專題1.6線段與角的計(jì)算十二大核心考點(diǎn)-2022-2023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍

20222023學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題1.6線段的計(jì)算十二大核心考點(diǎn)精講精練【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識(shí)梳理】1.直線、射線、線段的認(rèn)識(shí)（1）直線、射線、線段的表示方法

①直線：用一個(gè)小寫字母表示，如：直線l，或用兩個(gè)大寫字母（直線上的）表示，如直線AB．

②射線：是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如：射線l；用兩個(gè)大寫字母表示，端點(diǎn)在前，如：射線OA．注意：用兩個(gè)字母表示時(shí)，端點(diǎn)的字母放在前邊．

③線段：線段是直線的一部分，用一個(gè)小寫字母表示，如線段a；用兩個(gè)表示端點(diǎn)的字母表示，如：線段AB（或線段BA）．

（2）點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：①點(diǎn)經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線上；②點(diǎn)不經(jīng)過直線，說明點(diǎn)在直線外．2.直線與線段的性質(zhì)（1）直線公理：經(jīng)過兩點(diǎn)有且只有一條直線．

簡(jiǎn)稱：兩點(diǎn)確定一條直線．

（2）經(jīng)過一點(diǎn)的直線有無數(shù)條，過兩點(diǎn)就唯一確定，過三點(diǎn)就不一定了．（3）線段性質(zhì)兩點(diǎn)的所有連線中，可以有無數(shù)種連法，如折線、曲線、線段等，這些所有的線中，線段最短．

簡(jiǎn)單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短．3.線段的比較與計(jì)算：（1）比較兩條線段長短的方法有兩種：度量比較法、重合比較法．就結(jié)果而言有三種結(jié)果：AB＞CD、AB=CD、AB＜CD．（2）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等的線段的點(diǎn)．（3）線段的和、差、倍、分及計(jì)算做一條線段等于已知線段，可以通過度量的方法，先量出已知線段的長度，再利用刻度尺畫條等于這個(gè)長度的線段，也可以利用圓規(guī)在射線上截取一條線段等于已知線段．（4）兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)間的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離．4.角的概念：（1）角的定義：有公共端點(diǎn)是兩條射線組成的圖形叫做角，其中這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．（2）角的表示方法：角可以用一個(gè)大寫字母表示，也可以用三個(gè)大寫字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（∠1，∠2…）表示．（3）平角、周角：角也可以看作是由一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，當(dāng)始邊與終邊成一條直線時(shí)形成平角，當(dāng)始邊與終邊旋轉(zhuǎn)重合時(shí)，形成周角．（4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量單位．1度=60分，即1°=60′，1分=60秒，即1′=60″．（5）角的單位的換算可類比時(shí)鐘上的時(shí)、分、秒來說明角的度量單位度、分、秒之間也是60進(jìn)制，將高級(jí)單位化為低級(jí)單位時(shí)，乘以60，反之，將低級(jí)單位轉(zhuǎn)化為高級(jí)單位時(shí)除以60．同時(shí)，在進(jìn)行度、分、秒的運(yùn)算時(shí)也應(yīng)注意借位和進(jìn)位的方法．5.角的比較與計(jì)算：（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC=∠BOC=12∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC（3）角的和差倍分計(jì)算：①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，記作：∠AOB=∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，記作：∠AOC=∠AOB∠BOC．②若射線OC是∠AOB的三等分線，則∠AOB=3∠BOC或∠BOC=13∠AOB6.余角與補(bǔ)角：（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．注意：余角（補(bǔ)角）與這兩個(gè)角的位置沒有關(guān)系．不論這兩個(gè)角在哪兒，只要度數(shù)之和滿足了定義，則它們就具備相應(yīng)的關(guān)系．【典例剖析】【考點(diǎn)1】直線、射線、線段的認(rèn)識(shí)【例1】（2019秋?開遠(yuǎn)市期末）如圖，在平面內(nèi)有A，B，C三點(diǎn)．（1）畫直線AC，線段BC，射線AB；（2）在線段BC上任取一點(diǎn)D（不同于B，C），連接線段AD；（3）數(shù)數(shù)看，此時(shí)圖中線段的條數(shù)．【分析】（1）依據(jù)直線、射線、線段的定義，即可得到直線AC，線段BC，射線AB；（2）依據(jù)在線段BC上任取一點(diǎn)D（不同于B，C），連接線段AD即可；（3）根據(jù)圖中的線段為AB，AC，AD，BD，CD，BC，即可得到圖中線段的條數(shù)．【解析】（1）如圖，直線AC，線段BC，射線AB即為所求；（2）如圖，線段AD即為所求；（3）由題可得，圖中線段的條數(shù)為6．【變式1.1】（2022·山東·聊城市茌平區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，觀察圖形，下列說法正確的有（

）個(gè)①直線AB和直線BA是同一條直線，②射線AC和射線AD是同一條射線，③AB+BD>A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)直線的表示方法對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)射線的表示方法對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)線段的性質(zhì)對(duì)③進(jìn)行判斷；通過分類討論對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解：①直線AB和直線BA是同一條直線，直線沒有端點(diǎn)，此說法正確；②射線AC和射線AD是同一條射線，都是以A為端點(diǎn)，同一方向的射線，正確；③AB+④三條直線兩兩相交時(shí)，一定有三個(gè)交點(diǎn)，錯(cuò)誤，可能有1個(gè)交點(diǎn)的情況．所以共有3個(gè)正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直線、射線、線段相關(guān)知識(shí)，掌握線段、射線、直線的表示方法是解題的關(guān)鍵．【變式1.2】（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法正確的是(

)A．直線AB與直線BA不是同一條直線 B．射線AB與射線BA是同一條射線C．延長線段AB和延長線段BA的含義一樣 D．線段AB與線段BA是同一條線段【答案】D【分析】根據(jù)直線、射線、線段的意義和表示方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．直線AB與直線BA是同一條直線，因此A不正確，故A不符合題意；B．射線AB與射線BA不是同一條射線，因此B不正確，故B不符合題意；C．延長線段AB和延長線段BA的含義不一樣，因此C不正確，故C不符合題意；D．線段AB與線段BA是同一條線段，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線、射線、線段的意義，理解直線、射線、線段的意義是正確判斷的前提．【變式1.3】（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）下列說法：①射線AB與射線BA是同一條射線；②線段AB是直線AB的一部分；③延長線段AB到C，使AB=AC；④射線AB與射線BA的公共部分是線段AB．正確的個(gè)數(shù)是（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)直線、射線、線段的定義以及表示方法進(jìn)行判斷即可．【詳解】①射線AB與射線BA不是同一條射線；故①錯(cuò)誤；②線段AB是直線AB的一部分；故②正確；③延長線段AB到C，則AC>AB；故③錯(cuò)誤；④射線AB與射線BA的公共部分是線段AB；故④正確；綜上：正確的有②④，共兩個(gè)；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線、射線、線段的定義和表示方法，熟練地掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．注意射線是有方向的．【考點(diǎn)2】直線、線段的性質(zhì)【例2】（2019秋?曹縣校級(jí)期末模擬）如圖，在直線a上求一點(diǎn)O，使它到點(diǎn)M、N的距離最小．【分析】要使OM+ON的值最小，只需M、N、O三點(diǎn)共線即可．【解析】∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴所求的點(diǎn)與M、N兩點(diǎn)同線時(shí)，它到點(diǎn)M、N的距離最小，∴連接MN．MN與a的交點(diǎn)O即為所求．【變式2.1】（2022·陜西·西安市鐵一中學(xué)七年級(jí)期中）下列說法正確的個(gè)數(shù)是（

）①連接兩點(diǎn)之間的線段叫兩點(diǎn)間的距離；②線段AB和線段BA表示同一條線段；③木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在模板上畫出兩個(gè)點(diǎn)，然后過這兩點(diǎn)彈出一條墨線，這樣做的原理是：兩點(diǎn)之間，線段最短；④若AB=2CB，則點(diǎn)C是A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離的概念，線段中點(diǎn)的概念判斷即可．【詳解】解：連接兩點(diǎn)之間的線段的長叫兩點(diǎn)間的距離，故①不符合題意；線段AB和線段BA表示同一條線段，正確，故②符合題意；木匠師傅鋸木料時(shí)，一般先在模板上畫出兩個(gè)點(diǎn)，然后過這兩點(diǎn)彈出一條墨線，這樣做的原理是：兩點(diǎn)確定一條直線，故③不符合題意；若AB=2CB，點(diǎn)C可能在AB外，則點(diǎn)C不一定是AB的中點(diǎn)，故故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直線的性質(zhì)，兩點(diǎn)的距離的概念，線段中點(diǎn)的概念，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【變式2.2】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）下列四個(gè)有關(guān)生活、生產(chǎn)中的現(xiàn)象：①用兩個(gè)釘子就可以把一根木條固定在墻上；②把彎曲的公路改直，就能縮短路程；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段AB架設(shè)；④植樹時(shí)，只要定出兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線．其中不可用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有（

）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【答案】A【分析】①④根據(jù)“兩點(diǎn)確定一條直線”解釋，②③根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”解釋．【詳解】解：①屬于兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不可用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋，不符合題意；②兩點(diǎn)之間，線段最短，減少了距離，符合題意；③從A地到B地架設(shè)電線，總是盡可能沿著線段架設(shè)，是兩點(diǎn)之間，線段最短，符合題意；④屬于兩點(diǎn)確定一條直線的性質(zhì)，不可用“兩點(diǎn)之間，線段最短”來解釋，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段和直線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握兩點(diǎn)之間，線段最短；兩點(diǎn)確定一條直線．【變式2.3】（2022·河北·石家莊外國語學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，建筑工人砌墻時(shí)，經(jīng)常用細(xì)繩在墻的兩端之間拉一條參照線，使砌的每一層磚在一條直線上，這樣做的依據(jù)是（

）A．直線比曲線短 B．兩點(diǎn)之間，線段最短C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．兩點(diǎn)之間的線段的長度叫做兩點(diǎn)間的距離【答案】C【分析】由直線公理可以直接得出答案．【詳解】這樣做的依據(jù)是：兩點(diǎn)確定一條直線．故選C【點(diǎn)睛】本題考查直線公理，對(duì)公理的理解是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】線段的中點(diǎn)及計(jì)算問題【例3】（2019秋?杭州期末）如圖，將線段AB延長至點(diǎn)C，使BC=12AB，D為線段AC的中點(diǎn)，若BD＝2，則線段A．4 B．6 C．8 D．12【分析】首先根據(jù)BC=12AB，可得：BC=13AC；然后根據(jù)：D為線段AC的中點(diǎn)，可得：CD=12AC，所以BD=16AC，再根據(jù)【解析】∵BC=12∴BC=13∵D為線段AC的中點(diǎn)，∴CD=12∴BD=16∵BD＝2，∴AC＝2×6＝12，∴AB＝AD+BD=12AC+BD=12故選：C．【變式3.1】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)．若線段AB=18cm，則線段BD的長為（A．12cm B．15cm C．8cm或10cm D．12【答案】D【分析】根據(jù)題意分兩種情況作圖，由線段之間的關(guān)系即可求解．【詳解】∵點(diǎn)C是線段AB的三等分點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)AC=∴AC∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)∴AD∴BD=如圖所示，當(dāng)AC=∴AC∵點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)∴AD∴BD=綜上所述，線段BD的長為15cm或12故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查線段之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟知線段的和差關(guān)系．【變式3.2】（2022·新疆·烏魯木齊八一中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上M，N，P，Q四點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)都是整數(shù)，且M為線段NQ的中點(diǎn)，P為線段NM的中點(diǎn)．若點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的整數(shù)是a，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的整數(shù)是b，且b-2aA．點(diǎn)M B．點(diǎn)N C．點(diǎn)P D．點(diǎn)Q【答案】D【分析】由已知條件可知QN=2QM，因?yàn)辄c(diǎn)M對(duì)應(yīng)的整數(shù)是a，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的整數(shù)是b，且【詳解】解：∵點(diǎn)M為線段NQ的中點(diǎn)，∴QN=2∵點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的整數(shù)是a，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的整數(shù)是b，且b-∴數(shù)軸上的原點(diǎn)是Q．故選：D．【點(diǎn)睛】利用中點(diǎn)性質(zhì)轉(zhuǎn)化線段之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在不同的情況下靈活選用它的不同表示方法，有利于解題的簡(jiǎn)潔性．同時(shí)，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系也是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．【變式3.3】（2022·遼寧·沈陽市和平區(qū)南昌中學(xué)沈北分校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，AB=12cm，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上且AD:CB=1:3，則A．8cm B．10cm C．12cm【答案】B【分析】根據(jù)中點(diǎn)的定義求出AC、BC的長，根據(jù)題意求出AD【詳解】解：∵AB=12cm，C為AB∴AC=∵AD∴AD=2∴DC=∴DB=故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是兩點(diǎn)間的距離的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線段中點(diǎn)的性質(zhì)、靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．【考點(diǎn)4】兩點(diǎn)間的距離問題【例4】（2019秋?昌平區(qū)期末）已知線段AB，點(diǎn)C在直線AB上，D為線段BC的中點(diǎn)．（1）若AB＝8，AC＝2，求線段CD的長．（2）若點(diǎn)E是線段AC的中點(diǎn)，直接寫出線段DE和AB的數(shù)量關(guān)系是AB＝2DE．【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)C在直線AB上，分兩種情況：①C在點(diǎn)A的右側(cè)，②C在點(diǎn)A的左側(cè)，根據(jù)線段的和與差可得結(jié)論；（2）AB＝2DE，同（1）分兩種情況：根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得結(jié)論．【解析】（1）如圖1，當(dāng)C在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，∵AB＝8，AC＝2，∴BC＝AB﹣AC＝6，∵D是線段BC的中點(diǎn)，∴CD=如圖2，當(dāng)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，∵AB＝8，AC＝2，∴BC＝AB+AC＝10，∵D是線段BC的中點(diǎn)，∴CD=綜上所述，CD＝3或5；（2）AB＝2DE，理由是：如圖3，當(dāng)C在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，∵E是AC的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)，∴AC＝2EC，BC＝2CD，∴AB＝AC+BC＝2EC+2CD＝2ED；如圖4，當(dāng)C在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，同理可得：AB＝BC﹣AC＝2CD﹣2CE＝2（CD﹣CE）＝2DE．【變式4.1】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）已知A，B，C三點(diǎn)共線，線段AB=20cm，BC=12cm，點(diǎn)M，N分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則A．16cm B．16cm或4cm C．4cm D．6cm或12cm【答案】B【分析】分情況討論，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，進(jìn)行計(jì)算即可得，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，∵AB=20cm，BC∴BM=12AB=10∴MN=BM+如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，∵AB=20cm，BC∴AM=BM=12∴CM=BC-∴MN=CN-故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是正確的表示線段的和差倍分，并分情況討論．【變式4.2】（2022·安徽·桐城市第二中學(xué)七年級(jí)期末）已知線段AB=10cm，線段AC=16cm，且AB、AC在同一條直線上，點(diǎn)B在A、C之間，此時(shí)AB、AC的中點(diǎn)M、N之間的距離為（

）A．13cm B．6cm C．3cm D．1.5cm【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，結(jié)合中點(diǎn)的性質(zhì)，分別算出AN、AM的長，然后再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．【詳解】解：如圖，∵AC=16cm又∵AC的中點(diǎn)為N，∴AN=8∵AB=10cm∵AB的中點(diǎn)為M，∴AM=5∴MN=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的性質(zhì)、線段的和、差關(guān)系，解本題的關(guān)鍵在充分利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題．【變式4.3】（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，若AB=16，DE=13AEA．7 B．203 C．6 D．【答案】C【分析】應(yīng)用一條線上的線段和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：∵點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD＝12AB＝12×16＝∵AD＝AE＋DE，DE＝13AE∴AE＋13AE＝8∴AE＝6，DE＝2，∵點(diǎn)C為DB的中點(diǎn)，∴CD＝12BD＝12×8＝∴CE＝DE＋CD＝2＋4＝6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一條線上各個(gè)線段關(guān)系，看清圖中線段關(guān)系，熟練掌握兩點(diǎn)間的距離計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)5】角的概念及表示【例5】圖中以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？以D點(diǎn)為頂點(diǎn)小于平角的角有幾個(gè)？以E點(diǎn)為頂點(diǎn)的角有幾個(gè)？試用適當(dāng)?shù)姆椒▉肀硎具@些角．【分析】根據(jù)角的概念可直接求解．【解析】圖中以O(shè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的角有：∠EOA，∠EOB，∠EOC，∠AOB，∠AOC，∠BOC，共6條；以D點(diǎn)為頂點(diǎn)小于平角的角有：∠ODE，∠CDF，∠EDC，∠ODF，共4個(gè)；以E點(diǎn)為頂點(diǎn)的角有：∠OEF，共1個(gè)．【變式5.1】（2022·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)期中）如圖，下列說法中不正確的是（）A．∠1與∠AOB是同一個(gè)角 B．∠α與C．∠AOC可以用∠O來表示 D．圖中共有三個(gè)角：∠AOB，【答案】C【分析】根據(jù)角的概念和表示方法可知，當(dāng)角的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，這個(gè)角才可以用一個(gè)頂點(diǎn)字母來表示，由此可得結(jié)論．【詳解】解：A、∠1與∠AOB表示的是同一個(gè)角，故AB、∠α與∠COB是同一個(gè)角，故C、以O(shè)為頂點(diǎn)的角一共有三個(gè)，不能用一個(gè)頂點(diǎn)字母表示，故C說法錯(cuò)誤，符合題意；D、由圖可知，圖中共有三個(gè)角：∠AOB，∠BOC，∠AOC故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的表示方法，根據(jù)圖形特點(diǎn)將每個(gè)角用合適的方法表示出來是解題的關(guān)鍵．【變式5.2】（2021·江蘇·南通市北城中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）下列四個(gè)圖形中，能用∠1，∠AOB，∠O三種方法表示同一個(gè)角的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)角的三種表示方法，可得正確答案．【詳解】A、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處有四個(gè)角，所以這四個(gè)角均不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處只有一個(gè)角，所以這個(gè)角能用∠1，∠AOB，∠O表示，故本選項(xiàng)正確；C、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處有三個(gè)角，所以這三個(gè)角均不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、因?yàn)轫旤c(diǎn)O處有三個(gè)角，所以這三個(gè)角均不能用∠O表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角的概念，熟記角的表示方法是解題關(guān)鍵．在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)大寫字母來記這個(gè)角．【變式5.3】（2022·安徽·七年級(jí)）如下圖，下列說法正確的是（

）A．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角 B．C．圖中共有兩個(gè)角：∠1，∠β D．∠β【答案】A【分析】根據(jù)角的表示方法表示各個(gè)角，再判斷即可．【詳解】解：A．∠1與∠AOB表示同一個(gè)角，正確，故本選項(xiàng)符合題意；B．∠1=∠βC．圖中共有三個(gè)角：∠1，∠β，∠AOCD．∠β表示∠故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)角的表示方法的應(yīng)用，正確表示角是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6】度分秒的換算【例6】（2019秋?鄲城縣校級(jí)期末模擬）（1）48°39′+67°31′（2）78°﹣47°34′56″（3）22°16′×5；（4）42°15′÷5．【分析】（1）兩個(gè)度數(shù)相加，度與度，分與分對(duì)應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿60，則轉(zhuǎn)化為度；（2）兩個(gè)度數(shù)相減，度與度，分與分，秒與秒對(duì)應(yīng)相加，不夠，借1，即60再減；（3）根據(jù)度分秒的乘法法則計(jì)算即可求解；（4）根據(jù)度分秒的除法法則計(jì)算即可求解．【解析】（1）48°39′+67°31′＝116°10′；（2）78°﹣47°34′56″＝30°25′4″；（3）22°16′×5＝111°20′；（4）42°15′÷5＝8°27′．【變式6.1】（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）若∠1=25°15'，∠2=25°13'3A．∠3>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠3 C．∠1>∠3>∠2 D．∠1>∠2>∠3【答案】A【分析】首先∠1、∠2已經(jīng)是度、分、秒的形式，故將∠3化為度、分、秒的形式；再根據(jù)三個(gè)角的度數(shù)進(jìn)行大小比較，即可得到結(jié)論．【詳解】∵∠1=25°15'，∠2=25°13'3∴∠3>∠1>∠2．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，熟練掌握同一角的單位比較角的大小并靈活運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．【變式6.2】（2022·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）下列角度換算錯(cuò)誤的是（

）A．900″=0.25° B．10.6°=10°36″ C【答案】B【分析】根據(jù)度、分、秒是60進(jìn)制的數(shù)，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】根據(jù)1°=60'，A項(xiàng)，900″÷3600=B項(xiàng)，10.6°=10°36C項(xiàng)，1.5°×60=90D項(xiàng)，12″÷60=0.2'，1故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的換算．掌握度、分、秒是60進(jìn)制的數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．【變式6.3】（2022·全國·七年級(jí)單元測(cè)試）下列換算中，正確的是（

）A．23°12'3C．18°18'3【答案】B【分析】根據(jù)度分秒的進(jìn)制，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可．【詳解】解：A、∵1°=60′，∴0.48°=28.8′，∵1′=60″，∴0.8′=48″，∴23.48°=23°28′48″，故A不符合題意；B、∵1°=60′，∴0.25°=15′，∴22.25°=22°15′，故B符合題意；C、∵1°=60′，∴0.183°=10.98′，∵1′=60″，∴0.98′=58.8″，∴18.183°=18°10′58.8″，故C不符合題意；D、∵1°=60′，∴0.11°=6.6′，∵1′=60″，∴0.6′=36″，∴47.11°=47°6′36″，故D不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的換算，熟練掌握度分秒的進(jìn)制是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7】角的大小比較【例7】（2019秋?鄞州區(qū)期末）若∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∠C＝30.25°，則這三個(gè)角的大小關(guān)系正確的是（）A．∠C＞∠A＞∠B B．∠C＞∠B＞∠A C．∠A＞∠C＞∠B D．∠A＞∠B＞∠C【分析】先把∠C的度數(shù)化成度、分、秒，再比較即可，也可把∠A和∠B的度數(shù)化成度，再進(jìn)行比較．【解析】∵∠C＝30.25°＝30°+0.25°0.25°＝0.25×60′＝15′，∴∠C＝30°15′，∵∠A＝30°18′，∠B＝30°15′30″，∴∠A＞∠B＞∠C．故選：D．【變式7.1】（2022·山東·莘縣櫻桃園鎮(zhèn)中心初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）在∠AOB的內(nèi)部任取一點(diǎn)C，作射線OC，則一定存在（）A．∠AOB＞∠AOC B．∠AOB＜∠BOC C．∠BOC＞∠AOC D．∠AOC＞∠BOC【答案】A【分析】利用角的大小進(jìn)行比較．【詳解】射線OC在∠AOB的內(nèi)部，那么∠AOC在∠AOB的內(nèi)部，且有一公共邊；則一定存在∠AOB＞∠AOC．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查角的大小比較，解題關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行比較．【變式7.2】（2021·四川省成都市七中育才學(xué)校七年級(jí)期末）楊老師到幾何王國去散步，剛走到“角”的家門，就聽到∠A、∠B、∠C在吵架，∠A說：“我是48°15'，我應(yīng)該最大!”∠B說：“我是48.3°，我應(yīng)該最大!”．∠C也不甘示弱：“我是48.15°，我應(yīng)該和∠A一樣大!”聽到這里，楊老師對(duì)它們說：“別吵了，你們誰大誰小，由我來作評(píng)判A．∠A最大 B．∠B最大 C．∠C最大 D．∠A＝∠C【答案】B【分析】根據(jù)度、分、秒的換算1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″．將48°15′，48.3°，48.15°的單位統(tǒng)一，再進(jìn)行大小的比較．【詳解】解：∵∠A＝48°15′＝48°+1560°＝48.25°，∠B＝48.3°，∠C＝∴∠B＞∠A＞∠C，即∠B最大．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了度分秒的單位轉(zhuǎn)化，將三個(gè)角單位統(tǒng)一后再進(jìn)行比較是解題關(guān)鍵．【變式7.3】（2021·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，射線OC、OD分別在∠AOB的內(nèi)部外部，下列各式中錯(cuò)誤的是（

A．∠AOB<∠AODC．∠COD>∠AOD【答案】C【分析】根據(jù)所給出的圖形，再利用圖形中角的和差關(guān)系，分別進(jìn)行解答即可．【詳解】解：A、∵OD在∠AOB的外部，∴∠AOB＜∠AOD，正確；B、∵OC在∠AOB的內(nèi)部，∴∠BOC＜∠AOB，正確；C、∵OC在∠AOD的內(nèi)部，∴∠COD＜∠AOD，錯(cuò)誤；D、∵OC在∠AOD的內(nèi)部，∴∠AOD＞∠AOC，正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角的大小比較，比較簡(jiǎn)單，主要培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力．【考點(diǎn)8】有關(guān)角平分線的計(jì)算問題【例8】（2019秋?天心區(qū)期末）線段與角的計(jì)算．（1）如圖1，已知點(diǎn)C為AB上一點(diǎn)，AC＝15cm，CB=23AC，若D、E分別為AC、AB的中點(diǎn)，求（2）已知：如圖2，∠AOB被分成∠AOC：∠COD：∠DOB＝2：3：4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON＝90°，求∠AOB的度數(shù)．【分析】（1）先根據(jù)題意得出BC及AB的長，再根據(jù)中點(diǎn)的定義得出AE和AD的長，進(jìn)而可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意設(shè)∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，則∠AOB＝9x，再根據(jù)角平分線的定義以及∠MON＝90°，即可求出∠AOB的度數(shù)．【解析】（1）∵AC＝15cm，CB=23∴CB=23×15＝10∴AB＝15+10＝25（cm）．∵D，E分別為AC，AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE=12AB＝12.5cm，DC＝AD=12AC∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）；（2）設(shè)∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠DOB＝4x，則∠AOB＝9x，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC＝x，∠NOD＝2x，∴∠MON＝x+3x+2x＝6x，又∵∠MON＝90°，∴6x＝90°，∴x＝15°，∴∠AOB＝135°．【變式8.1】（2021·山東·濟(jì)南市鋼城區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校期末）如圖，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且A．126° B．108° C．112° D．106°【答案】B【分析】設(shè)∠AOC＝x，則∠COB＝2x，根據(jù)角的和差關(guān)系，得∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x，根據(jù)角平分線的定義，由OD平分∠AOB，得∠AOD＝12∠AOB＝32x，從而得到∠COD＝∠AOD?∠AOC＝32x?x【詳解】解：設(shè)∠AOC＝x，則∠COB＝2x.∴∠AOB＝∠COB＋∠AOC＝3x.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝12∠AOB＝32∴∠COD＝∠AOD?∠AOC＝32x?x＝18°∴x＝36°．∴∠AOB＝3x＝108°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查角的和差關(guān)系、角平分線的定義，一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握角的和差關(guān)系、角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式8.2】（2022·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一副三角板AOB與COD的直角頂點(diǎn)O重合在一起，若∠AOD=4∠BOC，OE為∠BOC的平分線，則A．72° B．73° C．75° D．76°【答案】A【分析】先推出∠AOD+∠BOC=180°，結(jié)合∠AOD=4∠BOC，求出∠BOC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線求出∠COE的度數(shù)，利用∠DOE=∠COD∠COE即可解答．【詳解】解：∵∠AOB=90°，∠COD=90°，∴∠AOB+∠COD=180°，∵∠AOB=∠AOC+∠BOC，∠COD=∠BOC+∠BOD，∴∠AOC+∠BOC+∠BOC+∠BOD=180°，∴∠AOD+∠BOC=180°，∵∠AOD=4∠BOC，∴4∠BOC+∠BOC=180°，∴∠BOC=36°，∵OE為∠BOC的平分線，∴∠COE=12∠BOC=18°∴∠DOE=∠COD?∠COE=90°?18°=72°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，角的和差計(jì)算及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)圖中的數(shù)量關(guān)系求出∠BOC=36°是解答本題的關(guān)鍵．【變式8.3】（2022·安徽·合肥市第六十八中學(xué)七年級(jí)期末）如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，OC1是∠AOC的平分線，OC2是∠AOC1的平分線，OCn是∠A．= B．＜ C．＞ D．無法確定【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠AOC=12∠AOB=12【詳解】∵OC平分∠AOB，∠AOB∴∠AOC∵OC1平分∠AOC，∴∠AO∵OC2平分∠AO∴∠AO依次類推可知：∠AO∴可知∠AO∴∠AO∴2022∠AO∵根據(jù)題意可知∠AO∴2022∠AO即有：2021∠AO故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形規(guī)律的探索，依據(jù)角平分線的性質(zhì)推導(dǎo)出∠AO【考點(diǎn)9】方向角問題【例9】（2020春?長葛市期中）如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡(jiǎn)單地圖，已知OA＝2km，OB＝3.5km，OP＝4km，點(diǎn)C為OP的中點(diǎn)，回答下列問題：（1）圖中到小明家距離相同的是哪些地方？（2）由圖可知，公園在小明家東偏南30°方向2km處．請(qǐng)用方向與距離描述學(xué)校、商場(chǎng)、停車場(chǎng)相對(duì)于小明家的位置．【分析】（1）由點(diǎn)C為OP的中點(diǎn)，可得出OC＝2km，結(jié)合OA＝2km，即可得出距小明家距離相同的是學(xué)校和公園；（2）觀察圖形，根據(jù)OA，OB，OP的長度及圖中各角度，即可得出結(jié)論．【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)C為OP的中點(diǎn)，所以O(shè)C＝2km，因?yàn)镺A＝2km，所以可得出距小明家距離相同的是學(xué)校和公園；（2）由圖可知，學(xué)校在小明家東偏北45°方向2km處，商場(chǎng)在小明家西偏北60°方向3.5km處，停車場(chǎng)在東偏南30°方向4km處．【變式9.1】（2021·貴州畢節(jié)·七年級(jí)期末）若∠α的補(bǔ)角與∠β的余角相等，則∠αA．90° B．60° C．180° D．270°【答案】A【分析】根據(jù)余角與補(bǔ)角的定義求解即可：如果兩個(gè)角的度數(shù)之和為90度，則這兩個(gè)角互余，如果兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度，則這兩個(gè)角互補(bǔ)．【詳解】解：由題意得：180°∠α=90°∠β，∴∠α∠β=180°90°=90°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角與補(bǔ)角，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．【變式9.2】（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）如圖，在燈塔O處觀測(cè)到輪船A位于北偏西56°的方向，輪船B位于南偏東17°的方向，求∠AOB的度數(shù)．【答案】∠AOB=141°．【分析】先求出56°的余角為34°，然后再加上90°與17°的和即可解答．【詳解】解：由題意得：AO與東西方向所夾銳角為：90°56°=34°，∴∠AOB=34°+90°+17°=141°．【點(diǎn)睛】本題考查了方向角，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．【變式9.3】（2022·安徽·七年級(jí)）如圖，射線OA表示的方向是北偏東44°，射線OB表示的方向是北偏東76°，已知圖中∠BOC(1)求∠AOB的度數(shù)；(2)寫出射線OC的方向．【答案】(1)32°(2)北偏西46°【分析】（1）根據(jù)方向角的定義，結(jié)合圖形中角的和差關(guān)系得出答案；（2）根據(jù)角的和差關(guān)系求出∠NOC【詳解】（1）解：如圖，射線OA表示的方向是北偏東44°，即∠NOA射線OB表示的方向是北偏東76°，即∠NOB∴∠AOB即∠AOB（2）解：∵∠BOC=122°，∴∠NOC=122°-76°，=46°，∴射線OC的方向?yàn)楸逼?6°．【點(diǎn)睛】本題考查方向角，解題的關(guān)鍵是理解方向角的定義以及角的和差關(guān)系．【考點(diǎn)10】基本作圖【例10】讀下列語句，并畫出圖形．（每題3分，共12分）（1）任意畫A、O兩點(diǎn)，作射線OA．（2）點(diǎn)A在直線l上，點(diǎn)B在直線l外．（3）畫線段AB＝4cm，并找出它的中點(diǎn)C．（4）直線l與直線AB交于O點(diǎn)．【分析】（1）以O(shè)為端點(diǎn)，畫射線OA；（2）過點(diǎn)A畫直線，點(diǎn)B在直線l外；（3）利用AC＝BC＝2cm即可解決問題；（4）過O點(diǎn)作直線l與直線AB相交．【解析】（1）射線OA就是所求作的射線．（2）（3）（4）【變式10.1】（2022·重慶市璧山區(qū)正興初級(jí)中學(xué)校七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一平面內(nèi)，利用尺規(guī)，按下列要求作圖并作答．(1)畫射線BC，連接線段BD交線段AC于點(diǎn)E；(2)在射線BC上求作一點(diǎn)F，使BF=2【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)射線、線段的定義畫圖即可；（2）以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑畫弧，交BC的延長線于點(diǎn)G，以點(diǎn)G為圓心，以AC為圓心畫弧，交線段BG于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求的點(diǎn).【詳解】（1）解：如圖所示，（2）解：如圖所示，點(diǎn)F即為所求.【點(diǎn)睛】本題考查了線段、射線的作圖，以及尺規(guī)作圖線段的和差，理解線段、射線的特征和線段和差的定義是解答本題的關(guān)鍵.【變式10.2】（2022·重慶南開中學(xué)七年級(jí)開學(xué)考試）尺規(guī)作圖：如圖，已知平面上有四個(gè)點(diǎn)A，(1)作射線AB，作直線CD與射線AB交于點(diǎn)E；(2)在射線AB上作一點(diǎn)F，使得AF=【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意畫出射線AB，直線CD與與射線AB交于點(diǎn)E；（2）在射線AG上截取AG=DE，在線段GA上截取GF=CD【詳解】（1）解：如圖所示，畫出射線AB，直線CD與與射線AB交于點(diǎn)E，（2）解：如圖所示，在射線AG上截取AG=DE，在線段GA上截取GF=CD，則AF【點(diǎn)睛】本題考查了畫射線，直線，線段，線段的和差，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．【變式10.3】（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）如圖，平面上有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，根據(jù)下列語句畫圖(1)直線CD；(2)畫射線AB；(3)連接BC、AD；(4)在平面內(nèi)找一點(diǎn)O，使點(diǎn)O到A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的距離和最?。敬鸢浮?1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析【分析】（1）根據(jù)題意，畫出直線CD即可；（2）根據(jù)題意，畫出射線AB即可；（3）根據(jù)題意，畫出線段BC、ADAB即可；（4）根據(jù)兩間之間，線段最短，點(diǎn)O即為線段BC、AD的交點(diǎn)，即可．（1）解：如圖，直線CD即為所求；（2）解：如圖，射線AB即為所求；（3）解：如圖，線段BC、AD即為所求；（4）解：如圖，接BC、AD交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖畫直線，射線，線段，兩點(diǎn)間的距離，解決本題的關(guān)鍵是掌握基本作圖方法．【考點(diǎn)11】分類討論及方程思想在線段計(jì)算中的應(yīng)用【例11】已知線段AB＝m（m為常數(shù)），點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)P、Q分別在線段BC、AC上，且滿足CQ＝2AQ，CP＝2BP．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)時(shí)，則PQ＝23m（用含m（2）若點(diǎn)C為直線AB上任一點(diǎn)，則PQ長度是否為常數(shù)？若是，請(qǐng)求出這個(gè)常數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)P在線段AB上（不與端點(diǎn)重合），請(qǐng)判斷2AP+CQ﹣2PQ與1的大小關(guān)系，并說明理由．【分析】（1）根據(jù)已知AB＝m（m為常數(shù)），CQ＝2AQ，CP＝2BP，以及線段的中點(diǎn)的定義解答；（2）根據(jù)已知AB＝m（m為常數(shù)），CQ＝2AQ，CP＝2BP；（3）根據(jù)題意，畫出圖形，求得2AP+CQ﹣2PQ＝0，即可得出2AP+CQ﹣2PQ與1的大小關(guān)系．【解析】（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，∴AC＝BC=12∵AB＝m（m為常數(shù)），∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×1故答案為：23m（2）①點(diǎn)C在線段AB上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m為常數(shù)），∴PQ＝CQ+CP=23AC+23BC=23×（AC+②點(diǎn)C在線段BA的延長線上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m為常數(shù)），∴PQ＝CP﹣CQ=23BC-23AC=23×（BC﹣③點(diǎn)C在線段AB的延長線上：∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，∴CQ=23AC，CP=∵AB＝m（m為常數(shù)），∴PQ＝CQ﹣CP=23AC-23BC=23×（AC﹣故PQ是一個(gè)常數(shù)，即是常數(shù)23m（3）如圖：∵CQ＝2AQ，∴2AP+CQ﹣2PQ＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ＝CQ﹣2AQ＝2AQ﹣2AQ＝0，∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．【變式11.1】（2022·全國·七年級(jí)階段練習(xí)）已知多項(xiàng)式(a+10)x3+20x2-5x+3是關(guān)于x(1)a=___________，b=___________，線段AB=___________；(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，使得AC=32BC，點(diǎn)M為(3)有一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，以56個(gè)單位每秒的速度在數(shù)軸上作同向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＜30），點(diǎn)D為線段GB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段DH的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段GB上且GE=13G【答案】(1)-10，20，30(2)3或75；(3)252【分析】（1）由題意直接可求解；（2）①當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí)，如圖1，②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖2，分別計(jì)算AC和AM的長，相減可得結(jié)論；（3）本題有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)G和H，根據(jù)速度和時(shí)間可得點(diǎn)G表示的數(shù)為：-10+t，點(diǎn)H表示的數(shù)為：20+56t，根據(jù)中點(diǎn)的定義得點(diǎn)D和F表示的數(shù)，由EG=13BG【詳解】（1）解：由題意知：a+10=0∴a=∴AB的距離為20故答案為：-10，20，30（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C在AB之間時(shí)，如圖1，∵AC=32∴AC=18∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，∴AM=15∴CM=18②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖2，∵AC=32∴AC=90∵AM=15∴CM=90綜上，CM的長是3或75；（3）由題意得：點(diǎn)G表示的數(shù)為：：-10+t，點(diǎn)H表示的數(shù)為：∵t<30，AB∴點(diǎn)G在線段AB之間，∵D為BG的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D表示的數(shù)為：20+(-10+t)2∵F是DH的中點(diǎn)，∴點(diǎn)F表示的數(shù)為：5+1∵BG=20∵EG=∴EG=30-t3∴點(diǎn)E表示的數(shù)為：-10+t+10-13∴DE+DF=(5+12【點(diǎn)睛】本題考查多項(xiàng)式和數(shù)軸；與中點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，分情況列出合適的方程，進(jìn)行求解是關(guān)鍵．【變式11.2】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖一，點(diǎn)C在線段AB上，圖中有三條線段AB、AC和BC，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的2倍，則稱點(diǎn)C是線段AB的“巧點(diǎn)”．(1)填空：線段的中點(diǎn)這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）(2)（問題解決）如圖二，點(diǎn)A和B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是-20和40，點(diǎn)C是線段AB的巧點(diǎn)，求點(diǎn)C(3)（應(yīng)用拓展）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A處，以每秒2個(gè)單位的速度沿AB向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)A、P、Q三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(【答案】(1)是(2)10或0或20(3)t=152；t=6；t=607【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；（2）由題意設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程即可；（3）根據(jù)題意先用t的代數(shù)式表示出線段AP,AQ,【詳解】（1）∵原線段是中點(diǎn)分成的短線段的2倍，∴線段的中點(diǎn)是這條線段的巧點(diǎn)，故答案為：是；（2）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則AC=根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義可知：①當(dāng)AB=2AC時(shí)，有60=2x②當(dāng)BC=2AC時(shí)，有40-x③當(dāng)AC=2BC時(shí)，有x+20=2綜上，C點(diǎn)表示的數(shù)為10或0或20；（3）由題意得AP=2（i）、若0≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P為AQ的“巧點(diǎn)①當(dāng)AQ=2AP時(shí)，60-4t②當(dāng)PQ=2AP時(shí)，60-6t③當(dāng)AP=2PQ時(shí)，2t綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的所有可能值有t=15（ii）、若10<t≤15時(shí)，點(diǎn)Q為AP的“巧點(diǎn)①當(dāng)AP=2AQ時(shí)，2t②當(dāng)PQ=2AQ時(shí)，6t③當(dāng)AQ=2PQ時(shí)，60-4t綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)的所有可能值有：t=12；故，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t(s)【點(diǎn)睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出方程并進(jìn)行求解．【變式11.3】（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是線段AB上一點(diǎn)，AB＝18cm，C，D兩動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)P，B同時(shí)出發(fā)沿射線BA向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A處即停止運(yùn)動(dòng)．(1)若點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，2cm/s．①當(dāng)動(dòng)點(diǎn)C，D運(yùn)動(dòng)了2s，且點(diǎn)D仍在線段PB上時(shí)，AC＋PD＝_________cm；②若點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，則AP∶PB＝_________；(2)若動(dòng)點(diǎn)C，D的速度分別是1cm/s，3cm/s，點(diǎn)C，D在運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有PD＝3AC，求AP的長度．【答案】(1)①12；②1:2(2)9【分析】（1）①先計(jì)算BD，PC的長度，再計(jì)算AC+PD；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t秒，則PC=t,（2）依題意得出BD＝3PC，PD＝3AC，再由【詳解】（1）①依題意得：PC=1×2=2,∴AC＋故答案為：12；②設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則PC∵當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)AP中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D也剛好到達(dá)BP的中點(diǎn)，∴AP∴AP故答案為：1:2；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則PC=∴BD＝∵PD＝∴PB=∵PB∴3∴AP=【點(diǎn)睛】此題考查了與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段的和與差，中點(diǎn)的性質(zhì)，掌握線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)12】分類討論及方程思想在角的計(jì)算中的應(yīng)用【例12】（2020春?南崗區(qū)期末）已知，在∠AOB內(nèi)部作射線OC，OD平分∠BOC，∠AOD+∠COD＝120°．（1）如圖1，求∠AOB的度數(shù)；（2）如圖2，在∠AOB的外部和∠BOD的內(nèi)部分別作射線OE、OF，已知∠COD＝2∠BOF+∠BOE，求證：OF平分∠DOE；（3）如圖3，在（2）的條件下，在∠COD內(nèi)部作射線OM，當(dāng)∠BOM＝4∠COM，∠BOE=1110∠AOC時(shí)，求∠【分析】（1）根據(jù)OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠AOD+∠COD＝120°，得∠AOD+∠BOD＝120°，即∠AOB＝120°；（2）根據(jù)OD平分∠BOC，得∠BOD＝∠COD，再由∠COD＝2∠BOF+∠BOE，得∠BOD＝2∠BOF+∠BOE，可得∠DOF＝∠BOD﹣∠BOF＝2∠BOF+∠BOE﹣∠BOF＝∠BOF+∠BOE＝∠EOF，即可得出結(jié)論