第02講三角形的高線中線和角平分線（原卷版）-2022年八年級(jí)數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)課（人教版）

第02講三角形的高線、中線和角平分線【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握三角形中三條重要的線段的概念;2.了解三角形的穩(wěn)定性在日常生活中的應(yīng)用.【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)01三角形的高線1、三角形的高線定義：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線,之間的線段叫做三角形的高線；文字?jǐn)⑹鼍€段AD是△ABC的邊BC上的高AD⊥BC,垂足為D點(diǎn)D在BC上,且∠ADB=∠ADC=90°2、三角形高的畫法：過頂點(diǎn)向?qū)吇驅(qū)叺淖鞔咕€段即可.三角形作高圖形高線位置高線（高線延長(zhǎng)線）交點(diǎn)O的位置銳角三角形三條高線在三角形在三角形直角三角形有兩條高線與重合，有一條高線在三角形在三角形鈍角三角形由兩條高線在三角形，有一條高線在三角形在三角形【注意】（1）三角形的高線是；（2）作鈍角三角形中鈍角所在兩邊上的高,要先把這兩條邊再作高,如圖所示.（3）直角三角形的兩直角邊為a和b，斜邊為c，則斜邊上的高為；知識(shí)點(diǎn)02三角形的中線1、三角形的中線定義：三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的線段，叫做三角形的中線；2、三角形中線的描述：圖形文字?jǐn)⑹鼍€段AD是BC邊上的中線D是BC邊的中點(diǎn)BD=CD=BC3、三角形的重心（1）三角形的三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的.（2）三角形具有.4、三角形中線的性質(zhì)：三角形的一條中線，平分三角形的；如圖，AF⊥BC于點(diǎn)F，所以知識(shí)點(diǎn)03三角形的角平分線1、定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交,這個(gè)角的之間的線段叫做三角形的角平分線；圖形文字?jǐn)⑹鼍€段AD是△ABC的角平分線∠1=∠2=∠BAC,且點(diǎn)D在BC上AD平分∠BAC,交BC于點(diǎn)D【注意】三角形的角平分線的特征：（1）三角形的角平分線把三角形的一個(gè)內(nèi)角分成兩個(gè)相等的角，一般和三角形角的計(jì)算相關(guān)聯(lián);（2）任何三角形都有三條角平分線,這三條角平分線相交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)在三角形.知識(shí)點(diǎn)04三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性四邊形的不穩(wěn)定性將3根木條用釘子釘成三角形后，三角形木架的形狀不會(huì)改變,說明三角形具有用4根木條用釘子釘成四邊形后,四邊形木架的形狀會(huì)改變,說明四邊形具有三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用四邊形不穩(wěn)定性的應(yīng)用【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：三角形的高線例1．過△ABC的頂點(diǎn)A,作BC邊上的高,以下作法正確的是（）【總結(jié)】判斷高線方法：一看頂點(diǎn):三角形的高一定過頂點(diǎn);二看垂足:三角形的高的垂足在頂點(diǎn)的對(duì)邊或?qū)呇娱L(zhǎng)線上.只要滿足這兩個(gè)原則,就能判斷某條線段是否為三角形的高.考點(diǎn)二：三角形的中線例2．如圖,在△ABC中,D,E分別是BC,AD的中點(diǎn),AABC的面積是4cm2,則△BEC的面積是( )A.2.5cm2 B.2cm2 C.1.5cm2 D.1cm2考點(diǎn)三：三角形的角平分線例3．下列說法正確的是（）①平分三角形內(nèi)角的射線叫做三角形的角平分線;②三角形的中線、角平分線都是線段,而高是直線;③每個(gè)三角形都有三條中線、三條高和三條角平分線;④三角形的中線是經(jīng)過頂點(diǎn)和對(duì)邊中點(diǎn)的直線.A.③④ B.③ C.②③ D.①④考點(diǎn)四：三角形的穩(wěn)定性例4．以下不是利用三角形穩(wěn)定性的是（）A、在門框上斜釘一根木條B、高架橋的三角形結(jié)構(gòu)C、伸縮衣掛D、屋頂?shù)娜切武摷堋究偨Y(jié)】三角形的穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì)是三角形的各邊的長(zhǎng)度被確定后,其形狀不會(huì)再發(fā)生改變.現(xiàn)實(shí)生活中常常利用這一性質(zhì),將原本不穩(wěn)定的形狀轉(zhuǎn)化為三角形,使之穩(wěn)定.考點(diǎn)五：三角形高線的計(jì)算例5．如圖,在△ABC中,AB=AC=10，BC=12,AD,BE分別是邊BC,AC上的高﹐且AD=8,求BE的長(zhǎng).考點(diǎn)六：三角形的高線例6．如圖所示,CD是△ABC的中線，AC=9cm，BC=3cm，求△ACD和BCD的周長(zhǎng)差.【總結(jié)】中線應(yīng)用(1)根據(jù)中線平分對(duì)邊得兩條相等的線段，一般用于求解與三角步的周長(zhǎng)有關(guān)的問題;(2)根據(jù)中線分三角形得面積相等的兩部分,用于求解與面積有關(guān)的問題.考點(diǎn)七：三角形的高線例7．【例3】如圖,∠1=∠2=∠3=∠4.(1)AD是△和△的角平分線;(2)試判斷∠EAF與∠BAC的關(guān)系.考點(diǎn)八：三角形穩(wěn)定性的應(yīng)用例8．如圖,李師傅用4根木條釘成一個(gè)四邊形木架,要使這個(gè)木架不變形,他至少還要再釘上的木條數(shù)量是（）A、0根 B、1根 C、2根 D、3根考點(diǎn)九：三角形的概念判斷例9．下列說法正確的是（）A.三角形的角平分線、中線和高都在三角形的內(nèi)部B.直角三角形的高只有一條C.鈍角三角形的三條高都在三角形外D.三角形的高至少有一條在三角形內(nèi)【即學(xué)即練】1．下列圖形具有穩(wěn)定性的是（）A． B． C． D．2．下列四個(gè)圖形中，線段BE是△ABC的高的是（）A． B．C． D．3．如圖，△ABC的面積為3，BD：DC＝2：1，E是AC的中點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P，那么四邊形PDCE的面積為（）A． B． C． D．4．如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，DF是△CDE的中線，若S△DEF=2，則S△ABC等于A．16 B．14 C．12 D．105．不一定在三角形內(nèi)部的線段是（）A．三角形的角平分線 B．三角形的中線C．三角形的高 D．以上皆不對(duì)6．如圖，AD，CE是△ABC的兩條高，已知AD=10，CE=9，AB=12，則BC的長(zhǎng)是（）A．10 B．10.8 C．12 D．157．如圖，在中，，分別是邊上的中線和高，，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．8．如圖，CM是的中線，的周長(zhǎng)比的周長(zhǎng)大，，則AC的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．若線段分別是邊上的高線和中線，則（

）A． B．C． D．10．三角形的重心是（）A．三角形三條邊上中線的交點(diǎn)B．三角形三條邊上高線的交點(diǎn)C．三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)D．三角形三條內(nèi)角平行線的交點(diǎn)11．如圖所示，平分，平分，不能判定的條件是（

）A． B． C． D．12．如圖，已知AB∥CD，直線EF分別交AB、CD于點(diǎn)E、F，F(xiàn)G平分∠EFD交AB于點(diǎn)G，若∠BEF＝70°，則∠AGF的度數(shù)為（

）A．35° B．45° C．55° D．65°13．已知△ABC，如圖，過點(diǎn)A畫△ABC的角平分線AD、中線AE和高線AF．14．如圖，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，∠CAB＝90°，求：（1）AD的長(zhǎng)；（2）△ACE和△ABE的周長(zhǎng)的差．【課后鞏固】1．為了使一扇舊木門不變形，木工師傅在木門的背面加釘了一根木條，這樣做的道理是（

）

A．兩點(diǎn)之間，線段最短 B．垂線段最短C．三角形具有穩(wěn)定性 D．兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等2．如圖，過△ABC的頂點(diǎn)A，作BC邊上的高，以下作法正確的是（

）A． B．C． D．3．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AD，BE的中點(diǎn)，連結(jié)CE，CF，若S△CEF＝5，則△ABC的面積為（）A．15 B．20 C．25 D．304．如圖，在中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，如果，，，那么（

）A． B． C． D．5．給出下列命題：①三條線段組成的圖形叫三角形；②三角形相鄰兩邊組成的角叫三角形的內(nèi)角；③三角形的角平分線是射線；④三角形的高所在的直線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)不在三角形內(nèi)就在三角形外；⑤任何一個(gè)三角形都有三條高、三條中線、三條角平分線；⑥三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)在三角形內(nèi).正確的命題有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．如圖，在中，，分別是邊上的中線與高，，的面積為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．如圖，在△ABC中，AD、AE分別是邊BC上的中線與高，AE=4，△ABC的面積為12，則CD的長(zhǎng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．58．如圖，AD是△ABC的中線，△ABD比△ACD的周長(zhǎng)大6cm，則AB與AC的差為(

)A．2cm B．3cm C．6cm D．12cm9．下列說法正確的是（

）A．三角形的角平分線是射線B．過三角形的頂點(diǎn)，且過對(duì)邊中點(diǎn)的直線是三角形的一條中線C．銳角三角形的三條高交于一點(diǎn)D．三角形的高、中線、角平分線一定在三角形的內(nèi)部10．下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)B．三角形的三條中線一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)C．三角形的三條角平分線一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)D．三角形的三條高可能相交于外部一點(diǎn)11．如圖，ABC中，AB＝7，AC＝5，BC＝10，OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，MN經(jīng)過點(diǎn)O，與AB，AC相交于點(diǎn)M，N，且MNBC，則AMN的周長(zhǎng)等于（

）A．17 B．15 C．12 D．1112．如圖所示，，，則下列結(jié)論正確的有（

）①平分；②平分；