第一章一元二次方程（壓軸題專練）

第一章一元二次方程（壓軸題專練）一、銷售與利潤(rùn)綜合解答題1、悠悠食品店的A、B兩種菜品，每份成本均為14元，售價(jià)分別為20元、18元，這兩種菜品每天的營(yíng)業(yè)額共為1120元，總利潤(rùn)為280元．（1）該店每天賣出這兩種菜品共多少份？（2）該店為了增加利潤(rùn)，準(zhǔn)備降低A種菜品的售價(jià)，同時(shí)提高B種菜品的售價(jià)，售賣時(shí)發(fā)現(xiàn)，A種菜品售價(jià)每降0.5元可多賣1份；B種菜品售價(jià)每提高0.5元就少賣1份，如果這兩種菜品每天銷售的總份數(shù)不變，這兩種菜品一天的總利潤(rùn)是316元．求A種菜品每天銷售多少份？【答案】見解析【解析】（1）設(shè)該店每天賣出A、B兩種菜品分別為x份、y份，根據(jù)題意得，(20?14)x+(18?14)y=28020x+18y=1120解得：x=20y=40答：該店每天賣出這兩種菜品共60份．（2）設(shè)A種菜品售價(jià)降0.5a元，即每天賣（20+a）份，則B種菜品賣（40﹣a）份，每份售價(jià)提高0.5a元．（20﹣14﹣0.5a）（20+a）+（18﹣14+0.5a）（40﹣a）＝316．即a2﹣12a+36＝0a1＝a2＝6答：A種菜品每天銷售26份．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．2、“疫情”期間，李晨在家制作一種工藝品，并通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行線上銷售．經(jīng)過一段時(shí)間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)售價(jià)是40元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出3件，設(shè)該商品的售價(jià)為x元/件（20≤x≤40）．（1）請(qǐng)用含售價(jià)x（元/件）的代數(shù)式表示每天能售出該工藝品的件數(shù)；（2）已知每件工藝品需要20元成本，每天銷售該工藝品的純利潤(rùn)為900元．①求該商品的售價(jià)；②為了支持“抗疫”行動(dòng)，李晨決定每銷售一件該工藝品便通過網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)自動(dòng)向某救助基金會(huì)捐款0.5元，求李晨每天通過銷售該工藝品捐款的數(shù)額．【答案】見解析【解析】解：（1）∵該商品的售價(jià)為x元/件（20≤x≤40），且當(dāng)售價(jià)是40元/件時(shí)，每天可售出該商品60件，且售價(jià)每降低1元，就會(huì)多售出3件，∴每天能售出該工藝品的件數(shù)為60+3（40﹣x）＝（180﹣3x）件．（2）①依題意，得：（x﹣20）（180﹣3x）＝900，整理，得：x2﹣80x+1500＝0，解得：x1＝30，x2＝50（不合題意，舍去）．答：該商品的售價(jià)為30元/件．②0.5×（180﹣3×30）＝45（元）．答：李晨每天通過銷售該工藝品捐款的數(shù)額為45元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．正月十五是中華民族傳統(tǒng)的節(jié)日——元宵節(jié)，家家掛彩燈、戶戶吃湯圓已成為世代相沿的習(xí)俗．位于北關(guān)古城內(nèi)的盼盼手工湯圓店，計(jì)劃在元宵節(jié)前用21天的時(shí)間生產(chǎn)袋裝手工湯圓，已知每袋湯圓需要0.3斤湯圓餡和0.5斤湯圓粉，而湯圓店每天能生產(chǎn)450斤湯圓餡或300斤湯圓粉（每天只能生產(chǎn)其中一種）．(1)若這21天生產(chǎn)的湯圓餡和湯圓粉恰好配套，且全部及時(shí)加工成湯圓，則總共生產(chǎn)了多少袋手工湯圓？(2)為保證手工湯圓的最佳風(fēng)味，湯圓店計(jì)劃把達(dá)21天生產(chǎn)的湯圓在10天內(nèi)銷售完畢．據(jù)統(tǒng)計(jì)，每袋手工湯圓的成本為13元，售價(jià)為25元時(shí)每天可售出225袋，售價(jià)每降低2元，每天可多售出75袋．湯圓店按售價(jià)25元銷售2天后，余下8天進(jìn)行降價(jià)促銷，第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店，若最終獲利40500元，則促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓(2)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)3元【解析】（1）設(shè)總共生產(chǎn)了袋手工湯圓，依題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，答：總共生產(chǎn)了袋手工湯圓（2）設(shè)促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)元，當(dāng)剛好10天全部賣完時(shí)，依題意得，整理得：，∴方程無解∴10天不能全部賣完∴第10天結(jié)束后將還未售出的手工湯圓以15元/袋的價(jià)格全部賣給古城小吃店的利潤(rùn)為∴依題意得，解得∵要促銷∴即促銷時(shí)每袋應(yīng)降價(jià)3元．4．隨著武漢解封，湖北各地的復(fù)工復(fù)產(chǎn)正有序進(jìn)行，經(jīng)濟(jì)復(fù)蘇也按下了“重啟鍵”．為助力湖北復(fù)蘇，月日抖音發(fā)起了“湖北重啟，抖來助力抖音援鄂復(fù)蘇計(jì)劃”，通過直播或短視頻助力推廣湖北特色產(chǎn)品已知當(dāng)天的直播活動(dòng)中熱干面和周黑鴨共銷售萬份，其中周黑鴨的銷量是熱干面的倍．(1)求當(dāng)天的直播活動(dòng)中銷售了多少萬份周黑鴨？(2)為刺激消費(fèi)，直播中推出了優(yōu)惠活動(dòng)疫情前，疫情期間售價(jià)均為元一份的周黑鴨（一份里面有一盒鎖骨，兩盒鴨脖，一盒鴨掌），以折力度售賣．疫情前，疫情期間售價(jià)均為元一份的熱干面（一份里面有包熱干面），以折力度售賣．已知疫情前周黑鴨的日銷售量比直播當(dāng)天的銷量少，疫情期間的日銷售額比疫情前的日銷售額減少了萬元；疫情前熱干面的日銷量比直播當(dāng)天熱干面的銷量少，疫情期間的日銷售量比疫情前的日銷售量減少了；疫情期間周黑鴨和熱干面的總?cè)珍N售額比直播當(dāng)天的總銷售額少，求的值．【答案】(1)當(dāng)天的直播活動(dòng)中銷售了萬份周黑鴨(2)的值為【解析】（1）解：設(shè)當(dāng)天的直播活動(dòng)中銷售了萬份熱干面，則銷售了萬份周黑鴨，由題意得：，解得：，．答：當(dāng)天的直播活動(dòng)中銷售了萬份周黑鴨；（2）解：由題意得：，整理得：，解得：，不合題意，舍去．∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意列正確的方程．5．“端午節(jié)”是我國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日，賽龍舟吃粽子，某蛋糕店銷售“杏花樓”和“元祖”兩個(gè)品牌的粽子，每個(gè)“杏花樓”粽子的售價(jià)是10元，每個(gè)“元祖”粽子的售價(jià)是8元．（1）4月份，兩個(gè)品牌的粽子一共銷售180個(gè)，且總銷售額不低于1640元，則賣出“杏花樓”粽子至少多少個(gè)？（2）5月份，粽子大量上市，受此影響，“杏花樓”粽子售價(jià)降低了（），銷售量在4月份的最低銷售量的基礎(chǔ)上增加了，“元祖”粽子的售價(jià)降低了，銷售量在4月份的最高銷售量的基礎(chǔ)上增加了，結(jié)果5月份的總銷售額比4月份最低銷售額增加了680元，求的值．【答案】（1）100個(gè)；（2）20【解析】（1）設(shè)賣出“杏花樓”粽子個(gè)，則賣出“元祖”粽子(180)個(gè)．依題意得：10+8(180)≥1640解得：≥100∴賣出“杏花樓”粽子至少100個(gè)；（2）依題意得：10(1%)×100(1+5%)+8(1)×(180100)(1+)=1640+680設(shè)%=，則化簡(jiǎn)整理得：175120+17=0解得：=，=∵，且∴=不符合題意∴=，即∴=20．根與系數(shù)關(guān)系6．對(duì)于一切不小于2的自然數(shù)n，關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)根為，則．【答案】【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以，則，則．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，難度較大，關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出一般形式再進(jìn)行代入求值．7．已知關(guān)于x的方程的兩根均大于1且小于2，則的取值范圍是.【答案】【解析】解：，去分母得，，設(shè)的兩個(gè)根為，，由根與系數(shù)的關(guān)系可知，，，∴，∵，，均大于1且小于2，∴，，∴．∴．∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式取值范圍問題，熟練進(jìn)行解方程，解不等式，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.8．已知關(guān)于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0，下列結(jié)論：①方程總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；②若兩個(gè)根為x1，x2，且x1＞x2，則x1＞3，x2＜3；③若兩個(gè)根為x1，x2，則（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3）；④若x＝（p為常數(shù)），則代數(shù)式（x﹣3）（x﹣2）的值為一個(gè)完全平方數(shù)，其中正確的結(jié)論是．【答案】①③【解析】解：由（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0得x2﹣5x+6﹣p2＝0，①Δ＝25﹣4×（6﹣p2）＝1+4p2＞0，∴（x﹣3）（x﹣2）﹣p2＝0總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，故①正確；②設(shè)p＝0，關(guān)于x的一元二次方程為（x﹣3）（x﹣2）＝0，若兩個(gè)根為x1，x2，且x1＞x2，則x1＝3，x2＝2，這與x1＞3不符合，故②不正確；③若x2﹣5x+6﹣p2＝0兩個(gè)根為x1，x2，則x1+x2＝5，x1?x2＝6﹣p2，（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1?x2﹣2（x1+x2）+4＝6﹣p2﹣2×5+4＝﹣p2，（x1﹣3）（x2﹣3）＝x1?x2﹣3（x1+x2）+9＝6﹣p2﹣3×5+9＝﹣p2，∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝（x1﹣3）（x2﹣3），故③正確；④∵x＝（p為常數(shù)），∴（x﹣3）（x﹣2）＝x2﹣5x+6＝＝＝＝，當(dāng)p為奇數(shù)時(shí)，不是整數(shù)，此時(shí)（x﹣3）（x﹣2）不是完全平方數(shù)，故④不正確；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的情況及根與系數(shù)的關(guān)系，涉及完全平方數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系及完全平方數(shù)概念．9．已知關(guān)于x的方程，其中p，q都是實(shí)數(shù)．(1)若時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，且，求實(shí)數(shù)p的值．(2)若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且，求實(shí)數(shù)p和q的值．(3)是否同時(shí)存在質(zhì)數(shù)p和整數(shù)q使得方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，且？若存在，求出所有滿足條件的p，q．若不存在，說明理由．【答案】(1)(2)或，(3)存在，時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】（1）解：若，則方程為．因該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)、，可得，，，解得；由，得，解得或．（注意因?yàn)?，所以．?）顯然．方程可寫成．因該方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，可得：，，即，因?yàn)?、是方程的兩根，即．則，，．，解得．由，得，解得，∴或，．（3）存在．方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，，，由（2）知，不妨設(shè)，是方程的兩根，，是方程的兩根，則，，，，則，，因?yàn)?，所以，因?yàn)槭琴|(zhì)數(shù)，，，所以，，則，則無解，則，則無解，則，則，解得，則，則，解得，2，5，則，則，解得．故，5，所以存在滿足條件的，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的整數(shù)根與有理根，根與系數(shù)的關(guān)系，牢記兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．10．如果方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，那么，，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：(1)已知，是方程的二根，則(2)已知、、滿足，，求正數(shù)的最小值．(3)結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問題：已知和是關(guān)于，的方程組的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【解析】（1）解：∵，是方程的二根，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，，∴、是方程的解，∴，∴，∵