﹣EG=2如圖2，同理，AE＝AG+EG=2綜上所述，AE的長為2+1或2故答案為：2+1或2總結(jié)提升：本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．37．（2022?武漢模擬）如圖，菱形ABCD中，AB＝5，BD＝45，動點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，且AE＝CF，過點(diǎn)B作BP⊥EF于P，當(dāng)E點(diǎn)從A點(diǎn)運(yùn)動到D點(diǎn)時(shí)，線段CP的長度的取值范圍為10?5≤思路引領(lǐng)：如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，證明△BOF≌△DOE（AAS），可得OB＝OD，則點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的半圓上運(yùn)動，如圖2，連接OC，取OB的中點(diǎn)為Q，當(dāng)C，P，Q共線時(shí)，CP的值最小，P與B重合時(shí)，CP的值最大，且最大值是5，從而可以解答．解：如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EDO＝∠OBF，∵AE＝CF，∴DE＝BF，∵∠BOF＝∠DOE，∴△BOF≌△DOE（AAS），∴OB＝OD，∵BP⊥EF，∴∠BPO＝90°，∴點(diǎn)P在以O(shè)B為直徑的半圓上運(yùn)動，如圖2，連接OC，取OB的中點(diǎn)為Q，當(dāng)C，P，Q共線時(shí)，CP的值最小，P與B重合時(shí)，CP的值最大，且最大值是5，Rt△OBP中，∵Q是OB的中點(diǎn)，∴PQ=12OB=12×∵四邊形ABCD是菱形，∴OC⊥BD，由勾股定理得：OC=5∴OQ＝OC，∴CQ=2OC=∴CP的最小值是10?∴線段CP的長度的取值范圍為10?5故答案為：10?5總結(jié)提升：本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，圓的有關(guān)性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．38．（2022?保亭縣二模）如圖1，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在CD上，∠AEB＝90°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→E→B的路徑勻速運(yùn)動到點(diǎn)B停止，作PQ⊥CD于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的路程為x，PQ長為y，若y與x之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖2，則BC的長為125；當(dāng)x＝6時(shí)，PQ的長為95思路引領(lǐng)：由圖象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，設(shè)：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，cosα=ADAE=a3，在Rt△BCE中，sinα=BCBE=a4，由勾股定理可得a=125，當(dāng)x解：由圖象可知：AE＝3，BE＝4，∠DAE＝∠CEB＝α，設(shè)：AD＝BC＝a，在Rt△ADE中，cosα=AD∴AD=a3在Rt△BCE中，sinα=BC∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADE∽△ECB，∴DEAE∴DE=a4又∵AD2+DE2＝AE2，∴（a3AE）2+（a4AE）2＝AE解得：a=12當(dāng)x＝6時(shí)，即：EN＝3，則y＝MN＝ENsinα=9故答案為：125；9總結(jié)提升：本題考查的是動點(diǎn)問題函數(shù)圖象，涉及到解直角三角形或三角形相似，解題關(guān)鍵是深刻理解動點(diǎn)的函數(shù)圖象，了解圖象中關(guān)鍵點(diǎn)所代表的實(shí)際意義，理解動點(diǎn)的完整運(yùn)動過程．39．（2022?丹江口市模擬）已知定點(diǎn)P（a，b），且動點(diǎn)Q（x，y）到點(diǎn)P的距離等于定長r，根據(jù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式可得（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，這就是到定點(diǎn)P的距離等于定長r圓的方程．已知一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，C是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，則當(dāng)以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小時(shí)，⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（25）2．思路引領(lǐng)：先求出A（0，10），B（5，0），利用勾股定理可得AB＝55，再運(yùn)用面積法求得OC＝25，設(shè)C（t，﹣2t+10），則OC2＝t2+（﹣2t+10）2＝（25）2，可求得t＝4，得出C（4，2），再根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義即可得出答案．解：∵一次函數(shù)的y＝﹣2x+10的圖象交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，∴A（0，10），B（5，0），∴OA＝10，OB＝5，∴AB=OA2∵以O(shè)C為半徑的⊙C的面積最小，∴OC⊥AB，∵S△ABO=12AB?OC=12∴OC=OA?OBAB=設(shè)C（t，﹣2t+10），則OC2＝t2+（﹣2t+10）2＝（25）2，解得：t1＝t2＝4，∴C（4，2），∴以O(shè)C為半徑的⊙C的⊙C的方程為（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（25）2，故答案為：（x﹣4）2+（y﹣2）2＝（25）2．總結(jié)提升：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，方程的定義，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．40．（2022?香洲區(qū)校級三模）如圖正方形ABCD的邊長為3，E是BC上一點(diǎn)且CE＝1，F(xiàn)是線段DE上的動點(diǎn)．連接CF，將線段CF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CG，連接EG，則EG的最小值是105思路引領(lǐng)：圖，作直線BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因?yàn)椤螩DF是定值，推出點(diǎn)G在直線BG上運(yùn)動，且tan∠CBG＝tan∠CDF=CECD=13，根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG解：如圖，作直線BG．∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG＝∠DCF，∵CG＝CF，∴△CBG≌△CDF（SAS），∴∠CBG＝∠CDF，∵∠CDF是定值，∴點(diǎn)G在直線BG上運(yùn)動，且tan∠CBG＝tan∠CDF=CE根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)EG⊥BG時(shí)，EG的長最短，此時(shí)tan∠EBG=GEBG=13，設(shè)EG＝m在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，∴m=10∴EG的最小值為105故答案為：105總結(jié)提升：本題考查旋轉(zhuǎn)變換、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂線段最短、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題，屬于中考填空題中的壓軸題．41．（2022?韶關(guān)模擬）如圖，已知正方形ABCD中，AB＝2，點(diǎn)E為BC邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AE，將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到EF，連接CF，連接AF與CD相交于點(diǎn)G，連接DF，當(dāng)DF最小時(shí)，四邊形CEGF的面積是43思路引領(lǐng)：通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，可得∠AEF＝∠ACF＝90°，可求∠DCF的度數(shù)，由相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求CG，CE，CH的長，由三角形的面積公式可求解．解：如圖，連接AC，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝∠ACB＝45°，∵將AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠AFE＝45°，∴∠AFE＝∠ACE，∴點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，∴∠AEF＝∠ACF＝90°，∴∠DCF＝45°，∴當(dāng)DF⊥CF時(shí)，DF有最小值，過點(diǎn)F作NH∥CD，交AD的延長線于N，BC的延長線于H，∵DF⊥CF，∠DCF＝45°，∴∠FDC＝∠FCD＝45°，∴FD＝FC，∵AB＝CD＝AD＝BC＝2，∴DF＝FC=2∵NH∥CD，∴∠NFD＝∠FDC＝45°，∠HFC＝∠FCD＝45°，∠N＝∠ADC＝90°＝∠BCD＝∠H，∴NF＝DN＝1，F(xiàn)H＝CH＝1，∵DC∥NH，∴△ADG∽△ANF，∴ADAN∴22+1∴DG=2∴GC=4∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，∴∠BAE＝∠FEH，在△ABE和△EHF中，∠BAE=∠FEH∠B=∠H∴△ABE≌△EHF（AAS），∴BE＝FH＝1，AB＝EH＝2，∴CE＝1，∴四邊形CEGF的面積=12×CG×CE+12×CG×CH故答案為：43總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．42．（2022?珠海校級三模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)P是線段BC上一動點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時(shí)針轉(zhuǎn)90°得到線段PA'，連接DA'，則DA'的最小值為2．思路引領(lǐng)：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，確定A'在線段GH上運(yùn)動，當(dāng)DA'⊥GH時(shí)，DA'有最小值．解：當(dāng)P點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，A'點(diǎn)在BC上，且A'B＝AB＝4，∵BC＝6，∴CG＝2，當(dāng)P點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，A'點(diǎn)運(yùn)動到H點(diǎn)處，∴A'在線段GH上運(yùn)動，當(dāng)A'在CD上時(shí)，∵∠APA'＝90°，∴∠APB+∠CPA'＝90°，∵∠APB+∠PAB＝90°，∴∠CPA'＝∠PAB，∵AP＝A'P，∴△ABP≌△PCA'（AAS），∴AB＝PC，BP＝A'C，∵AB＝4，BC＝6，∴A'C＝2，∴A'D＝2，∵CG＝A'C＝2，∴∠DA'H＝45°，過點(diǎn)D作DM⊥GH交于點(diǎn)M，∴DM=2∴DA'的最小值為2，故答案為：2．總結(jié)提升：本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)，能夠確定A'點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．43．（2022?仁懷市模擬）如圖，在等邊△ABC中，AD是BC邊上的高，點(diǎn)E是AD上一動點(diǎn)，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段FE，連接AF，若AB＝4，AF=19，則CF的長為7思路引領(lǐng)：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△CEF是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)并結(jié)合AD是BC邊上的高，AB＝4，利用三角函數(shù)可得AD=23，然后根據(jù)SAS證明△ACE≌△BCF，可得AE＝BF，∠CAE＝∠CBF，利用勾股定理求得BF=3，再由DE＝AD﹣AE得到DE的長，最后利用勾股定理求得解：∵將線段CE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段FE，∴CE＝FE，∠CEF＝60°，∴△CEF是等邊三角形，∴∠ECF＝60°，CE＝CF，∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的高，AB＝4，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∠ADB＝∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，CD=1∴AD=AB?sin∠ABD=4×32=23，∠ACE+∠ECB＝∠ACB＝60°，∠BCF+∠∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE和△BCF中，AC=BC∠ACE=∠BCF∴△ACE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠CAE＝∠CBF＝30°，∴∠ABF＝∠ABC+∠CAE＝60°+30°＝90°，又∵AF=19∴BF=A∴AE=BF=3∴DE=AD?AE=23在Rt△CDE中，CD＝2，∴CE=C∴CF=CE=7故答案為：7．總結(jié)提升：本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，勾股定理等知識．解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題．44．（2022?大慶二模）如圖是邊長為2的等邊三角形ABC，D為△ABC內(nèi)（包括△ABC的邊）一動點(diǎn)，且滿足CD2＝AD2+BD2，則CD的長度m的取值范圍為23?2≤m≤2思路引領(lǐng)：由旋轉(zhuǎn)可知，△CDE是等邊三角形，EB＝AD，∠CEB＝∠CDA，證出∠BDA＝150°，將點(diǎn)C沿AB翻折，得到點(diǎn)F，得出點(diǎn)D在以F為圓心，AB為半徑的圓上運(yùn)動，由等邊三角形的性質(zhì)可求出答案．解：將△ACD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BCE，由旋轉(zhuǎn)可知，△CDE是等邊三角形，EB＝AD，∠CEB＝∠CDA，∵DC2＝AD2+BD2，∴DE2＝BE2+BD2，∴∠DBE＝90°，∠BDE+∠BED＝90°，∠CDA＝∠CEB＝60°+∠BED，∴∠CDA+∠BDE＝60°+∠BED+∠BDE＝150°，∵∠CDE＝60°，∴∠BDA＝360°﹣（∠CDA+∠BDE）﹣∠CDE＝150°，將點(diǎn)C沿AB翻折，得到點(diǎn)F，∴點(diǎn)D在以F為圓心，AB為半徑的圓上運(yùn)動，∵等邊△ABC和等邊△ABF的邊長都是2，∴等邊三角形的高h(yuǎn)＝2?sin60°＝2×3∴2h﹣2≤CD≤2，∴23?2≤CD即23?2≤m故答案為：23?2≤m總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理逆定理，圓周角定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．45．（2022?雁塔區(qū)校級模擬）如圖，正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)E為邊BC上一動點(diǎn)，將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，則DF的最小值為22．思路引領(lǐng)：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過F作FG⊥x軸于G，設(shè)BE＝x，證明△ABE≌△EGF（AAS），可得BE＝FG＝x，AB＝EG＝4，即可得F（x+4，x），從而DF=2(x?2)2+8，故解：以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過F作FG⊥x軸于G，如圖：設(shè)BE＝x，∵四邊形ABCD是正方形，F(xiàn)G⊥x軸，∴∠ABE＝90°＝∠EGF，AB＝BC，∵將點(diǎn)A繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，∴AE＝EF，∠AEF＝90°，∴∠EFG＝90°﹣∠AEB＝∠BAE，∴△ABE≌△EGF（AAS），∴BE＝FG＝x，AB＝EG＝4，∴BG＝BE+EG＝x+4，∴F（x+4，x），∵D（4，4），∴DF=(x+4?4∴當(dāng)x＝2時(shí)，DF取最小值，最小值為22，故答案為：22．總結(jié)提升：本題考查正方形中的旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是建立直角坐標(biāo)系，用含x的式子表示F的坐標(biāo)．46．（2022?沈陽二模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝6，點(diǎn)E（不與點(diǎn)B重合）是BC邊上一個(gè)動點(diǎn)，將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段EF，當(dāng)△DFC是直角三角形時(shí)，那么BE的長是4.5或4或5．思路引領(lǐng)：由題意可知，BE＝EF，∠BEF＝90°，延長EF交AD于H，設(shè)BE＝EF＝x，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到A＝∠B＝90°，CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，EH＝AB＝5，CE＝6﹣x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．解：由題意可知，BE＝EF，∠BEF＝90°，延長EF交AD于H，設(shè)BE＝EF＝x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝5，AD＝BC＝6，∴四邊形ABEH，四邊形CDHE是矩形，∴EH＝AB＝5，CE＝6﹣x，∴FH＝5﹣x，DH＝CE＝6﹣x，在Rt△DHF中，DF2＝DH2+FH2＝（6﹣x）2+（5﹣x）2，在Rt△CEF中，CF2＝EF2+CE2＝（6﹣x）2+x2，在Rt△CDF中，CD2＝DF2+CF2或∴（6﹣x）2+（5﹣x）2+（6﹣x）2+x2＝52，解得x＝4.5或4．∴BE＝4.5或4．當(dāng)點(diǎn)F在邊AD上時(shí)，四邊形ABEF是正方形，∴BE＝AB＝5，故答案為：4.5或4或5．總結(jié)提升：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．47．（2022?臺山市校級一模）△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝24，點(diǎn)D為△ABC的對稱軸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O與BC相切，BD與⊙O相交于點(diǎn)E，那么AE的最大值為6+61思路引領(lǐng)：設(shè)△ABC的對稱軸交BC于F，連接EF，可推出∠BEF＝90°，進(jìn)而求得點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡是以BF為直徑的圓，進(jìn)一步得出結(jié)果．解：如圖，設(shè)△ABC的對稱軸交BC于F，連接EF，∵AB＝AC，∴△ABC的對稱軸DF⊥BC，∴⊙O切BC于F，∵DF是⊙O的直徑，∴∠DEF＝90°，∴∠BEF＝180°﹣∠DEF＝90°，∴點(diǎn)E在以BF為直徑的圓上，∵AF⊥BC，AB＝AC＝13，∴BF＝CF＝12，∴AF=A∴AI=A∴AEmax＝AI+E′I＝6+61總結(jié)提升：本題考查了圓的切線性質(zhì)，確定圓的條件等知識，解決問題關(guān)鍵是根據(jù)“定弦對定角”確定點(diǎn)E的運(yùn)動軌跡．48．（2022?蓬江區(qū)校級一模）矩形ABCD中，AB＝2，BC＝6，點(diǎn)P為矩形內(nèi)一個(gè)動點(diǎn)．且滿足∠PBC＝∠PCD，則線段PD的最小值為13?3思路引領(lǐng)：根據(jù)題意推導(dǎo)出∠BPC＝90°，可知P點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為O，則PD的最小值為OD﹣OC=13解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∴∠PCD+∠PBC＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PBC＝90°，∴∠BPC＝90°，∴P點(diǎn)在以BC為直徑的圓上，設(shè)圓心為O，∵BC＝6，∴CO＝3，∵CD＝2，∴DO=13∴PD的最小值為13?故答案為：13?總結(jié)提升：本題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理，能夠確定P點(diǎn)的軌跡是解題的關(guān)鍵．49．（2022?蕪湖二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4．點(diǎn)F為射線CB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)C作CM⊥AF于M，交AB于E，D是AB的中點(diǎn)，則DM長度的最小值是1．思路引領(lǐng)：取AC的中點(diǎn)T，連接DT、MT，利用三角形的中位線定理求出DT的值，再由直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)求出MT，并確定點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡，然后由DM≥TM﹣DT即可獲得結(jié)論．解：如圖，取AC的中點(diǎn)T，連接DT、MT，∵D是AB的中點(diǎn)，T是AC的中點(diǎn)，∴AD＝BD，AT＝CT，∴DT=1∵CM⊥AF，∴∠AMC＝90°，∴TM=1∵點(diǎn)F為射線CB上一動點(diǎn)，CM⊥AF，即∠AMC＝90°，∴點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是以T為圓心，TM為半徑的圓，∴DM≥TM﹣DT＝3﹣2＝1，∴DM的最小值為1．故答案為：1．總結(jié)提升：本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、三角形中位線定理、直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造三角形中位線，直角三角形斜邊上的中線解決問題．50．（2022?周至縣一模）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AD平分∠BAC，BC＝6，點(diǎn)O為線段AD上的動點(diǎn)，若以點(diǎn)O為圓心，1為半徑的⊙O在△ABC內(nèi)（⊙O可以與△ABC的邊相切），則點(diǎn)D到⊙O上的點(diǎn)的距離最大值為3．思路引領(lǐng)：當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，點(diǎn)D到⊙O上的點(diǎn)的距離取得最大值，由切線的性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)可以解決問題．解：當(dāng)⊙O與AB相切時(shí)，切點(diǎn)是H，⊙O交AD于P，則點(diǎn)D到⊙O上的點(diǎn)的距離最大值為DP的長，連接OH，則OH⊥AB，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠C＝30°，∠B＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝∠C＝30°，∴AD＝DC，∴BD=12AD=∵BC＝6，∴BD＝2，AD＝DC＝4，∵OH=12AO，∴AO＝2，∵OP＝1，∴AP＝AO﹣OP＝1，∴DP＝AD﹣AP＝4﹣1＝3．∴點(diǎn)D到⊙O上的點(diǎn)的距離最大值是3．故答案為：3．總結(jié)提升：本題考查切線的性質(zhì)定理，角平分線的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是判斷出⊙O與AB相切時(shí)，點(diǎn)D到⊙O上的點(diǎn)的距離取得