專題35圓冪定理模型-2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)下冊(cè)）常考題專練（北師大版）

專題35圓冪定理模型弦切角與切割線模型解讀知1推知1推2①與圓O相切②③即弦切角定理：切線和弦所夾的角即等于它們所夾的弧所對(duì)的圓周角，即 弦切角的證明即為由①推②，之后通過相似相似也不難得出結(jié)論③，由結(jié)論②或③推出其它兩個(gè)可以自行嘗試，不過注意圓冪定理已經(jīng)從課本上刪除了，所以不能在解答題中直接使用，要證明。即使從教材中刪除了，但是每年中考都有很多題目出現(xiàn)了它的身影，是比較實(shí)用的，所以一定要熟悉.相交弦模型解讀：AE·EC＝BE·ED割線定理解讀：PB·PC＝PD·PA

題型一相交弦定理1．如圖，中兩條弦、相交于點(diǎn)，已知，，，那么長為6．【解答】解：兩條弦、相交于點(diǎn)，，．故答案為6．2．如圖，在中，弦、相交于點(diǎn)，且．（1）求證：；（2）若，，，求．【解答】（1）證明：，（在同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角相等），；（2）解：，，，，，，解得：或6，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，．3．如圖，已知圓，弦、相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若為中點(diǎn)，且圓的半徑為3，，求的值．【解答】解：（1），，，即．（2）連接、．為中點(diǎn)，在中，，，由（1）知．．4．如圖，在中，弦，交于點(diǎn)，延長，交于點(diǎn)，，，若，則的長為．【解答】解：如圖，作交于．設(shè)．，，，，，，，，，，，，，，，，，，（負(fù)根已經(jīng)舍棄），．故答案為．5．如圖，矩形為的內(nèi)接四邊形，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，延長交于點(diǎn)，則線段的長為A． B．5 C． D．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，由相交弦定理得：，，；故選：．6．如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)在劣弧上，連接，交于點(diǎn)．若，則的值為A． B． C． D．【解答】解：如圖，設(shè)的半徑為，，則，，．在中，根據(jù)相交弦定理，得．即，所以．連接，由勾股定理，得，即，解得所以，故選：．7．如圖，中弦，相交于點(diǎn)，已知，，，則6．【解答】解：由相交弦定理得，，則，故答案為：6．8．如圖1，線段是的直徑，弦，垂足為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，，．（1）求的半徑的長度；（2）求；（3）如圖2，直線交直線于點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值．【解答】解：（1）如圖1中，連接，，，在中，，，，，；（2）如圖1中，連接．，是直徑，，，，，，則；（3）如圖2中，連接．是直徑，，，，，，，，，，，，，，．題型二弦切角定理9．已知，如圖（1），為的割線，直線與有公共點(diǎn)，且，（1）求證：；直線是的切線；（2）如圖（2），作弦，使，連接、，若，，求的半徑；由．【解答】（1）證明：，，，，，作直徑，連接，則，，，，，經(jīng)過直徑的一端點(diǎn)，直線是的切線；（2）解：作直徑，連接、．則，，，，，，在中，由勾股定理得：，，；10．定義：弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角．問題情景：已知如圖所示，直線是的切線，切點(diǎn)為，為的一條弦，為弧所對(duì)的圓周角．（1）猜想：弦切角與之間的關(guān)系．試用轉(zhuǎn)化的思想：即連接并延長交于點(diǎn)，連接，來論證你的猜想．（2）用自己的語言敘述你猜想得到的結(jié)論．【解答】（1）；證明：是的直徑，；又是的切線，，；又，．（2）弦切角等于其兩邊所夾弧對(duì)的圓周角．（或弦切角的度數(shù)等于其兩邊所夾弧度數(shù)的一半．11．已知，如圖（1），為的割線，直線與有公共點(diǎn)，且，（1）求證：①；②直線是的切線；（2）如圖（2），作弦，使，連接、，若，，求的半徑．【解答】（1）證明：，，，，，作直徑，連接，則，，，，，即，，經(jīng)過直徑的一端點(diǎn)，直線是的切線；（2）解：作直徑，連接、．則，，，，，，在中，由勾股定理得：，，的半徑為．12．如圖是外一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線與相交，交點(diǎn)為、，作直線與相切，切點(diǎn)為，連接、．（1）求證：；（2）如果，，求的長．【解答】解：（1）如圖，連接、；與相切，，；，；；，，．（2）由切割線定理得：，，，．13．如圖，，，，是上的四點(diǎn)，，是線段延長線上一點(diǎn)，且．（1）請(qǐng)判斷的形狀（不要求證明）；（2）求證：是的切線；（3）求證：．【解答】解：（1），，，是等腰三角形．（2）連接、，則，，，，，是的切線．（3）是的切線，，，又，．題型三切割線、割線定理14．如圖，為的直徑，延長至點(diǎn)，使，過作〇的切線，切點(diǎn)為，若的半徑為2，則線段的長為A．2 B． C． D．4【解答】解：如圖，連接，是的切線，，，而是的一條直徑，，，，，，故選：．15．如圖，、、、為上的點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，，，則A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：，是的割線，，，，解得：．故選：．16．過外一點(diǎn)作的切線，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂足為，若，，則A． B． C． D．【解答】解：延長交于，連接，，設(shè)的半徑是，則由切割線定理得：，，，，解得：，，切于，，，，，，，解得：，故選：．17．如圖，是圓外的一點(diǎn)，點(diǎn)、在圓上，、分別交圓于點(diǎn)、，如果，，，那么．【解答】解：如圖，，，，，．又，，則．故答案是：．18．如圖，是的切線，為切點(diǎn)，是割線，交于、兩點(diǎn)，與直徑交于點(diǎn)．已知，，，那20．【解答】解：，，，，，，是的切線，是割線，，為直徑，，，即，解得．故答案為：20．19．如圖，為的直徑，，為上兩點(diǎn)，過作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，延長交的延長線于點(diǎn)，連接，．（1）求證：；（2）若，，．①求的長；②求的半徑．【解答】解：（1）連接．是直徑，，，，，，，．（2）①，，，，，，．②連接，，，，，設(shè)，則，，，，，，，，，解得，，，，，，，．的半徑為．題型四綜合運(yùn)用20．如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長線上，、是上的兩點(diǎn)，，，延長交的延長線于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）若，，求弦的長．【解答】解：（1）連接，如右圖所示，是的直徑，，，，，，，，，，，是的切線；（2），，，，，又，；（3），，，，，，，設(shè)，，由勾股定理可得：，解得：，．21．如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，點(diǎn)為延長線上一點(diǎn)，且．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【解答】解：（1）如圖，連接，，是直徑，，，，，．，，，，又是的半徑是的切線；（2）解：，，，，，設(shè)，則，，，，，，即，，，的半徑為7．22．如圖，是的外接圓的直徑，點(diǎn)在延長線上，且滿足．（1）求證：是的切線；（2）弦交于點(diǎn)，若，求的長．【解答】（1）是的直徑；，，，，，點(diǎn)在上，是的切線（2），，，，，，，，，，．23．如圖，線段經(jīng)過的圓心，交于、兩點(diǎn)，，為的弦，連接，，連接并延長交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．（1）求證：直線是的切線；（2）求的半徑的長；（3）求線段的長．【解答】（1）證明：，，，，，是半徑，是的切線；（2），，，，，的半徑的長為1；（3），，，，是的切線，是的割線，，．24．如圖，已知為的直徑，、是的弦，是的切線，切點(diǎn)為，，、的延長線相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑．【解答】解：（1）證明：連接．，，．又，，．在和中，，，．是的切線，，，又點(diǎn)