第十六章二次根式（知識歸納題型突破）

第十六章二次根式（知識歸納+題型突破）1.理解并掌握二次根式、最簡二次根式、同類二次根式的定義和性質(zhì).2.熟練掌握二次根式的加、減、乘、除運算，會用它們進行有關實數(shù)的四則運算.3.了解代數(shù)式的概念，進一步體會代數(shù)式在表示數(shù)量關系方面的作用.知識點一、二次根式的相關概念和性質(zhì)1.二次根式形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.特別說明：二次根式有意義的條件是，即只有被開方數(shù)時，式子才是二次根式，才有意義.2.二次根式的性質(zhì)特別說明：（1）一個非負數(shù)可以寫成它的算術平方根的平方的形式，即（），如（）.（2）中的取值范圍可以是任意實數(shù)，即不論取何值，一定有意義.（3）化簡時，先將它化成，再根據(jù)絕對值的意義來進行化簡.（4）與的異同不同點：中可以取任何實數(shù)，而中的必須取非負數(shù)；=，=（）.相同點：被開方數(shù)都是非負數(shù)，當取非負數(shù)時，=.3.最簡二次根式（1）被開方數(shù)是整數(shù)或整式；（2)被開方數(shù)中不含能開方的因數(shù)或因式.滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.如等都是最簡二次根式.特別說明：最簡二次根式有兩個要求：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中每個因式的指數(shù)都小于根指數(shù)2.4.同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這幾個二次根式就叫同類二次根式.特別說明：判斷是否是同類二次根式，一定要化簡到最簡二次根式后，看被開方數(shù)是否相同，再判斷.如與，由于=，與顯然是同類二次根式.知識點二、二次根式的運算1.乘除法（1）乘除法法則：類型法則逆用法則二次根式的乘法積的算術平方根化簡公式：二次根式的除法商的算術平方根化簡公式：特別說明：（1）當二次根式的前面有系數(shù)時，可類比單項式與單項式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負數(shù)（在分母上時只能為正數(shù)）.如.2.加減法將二次根式化為最簡二次根式后，將同類二次根式的系數(shù)相加減，被開方數(shù)和根指數(shù)不變，即合并同類二次根式.特別說明：二次根式相加減時，要先將各個二次根式化成最簡二次根式，再找出同類二次根式，最后合并同類二次根式.如【題型一二次根式的定義】例題：（2023下·浙江麗水·八年級期末）下列式子一定不是二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式的定義，根據(jù)形如的式子叫二次根式進行判斷．【詳解】解：．是二次根式，故本選項不符合題意；B．是二次根式，故本選項不符合題意；C．是二次根式，故本選項不符合題意；D．中，不是二次根式，故本選項符合題意；故選：D．【變式訓練】1．（2023上·四川宜賓·九年級統(tǒng)考期中）下列式子是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式的定義，解題的關鍵是掌握二次根式的概念．根據(jù)二次根式的定義：形如的式子逐項判斷即可．【詳解】解：A、被開方數(shù)，不符合二次根式的定義，故本選項不符合題意；B、為三次根式，不符合二次根式的定義，故本選項不符合題意；C、中，條件，是二次根式，故本選項符合題意；D、，不符合二次根式的定義，故本選項不符合題意．故選：C．2．下列式子是二次根式的有（

）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)大于等于0，逐一判斷．【詳解】當時，是二次根式；是二次根式，不是二次根式，中，不是二次根式，，是二次根式，，是二次根式，∴，，是二次根式，共3個，故選：B．【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，二次根式的定義（一般形如的代數(shù)式叫做二次根式）會判斷被開方數(shù)的正負是解答關鍵．3．給出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的定義即可作出判斷．【詳解】解：①∵，∴是二次根式；②6不是二次根式；②∵，∴不是二次根式；④∵，∴，∴是二次根式；⑤∵，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3個．故選：B．【點睛】本題考查的是二次根式的定義，解題時，要注意：一般地，我們把形如的式子叫做二次根式．【題型二二次根式有意義的條件】例題：（2023上·安徽宿州·八年級?？茧A段練習）二次根式中的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)大于等于零可得，求解即可，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)大于等于零是解此題的關鍵．【詳解】解：由題意得：，解得：，故選：C．【變式訓練】1．（2023上·河北石家莊·八年級?？计谥校┮苟胃接幸饬x，則的值可以取（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，即被開負數(shù)為非負數(shù)，即可作答．【詳解】解：依題意：，則，A、B、C、D四個選項，滿足這個條件的只有D，故選：D．2．（2023上·四川成都·八年級校聯(lián)考期中）如果二次根式有意義，那么的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)被開方數(shù)大于等于零及分母不為零得到，進而求解即可，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關鍵．【詳解】由題意得，解得，故選：D．3．（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）若式子有意義，則x的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【答案】C【分析】本題考查分式和二次根式有意義的條件，根據(jù)分母不為0，被開方數(shù)大于或等于0，解不等式即可．【詳解】解：依題意得：且，解得且．故選C．【題型三求二次根式的值】例題：（2023下·浙江麗水·八年級校聯(lián)考期中）當時，的值為．【答案】4【分析】直接把x的值代入化簡即可．【詳解】解：當時，．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了二次根式的求值，熟記二次根式的性質(zhì)是解決此題的關鍵．【變式訓練】1．當時，二次根式的值是_________．【答案】4【分析】把x=2代入二次根式計算可得答案．【詳解】解：∵x=2，∴==4．故答案為：4．【點睛】此題考查了二次根式的計算求值，解題的關鍵是正確代入數(shù)值計算．2．（2023下·浙江溫州·八年級?？计谥校┊敃r，二次根式的值是．【答案】【分析】將代入原式即可求出答案．【詳解】解：當時，．故答案為：．【點睛】本題考查求二次根式的值，二次根式的性質(zhì)．解題的關鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．3．已知，則________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)將原式進行化簡，注意要結合二次根式有意義的條件進行分情況討論【詳解】求解．解：∵，∴與同號，①當，時，原式；②當，時，原式，故答案為：．【點睛】此題考查了二次根式的性質(zhì)，解題的關鍵是利用二次根式有意義的條件．【題型四求二次根式中的參數(shù)】例題：如果是一個整數(shù)，那么最小正整數(shù)___________．【答案】2【分析】根據(jù)二次根式的定義，可得答案．【詳解】解：由二次根式是一個整數(shù)，那么正整數(shù)a最小值是2，故答案為：2．【點睛】本題考查了二次根式的定義，利用二次根式的性質(zhì)是解題關鍵．【變式訓練】1．已知有理數(shù)滿足，則的值是______.【答案】【分析】將已知等式整理得，由a，b為有理數(shù)，得到，求出a，b的值，代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，∵a，b為有理數(shù)，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了求二次根式中的參數(shù)，將已知等式整理后得到對應關系，由此求出a，b的值是解題的關鍵．2．已知n是正整數(shù)，是整數(shù)，則滿足條件的所有n的值為__________．【答案】或或【分析】先利用算數(shù)平方根有意義的條件求得正整數(shù)的取值范圍，然后令等于所有可能的平方數(shù)即可求解．【詳解】解：由題意得，解得，∵n是正整數(shù)，∴∴，∴，∴，∵是整數(shù)，∴或或或或，解得或或或或，∵n是正整數(shù)，∴或或，故答案為：或或【點睛】本題考查了算術平方根的性質(zhì)，理解掌握被開方數(shù)是平方數(shù)時算術平方根才是整數(shù)是解題的關鍵．【題型五利用二次根式的性質(zhì)化簡】例題：計算：______．【答案】##【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)直接求解即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，，故答案為：．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)：，熟練掌握知識點是解題的關鍵．【變式訓練】1．化簡：______，______．【答案】

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡求解即可．【詳解】解：，，故答案為：；．【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)，會利用二次根式的性質(zhì)正確化簡是解答的關鍵．2．化簡：(1)．(2)．(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先將被開方數(shù)的分子分母分別寫成平方的形式，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可；（2）先將被開方數(shù)化成假分數(shù)，再將分母有理化即可；（3）直接將分母有理化即可．【詳解】（1）原式；（2）原式；（3）原式．【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，熟練分母有理化的方法是解題的關鍵．【題型六二次根式的乘除運算】例題：（2023上·四川樂山·九年級樂山市實驗中學?？计谥校┯嬎悖海敬鸢浮俊痉治觥勘绢}考查了二次根式的乘除混合運算，根據(jù)二次根式的乘除運算法則進行計算即可求解．【詳解】解：【變式訓練】1．（2023上·上海浦東新·八年級統(tǒng)考期中）計算：【答案】【分析】直接利用二次根式的乘除運算法則化簡即可．【詳解】解：．【點睛】此題主要考查了二次根式的乘除混合運算，正確化簡二次根式是解題關鍵．2．（2023上·上海閔行·八年級統(tǒng)考期中）計算：【答案】24【分析】根據(jù)二次根式的乘除混合運算法則進行計算即可．【詳解】解：．【點睛】本題考查二次根式的乘除混合運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．3．（2023上·陜西西安·八年級西安市第二十六中學?？茧A段練習）計算：．【答案】【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法法則計算，然后合并即可；【詳解】解：原式．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關鍵．4．（2023上·上海閔行·八年級校聯(lián)考期中）計算：【答案】【分析】本題考查二次根式的乘除法．根據(jù)二次根式的乘除法法則進行計算即可．【詳解】解：．5．（2023上·全國·八年級專題練習）計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法運算法則進行計算即可．（2）根據(jù)二次根式的乘除運算法則進行計算即可．【詳解】（1）原式；（2）原式【點睛】本題主要考查二次根式的乘除運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解決本題的關鍵．【題型七最簡二次根式的判斷】例題：下面是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可．【詳解】解：A．，的被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；B．，的被開方數(shù)含有分母，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；C．分母中含有二次根號，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；D．是最簡二次根式，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義．理解和掌握最簡二次根式的定義是解題的關鍵，注意：滿足下列兩個條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)不能含有分母；②被開方數(shù)不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．【變式訓練】1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：A、，不屬于最簡二次根式，故本選項不符合題意；B、，不屬于最簡二次根式，故本選項不符合題意；C、，不屬于最簡二次根式，故本選項不符合題意；D、屬于最簡二次根式，故本選項符合題意．故選：D【點睛】本題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的概念是解答本題的關鍵．2．在二次根式、、、、中，最簡二次根式的個數(shù)是（）個A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的概念：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式，解答即可．【詳解】解：，，，最簡二次根式有：、共兩個．故選：A．【點睛】本題考查二次根式，熟練掌握最簡二次根的性質(zhì)是解題關鍵．【題型八同類二次根式】例題：下列二次根式中與是同類二次根式的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】先化簡，再根據(jù)同類二次根式的定義解答．【詳解】解：A、，與不是同類二次根式，不符合題意；B、與不是同類二次根式，不符合題意；C、與是同類二次根式，符合題意；D、與不是同類二次根式，不符合題意；故選：C【點睛】本題主要考查了同類二次根式的定義，即：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式，解題的關鍵是掌握同類二次根式的定義．【變式訓練】1．下列二次根式中，能與合并的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化簡選項中各二次根式，然后找出被開方數(shù)為3的二次根式即可．【詳解】解：A、，故與不能合并，故A不符合題意；B、，故與能合并，故B符合題意；C、與不能合并，故C不符合題意；D、，故與不能合并，故D不符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查的是同類二次根式的定義和二次根式的性質(zhì)，掌握同類二次根式的定義是解題的關鍵．2．下列各組的兩個根式，是同類二次根式的是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【分析】根據(jù)同類二次根式的概念逐個判斷即可．【詳解】A：，故和不是同類二次根式，故A選項不符合題意；B：，故和，故B選項不符合題意；C：，故和是同類二次根式，故C選項符合題意；D：和不是同類二次根式，故D選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查同類二次根式，正確理解同類二次根式的概念是解題的關鍵．【題型九已知同類二次根式求參數(shù)】例題：最簡二次根式能與進行合并，則________．【答案】2【分析】根據(jù)題意可判斷最簡二次根式和是同類二次根式，即得出，解出m即可．【詳解】根據(jù)題意可知，解得：．故答案為：2．【點睛】本題考查最簡二次根式的定義，同類二次根式的判斷．由題意判斷出和是同類二次根式是解題關鍵．【變式訓練】1．若最簡二次根式與是同類二次根式，則的值為______．【答案】1【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義可列出關于a的等式，解出a即可．【詳解】由題意可知，解得：．故答案為：1．【點睛】本題考查最簡二次根式和同類二次根式的定義．掌握化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這幾個二次根式叫做同類二次根式是解題關鍵．2．若最簡二次根式與是同類二次根式，則m=_____________．【答案】3【分析】根據(jù)最簡二次根式和同類二次根式的定義可得，再解出m即可．【詳解】由題意得：，解得：．故答案為：3．【點睛】本題考查最簡二次根式和同類二次根式的定義．掌握幾個最簡二次根式的被開方數(shù)相同，這幾個最簡二次根式就叫做同類二次根式是解題關鍵．【題型十二次根式混合運算】例題：計算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先化簡，再算二次根式的加減法即可；（2）先化簡，再算括號里的加減法，最后算除法即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關鍵是掌握二次根式的運算法則和性質(zhì)．【變式訓練】1．（2023上·河南焦作·八年級統(tǒng)考期中）計算(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，熟記二次根式的混合運算法則是解題關鍵．（1）先進行二次根式的乘法運算以及化簡二次根式，再合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)平方差公式，完全平方公式去括號，最后進行加減運算即可．【詳解】（1）解：；（2）．2．（2023下·北京海淀·八年級首都師范大學附屬中學?？茧A段練習）計算下列各題：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)2【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及混合運算法則化簡計算即可【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算，掌握二次根式的性質(zhì)和運算法則是解題的關鍵3．（2023上·山東青島·八年級?？茧A段練習）計算題：(1)；(2)(3)；(4)(5)(6)【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；【分析】（1）分別將各部分化簡，再合并即可；（2）先將除法轉(zhuǎn)化成乘法，然后進行乘法運算，再合并即可；（3）分別化簡二次根式、負指數(shù)冪、利用平方差公式化簡二次根式，再合并即可；（4）分別求出立方根、化簡絕對值、負指數(shù)冪、計算二次根式乘法，再合并即可；（5）分別化簡二次根式再進行處罰運算，再合并即可；（6）分別把各部分化簡，再合并即可；【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；【點睛】本題考查了負指數(shù)冪、二次根式的混合運算，解答關鍵是熟練掌握相關運算法則．【題型十一已知字母的值，化簡求值】例題：（2023上·福建泉州·八年級校考階段練習）已知，，求下列代數(shù)式的值.(1)；(2).【答案】(1)(2)49【分析】本題考查了乘法公式，分式的加減運算，二次根式的混合運算．（1）根據(jù)平方差公式將原式整理成，再根據(jù)二次根式的運算法則計算即可求解；（2）根據(jù)完全平方公式將原式整理成，再根據(jù)二次根式的運算